Transcript Elementarne funkcije Izradila Borka Jadrijević Ponovimo: • Svaka monotona funkcija je injekcija. • Za svaku funkciju f : X  , suženje f :

Elementarne funkcije
Izradila Borka Jadrijević
Ponovimo:
• Svaka monotona funkcija je injekcija.
• Za svaku funkciju f : X  , suženje
f : X  f(X) je surjekcija.
• Ako je f : X   monotona na nekom
intervalu I  X, onda je suženje
f : I  f(I) bijekcija.
Ako je f : X  Y bijekcija onda vrijedi:
• Postoji funkcija g : Y  X tako da
vrijedi g  f = iX i f  g = iY .
Funkcija g : Y  X je jedinstvena,
označavamo je g = f -1 i nazivamo
inverzna funkcija funkcije f.
• Graf inverzne funkcije f -1 je
simetričan grafu funkcije f s obzirom
na pravac y = x.
Osnovne elementarne funkcije:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Konstantna funkcija
Opća potencija
Eksponencijalna funkcija
Logaritamska funkcija
Trigonometrijske funkcije
Ciklometrijske funkcije
Konstantna funkcija
f(x) = c, c  
3
2
y
c
1
-3
-2
-1
0
1
-1
f:   
f () = {c}
2
3
x
Opća potencija
f(x) = xr, r   \
{0}
Razlikujemo slučajeve:
1. r = n  
2. r = -n   \ 
3. r = m/n   \ 
4. r   \ 
Potencije s prirodnim eksponentom
f(x) = xn, n  
y
y = x2
y=x
4
2
-4
-2
0
2
4
x
-2
-4
y = x3
f :   ,
f() =  za n
neparan, f() = [0, ) za n paran
Potencije s cijelobrojnim eksponentom
oblika f(x) = x-n, n  
y
3
2
y=
-3
1
1/x2
-2
-1
0
y= 1/x
1
2
3x
-1
y= 1/x3
-2
-3
Budući je x-n = 1/xn onda je
f:  \ {0}   i vrijedi f() =  \ {0}.
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = x1/n, n   \
{1}.
Budući je x1/n = nx onda je:
f :    i f() =  za n neparan,
f: [0, )   i f([0, )) = [0, ) za n paran.
Nadalje, vrijedi:
za svaki x  D(f) je (x1/n)n = x,
te za svaki y  f(D(f) ) je (yn )1/n = y,
Dakle, funkcija f(x) = x1/n je inverzna funkcija funkcije
g(x) = xn za n neparan, odnosno suženja funkcije g za n
paran.
Primjeri:
1. n = 2
y=x2
y
3
Neka je funkcija
g1 : [0, )  [0, ) suženje
y=x
funkcije g(x) = x2..
y=x1/2
1
-2
-1
0
Funkcja g1 je bijekcija i
1
2
3
-1
f(x) = x
1/2
f: [0, )  
f( [0, ) ) = [0, )
x
za svaki x  [0, ) vrijedi
f (g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x,
te za svaki y  [0, )
vrijedi
g1(f (y)) = (y1/2)2 = y.
Uočimo:
y=x2
y=x
y
3
funkcije g(x) = x2 je bijekcija
2
i za svaki x  (-,0] vrijedi
1
-2
-1
0
Suženje g2 : (-,0]  [0, )
1
2
3
x
f (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x,
y=-x1/2
te za svaki y  [0, ) vrijedi
-1
-2
f(x) = -x1/2
f: [0, )  
f( [0, ) ) = (-,0]
g2(f (y)) = (-y1/2)2 = y.
2. n=3
y=x3
y=x
y
3
2
y=x1/3
1
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
f(x) = x1/3
f:   
f() = 
3
x
Promatrajmo funkciju
g(x) = x3 .
Funkcija g:    je
bijekcija i za svaki
x   vrijedi
f (g(x)) = (x3 )1/3 = x,
te za svaki y  
vrijedi
g(f (y)) = (y1/3)3 = y.
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = xm/n, m/n   \ .
Uz pretpostavku m   , n  , te M(m,n)=1
razlikujemo slučajeve:
• n neparan i m > 0, onda je D(f) = ,
• n neparan i m < 0, onda je D(f) =  \ {0},
• n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ),
• n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).
Primjeri:
5
5
3
3
-4
-2
y
2
2
1
1
0
2
4
-1
f(x) = x
2/3,
D(f) = 
f(x) = x-2/3, D(f) =  \ {0}.
-1
0
1
2
x
3
4
-1
f(x) = x3/2, D(f) = [0,)
f(x) = x-3/2, D(f) = (0, )
5
Potencije s realnim eksponentom
oblika f(x) = xr, r   \  .
Vrijedi:
• za r > 0 je D(f) = [0,)
• za r < 0 je D(f)= (0,)
4
y2
1
-1
0
-1
1
x
2
3
Vrijedi općenito:
Inverzna funkcija opće potencije je opet opća
potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je
f –1 (y) = y1/r , kad god ti izrazi imaju smisla.
3
2
y
1
-1
0
-1
1
x
2
3
Eksponencijalna funkcija
f(x)= ax , f: R
R je injekcija i f(R) = (0, )
4
4
-2
0
-2
a>1
2
4
-2
0
2
-2
0<a<1
loga (ax) = x, za svaki x є
R
a loga (y) = y, za svaki y є (0,
)
4
Trigonometrijske funkcije
Namatanje pravca na kružnicu
x
0
x
Namatanje pravca na kružnicu
1
O
O’
T’ = S’
T
T’
O’
S
S’
1
0
x
x+2π
T
S
Trigonometrijska kružnica
1
sinx
T(cosx,sinx)
x
cosx
1
Trigonometrijska kružnica
tgx
1
Os cotangesa
x
ctgx 1
Os tangesa
Trigonometrijske funkcije
Sinus
1

Kosinus

2

-1
f(x) = sinx,
f(x) = cosx,
f: 
f: 

f() = [-1,1]

f() = [-1,1]
Ciklometrijske ili arkus funkcije
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne
funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.
Ciklometrijske funkcije su :
• Arkus-sinus
• Arkus-kosinus
• Arkus-tanges
• Arkus-kotanges
Definirajmo: Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1]
tako da je za svaki x є [-π /2, π /2], sin(x) = Sin (x).
[- π /2, π /2]
Definirajmo: arcsin: [-1,1]
y
2
1
/2
-/2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], arcsin(sin
x)=x,  y є [-1,1],
sin(arcsin y)=y
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
1
2
3
4
3
2
1
-2
0
-1
-2
2
4
4
2
1
2
-2
-1
0
1
1
2
-1
-2
-2
-1
0
-1
1
2
4
2
1
-6
-4
-2
0
-1
-2
2
2
4
1
6
-6
-4
-2
0
-1
2
4
6
Definicija:
Elementarnom funkcijom smatramo svaku
funkciju koja se može konstruirati od osnovnih
elementarnih funkcija i njihovih suženja
primijenjujući (konačno puta) zbrajanje,
oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.
Osnovna podjela elementarnih
funkcija:
1. Polinomi
2. Racionalne funkcije
3. Algebarske funkcije
4. Transcendentne funkcije