Transcript racionalne funkcije, korijeni, kompozicije, inverzi, eksponencijalne i

Matematika 1
RACIONALNE FUNKCIJE, KORIJENI,
EKSPONENCIJALNE, LOGARITAMSKE I
HIPERBOLNE FUNKCIJE
PROBLEM PRVI









Kako glasi jednadžba idealnog plina?
pV = nRT
Koje veličine u njoj su varijabilne?
Pretpostavimo da su množina i temperatura
konstantne, recimo tako da nRT iznosi 100.
Da, u pravu ste: nRT = 100 J.
Jesu li tlak i volumen proporcionalni?
Je li ovisnost tlaka o volumenu afina?
Može li se interpretirati kao linearna?
Ako ju ostavimo u izvornom obliku, kako će izgledati
graf ovisnosti p o V u Kks-u? Skicirajte nekoliko točaka
grafa.
KOMENTARI, PITANJA, ... ?
horizontalna asimptota
vertikalna asimptota
USPOREDITE...
x2 i x−2
 x3 i x−3
 x4 i x−4
 ...
 što prikazuju
dijagrami
desno?

PROBLEM 2
Kada kažemo da su dvije veličine obrnuto
proporcionalne?
 Kako izgleda (u Kks-u, naravno) graf
proporcionalne ovisnosti?
 A obrnuto proporcionalne?
 Navedite neke primjere obrnuto
proporcionalnih veličina.

PROBLEM 3






Skicirajte primjer krivulje u Kks-u koja je graf neke
funkcije i ima 3 vertikalne asimptote
Što joj je domena?
Možete li osmisliti formulu funkcije kojoj bi to bio
graf?*
Možete li dati primjere s različitim brojevima
promjena rast/pad?
Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati
cijeli skup R kao domenu?
Može li funkcija imati beskonačno mnogo
vertikalnih asimptota?
RACIONALNE FUNKCIJE I ASIMPTOTE






x3
... su kvocijenti dvaju polinoma.
f ( x)  2
Što im je prirodna domena?
x 9
Mora li graf racionalne funkcije imati vertikalnu
asimptotu? Primjer?
A horizontalnu?
Može li prirodna domena rac. funkcije biti cijeli
skup R? Dajte primjer kojim potkrepljujete vašu
tvrdnju!
Može li funkcija s prirodnom domenom [−2, 3]
imati horizontalnu asimptotu? Vertikalnu? A ako je
domena [−2, 3?
PROBLEM 4




Skicirajte primjer krivulje u Kks-u koja je graf neke
funkcije i ima dvije različite horizontalne asimptote.
Može li to biti racionalna funkcija?
Možete li naći primjer funkcije s tri horizontalne
asimptote?
Ima li smisla ispitivati ima li funkcija s domenom
0, desnu HA? Lijevu? VA?
PROBLEM 5






Znate li koji praktični primjer potrebe za
računanjem korijena?
Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj
površini.
Skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom
volumenu.
Koji broj kubiran daje 8? −1/27? 0?
Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran
daje polazni broj?
A ako zamijenimo riječ “kubiran” s “kvadriran”?
KORIJENI
n-ti korijen realnog broja y je realni broj x ako
xn = y
 za nenegativne y uvijek postoji
 za neparne n je uvijek jedinstveno određen
 Je li vađenje 2. (4., 6., ...) korijena funkcija?
 Koja je prirodna domena parnih korijena? A
neparnih?
 Surjektivnost funkcije

PROBLEM 7

Kohlrauschov zakon (elektrokemija; molarna
provodnost vs. koncentracija)
Λm  Λm,0  K

c
Kako će izgledati graf?
http://www.hpmuseum.org/cgi-sys/cgiwrap/hpmuseum/archv016.cgi?read=106532
ŠTO OD OVOG IMA SMISLA?
ako je c = 0,10 mol/L?
c+2
 c − 0,02 mol/L
 2c
 c/5
 c2
 c3/(c − 0,02 mol/L)
 3c1/2

2c
 algebarske funkcije:
 polinomi
 racionalne funkcije
 korijeni
 i njihove
kompozicije
 kompozicije?!

KOMPOZICIJE
Kako objasniti
studentu kako doći iz
A2 u ured FMB?
 Otopina ima poznatu
množinsku
koncentraciju c i
poznati volumen V.
Kako odrediti masu
otopljene tvari
poznatog sastava?

x
f
f(x)
g
g(f(x))
PROBLEM 7





AB znači: prvo
napravi B, pa onda
napravi A
A-1 znači: vrati u
polazno stanje u
odnosu na A
Što radi S-1? R? T? I?
Je li ST = TS?
A SR = RS?
S
RS-1
TR
RI
PROBLEMI 8






Što radi kompozicija funkcije kvadriranja i funkcije
prepolavljanja?
Je li pri komponiranju bitan redoslijed?
Što je kompozicija drugog korijena i afine funkcije
koja varijablu udvostruči te smanji za 5? A u
obrnutom redoslijedu? Ima li ograničenja na
varijable pri komponiranju?
Što je kompozicija kvadriranja sa samim sobom?
Nađite primjer funkcije koja se komponirana sa
samom sobom ne mijenja!
Koji je efekt komponiranja kubiranja s trećim
korijenom?
INVERZI







