Transcript Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nastavak 8. 8.

Prof. dr. sc. Pavao Marović
Otpornost materijala I
Šk. god. 2008/2009
Otpornost materijala I
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nastavak 8.
1
8. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA
Pravo
Čisto
Koso
Sa silama
Promatramo ravni štap, napravljen od homogenog, izotropnog,
elastičnog materijala, konstantnog poprečnog presjeka, koji je
opterećen konstantnim momentom savijanja.
Prema tome, svaki dio štapa se nalazi u jednakim uvjetima.
Za jedan diferencijalni dio štapa napravit ćemo sve analize.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
2
Presječnica ravnine poprečnog presjeka (zy)
i ravnine momenta savijanja (xy) je os y.
1) Statička analiza:
Moment savijanja djeluje u
ravnini xy, a vrti oko osi z.
m
M
n
z
B
T
m
x
A
dx
Otpornost materijala I
8. Savijanje
M
A(z,y)__dA
ny
3
Promatrajmo opće stanje naprezanja u točki A:
Postavimo sve moguće jednadžbe ravnoteže:

 
 
Ty   xy  dA = 0
A
Tz
xz
 dA = 0
xx
 dA
A
(1) Nx
=0
A

Mx  Mt      dA = 0

 
A
(2) My   xx  z  dA
=0
A
(3) Mz
xx
 y  dA
A
Otpornost materijala I
=M
A
σxz
σxy
σxx
Pošto u našem slučaju nemamo nikakvih
vanjskih poprečnih sila niti momenta
torzije, možemo staviti da je:
Ty = Tz = Mt = 0
Iz ove 3 jednadžbe nam slijedi da
nemamo nikakvih posmičnih naprezanja:
σxy = σxz = τ = 0
Naše jedino opterećenje je moment
savijanja oko osi z, Mz=M
1. grupa jedn. – statičke jednadžbe
8. Savijanje
4
2) Geometrijska analiza:
Da bi odredili zakon razdiobe normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka,
promatrati ćemo ponašanje vlakanaca na diferencijalnom elementu dx.
Uzeti ćemo neopterećeni štap i na njemu nacrtati dva sustava međusobno okomitih
linija: (1) konture poprečnih presjeka; i (2) paralelne izvodnice (slika 14.7, str. 309).
a
a1<a
neutralni sloj
a2>a
Otpornost materijala I
8. Savijanje
Nakon što smo štap opteretili
momentom savijanja, štap će se
deformirati: (1) poprečni presjeci će
ostati ravni i okomiti na uzdužnu os
(Navier-ova pretpostavka o ravnim
presjecima), zaokrenuti i radijalno
usmjereni te okomiti na uzdužne
izvodnice; (2) izvodnice će činiti
sustav koncentričnih kružnica.
Što se dogodilo s izvodnicama?
- neke su se skratile, a1<a
- neke su se produljile, a2>a
- neke su ostale nepromijenjene
5
Skup vlakanaca koji pri deformiranju štapa
nije promijenio svoju dužinu naziva se
neutralni sloj.
Presječnica neutralnog sloja i poprečnog
presjeka se naziva neutralna os.
m
M
dφ
ρ
n
B0
A0
y
B
m
dx
R=ρ+y
M
A
B0
n
B1
neutralni sloj
A0
y
A1
B0 A 0  ds  dx    d
Otpornost materijala I
8. Savijanje
6
Relativna deformacija vlakanca B1A1 je:
 xx 
A 1B1  A 0B0   y   d    d y


A 0B0
  d

y
 xx 

Dobili smo da je promjena relativnih deformacija
po visini poprečnog presjeka linearna.
3) Fizikalna analiza:
Kako smo vidjeli, tangencijalna naprezanja na plaštu odnosno
posmična naprezanja u poprečnom presjeku su nula, te nam
ostaju samo normalna naprezanja u poprečnom presjeku:
σxx
σxx
A
B
Otpornost materijala I
8. Savijanje
 xx 
 xx
E
7
4) Rješavanje sustava jednadžbi:
 xx   xx  E
E
  xx   y
y
 xx 


Vidimo da je raspodjela
normalnih naprezanja po visini
poprečnog presjeka linearna.

Iz jednadžbe (3): Mz   xx  y  dA  M
E 2
A   y  dA  M
E
  y 2  dA  M
 A
slijedi:
A
Kako je E konstantno, ako se radi o homogenom i
izotropnom materijalu, možemo pisati:
Ako uzmemo da je

y 2  dA  Iz [m4]
A
osni moment tromosti ili mom. trom. obzirom na os z
1
M

 E  Iz
Pri tome je E·Iz – krutost na savijanje ili savojna krutost.
Izraz za deformaciju kod savijanja:
Otpornost materijala I
8. Savijanje
8
1
M

Ako izraz za deformaciju  E  Iz uvrstimo u izraz za opću
raspodjelu normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka
E
dobiti ćemo izraz koji nam daje mogućnost
 xx   y

određivanja normalnih naprezanja pri
M
istom savijanju u bilo kojoj točki presjeka:  xx   y
Iz

Promatrajmo jednadžbu (1): Nx   xx  dA  0
M
M
 y  dA   y  dA  0
I
Iz A
A z


 y  dA  S
A
A
M
 0 slijedi da je
Kako je
Iz
 0 Sz - statički moment površine obzirom na os z
[m3]
Ovo je ujedno jednadžba težišta poprečnog presjeka, a
pokazuje da neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka.
z
Otpornost materijala I
8. Savijanje
9

Preostaje nam još jednadžba (2): My   xx  z  dA  0
A
M
M
 y  z  dA   y  z  dA  0
I
Iz A
A z


