Производная функции
Download
Report
Transcript Производная функции
Производная
функции
Производная функции (1)
•
Пусть функция
окрестности точки
•
x 0
•
•
x
(включая точку
x
).
Определение 1.
f ( x ) lim
•
определена в некоторой
f ( x)
f (x)
Производной функции f ( x ) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
x
Определение 2.
Касательной прямой
y
l
l
к графику функции
M
y f ( x)
y f ( x)
в точке x o называется предельное
положение секущей M o M , когда M M o
M
yo
0
M
o
xo
х
Производная функции (2)
•
Геометрический смысл производной.
l
y f ( xo x )
M
M
y f ( x)
y
tg tg
yo
x 0
o
Mo
M M
x
0
xo x
x xo x
k сек .
y
x
Значение производной функции f ( x ) в точке x o
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке M o ( x o , y o )
где y o f ( x o )
f ( x 0 ) . lim
x 0
k ка с .
y
x
k ка с .
Производная функции (3)
l
y
•
•
Уравнение касательной
к графику функции.
k l f ( x o )
N
yo
M o ( xo , yo )
y y o f ( x o ) ( x x 0 )
0
y f ( x o ) f ( x o ) ( x x 0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y f ( x ) в точке x o
называется прямая N, проходящая через точку M o ( x o , y o )
перпендикулярно касательной прямой l
•
Уравнение нормали к графику функции.
kN
kl
kN
1
f ( x o )
y f ( xo )
xo
y yo k ( x xo )
•
•
•
•
1
y f ( x)
1
f ( x o )
( x x0 )
x
Производная функции (4)
•
Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.
–
Теорема.
f ( x ) f ( x ) непрерывна в т . x
–
Доказательство.
f ( x ) lim
x 0
f (x)
f ( x)
x
x
f ( x ) ( x )
где 0 при х 0
f ( x ) f ( x ) x ( x ) x
f ( x ) 0 при x 0
f ( x ) непрерывна
в т. х
Производная функции (5)
•
Правила дифференцирования.
•
Пусть
•
Тогда
•
1.
•
2. ( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
1 шаг.
•
3. ( C f ( x ) ) C f ( x )
2 шаг. ( f g )
•
f ( x ) и g ( x )
Доказательство 1 правила (для суммы).
( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x )
4.
f ( x )
g ( x)
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
( g ( x ))
2
3 шаг.
, если g ( x ) 0
lim
( f g ) f g
x
( f g)
x
т о ест ь
x 0
f
x
lim
x 0
g
x
f
x
lim
x 0
( f ( x ) g ( x ) ) f ( x ) g ( x )
g
x
Производная функции (6)
–
Таблица производных основных
элементарных функций.
–
1. ( C ) 0
( x ) n x
n
( x ) 1
n 1
–
2.
–
3. ( a ) a ln a
–
4.
(e ) e
–
5.
–
6.
–
7. (sin x ) cos x
–
8. (cos x ) sin x
–
9.
x
2
x
x
x
1
x )
1 x ln a
(ln x )
x
(log
a
10. ( ctg x )
2
2
1 x
1
2
12. (arccos x )
x
1
sin
1
11. (arcsin x )
1
( tg x )
cos
–
( x ) 2 x
1
x
2 x
1 x
x
13.
( arctgx )
1
1 x
14. ( arcctgx )
2
1
1 x
2
2
Производная функции (7)
(sin x ) cos x
•
Вывод формулы 7:
•
1. sin x sin( x x ) sin x
x
2 x x
2 cos
sin
2
2
•
2.
sin x
x
x
cos x
2
sin
x
2
x
2
•
3. lim
x 0
sin x
x
x
lim cos x
lim
x 0
2
x 0
sin
x
2
x
2
(sin x ) cos x
1
Производная функции (8)
•
Производная сложной функции.
•
•
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u ) , u ( x )
y ( x ) f ( u ) ( x )
y ( x ) f ( (( x ))
•
•
значение
•
•
•
•
u ( x)
Доказательство.
1..Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
y u
2. y
u x
y
y
u
lim
lim
3. lim
x 0 x
x 0 u
x 0 x
x
•
где u ( x )
2. ( x ) в т . х
3. f ( u ) в т . u , причем
lim
u 0
y
u
lim
x 0
u
x
(ч.т.д.)
Производная функции (9)
•
Примеры.
•
1. y ln sin x
y ln u , u sin x
y
1
cos x
u
•
1
cos x ctgx
sin x
2. y ln sin x
2
y u , u ln t , t sin x
2
y 2u
1
cos x 2 ln sin x
t
2 ctgx ln sin x
1
sin x
cos x
Производная функции (10)
•
Обратная функция.
•
Определение.
•
Пусть
y f ( x) : X Y
y
x ( y) : Y X
Функции
y f ( x) и x ( y)
•
называются взаимно обратными,
•
если
•
или
f ( ( y )) y всюду в Y
( f ( x )) x всюду в X
y
Y
y f ( x)
0
x
х
X
x ( y)
y
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y f ( x)
x ( y)
x
х
Функция
x ( y ) называется
обратной к
y f ( x)
Функция y f ( x ) называется
обратной к
x ( y)
Производная функции (11)
•
Примеры.
