Transcript Производная функции

Производная
функции
Производная функции (1)
•
Пусть функция
окрестности точки
•
x 0
•
•
x
(включая точку
x
).
Определение 1.
f  ( x )  lim
•
определена в некоторой
f ( x)
f (x)
Производной функции f ( x ) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
x
Определение 2.
Касательной прямой
y
l
l
к графику функции
M
y  f ( x)
y  f ( x)
в точке x o называется предельное
положение секущей M o M , когда M  M o
M
yo
0
M
o
xo
х
Производная функции (2)
•
Геометрический смысл производной.
l
y  f ( xo   x )
M
M
y  f ( x)
y
tg   tg 

yo
 x  0
o
  

Mo
M  M
x
0
xo x
x  xo   x
k сек . 
y
x
Значение производной функции f ( x ) в точке x o
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке M o ( x o , y o )
где y o  f ( x o )
f  ( x 0 ) .  lim
x 0
 k ка с .
y
x
 k ка с .
Производная функции (3)
l
y
•
•
Уравнение касательной
к графику функции.
k l  f ( x o )
N
yo
M o ( xo , yo )
y  y o  f ( x o )  ( x  x 0 )

0
y  f ( x o )  f ( x o )  ( x  x 0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y  f ( x ) в точке x o
называется прямая N, проходящая через точку M o ( x o , y o )
перпендикулярно касательной прямой l
•
Уравнение нормали к графику функции.
kN  
kl
 kN  
1
f ( x o )
y  f ( xo ) 
xo
y  yo  k ( x  xo )
•
•
•
•
1
y  f ( x)
1
f ( x o )
 ( x  x0 )
x
Производная функции (4)
•
Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.
–
Теорема.
 f ( x )  f ( x )  непрерывна в т . x
–
Доказательство.
f  ( x )  lim
x 0
f (x)
f ( x)
x
x
 f ( x )   (  x )
где   0 при  х  0
 f ( x )  f ( x )  x   (  x )   x
 f ( x )  0 при  x  0
f ( x )  непрерывна
в т. х
Производная функции (5)
•
Правила дифференцирования.
•
Пусть
•
Тогда
•
1.
•
2. ( f ( x )  g ( x ) )   f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x )
1 шаг.
•
3. ( C  f ( x ) )   C  f ( x )
2 шаг.  ( f  g )
•
 f ( x ) и  g ( x )
Доказательство 1 правила (для суммы).
( f ( x )  g ( x ) )   f ( x )  g ( x )
4. 
f ( x ) 

 
 g ( x) 


f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x )
( g ( x ))
2
3 шаг.
, если g ( x )  0
lim
 ( f  g )  f  g
x
( f  g)
x
т о ест ь
x 0

f
x

 lim
x 0
g
x
f
x
 lim
x 0
( f ( x )  g ( x ) )   f ( x )  g ( x )
g
x
Производная функции (6)
–
Таблица производных основных
элементарных функций.
–
1. ( C )   0
( x )  n x
n
( x )  1
n 1
–
2.
–
3. ( a )   a ln a
–
4.
(e )  e
–
5.
–
6.
–
7. (sin x )   cos x
–
8. (cos x )    sin x
–
9.
x
2
 
x
x
x
1
x ) 
1 x ln a
(ln x )  
x
(log
a
10. ( ctg x )   
2
2
1 x
1
2
12. (arccos x )   
x
1
sin
1
11. (arcsin x )  
1
( tg x )  
cos
–
( x )  2 x

1
x 
2 x
1 x
x
13.
( arctgx )  
1
1 x
14. ( arcctgx )   
2
1
1 x
2
2
Производная функции (7)
(sin x )   cos x
•
Вывод формулы 7:
•
1.  sin x  sin( x   x )  sin x 
x
 2 x  x 
 2 cos 
  sin
2
2


•
2.
 sin x
x
x 

 cos  x 

2


sin
x
2
x
2
•
3. lim
x 0
 sin x
x
x 

 lim cos  x 
  lim
x 0
2

 x 0
sin
x
2
x
2
(sin x )   cos x
1
Производная функции (8)
•
Производная сложной функции.
•
•
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y  f (u ) , u   ( x ) 
y ( x )  f ( u )   ( x )
y ( x )  f ( (( x ))
•
•
значение
•
•
•
•
u   ( x)
Доказательство.
1..Возьмем  x  0   u   y
(предполагаем, что u  0 )
y u
2.  y

u x
y
y
u
 lim
 lim

3. lim
x 0  x
x 0  u
x 0  x
x
•
где u   ( x )
2.   ( x ) в т . х
3.  f ( u ) в т . u , причем

 lim
u 0
y
u
 lim
x 0
u
x
(ч.т.д.)
Производная функции (9)
•
Примеры.
•
1. y  ln sin x
y  ln u , u  sin x
y 
1
 cos x 
u
•
1
 cos x  ctgx
sin x
2. y  ln sin x
2
y  u , u  ln t , t  sin x
2
y   2u 
1
 cos x  2 ln sin x 
t
 2 ctgx  ln sin x
1
sin x
 cos x 
Производная функции (10)
•
Обратная функция.
•
Определение.
•
Пусть
y  f ( x) : X  Y
y
x   ( y) : Y  X
Функции
y  f ( x) и x   ( y)
•
называются взаимно обратными,
•
если
•
или
f ( ( y ))  y всюду в Y
 ( f ( x ))  x всюду в X
y
Y
y  f ( x)
0
x
х
X
x   ( y)
y
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y  f ( x)
x   ( y)
x
х
Функция
x   ( y ) называется
обратной к
y  f ( x)
Функция y  f ( x ) называется
обратной к
x   ( y)
Производная функции (11)
•
Примеры.
•
1. Показательная функция
y  a
x
и логарифмическая функция x  log
a 1
y
a
y.
y
0  a 1
y
1
y  a
x
1
0
0
x
x  log
a
y
x
y
x  log
a
x
y
a 1
Обычно
x – аргумент
y - функция
x  log
y  log
a
a
y
y  log
x
0
a
Д.з. Построить график
логарифмической
функции при 0  a  1
x
x
Производная функции (12)
•
2. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y
y  sin x  x  arcsin y