M
 0 slijedi da je
Kako je
Iz
 y  z  dA  I
zy
0
A
Izy - centrifugalni moment tromosti u odnosu na osi z i y [m4]
Prema tome, da bi sve ovo što smo do sada kazali bilo ispravno,
centrifugalni moment tromosti obzirom na osi z i y mora biti jednak
nuli, odnosno, ravnina djelovanja momenta savijanja mora biti ili
ravnina xy (što je ovdje pokazano) ili ravnina xz (slično uz zamjenu indeksa).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
10
Komentari:
Os x se podudara s osi štapa.
Os y prolazi težištem poprečnog presjeka – Sy=0.
Os z prolazi težištem poprečnog presjeka – Sz=0.
Osi y i z su središnje osi poprečnog presjeka, može ih biti više.
Ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz os štapa.
Centrifugalni moment tromosti Izy=0 → osi y i z su
glavne osi poprečnog presjeka, ima samo jedan par.
Sz=Sy=0 → osi z i y su središnje osi
Izy=0 → osi z i y su glavne osi
Sz=Sy=Izy=0 → osi z i y su glavne središnje osi
Za slučaj pravog čistog savijanja, ravnina djelovanja momenta
savijanja mora se poklapati s jednom od ravnina glavnih osi,
xy ili xz.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
11
Najveća naprezanja se javljaju u rubnim vlakancima, za y=ymax.
σmin
ymin
M
M
x
T
z
+
σmax
y
 xx 
M
y
Iz
 xx max
M
  y max
Iz
Uz zamjenu što vrijedi
samo za krajnja vlakanca:
(vlačna
naprezanja)
Otpornost materijala I
8. Savijanje
 xx min
M
  y min
Iz
ymax
(tlačna
naprezanja)
Naprezanja u krajnjim
vlakancima:
Iz
Wz 
y
Wz - osni moment otpora obzirom na os z
neutralna os
[m3]
M
 xx 
Wz
12
Za prethodni poprečni presjek u rubnim vlakancima imamo:
 xx max
M

Wz max
uz
Wz max
Iz

y max
 xx min
M

Wz min
uz
Wz min
Iz

y min
Za poprečni presjek simetričan obzirom na os z, ymax = ymin = h/2:
M M h
 xx max 
    dop
min
Wz Iz 2
Uvjet čvrstoće moramo ispuniti na oba ruba, σvlak ≠ σtlak :
M
M
tlak
v lak
 xxmin 
  dop
 xxmax 
  dop
Wz min
Wz max
Otpornost materijala I
8. Savijanje
13
Oblik poprečnog presjeka ne utječe na dijagram normalnih
naprezanja ili dijagram normalnih naprezanja ima isti oblik za sve
poprečne presjeke (raspodjela je uvijek linearna).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
14
8.1 – Momenti tromosti
Momenti tromosti su karakteristike poprečnog presjeka. Ovise o
obliku i veličini poprečnog presjeka. Dimenzije [m4].
y
Definirajmo momente tromosti:
z dA
ρ
y
T
z
Osni momenti tromosti:
Iz  y 2  dA Iy  z2  dA

A

A
Polarni moment tromosti:
Ip  2  dA
A
Ip = Iz + Iy

Iz crteža slijedi: 2  z2  y 2
Ip 
 z
2
 y 2   dA  Iz  Iy

A
A
Otpornost materijala I
Centrifugalni moment tromosti:
Izy  z  y  dA
8. Savijanje
15


Iz  y 2  dA
Iy  z2  dA
A

Ip  2  dA
A
A
Iz gornjih definicija slijedi:

Izy  z  y  dA
A
I z , Iy , I p > 0
Izy <=> 0
ovisno o z i y
Ako presjek ima jednu os simetrije:
y
I =0
zy
y
-z
Otpornost materijala I
+z
z
8. Savijanje
16
Kod izračunavanja ovih integrala (momenata tromosti) mora nam
biti zadana, analitički, granica integriranja.
Ako nije, onda presjek dijelimo na manje, jednostavnije, dijelove.
y
A1

Iz  y 2  dA
A
A



Iz  y 2  dA  y 2  dA  y 2  dA
T
A1
z
Iz 
A2
A3
A2
A3
n
I
zi
i 1

Iy  z 2  dA 
A

n
I
yi
i1
Izy  z  y  dA 
A
Otpornost materijala I
8. Savijanje
n
I
zy i
i1
17
8.2 – Redukcijski Steiner-ovi stavci
Određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno
paralelne osi.
Zadano:
y
b
y1
Iz  y 2  dA Iy  z2  dA
A
A
z1
z dA
Izy  z  y  dA
ρ
y
A
z
T



y1
z1 = b + z
y1 = a + y
Otpornost materijala I
Po definiciji imamo:
a
z1
Iz1   y  dA   a  y   dA 
2
2
1
A


A

 a2 dA  2a y  dA  y 2  dA
A
A Sz=0
A
Iz1 = a2·A + Iz
8. Savijanje
18
Iz1 = Iz + a2·A
Iy1 = Iy + b2·A
Osni moment tromosti obzirom na neku zadanu os (z1 ili y1)
jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os (z ili y) kroz
težište poprečnog presjeka plus produkt površine poprečnog
presjeka (A) i kvadrata udaljenosti između paralelnih osi (a2 ili b2).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
19

Iz1y1  z1  y1  dA 
A

 b  z  a  y  dA 
A



 a  b  dA  a z  dA  b y  dA  z  y  dA
A
A
A
Sy=0
Sz=0 A
Iz1y1 = Izy + a·b·A
Centrifugalni moment tromosti obzirom na zadani par međusobno
okomitih osi (z1, y1) jednak je centrifugalnom momentu tromosti
obzirom na sustav međusobno okomitih osi (z, y) kroz težište
poprečnog presjeka koje su paralelne zadanim osima plus produkt
površine poprečnog presjeka (A) i udaljenosti međusobno
paralelnih osi (a, b).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
20
Zaključci / Komentari:
Kod proračuna osnih momenata tromosti, udaljenosti dolaze
na kvadrat (a2, b2) pa ne moramo voditi računa o predznacima
tih dužina.
Kod proračuna centrifugalnog momenta tromosti moramo
voditi računa o predznacima dužina a i b jer ne dolaze pod
kvadrat. Naime, dužine a i b su koordinate težišta poprečnog
presjeka u koordinatnom sustavu z1-y1.
Osni momenti tromosti imaju najmanju vrijednost za osi koje
prolaze kroz težište poprečnog presjeka (Iz<Iz1, Iy<Iy1).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
21
8.3 – Analitički izrazi momenata tromosti
uobičajenih likova
Krug
dA=2·π·ρ·d
ρ
y
T
ρ
d=2r
dρ
z