•
1. Показательная функция
y a
x
и логарифмическая функция x log
a 1
y
a
y.
y
0 a 1
y
1
y a
x
1
0
0
x
x log
a
y
x
y
x log
a
x
y
a 1
Обычно
x – аргумент
y - функция
x log
y log
a
a
y
y log
x
0
a
Д.з. Построить график
логарифмической
функции при 0 a 1
x
x
Производная функции (12)
•
2. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y
y sin x x arcsin y
y cos x x arccos y
y tgx x arctg y
y ctgx x arcctg y
y arcsin x
2
2
x arcsin y
1
y sin x
1
0 1
1
x
2
2
Д.З. Построить графики других
обратных тригонометрических
функций.
Производная функции (13)
•
Производная обратной функции.
•
Теорема.
•
1. y f ( x ) непрерывна
•
2. y f ( x ) монотонная
•
3. f ( x ) при x a , b и f ( x ) 0
1. x ( y ) обратная
я на a , b ;
к y f ( x) ;
на a , b ;
2. x ( y ) непрерывна я
и монотонная ;
3.
•
Пример.
•
Вывод формулы 11 :
arcsin x
( y )
1
f ( x )
1
1 x
2
•
1. y arcsin x x sin y
•
2. x cos y y
•
3.
cos y
1 sin
2
1
x
y
1
cos y
1 x
2
y
( y )
1
1 x
2
2
1
f ( x )
y
2
f ( x )
1
( y )
cos y 0
Производная функции (14)
•
•
Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
•
•
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
x x ( t ),
y y ( t ), t t1 , t 2 ,
•
•
t называется параметром.
Пример.
x t 1,
2
y t , t ( , )
y
y ( x 1)
1. Функция
y(x) :
1
t x 1 y ( x 1)
2. Функция
2
2
-1 0
x
x( y) :
t 0 , t
y
y
x
t , 0 t
x
y 1;
y
y 1.
1
-1 0
x
Производная функции (15)
•
Определение 2.
•
•
•
•
Говорят, линия L на плоскости XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t :
y
x x ( t ),
y y ( t ), t t1 , t 2 .
Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)
x R ( t sin t ),
y R (1 cos t ),
Пример 1. Окружность
x R cos t ,
y R sin t ,
R
t 0 , 2
0
M(x,y)
t
x
Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)
3
x R cos t ,
3
y R sin t ,
t 0 , 2
y
t ,
R
y
M(x,y)
t
0
(t=0)
0
Первая арка
x 2 R
( t 2 )
x
x
Циклоида
Астроида
Производная функции (16)
•
•
•
Производная функции, заданной
параметрически.
Теорема.
Пусть
– 1.
–
x ( t ),
y ( t ), t t1 , t 2 ;
2. ( t ) непрерывна я ,
монотонная
–
3.
на t1 , t 2 ;
( t 0 ) , t 0 t1 , t 2 ,
( t 0 ) 0 ;
–
4.
( t ) непрерывна я
на t1 , t 2 ;
–
5.
( t 0 )
В т очке x 0 ( t o )
y ( x 0 )
( t 0 )
( t 0 )
Производная функции (17)
•
•
Производные высших порядков.
Определение 1.
•
•
•
Производная y f ( x )
называется производной
первого порядка функции y
•
Определение 2.
•
•
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
•
функции
•
Определение 3.
•
Производная от производной (n-1) -порядка
y
•
называется производной
•
функции y f ( x ) :
y f ( x) :
f ( x)
y ( f ( x ) )
y
(f
( n 1 )
y a ln a ;
ya
x
x
y a (ln a ) ;
x
n – порядка
(n)
Пример.
( x ))
(n)
2
a (ln a )
x
n
Производная функции (18)
•
Правило Лопиталя.
–
Теорема 1.
–
Теорема 2.
–
Пусть выполнены условия:
–
Пусть выполнены условия:
–
1) функции f ( x ) и g ( x )
–
1) функции f ( x ) и g ( x )
–
являются бесконечно малыми
–
являются бесконечно большими
–
при x x o ( или при x ) ;
–
при x x o
–
2) f ( x ) и g ( x )
–
3) lim
–
f ( x )
или lim
A
x xo g ( x )
x g ( x )
f ( x)
f ( x )
Тогда lim
lim
A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
f ( x )
A
( правило раскрытия неопределенности
0
0
)
( или при x
–
2) f ( x ) и g ( x )
–
3) lim
–
Тогда
x xo
lim
x xo
f ( x )
g ( x )
f ( x)
g ( x)
A
);
f ( x )
или lim
A
x g ( x )
lim
f ( x )
A
g ( x )
( или при x )
x xo
( правило раскрытия неопределенности
)
Правило Лопиталя
• Примеры.
• 1.
• 2.
lim
x 1
a
x 1
0
a
lim
x 1
x 1
0
x 1
ln a
ln a
1
0 lim cos x 0 lim sin x 1
lim
0
2
2
x
x
2
0
x
2
(
x
)
2
2
)
2 (x
2
2
1 sin x
2
• 3.
1
x 1
2x 1
lim
2
lim
x
x 4 x
2
2x 1