Transcript Elementarne funkcije Napisala Borka Jadrijević Ponovimo: • Svaka strogo monotona funkcija je injekcija. • Za svaku funkciju f : A  , suženje f :

Elementarne funkcije
Napisala Borka Jadrijević
Ponovimo:
• Svaka strogo monotona funkcija je
injekcija.
• Za svaku funkciju f : A  ,
suženje f : A  f(A) je surjekcija.
• Ako je f : A   strogo monotona
na nekom intervalu I  A, onda je
suženje f : I  f(I) bijekcija.
Ako je f : A  B bijekcija onda vrijedi:
• Postoji funkcija g : B  A tako da
vrijedi g  f = iA i f  g = iB .
Funkcija g : B  A je jedinstvena,
označavamo je g = f -1 i nazivamo
inverzna funkcija funkcije f.
• Graf inverzne funkcije f -1 je
simetričan grafu funkcije f s obzirom
na pravac y = x.
Osnovne elementarne funkcije:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
Konstantna funkcija
Opća potencija
Eksponencijalna funkcija
Logaritamska funkcija
Trigonometrijske funkcije
Ciklometrijske funkcije
Konstantna funkcija
f(x) = c, c  
3
2
y
y=c
c
1
-3
-2
-1
0
1
-1
f:   
f() = {c}
2
3
x
Opća potencija
f(x) = xr, r   \
{0}
Razlikujemo slučajeve:
1. r = n  
2. r = -n   \ 
3. r = m/n   \ 
4. r   \ 
Napomena: ako je r = 0, onda je x0 = 1, za x  0,
pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) = 1.
Potencije s prirodnim eksponentom
f(x) = xn, n  
y
y = x2
y=x
4
2
-4
-2
0
2
4
x
-2
-4
y = x3
f :   ,
f() =  za n
neparan, f() = [0, ) za n paran
Potencije s cijelobrojnim eksponentom
oblika f(x) = x-n, n  
y
3
2
y=
-3
1
1/x2
-2
-1
0
y= 1/x
1
2
3x
-1
y= 1/x3
-2
-3
Budući je
x-n
1
= n, onda je f:  \ {0}   i vrijedi:
x
f(  \ {0}) =  \ {0}, za n neparan,
f(  \ {0}) = (0,), za n paran.
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = x1/n, n   \
{1}.
Budući je x1/n =
n
x onda je:
f :    i f() =  za n neparan,
f: [0, )   i f([0, )) = [0, ) za n paran.
Nadalje, vrijedi:
za svaki x  D(f) je (x 1/n )n = (n x )n = x,
n
te za svaki y  f(D(f) ) je (yn )1/n =n y = y.
Neka je funkcija
g1 : [0, )  [0, ) suženje
Primjeri:
1. n = 2
funkcije g(x) = x2.
y=x2
y
3
y=x
y=x1/2
1
-2
-1
0
1
2
3
-1
f(x) = x1/2
f: [0, )  
f( [0, ) ) = [0, )
x
Funkcja g1 je bijekcija.
Definirajmo funkciju
f1: [0, )  [0, ) tako da je
f1(x) = x1/2.
Za svaki x  [0, ) vrijedi
f1(g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x,
te za svaki y  [0, )
vrijedi
g1(f1 (y)) = (y1/2-1
)2 = y.
Dakle,
f1 = g1
Uočimo:
Suženje g2 : (-,0]  [0, )
y=x2
y=x
y
3
Definirajmo funkciju
2
f2: [0, )  (-,0] tako da je
1
-2
-1
0
funkcije g(x) = x2 je bijekcija.
1
2
3
f2(x) =-x1/2 .
x
-1
y=-x1/2
-2
f(x) = -x
1/2
f: [0, )  
f( [0, ) ) = (-,0]
Za svaki x  (-,0] vrijedi
f2 (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x,
te za svaki y  [0, ) vrijedi
g2(f2 (y)) = (-y1/2)2 = y.
Dakle,
f2 = g2-1
2. n=3
Promatrajmo funkciju
y=x3
y=x
y
3
2
y=x1/3
1