Ip  2  dA
r

Ip  2     3  d
A
0
  r 4   d4
Ip 

2
32
Ip = Iz + Iy
Zbog simetrije imamo da je Iz = Iy
pa slijedi da je: Ip = 2·Iz = 2·Iy
odnosno: Iz = Iy =1/2 Ip
  r 4   d4
Iz  Iy 

4
64
Otpornost materijala I
8. Savijanje
Izy = 0
22
Polukrug
  r 4   d4
Iz  Iy 

8
128
y
T
0
z1
z
Izy = 0
d=2r
Iz1 = ?
(na vježbama)
Iz1y = 0
Otpornost materijala I
8. Savijanje
23
Pravokutni poprečni presjek
y
dA=b·dy

Iz  y 2  dA
A
h

2
dy
y z
h/2
T
h

h
2
Iz   y 2  b  dy  2   y 2  b  dy

h
2
0
b  h3
Iz 
12
h/2
b/2
b/2
h  b3
Iy 
12
b
Izy = 0
Otpornost materijala I
8. Savijanje
24
Paralelogram

Iz  y 2  dA
dA=b·dy
A
h

2
dy
y
h
z
Iz   y 2  b  dy

h
2
b  h3
Iz 
12
b
Otpornost materijala I
8. Savijanje
25
Pravokutni trokut

Iz  y 2  dA
y
A
dA=by·dy
b
dA   h  y   dy
h
h-y
h
by
y
0
h
b
Iz  y   h  y   dy
h
0

2
b  h3
Iz 
12
dy
h  b3
Iy 
12
Izy   z  y  dA 
z
A
1 b
b
    h  y   y   h  y   dy
2 h
h
b
(ovo su momenti tromosti obzirom na osi
koje prolaze katetama pravokutnog trokuta)
Otpornost materijala I
8. Savijanje
b 2  h2
Izy 
24
26
Pravokutni trokut
(odredimo momente tromosti obzirom na
osi koje prolaze težištem pravokutnog
trokuta)
y
y0
Ovo je sada određivanje momenata
tromosti obzirom na međusobno paralelne
osi – primjena Steiner-ovih stavaka:
2
h
Iz  Iz 0     A
3
z0
b h h b h
Iz 0 
  
12  3 
2
z
b  h3
Iz 0 
36
3
h
T
h/3
0
2
h  b3
Iy 0 
36
b/3
b
Otpornost materijala I
8. Savijanje
27
y
y0
Izy  Iz 0 y 0
h
z0
T
h/3
+
0
z
h b
    A
3 3
Iz 0 y 0
b 2  h2  h   b  b  h

  
24
3 3 2
Iz 0 y 0
b 2  h2

72
b/3
b
T
y0
Otpornost materijala I
8. Savijanje
z0
Iz 0 y 0
b 2  h2

72
28
Kosokutni trokut
b  h3
Iz 
12
y
b  h3
Iz 0 
36
h
z0
z
b
Otpornost materijala I
Konačni zaključak:
Uvijek moramo voditi računa o
orijentaciji koordinatnog sustava
i o predznaku centrifugalnog
momenta tromosti.
8. Savijanje
29
8.4 – Momenti tromosti pri rotaciji
koordinatnog sustava
y1
Zadano:
Iz  y 2  dA
y
T
z dA
z1 y1
y
z1
α
z

  z  y  dA
Izy
A
Rotirajmo ovaj koord. sustav i
tražimo momente tromosti obzirom
na rotirane koordinatne osi:

A
Otpornost materijala I
8. Savijanje
A
A
Iz1  y12  dA
z1 = z · cosα + y · sinα
y1 = y · cosα - z · sinα

Iy  z2  dA


Iy1  z12  dA
A
Iz1y1  z1  y1  dA
A
30
Iz1   y  dA   y  cos   z  sin    dA 
2
2
1
A
A
 cos2    y 2  dA  2  sin   cos    z  y  dA  sin2    z 2  dA
A
A
A
Iz
Iy
Izy
Iz1  Iz  cos2   Iy  sin2   Izy  sin 2
(1)
Iy1   z  dA   z  cos   y  sin    dA 
2
2
1
A
A
 cos2    z 2  dA  2  sin   cos    z  y  dA  sin2    y 2  dA
A
A
Iy
Izy
Iy1  Iz  sin2   Iy  cos2   Izy  sin 2
Otpornost materijala I
A
8. Savijanje
Iz
(2)
31
Iz1y1   z1  y1  dA   z  cos   y  sin    y  cos   z  sin    dA 
A
A
 cos2    z  y  dA  sin   cos    y 2  dA  sin   cos    z 2  dA  sin2    z  y  dA
A
A
Izy
Iz1y1
A
Iz
Iz  Iy

 sin 2  Izy  cos 2
2
Otpornost materijala I
8. Savijanje
A
Iy
Izy
(3)
32
(1)
Iz1  Iz  cos2   Iy  sin2   Izy  sin 2
(2)
Iy1  Iz  sin2   Iy  cos2   Izy  sin 2
Zbrojimo li jednadžbe (1) i (2), dobivamo:
Iz1 + Iy1 = Iz + Iy = Ip
- Invarijanta momenata tromosti
Zbroj osnih momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava
je konstantan i jednak polarnom momentu tromosti obzirom na
pol rotacije.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
33
Pri rotaciji koordinatnog sustava osni momenti tromosti će u
jednom trenutku poprimiti neke ekstremne vrijednosti ovisno o
položaju koordinatnog sustava, tj. ovisno o kutu α.
Da bi odredili te ekstreme trebamo derivirati jedn. (1) i (2) po α:
Iz1
 2  Iz  cos   sin   2  Iy  sin   cos   2  Izy  cos 2 