Identiteta (na proizvoljnoj domeni D = K) – funkcija
koja “ne radi ništa”... f(x) = x
Ima li kvadriranje inverznu funkciju?
Koja je inverzna funkcija identitete (na R)?
Zašto je za inverzibilnost bitna injektivnost? A
surjektivnost?
Kakva je veza grafova bijekcije i njoj inverzne
funkcije? Zašto?
Možete li naći primjer funkcije koja je sama sebi
inverzna (osim identitete)?
Može li inverz rastuće funkcije biti padajuća
funkcija?
PROBLEM 9




Populacija neke životinjske vrte u
određenom nacionalnom parku
prije 5 godina bila je 325 jedinki, a
danas je 450.
Ako se zna da se ta vrsta
razmnožava jednom godišnje,
kolika je godišnja stopa rasta te
vrste?
Prema istraživanjima park ima
dovoljno resursa za 750 jedinki .
Za koliko godina će ih biti toliko
ako nastave s istom stopom rasta?
k
PROBLEM 10



Otopina početne
množinske
koncentracije c0
uzastopno se
deseterostruko
razrjeđuje vodom.
Kolika je
koncentracija nakon k
razrjeđenja?
Kad će koncentracija
pasti na manje od
10−6 mol/L?
0
1
2
3
...
k
c/c0
c
c0
c0/10
c0/100
c0/1000
c0
/10k
f ( x )  0 ,1 ,
x
f : R  R;
c ( k )  c 0  0 ,1 ,
k
c : N 0  R  mol/L;
EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE
f : R  R, f(x) = ax,
 koje su smislene baze?
 često: a = e  2,718281828459
 jesu li eksponencijalne funkcije rastuće/padajuće/injekcije/surjekcije/parne/neparne?
 sijeku li im grafovi os apscisa? os ordinata?
zašto? ako da, gdje?
 imaju li asimptota? argumentirajte!
 kako izgledaju grafovi funkcija f,g : [0, 
R, f(x) = 3−x, g(x) = 30,25x?

PROBLEM 10, NASTAVAK


Pregledniji prikaz dobijemo ako su razmaci na osi
ordinata između svakih dviju uzastopnih koncentracija pri 10-erostrukom razrjeđivanju jednaki
Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navođenja ordinata
i uzeti da sjecište koordinatnih osi predstavlja točku
(0, 1), tj. početnu situaciju ako je polazna
koncentracija 1 mol/L.
ŠTO VIDIMO?



Ordinata koja odgovara
koncentraciji 1 mol/L iznosi 0.
Ako je 1 oznaka za visinu
ordinate koja odgovara
koncentraciji od 0,1 mol/L, onda
svako 10-erostruko razrjeđivanje
povećava visinu ordinate za 1.
Kad zbrojimo udaljenosti dviju
ordinata do sjecišta osi dobijemo
udaljenost koja odgovara
produktu tih ordinata, a kad ih
duzmemo dobijemo poziciju
kvocijenta tih ordinata.
I JOŠ ...









Po dogovoru je pri [H+] = 1 mol/L p[H] = 0:
log 1 = 0.
Nema smisla računati p[H] za otopine s
nepozitivnim koncentracijama vodikovih iona:
prirodna domena funkcije log je 0,.
10-erostrukim razrjeđivanjem smanjimo p[H] za 1:
log(x/10) = log(x) − 1,
y = x/10  log(10y) = log(y) + 1.
Zbroj/razlika visina ordinata odgovara njihovu
produktu/kvocijentu:
log(xy) = log(x) + log(y), log(x/y) = log(x) − log(y).
I JOŠ MALO...
Ordinata od 10−k je na visini k (jedinica):
 log(10−k) = k.
 Da smo istu stvar napravili s dvostrukim
razrjeđivanjem, dobili bismo logaritam s
bazom 2.
 Općenito: logaay = y , alog x = x.
 Uz koje uvjete na x i y?
 Što to govori o vezi eksponencijalnih s
logaritmskim funkcijama? O grafovima
logaritamskih funkcija?

a
PROBLEM 11
Bez kalkulatora što točnije izračunajte:
 log(1/1000), log(0,1), log(2,5), log(324),
log(83011739)
 Koliki je x ako je log x jednak −0,5? Između 3
i 4?
 Između koja dva cijela broja je ln 25?
 Ako znate da je ln 2  0,7, koliko je ln 8?

PROBLEM 12








p[H] = −log ([H+]/(mol/L))
“p = −log”
Ako se [H+] smanji 100 puta, kako će
se promijeniti p[H]? Ako se [H+]
prepolovi?
Kakav je odnos[H+] u dvije otopine s
p[H] 2,5 odnosno 3?
Kw = [H+][OH−]
pKw = p[H] + p[OH]
pri 50°C: pKw = 14 − log 5,48  13,3
ergo, p[OH] neutralne otopine pri
30°C je približno 6,3
/°C 1014Kw
0
10
20
0,114
0,293
0,681
30
40
50
1,47
2,92
5,48
100
51,3
PROBLEM 13
Kako će izgledati graf funkcije zadane s
f(x) = 14 + log ((a − bx)/(c + x)), za
pozitivne konstante a, b, c?
 Što bi mogle predstavljati ta funkcija i
njena varijabla ako je a množina (čega?), b
koncentracija (čega?), a c je volumen
(čega?)

OPĆA POTENCIJA
izračunajte x1/x za x =
0,1; 1; 10; 100
 naslućujete li izgled
grafa?
 zapišite x1/x kao
potenciju s bazom e
 što je prirodna
domena od x1/x? od
u(x)v(x)?

y x
x
HIPERBOLNE FUNKCIJE