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
f(x) = x1/3
f:   
f() = 
3
x
g(x) = x3 .
Funkcija g:    je
bijekcija.
Ako je f:    tako da je
f(x) = x1/3
onda za svaki x   vrijedi
f (g(x)) = (x3 )1/3 = x,
te za svaki y   vrijedi
g(f (y)) = (y1/3)3 = y.
Dakle,
f = g-1
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = xm/n, m/n   \ .
Uz pretpostavku m  , n  , te M(m,n) = 1
razlikujemo slučajeve:
• n neparan i m > 0, onda je D(f) = ,
• n neparan i m < 0, onda je D(f) = \ {0},
• n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ),
• n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).
Napomena: xm/n := n x m
Graf od f1(x) = x2/3 se naziva “galeb”.
Primjeri:
y
5
5
y
y = x3/2
y= x-3/2
3
y = x-2/3
-4
-2
y=x
y
2
2
1
1
0
2
4
x
-1
f1(x) = x2/3,
3
2/3
-1
0
1
(0,).
x
3
4
5
x
-1
D(f1) = ,
f3(x) = x3/2,
f1() = [0,).
f2(x) = x-2/3,
2
D(f2) =  \ {0},
f2( \ {0} ) =
D(f3) = [0,),
f3([0,)) = [0,).
f4(x) = x-3/2,
D(f4)= (0,),
f4((0,)) = (0,).
Potencije s realnim eksponentom
oblika f(x) = xr, r   \  .
Vrijedi:
• za r > 0 je D(f) = [0,),
• za r < 0 je D(f) = (0,).
4
y
r=-
2
r=
3
r=
2
y2
1
-1
0
-1
1
x
2
3
x
Vrijedi općenito:
Inverzna funkcija (suženja) opće potencije je opet
opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je
f–1 (y) = y1/r , “kad god ti izrazi imaju smisla”.
y = x1/r
y
3
y=x
y = xr
2
y
1
-1
0
-1
1
x
2
3
x
Eksponencijalna funkcija
1<a
y
0<a<1
5
5
4
4
y = ax
3
3
-3
-2
-1
2
2
1
1
0
y
1
2
x
-2
-1
-1
0
-1
f(x) = ax, a > 0 i a  1,
f:   ,
f() = (0, ).
y = ax
1
2
3
4
x
Funkcija f(x) = ax , f:    je strogo monotona i
f() = (0, ). Dakle, suženje f1 :   (0, ) je
bijekcija.
y
a>1
y=
y
y = ax
ax
4
0<a<1
4
y=x
y=x
y = logax
x
-2
0
2
4
-2
x
0
2
4
-2
-2
y = logax
Definirajmo funkciju: g  loga : (0, )  , tako da vrijedi:
g(f1(x)) = loga (ax) = x, za svaki x  ,
f1(g(y)) = a loga (y) = y,
Dakle,
za svaki y  (0, ).
f1-1 = g.
Logaritamska funkcija
1<a
0<a<1
4 y
y
3
y = logax
2
2
1
-1
1
0
2
3
4
5
x
-1
-1 0
-1
-2
-2
-3
-3
f(x) = logax, a > 0 i a  1,
f: (0, )  .
f ((0, )) = .
1
2
3
4
5
x
y = logax
U primjeni su važne eksponencialne funkcije s
bazom 10 - dekadska i s bazom e – prirodna,
gdje je e  2.71828... transcendentan broj, te
logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ili
Briggsov logaritam i po bazi e, tzv. prirodni
logaritam. Definiramo:
log10x := log x
i
logex := ln x .
Uočimo: 10, e > 1
(graf!!)
Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije su:
•
•
•
•
sinus
kosinus
tangens
kotangens
Namatanje pravca na kružnicu
1
T’
x
1
T
x
0
O’
O
O’
T
T’
Namatanje pravca na kružnicu
Uočimo: sve točke oblika x+2k , k  , se
namatanjem preslikaju u istu točku.
1
T’ = S’
O’
O
O’
T
T’
S
S’
1
0
x
x+2π
T
S
Trigonometrijska kružnica
1
sinx
T (cosx,sinx)
x
cosx
pT
1
Trigonometrijske funkcije
sinus
y