 Iz  Iy

 2  
 sin 2  Izy  cos 2   2  Iz1y1
 2

Iy1
 2  Iz  sin   cos   2  Iy  cos   sin   2  Izy  cos 2 

 Iz  Iy

 2
 sin 2  Izy  cos 2   2  Iz1y1
 2

Otpornost materijala I
8. Savijanje
34
Vidimo da nam derivacije osnih momenata tromosti po kutu α daju
dvostruki centrifugalni moment tromosti s predznacima + i -.
Za dobiti ekstremne vrijednosti, prve derivacije trebaju biti
jednake nuli:
Iz1
  2  Iz1y1  0

Iy1
  2  Iz1y1  0

Iz1y1 = 0
Ekstremne vrijednosti osnih momenta tromosti nazivamo glavnim
momentima tromosti a odgovarajuće osi, glavne osi tromosti.
Ako glavne osi tromosti prolaze težištem poprečnog presjeka onda
se zovu glavne središnje osi tromosti, a pripadajući momenti
tromosti se zovu glavni središnji momenti tromosti.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
35
Glavne momente tromosti označavamo s Iu i Iv , a glavne osi
tromosti s u i v.
Smjer glavnih središnjih osi tromosti odredit ćemo prema jedn. (3):
Iz  Iy
Iuv  0 
 sin 2 0  Izy  cos 2 0
2
2  Izy
tg2 0  
Iz  Iy
Iz prethodnog izraza dobijemo vrijednost za kut α0 nakon čega
veličine glavnih momenata tromosti nađemo tako da u jednadžbe
(1) i (2) uvrstimo za kut α = α0.
Pošto je tangens periodična funkcija, perioda π/2, to ćemo za kut
dobiti dvije vrijednosti – uzimamo manju vrijednost kuta |α0|≤π/4
– u daljnjim razmatranjima uzimati ćemo samo ovu vrijednosti –
kut α nanosimo po algebarskoj vrijednosti.
y
v
u
+α z
Otpornost materijala I
8. Savijanje
36
Iu  Iz  cos2 0  Iy  sin2 0  Izy  sin 20
Iv  Iz  sin2 0  Iy  cos2 0  Izy  sin 20
Iu  Iz 
1  cos 2 0
1  cos 2 0
 Iy 
 Izy  sin 2 0
2
2
Iz  Iy Iz  Iy
Iu 

 cos 2 0  Izy  sin 2 0
2
2
sin 2 0 
2(-Izy)
I
 Iy   4  I2zy
2
z
cos 2 0 
20
2   Izy 
·
I
z
Iz  Iy
 Iy   4  I2zy
2
Iz-Iy
Otpornost materijala I
8. Savijanje
37
Iz  Iy 1
Iu 

2
2
I
z
 Iy   4  I
2
2
zy
Iz  Iy 1
Iv 

2
2
I
z
 Iy   4  I2zy
2
Pošto je prvi član uvijek pozitivan, slijedi:
Iz  Iy 1
2
Iz  Iy   4  I2zy
Imax 

2
2
Iz  Iy 1
Iz  Iy 2  4  I2zy
Imin 

2
2
Neke napomene:
Ukoliko je Iz>Iy onda je Iu>Iv → Iu=Imax i Iv=Imin
Ukoliko je Iz<Iy onda je Iu<Iv → Iv=Imax i Iu=Imin
Ako presjek ima neku os simetrije onda je centrifugalni moment
tromosti za tu os jednak nuli, pa je ta os ujedno i glavna os, a ako
ima dvije osi onda će one same biti glavne osi.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
38
8.5 – Mohr-ova kružnica tromosti
Izy
Zadano: Iz, Iy, -Izy
Iz
(Iz+ Iy )/2
u
v
Izy
0
x

S
x
20
Imin
Iy
Imax
Otpornost materijala I
8. Savijanje
Iz
Iy
Izy Moguća je i obrnuta
zadaća, da su zadani
glavni momenti tromosti
(Imax, Imin) te da se traže
osni i centrifugalni
momenti tromosti pod
zadanim kutom . 39
8.6 – Radijusi tromosti
y
0
z dA
y
Kod proračuna osnih momenata
tromosti možemo koristiti teorem
o srednjoj vrijednosti integrala:

 z
Iz  y 2  dA  y 2sr  A
z
A
Iy
2
 dA  z2sr  A
A
ysr = iz
Iz  i  A
2
z
Iy  i2y  A
Otpornost materijala I
I
iz  z
A
Iy
iy 
A
zsr = iy
Za glavne osi
tromosti imamo
glavne središnje
radijuse (polumjere)
tromosti:
8. Savijanje
Iu
A
Iv
iv 
A
iu 
40
8.7 – Elipsa tromosti
Zadan je poprečni presjek s glavnim središnjim osima, Iuv=0. Neka
je zadana i neka os z te se traži moment tromosti obzirom na tu os.
v
I =?
z
Iz  Iu  cos2   Iv  sin2 
z
i2z  A  iu2  A  cos2   i2v  A  sin2 
0
α
u
i2z  iu2  cos2   i2v  sin2  (1)
Jednadžba (1) predstavlja
jednadžbu elipse u u-v
koordinatnom sustavu.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
41
Uzmimo da je: 0 A 
v
A
0
α
u
v
u
iz
cos  

u
0A iv  iu
v
i
sin  
 z v
0A iu  iv
z
iu  iv
iz
u
Uvrstimo ovo u jedn. (1):
i2z  iu2  cos2   i2v  sin2  (1)
2
2
i
i
i2z  iu2  2 z 2  u2  i2v  2 z 2  v 2
iu  iv
iu  iv
u2 v 2
 2 1
2
iv
iu
Otpornost materijala I
Ovo je jednadžba elipse kojoj su poluosi
radijusi tromosti iv i iu.
Na os v nanosimo poluos iu a na os u poluos iv.
8. Savijanje
42
Na os v nanosimo poluos iu
a na os u poluos iv.
v
Jednadžba pravca p u
segmentnom obliku:
u
v
 1
m n
p
z
n
iu
d
α
0
m
iv
u
iv
iu
Elipsa tromosti
Otpornost materijala I
8. Savijanje
Veza između m, n i d:
d
d
m
n
sin 
cos 
Vratimo u prethodnu jedn.:
u
v