y  cos x  x  arccos y
y  tgx  x  arctg y
y  ctgx  x  arcctg y
y  arcsin x
2


2
x  arcsin y
1

y  sin x
1
0 1
1



x
2

2
Д.З. Построить графики других
обратных тригонометрических
функций.
Производная функции (13)
•
Производная обратной функции.
•
Теорема.
•
1. y  f ( x )  непрерывна
•
2. y  f ( x )  монотонная
•
3.  f  ( x ) при x  a , b  и f  ( x )  0
1.  x   ( y )  обратная
я на a , b  ;
к y  f ( x) ;
на a , b  ;
2. x   ( y )  непрерывна я
и монотонная ;
3.
•
Пример.
•
Вывод формулы 11 :
arcsin x  
 ( y ) 
1
f ( x )
1
1 x
2
•
1. y  arcsin x  x  sin y
•
2. x   cos y  y  
•
3.
cos y 
 
1  sin
2
1
x
y 

1
cos y
1 x
2
y 
 ( y ) 
1
1 x
2


2
1
f ( x )
 y

2
 f ( x ) 
1
 ( y )
 cos y  0
Производная функции (14)
•
•
Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
•
•
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
 x  x ( t ),

 y  y ( t ), t  t1 , t 2  ,
•
•
t называется параметром.
Пример.

 x  t  1,

2

 y  t , t  (  ,  )
y
y  ( x  1)
1. Функция
y(x) :
1
t  x  1  y  ( x  1)
2. Функция
2
2
-1 0
x
x( y) :
t  0 ,    t 
y
y
 x
t    , 0   t  
 x
y 1;
y
y 1.
1
-1 0
x
Производная функции (15)
•
Определение 2.
•
•
•
•
Говорят, линия L на плоскости XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t :
y
 x  x ( t ),

 y  y ( t ), t  t1 , t 2  .
Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)
 x  R ( t  sin t ),

 y  R (1  cos t ),
Пример 1. Окружность
 x  R cos t ,

 y  R sin t ,
R
t  0 , 2 

0
M(x,y)
t
x
Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)
3

 x  R cos t ,

3

 y  R sin t ,
t  0 , 2 
y
t    ,  
R
y
M(x,y)
t
0
(t=0)
0
Первая арка
x  2 R
( t  2 )
x
x
Циклоида
Астроида
Производная функции (16)
•
•
•
Производная функции, заданной
параметрически.
Теорема.
Пусть
– 1.
–
 x   ( t ),

 y   ( t ), t  t1 , t 2  ;
2.  ( t )  непрерывна я ,
монотонная
–
3.
на t1 , t 2  ;
   ( t 0 ) , t 0  t1 , t 2  ,
 ( t 0 )  0 ;
–
4.
 ( t )  непрерывна я
на t1 , t 2  ;
–
5.
  ( t 0 )
В т очке x 0   ( t o )
 y ( x 0 ) 
 ( t 0 )
 ( t 0 )
Производная функции (17)
•
•
Производные высших порядков.
Определение 1.
•
•
•
Производная y   f ( x )
называется производной
первого порядка функции y
•
Определение 2.
•
•
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
•
функции
•
Определение 3.

•
Производная от производной (n-1) -порядка
y
•
называется производной
•
функции y  f ( x ) :
y  f ( x) :
 f ( x)
y   ( f ( x ) ) 
y
(f
( n 1 )
y   a ln a ;
ya 
x
x
y   a (ln a ) ;
x
n – порядка
(n)
Пример.
( x ))
(n)
2
 a (ln a )
x
n
Производная функции (18)
•
Правило Лопиталя.
–
Теорема 1.
–
Теорема 2.
–
Пусть выполнены условия:
–
Пусть выполнены условия:
–
1) функции f ( x ) и g ( x )
–
1) функции f ( x ) и g ( x )
–
являются бесконечно малыми
–
являются бесконечно большими
–
при x  x o ( или при x   ) ;
–
при x  x o
–
2)  f ( x ) и g ( x )
–
3)  lim
–


f ( x )
 или lim


A


x  xo g  ( x )
x   g ( x )


f ( x)
f ( x )
Тогда  lim
 lim
 A
x  xo g ( x )
x  xo g ( x )
( или при x   )
f ( x )
 A
( правило раскрытия неопределенности
0
0
)
( или при x  
–
2)  f ( x ) и g ( x )
–
3)  lim
–
Тогда
x  xo
 lim
x  xo
f ( x )
g ( x )
f ( x)
g ( x)
 A
);


f ( x )
 или lim


A


x   g ( x )


 lim
f ( x )
 A
g ( x )
( или при x   )
x  xo
( правило раскрытия неопределенности


)
Правило Лопиталя
• Примеры.
• 1.
• 2.
lim
x  1
a
x 1
0
a
    lim
x  1
x 1
0
x 1
ln a
 ln a
1
 0   lim  cos x   0   lim sin x  1
lim
  
0



2
2

x
x



2
0
x


2
(
x

)
2
2
)
2 (x 
2
2
1  sin x
2
• 3.
1
x 1
 
2x 1
lim


2
    lim
x 
x  4 x
2
2x 1  