1
kosinus
y

-1
x
2

1
/2
-/2
-1
f(x) = sinx,
f(x) = cosx,
f:   
f:   
f() = [-1,1]
f() = [-1,1]
2 x
tangens
y
Definiramo:
-3π/2

/2
-/2

3π/2
sin x
tg x :=
cos x
x
2
y = tgx
f(x) = tg x,
f: A  ,
f(A) = ,
gdje je
A = D(f) =  \ { x   | cos (x) = 0},
tj.
A=\{ x  |x =
π
2
+ kπ, k   }.
kotangens
y
Definiramo:
-3π/2

/2
-/2

3π/2
x
2
cos x
ctg x :=
sin x
y = ctgx
f(x) = ctg x,
f: A  ,
f(A) = , gdje je
A = D(f) =  \ { x   | sin (x) = 0},
tj.
A =  \ { x   | x = kπ, k   }.
Trigonometrijska kružnica
tgx
1
Os kotangensa
x
ctgx 1
Uočimo: Za x = /2 os
tangensa i pravac pT nemaju
presjek, što znači da tanges nije
definiran!
Slično za kotanges u x = 0.
pT
Os tangensa
Svojstva trigonometrijskih funkcija
sin
cos
tg
ctg
Područje
definicije Df


 \ {π /2 + kπ,
k  }
 \ { kπ, k 
}
Slika f(Df)
[-1,1]
[-1,1]


Nul-točke
x = kπ,
k
x = π /2 + kπ,
k
x = kπ,
k
x = π /2 + kπ,
k
Parnost
neparna
parna
neparna
neparna
Osnovni
period
2π
2π
π
π
Predznak po
kvadrantima
I, II, III, IV
+,+,-,-
+,-,-,+
+,-,+,-
+,-,+,-
Neke važnije veze između trigonometrijskih
funkcija
sin2x + cos2 x = 1,
sin2x = 2 sinx cosx, cos2x = sin2x - cos2 x ,
sin2x = 1/2·(1 - cos2x), cos2x = 1/2·(1 + cos2x),
ctgx = 1/tgx
tg2x = 2tgx/(1-tg2x),
sin2x = tg2x/(tg2x+1),
ctg2x = (ctg2x-1)/2ctgx
cos2x = ctg2x/(ctg2x+1).
Ciklometrijske ili arkus funkcije
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne
funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.
Ciklometrijske funkcije su :
• arkus-sinus
• arkus-kosinus
• arkus-tangens
• arkus-kotangens
Neka je Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1] suženje funkcije sin.
Dakle, za svaki x є [-π /2, π /2], vrijedi sin x = Sin x.
Funkcija Sin je bijekcija.
y=x
y
2
1
/2
-/2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y = sinx
-1
-2
Definirajmo:
Arcsin: [-1,1]  [- π /2, π /2]
,
tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], Arcsin(Sin x) =
x,  y є [-1,1],
Sin(Arcsin y) = y.
Dakle,
Sin-1 = Arcsin.
Neka je Cos: [0, π ]  [-1,1] suženje funkcije cos.
Dakle, za svaki x є [0, π], vrijedi cos x = Cos x.
Funkcija Cos je bijekcija.
y=x
y
2
1