 1 (a)
d   d 


 

sin

cos


 

Napišimo jednadžbu
pravca p kao tangente na
elipsu tromosti:
43
u
v

1
d   d 


 

sin

cos


 

v
(a)
u   uC  v  v C
 2 1
2
iv
iu
p
C (-uC, vC)
z
α
0
m
iv
u
iv
iu
Usporedimo li jedn. (a) i (c)
dobivamo točne koordinate
točke C:
i2v
d
2 sin 

 uC  i v 
uC sin 
d
iu2
d
cos 

 v C  iu2 
v C cos 
d
Elipsa tromosti
Otpornost materijala I
(c)
n
iu
d
u
v
 2 1
2
 iv   iu 
    
 uC   v C 
(b)
što možemo vratiti u jedn. (b):
8. Savijanje
44
v
uz napomenu da ova jedn.
vrijedi za svako u i v, pa tako
i za u=-uC i v=vC:
p
C (-uC, vC)
z
n
iu
d
α
0
m
iv
u
iv
iu
Elipsa tromosti
i2v  sin2   iu2  cos2   d2 (2)
i2z  iu2  cos2   i2v  sin2  (1)
Usporedimo li jedn. (1) i (2)
vidimo da je:
iz=d
Radijus tromosti iz jednak je
udaljenosti od središta elipse
tromosti do tangente na elipsu
tromosti koja je paralelna sa
zadanom osi.
Traženi moment tromosti obzirom na zadanu os z je:
Otpornost materijala I
8. Savijanje
Iz  d2  A
45
v
Iz  i2z  A
p
C (-uC, vC)
odnosno:
z
d
α
0
m
iv
Iy  i2y  A
n
iu
iv
iu
Izy  iz  iy  A
u
z1
a
Slično se određuje moment
tromosti i za os koja ne
prolazi težištem poprečnog
presjeka – os z1:
Iz1  Iz  a2  A  d2  a2   A
Elipsa tromosti
Otpornost materijala I
Iz  d2  A
8. Savijanje
46
Napomene:
Elipsa tromosti nikad ne može sjeći
tangentni poligon na konturu poprečnog
presjeka.
Elipsa tromosti uvijek je orijentirana u
smjeru većih dimenzija poprečnog
presjeka.
Ako su poluosi elipse jednake, onda
dobivamo kružnicu tromosti.
Pogrešno!!!
Pogrešno!!!
Otpornost materijala I
8. Savijanje
47
8.8 – Savijanje silama (opći slučaj savijanja)
F
h<<L
y
Mx
h
x T
z
Tx
F/2
L/2
L/2
x
F/2
T
b
F/2
+
F/2
F
U presjeku x imamo:
-
M
+
FL/4
x
Otpornost materijala I
8. Savijanje
F/2
F
x 
2
F
Tx   
2
Mx 
48
Zaključak:
Kod savijanja silama u poprečnom presjeku se javljaju i
moment savijanja, koji izaziva pojavu normalnih naprezanja,
i poprečna sila, koja izaziva pojavu posmičnih naprezanja.
Prema tome, poprečni presjeci ne ostaju ravni već se vitopere.
Postoji međudjelovanje između uzdužnih vlakanaca.
Posljedica: Vlakanca se ne nalaze u jednoosnom (1D) stanju
naprezanja, već u dvoosnom stanju naprezanja (2D).
Pitanje: Kako odrediti ta normalna i posmična naprezanja?
Otpornost materijala I
8. Savijanje
49
Određivanje normalnih naprezanja
pri savijanju silama:
M
  y
Iz
- radi se o maloj pogrešci
- proračun se pojednostavljuje
- naime, utjecaj poprečne sile
na normalna naprezanja za
slučaj h<<L je zanemariv
(veličina ovog utjecaja će se
pokazati kasnije)
Zaključak: Izraz za određivanje normalnih naprezanja je
jednak i za slučaj čistog savijanja i za slučaj savijanja silama!
Otpornost materijala I
8. Savijanje
50
Određivanje posmičnih naprezanja pri savijanju silama:
F
h<<L 1
2
Promatrati ćemo
h
3
3
1
2
F/2
diferencijalni element
grede omeđen presjecima
1-1 i 2-2 odnosno 3-3.
L/2
L/2
F/2
T
+
F/2
F
-
M
Mx
Mx+dMx
+
x
F/2
FL/4
dx
Otpornost materijala I
8. Savijanje
51
1
y
2
T
τyx
Mx
3
σ τxy
1
x
Mx+dMx
x
T
τxy
z
y0
ymax
3
σ+dσ
2
dx
b
 xy   y x  
U presjeku 1-1 djeluju: T=Tx i M=Mx
U presjeku 2-2 djeluju: T=Tx i M=Mx+dMx
Raspodjela normalnih naprezanja:  
Otpornost materijala I
8. Savijanje
M
y
Iz
Promatrati ćemo dif.
element grede omeđen
presjecima 1-1, 2-2 i 3-3.
52
b
τyx
σ
τxy
τxy
σ+dσ
dx
Uvjet ravnoteže promatranog elementa glasi:
y max
y max
y0
y0
∑X=0
   dA     d   dA    b  dx  0
y max

y0
M
 y  dA 
Iz
y max
Otpornost materijala I

y0
M  dM  y  dA    b  dx  0
Iz
8. Savijanje
53
y max
y max
y max
M
M
dM
y  dA 
y  dA 
y  dA    b  dx  0
Iz y
Iz y
Iz y