y = cosx
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-2
Definirajmo:
Arccos: [-1,1]  [0, π]
,
tako da vrijedi: x є [0, π], Arccos(Cos x) = x,
 y є [-1,1], Cos(Arccos y) = y.
Dakle,
Cos-1 = Arccos.
arcsin
2
arccos
y
π /2
4
y
π
2
π /2
1
x
-2
-1
0
1
2
1
-1
x
-π /2
-2
-2
-1
0
1
2
-1
arcsin: [-1,1]  ,
arccos: [-1,1]  ,
arcsin x = Arcsin x,
arccos x = Arccos x,
arcsin([-1,1]) = [-π /2, π /2].
arcos([-1,1]) = [0, π].
Vrijedi:
1.5
f1(x) = sin(arcsin x),
y
1
f1:[-1,1]  ,
y = sin(arcsin x)
0.5
x
f1([-1,1]) = [-1,1],
-1.5
-1
0
-0.5
-0.5
sin(arcsin x) = x.
0.5
1
1.5
-1
-1.5
f2(x) = arcsin(sin x),
y
f2:   ,
f2() = [-π /2, π /2].
Za x є [-π /2, π /2] je
arcsin(sin x) = x.
-π /2
-6
-4
-2
2 π /2
1
0
-1
-2
x
π /2
2
-π /2
y = arcsin(sin x)
4
6
Vrijedi:
1.5
f1(x) = cos(arccos x),
y
1
f1:[-1,1]  ,
y = cos(arccos x)
0.5
x
f1([-1,1]) = [-1,1],
-1.5
-1
0
-0.5
-0.5
cos(arccos x) = x.
0.5
1
1.5
-1
-1.5
f2(x) = arccos(cos x),
4
f2:   ,
f2() = [0, π].
Za x є [0, π] je
arccos(cos x) = x.
y
π
2
1
-6
-4
-2
0
-1
π
2
y = arccos(cos x)
x
4
6
Neka je Tg : (-π/2, π /2)   suženje funkcije tg.
Dakle, za svaki x є (-π /2, π /2), vrijedi tg x = Tg x.
Funkcija Tg je bijekcija.
y=x
y
2
π /2
1
-π /2
-3
-2
-1
π /2
0
1
2
x
3
-1
-π /2
-2
Definirajmo:
y = tg x
Arctg:   (-π/2, π /2) ,
tako da vrijedi: x є (-π /2, π /2), Arctg(Tg x) = x,
 y є ,
Tg(Arctg y) = y
Dakle,
Tg-1 = Arctg.
Neka je Ctg : (0, π)   suženje funkcije ctg.
Dakle, za svaki x є (0, π), vrijedi ctg x = Ctg x.
Funkcija Ctg je bijekcija.
y
y=x
4
π
3
2
y = ctg x
1
-2
0
2
π 4
x
-1
-2
Definirajmo:
Arcctg:   (0, π) ,
tako da vrijedi: x є (0, π ), Arcctg(Ctg x) =
x,
 y є ,
Ctg(Arcctg y) = y.
Dakle,
Ctg-1 = Arcctg.
arctg
2
arcctg
y
π /2
4
y
π
1
-6
-4
-2
0
-1
-2
2
2
4
6
x
1
-π /2
-6
-4
-2
0
-1
2
4
6
arctg:   ,
arcctg:   ,
arctg x = Arctg x,
arcctg x = Arcctg x,
arctg () = (-π /2, π /2).
arcctg () = (0, π).
x
Uočimo: Svako suženje
Sink: [-/2 + k, /2 + k] [-1,1] , k є , funkcije
sin je bijekcija, pa ima inveznu funkciju.
y
y=x
1
-1
1
-1
x
y = sinx
Oprez: “Okomita zmijica” nije funkcija!
Slično, budući su funkcije cos, tg, ctg po djelovima
strogo monotone, postoje suženja tih funkcija koja
su bijekcije, pa postoje inverzne funkcije tih
suženja.
Primjer:
y
y=x
x
y = ctgx
Definicija:
Elementarnom funkcijom smatramo svaku
funkciju koja se može konstruirati od osnovnih
elementarnih funkcija i njihovih suženja
primijenjujući (konačno puta) zbrajanje,
oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.
Osnovna podjela elementarnih
funkcija:
1.
2.
3.
4.
Polinomi
Racionalne funkcije
Algebarske funkcije
Transcendentne funkcije
1. Polinomi
Polinom n-tog stupnja, n    {0}, je funkcija
Pn :   , Pn (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0,
pri čemu su an, an-1, . . . , a1, a0   i an  0 za n 
.
Napomena: Ako je n = 0, onda je P0 (x) = a0 konstantna funkcija.
2. Racionalne funkcije
Racionalna funkcija je funkcija oblika
Pn ( x )
R(x) =
Qm ( x )
gdje su Pn(x) i Qm(x) polinomi n-tog, odnosno m-tog
stupnja, redom.
Dakle, R : X  , gdje je
X = D(R) =  \ { x   | Qm(x) = 0}.
Napomena: Polinome još nazivamo cijele racionalne funkcije ( Qm(x) = 1 ),
a sve ostale racionalne, razlomljene racionalne funkcije.
• Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente
iz skupa racionalnih brojeva  onda kažemo da
je R = Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim
koeficijentima.
• Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom
m-tog stupnja i ako je n < m, onda kažemo da je
R = Pn/Qm prava racionalna funkcija, a ako je
m  n onda kažemo da je neprava racionalna
funkcija. U ovom slučaju se R(x) može prikazati
kao
R(x) = St(x) + Tk(x)/Qm(x),
gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog
stupnja, redom, tako da je k < m.
Primjeri:
1. f(x) =
2 x5  3 x  1
 4 x7  2 x4
je racionalna funkcija s racionalnim koeficijentima,
dok racionalna funkcija
g(x) =
2. f1(x) =
f2(x) =
2 x3  3x2  1
x4  π
to nije.
2 x3  3 x 1
4 x4  x
je prava racionalna funkcija.
2 x 4  x2  1
x2  2
je neprava racionalna funkcija.
Dijeljenjem dobivamo:
f2(x) = 2x2  3 
5
x2 2
3. Algebarske funkcije
Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje
se mogu dobiti komponiranjem općih potencija s
racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s
racionalnim koeficijentima.
Primjeri:
f(x) =
5
(
) je algebarska funkcija.
x2  x 3
2x  7
g(x) = (x5  2x  1)
3
nije algebarska funkcija.
4. Transcendentne funkcije
Elementarne funkcije koje nisu algebarske
nazivamo transcendentne.
Dakle, među ove funkcije ubrajamo
eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i
ciklometrijske, kao i većinu racionalnih (sve one
koje imaju neki koeficijent iracionalan).
Važne transcendentne funkcije su i tzv.
hiperbolne funkcije i area-funkcije.
Hiperbolne funkcije
sinus hiperbolni
kosinus hiperbolni
x
x
e