0
0
y max
pri čemu je:

y  dA  Sz
y0

0
statički moment površine A1
obzirom na neutralnu os z.
Ostaje nam:
dM Sz


dx Iz  b
dM

 Sz    b  dx  0
Iz
dM
T
Kako je
dx
konačni izraz za posmična naprezanja
kod savijanja silama glasi:
Otpornost materijala I
8. Savijanje
T  Sz

Iz  b
54
Primjer: Određivanje posmičnih naprezanja kod savijanja
silama za pravokutni poprečni presjek
y
T  Sz
Izraz za određivanje

Iz  b
posmičnih naprezanja:
h/2
1
z
T
h
y0
h/2
A1
b
ymax
S z  b  y max  y 0    y max  y 0 
2
b
2
S z   y max
 y 02 
2
T b 2
T
2
2

  y max  y 0  
 y max
 y 02 
Iz  b 2
Iz  2
za y0 = ymax
za y0= 0
Otpornost materijala I
8. Savijanje
0
2
T
T h
2

 y max 
 
2  Iz
2  Iz  2 
55
2
T
T
2

 y max 
2  Iz
2  Iz
h
 
2
2
h
T  
2  3  T

 b  h3  2 A
2

 12 
y
0
za y0 = ymin
T
z
za y0= 0

3 T

2 A
parabola II reda
za y0 = ymax
Otpornost materijala I
8. Savijanje
0
56
Opće stanje naprezanja u nekoj točki grede opterećene
savijanjem silama određujemo na slijedeći način:
τ
M
  y
Iz
σ
σ

τ
Otpornost materijala I
8. Savijanje
T  Sz
Iz  b
57
T  Sz

Iz  b
Određivanje posmičnih naprezanja pri savijanju
silama za neke karakteristične poprečne presjeke:
h/2
z
h/2
Otpornost materijala I
t
t
t
b
z
h
T  Sz
Iz  t
T  Sz

Iz  b

8. Savijanje
b
T  Sz
Iz  2t
T  Sz

Iz  b

58
Zaključci / Napomene:
Dijagram posmičnih naprezanja uslijed poprečne sile kod
savijanja silama ovisi o obliku poprečnog presjeka.
Posmična naprezanja su jednaka nuli u krajnjim
vlakancima odnosno u vlakancima koja su najudaljenija od
neutralnog sloja.
Posmična naprezanja imaju najveću vrijednost u
neutralnom sloju:
T  S z max
 max 
Iz  b
Otpornost materijala I
8. Savijanje
59
8.9 – Raspodjela posmičnih naprezanja u I-profilu
Postupak određivanja posmičnih naprezanja u nosaču pravokutnog i kružnog
poprečnog presjeka može se primijeniti i na nosač koji ima neki drugi oblik
poprečnog presjeka s jednom osi simetrije.
τxz
τxy
tp
Mx+dMx
T
z
x h
Mx
T
tp
dx
Otpornost materijala I
tr
y
8. Savijanje
 xy 
T  Sz
Iz  t r
60
Određivanje horizontalnih posmičnih naprezanja τxz:
A1
t
u
h/2-t/2
z
x
dx
y
σx·dA
Iz uvjeta ∑x=0 slijedi:
l


dA


 x
 x  dA   zx  t  dx  0
A1
Otpornost materijala I
A1
τzx
dx
t
u
σ’x·dA
A1
8. Savijanje
61


 x  dA   lx  dA   zx  t  dx  0
A1
A1
M
M  dM
A Iz  y  dA  A Iz  y  dA   zx  t  dx  0
1
1
dM 1
 zx 

  y  dA
dx Iz  t A
Kako je:
ht
uz: S1  u  t 
2
T
ht
T
 zx 
u t 

 h  t   u
Iz  t
2
2  Iz
T


 h  t   u   xz
Konačno dobivamo:
zx
2  Iz
Otpornost materijala I
1
A1
1
T  S1
 zx 
Iz  t
 y  dA  S
8. Savijanje
Vidimo da je
promjena τzx
i τxz
linearna. 62
Posmična naprezanja u pojasevima imaju isti tok s posmičnim
naprezanjima u rebru, koji imaju smjer poprečne sile →
primjer na jednom I-nosaču:
Otpornost materijala I
8. Savijanje
63
Ovo vrijedi za sve tzv. otvorene profile, a naziva se
cirkulacija posmičnih naprezanja.
z
h
t
t
b
Otpornost materijala I
y
T  Sz
Iz  2t
T  Sz

Iz  b

8. Savijanje
64
8.10 – Glavna naprezanja i trajektorije naprezanja
F
A
h
τA
σA
σ1=-σ2=τ α=±45
F
τ
σ
F σ1=σ σ2=0 α=0
L/3
L/3
L/3
M
  y
F
Iz

T
F
+
τA
TA F
F
-
M
MA FL/3
Otpornost materijala I
T  Sz
Iz  b
F
σA
8. Savijanje
τA
 1 2

  4  2
2 2
2
tg 2 

65

 1,2 
+
A
σA
Trajektorije glavnih naprezanja su linije koje u konstrukciji
spajaju točke s jednakim glavnim naprezanjima.
Kroz svaku točku prolaze dvije trajektorije glavnih naprezanja –
vlačna (puna linija) i tlačna (crtkana linija) trajektorija.
(slika 14.45, str. 351)
Otpornost materijala I
8. Savijanje
66
8.11 – Koso savijanje
Do sada smo promatrali slijedeću situaciju (pravo savijanje):
RDMS (x-y)
osi z i y – glavne osi, Izy=0
RDMS (x-y) ≡ RS ≡ gl.os (y)
n.o. ≡ gl.os (z)
n.o.
T
z
Normalna naprezanja od
savijanja računamo po izrazu:
M
  y
Iz
y
Otpornost materijala I
→ n.o. ┴ RDMS
8. Savijanje
67
Ako se RDMS ne podudara ni s jednom od glavni osi:
RDMS (x-y)
osi u i v – glavne osi, Iuv=0
RDMS (x-y) ≠ gl.os (u ili v)
z
Zaključak:
T
u
n.o.
n.o. ≠ os (z)
n.o. ≠∟ RDMS
v
KOSO SAVIJANJE
y
Dokaz: →
Otpornost materijala I
8. Savijanje
68
Dokaz: Pretpostavimo da je os z neutralna os poprečnog presjeka!
To znači da trebaju biti ispunjeni slijedeći uvjeti ravnoteže:
(1) ∑X = 0
(2) ∑M(y) = 0
(3) ∑M(z) = M

Jedn. (2) raspisana glasi:
xx
 z  dA  0
A
Vrijedi pretpostavka o ravnim presjecima te imamo:
 xx 
E
y

To uvrstimo gore
E
E
 y  z  dA  0   y  z  dA  0
i dobivamo:

 A
A
E
 0 slijedi da y  z  dA treba biti =0
Kako je

A



Pošto osi z i y nisu glavne osi, to slijedi da
 y  z  dA  I
zy
0
A
Zaključak: Neutralna os nije os z; neutralna os nije okomita na
RDMS; RDMS ne poklapa se ni s jednom glavnom osi.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
69
Rekapitulacija:
Kod kosog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja
(ravnina djelovanja opterećenja) ne poklapa se ni s jednom
glavnom osi poprečnog presjeka.
Kod kosog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja i
ravnina savijanja se ne podudaraju.
Kod kosog savijanja, neutralna os poprečnog presjeka nije
okomita na ravninu djelovanja momenta savijanja (naime,
neutralna os je uvijek okomita na ravninu savijanja).
Otpornost materijala I
8. Savijanje
70
Promatrajmo slijedeću situaciju (koso savijanje):
RDMS
osi u i v – glavne osi, Iuv=0
v
Kut α je pozitivan ako se otvara
od +v prema +u.
α
M
Mv
α T
Mu
u
Imamo koso savijanje jer se
RDMS ne poklapa ni s jednom
glavnom osi, u ili v.
Koristimo princip superpozicije:
Mu=M·cosα
Mv=M·sinα
 cos 
Mu
Mv
sin  
 xx  
v 
 u  M  
v 
 u 
Iu
Iv
Iv
 Iu

Otpornost materijala I
8. Savijanje
71
 cos 
sin  
 xx  M  
v 
 u 
Iv
 Iu

RDMS
v
A
α
n.o.
M
Pomoću prethodnog izraza možemo
odrediti naprezanje u svakoj točki
poprečnog presjeka.
Vrhovi vektora tih naprezanja tvore
jednu ravninu, a njena presječnica s
ravninom poprečnog presjeka daje nam
neutralnu os (n.o. ≠∟RDMS).
Mv
α T
Mu
C
-
u
φ
(C) σxx
B
+
(A) σxx = σmin
Neutralna os ima
otklon φ u istom
smjeru kao i kut α ali
od druge glavne osi.
(B) σxx = σmax
Otpornost materijala I
8. Savijanje
72
Za odrediti točni položaj neutralne osi (kut φ), imamo uvjet σxx=0
v α
RDMS
n.o.
u
φ
cos 
sin 
v 
u  0
Iu
Iv
jednadžba
neutralne osi
Iu
iu2
v
 tg    tg   2  tg
u
Iv
iv
(1)
Ovo je izraz pomoću kojega ćemo
odrediti položaj neutralne osi.
Određivanje naprezanja u rubnim točkama A i B:
A 
 cos 

sin 
 xx   min  M  
 vA 
 u A 
Iv
 Iu

tlak 
B
 cos 

sin 
 xx   max  M  
 vB 
 uB 
Iv
 Iu

vlak 
Otpornost materijala I
8. Savijanje
73
Položaj neutralne osi možemo naći i pomoću elipse tromosti:
RDMS
osi u i v – glavne osi, Iuv=0
v
n.o.
Jedn. elipse u2 v 2
 2 1
α
2
tromosti:
A(uA,vA)
iv
iu
iu
T
iv
u
u  uA v  v A
 2 1
2
iv
iu
φ
uA iu2 iu2
v  u   2 
v A iv v A
Elipsa
tromosti
Otpornost materijala I
Postavimo tangentu na elispu
tromosti u točki A:
8. Savijanje
iu2
vA
(2)
74
Usporedimo jednadžbe (1) i (2):
(1)
(2)
Iu
iu2
v
 tg    tg   2  tg
u
Iv
iv
uA iu2 iu2
v  u   2 
v A iv v A
tgα
Vidimo da je neutralna os
paralelna s tangentom na
elipsu tromosti u točki A
(imaju isti koeficijent
smjera pravca).
Zaključak:
Kod kosog savijanja neutralna os prolazi težištem poprečnog
presjeka i paralelna je s tangentom na elipsu tromosti u sjecištu
elipse tromosti i ravnine djelovanja momenta savijanja.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
75
Određivanje posmičnih naprezanja kod kosog savijanja silama:
Tv

Tv  Su
 xv 
Iu  bu
Sv
Tu
T
bv
u
A
σxu
v σxv
τ
bu
Su
Otpornost materijala I
T  Sz
Iz  b
8. Savijanje
Tu  S v
 xu 
Iv  b v
   2xu   2xv
76
8.12 – Potencijalna energija pri savijanju
Nas zanima situacija u elastičnom području.
θ
M
M
L
Ms
A
M