e
Definiramo: sh x :=
2
x
x
e

e
Definiramo: ch x :=
2
y
4
4
y
3
y = shx
2
y = chx
2
x
-4
-2
0
2
1
4
x
-2
-2
Napomena: Graf f(x) = chx
nazivamo “lančanica”.
-4
f(x) = sh x,
f:   ,
-1
f() = .
0
1
2
-1
f(x) = ch x,
f:   ,
f() = [1,].
tangens hiperbolni
kotangens hiperbolni
th x := shx
chx
Definiramo:
Definiramo: cth x := chx
shx
2x
e
cth x = 2 x  1
e 1
2x
e
th x = 2 x 1
e 1
y
y
3
2
y = thx
2
1
y = cthx
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
-1
-2
-2
-3
f(x) = cth x,
f(x) = th x,
f:   ,
f() = (1,1).
f:  \ {0}  ,
f() = (-,-1)  (1,).
Neke važnije veze između hiperbolnih
funkcija
ch2 x - sh2x = 1,
sh2x = 2 shx chx, ch2x = sh2x + ch2 x ,
sh2x =1/2·(ch2x-1), ch2x =1/2·(1 + ch2x),
cthx =1/thx
th2x = 2thx/(1+th2x),
sh2x = th2x/(1-th2x),
ch2x =(cth2x+1)/2cthx
ch2x = cth2x/(cth2x-1),
Ove relacije ukazuju na sličnost s trigonometrijskim funkcijama!
Area-funkcije
area-sinus hiperbolni
Funkcija sh:    je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije sh
nazivamo area-sinus hiperbolni i označavamo arsh.
y
y=x
4
y = arshx
2
-4
-2
0
2
4
x
-2
-4
y = shx
f(x) = arsh x,
f:   ,
f() = 
Može se pokazati da vrijedi

arsh x = ln x  x2  1

area-kosinus hiperbolni
Neka je Ch: [0,)[1,) suženje funkcije ch. Funkcija Ch je
bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Ch označimo s Arch.Dakle,
Arch : [1,)  [0,).
4
y
y=x
3
2
y = chx
y = archx
1
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
arch: [1,)  ,
arch x = Arch x,
arch ([1,)) = [0,).
Može se pokazati da je

arch x = ln x  x2  1

area-tangens hiperbolni
Neka je Th:   (-1,1) suženje funkcije th. Funkcija Th je
bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Th nazivamo area-tangens
hiperbolni i označavamo arth.
y
y=x
2
y = thx
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
-1
y = arthx
f(x) = arth x,
f: (-1,1)  ,
f ((-1,1)) = .
-2
Može se pokazati da vrijedi
1 x 1
arth x = 2 ln 1  x
area-kotangens hiperbolni
Neka je Cth:  \ {0}  (-,-1)  (1,), suženje funkcije cth.
Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu funkciju funkcije Cth označimo
s Arcth. Dakle, Arcth: (-,-1)  (1,)   \ {0}.
y
3
y=x
2
y = cthx
1
-3
-2
-1
0
y = arcthx
1
2
3
x
-1
-2
-3
arcth: (-,-1)  (1,)  ,
arcth x = Arcth x,
arcth ( (-,-1)  (1,) ) =  \
{0}.
Može se pokazati da vrijedi
1 ln x  1
arcth x = 2
x 1
Još neke važnije elementarne funkcije
Apsolutna vrijednost
|x| =
Predznak
 X, X  0,

 X, X  0.
 1, X  0,

 1, X  0.
sgn(x) =
sgn(x) = x
x
Vrijedi:
5
y
y
y = |x|
2
4
1
3
x
2
-3
1
-4
-2
0
2
4
x
-2
-1
0
-1
1
2
3
y = sgn(x)
-1
-2
f(x) = |x|,
f :   , f() =
[0,).
f(x) = sgn(x),
f :  \ {0}  ,
1}.
f() = {1,-
Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla.
Borka Jadrijević
e-mail: [email protected]
URL: http://www.fesb.hr/~borka