θ
0
θ
Otpornost materijala I
Ms  L
E  Iz
Ms  
W
2
Ms  
UW 
2
rad vanjskih sila
(u elastičnom području,
pot. energija je jednaka
radu vanjskih sila)
Potencijalna energija
2
Ms  L
 2  E  Iz
U
ili U 
2  E  Iz
2 L
Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek
pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od Ms
ili θ. To je površina ispod Ms - θ dijagrama.
7. Torzija
77
8.13 – Sastavljeni nosači
σ
τ
F
Promatrajmo jednu monolitnu gredu.
h
b
F/2
L/2
L/2
F/2
Mmax
Mmax
 xx 
 y max 
Iz
Wz
T
F/2
+
F
-
M
+
Otpornost materijala I
F/2
Iz
b  h3 2 b  h 2
Wz 

 
y max
12 h
6
 xx max 
FL/4
8. Savijanje
F L 6
3 F L



2
4 b h
2 b  h2
78
F
σ
Promatrajmo sada jednu sastavljenu gredu.
τ
h/2
h/2
h
b
L/2
L/2
Dijagrami M i T su isti kao za prethodni slučaj (monolitna greda).
6
F L
 3
2
b  h2
h
b 
2
U ovom slučaju imamo dvostruka naprezanja!
Naprezanja:  xx 
Mmax F  L 1

 
Wz
4 2
Što napraviti da imamo jednaka naprezanja u oba slučaja?
Otpornost materijala I
8. Savijanje
79
Odgovor se krije u deformacijama.
Da bi imali jednaka naprezanja, deformacije moraju biti jednake.
MONOLITNA
GREDA
Ova posmična
naprezanja trebaju
preuzeti
odgovarajuća
spojna sredstva.
SASTAVLJENA
GREDA
Otpornost materijala I
8. Savijanje
(slika 14.64, str. 386)
80
Zaključak:
Proračun sastavljenog nosača se provodi tako da najprije
proračunamo nosač kao da je monolitan (unutarnje sile i
naprezanja) a zatim proračunavamo spojna sredstva koja
moraju preuzeti posmična naprezanja/sile.
Detaljnije se o raznim situacijama može vidjeti u knjizi na
str. 387-400.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
81
8.14 – Savijanje štapa izrađenog od različitih
materijala
Promatrati ćemo dif. dio ravnog štapa izrađenog od dva različita
materijala opterećen samo momentom savijanja (čisto savijanje).
1
M
E1
M
x
z
2
1-D stanje naprezanja:  xx  E   xx
E2
y
b
Deformacije su proporcionalne udaljenosti od
neutralne osi, ali ne znamo njezin položaj.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
1
 xx   y

82
σxx 1
εxx 1
1
E1
z
2
E2
εxx 2
y
b
1
 xx   y

y
 xx1  E1   xx1  E1 

 xx2  E2   xx2  E2 
Otpornost materijala I
σxx 2
y

 xx  E   xx
E1≠E2 , E2>E1
Uvjet ravnoteže: ∑x=0
8. Savijanje
83

xx


 dA   xx1  dA   xx2  dA  0
A
A1
A2


Jednadžba neutralne osi
E1  y  dA  E 2  y  dA  0
A1
Da je E1=E2 to bi bila jedn. težišta.
A2
Sada postavljamo drugu jednadžbu ravnoteže: ∑M(z)=M



M   xx  y  dA   xx1  y  dA   xx2  y  dA
A
A1
A2
E
uz :  xx   y


1 
2
2
M   E1  y  dA  E 2  y  dA 
 

A
A


1
2
Iz1
Otpornost materijala I
Iz2
8. Savijanje
M
1
 E1  Iz1  E2  Iz 2 

84
Iz prethodnog izraza slijedi izraz za deformaciju:
1
M

 E1  Iz1  E2  Iz 2
Za slučaj da je E1=E2=E imali
bi da je Iz1+Iz2=Iz
Sada možemo napisati izraze za naprezanja:
E1  M
 xx1 
y
E1  Iz1  E2  Iz 2
 xx2
E2  M

y
E1  Iz1  E2  Iz 2
Ovi izrazi su malo složeni, te se može
postaviti pitanje da li se oni mogu svesti
na poznati nam izraz:
M
 xx 
Iz
y
To možemo napraviti pomoću reduciranog poprečnog presjeka,
tj. poprečni presjek reduciramo samo na jedan materijal.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
85
Da bi taj reducirani poprečni presjek bio ekvivalentan ishodišnom
poprečnom presjeku trebaju biti zadovoljeni slijedeći uvjeti:
1) Položaj neutralne osi mora ostati nepromijenjen;
2) U ishodišnom i u reduciranom poprečnom presjeku imamo isti
moment savijanja.
Uz
E2
 n jednadžba neutralne osi glasi:  y  dA   y  n  dA  0
E1
A
A2
1
Iz ovog izraza se vidi da se reducirani poprečni presjek sastoji iz
samo jednog materijala (u našem slučaju to je materijal 1).
Nadalje, vidimo da smo ishodišni presjek reducirali tako da
površina A1 ostaje nepromijenjena, dok je površina A2 dana sa
širinom n·b, pri čemu y ostaje nepromijenjen.
Otpornost materijala I
8. Savijanje
86
Ishodišni poprečni presjek
Reducirani poprečni presjek
b
1
1
A1
z
z
2
y
b
y
n·b
Izrazi za naprezanja sada glase:
M
 xx1 
y
Uz zamjenu u nazivniku:
Iz1  n  Iz 2
Izred  Iz1  n  Iz 2
M
 xx2  n 
y
Iz1  n  Iz 2
Otpornost materijala I
8. Savijanje
87
Konačni izrazi za naprezanja glase:
 xx1 
M
Iz red
 xx2  n 
y
M
Iz red
y
Naprezanja u materijalu 1 dobivamo stvarna, jer
smo poprečni presjek reducirali na materijal 1,
dok naprezanja u materijalu 2 dobivamo još
množenjem s faktorom n (odnos E2/E1).
Ovo se često koristi u armiranom betonu:
σxx b
Otpornost materijala I
8. Savijanje
σxx a = n · σxx b
88
Kraj gradiva u zimskom semestru.
Vidimo se u ljetnom semestru.
Otpornost materijala I
Kraj nastave u zimskom semestru
89