Transcript Урок по теме "Обратные функции"

Обратные
тригонометрические
функции
Учитель математики Салюкова Т. В.
МОУ «Моркинская средняя (полная)
общеобразовательная школа №6»
Функция y = arcsin x




D(у) = [-1;1],
Е(у) = [-π/2; π /2]
Нечетная
Возрастающая
Функция y = arccos x




D(у) = [-1;1],
Е(у) = [0;π]
Ни четная , ни
нечетная
Убывающая
Функция y = arctg x




D(у) = (-∞;∞),
Е(у) = (-π/2; π /2)
Нечетная
Возрастающая
Функция y = arcctg x




D(у) = (-∞;∞),
Е(у) = (0; π )
Ни четная , ни
нечетная
Убывающая
Решение задач

Найдите область
определения функции:
1.
y = arcsin (x-1),
y = arccos (2x-1),
y = arcsin ((x-1)/2),
y = arcsin (2/(x-1)),
y = arcsin (x²-2x),
y = arccos ((x-3)/2)
2.
3.
4.
5.
6.

Найдите число целых значений
функции:
1.
y= 5arccos x,
y= 1,3arcctg x
y= 12arctg x
2.
3.

Найдите множество значений
функции:
y = 9/π arccos((3√2 +sin x-cos x)/4√2)

Найдите сумму наибольшего и
наименьшего целых чисел, входящих в
область определения функции
y = arcsin (3√x²/4 – 2x + 4 + x/4)
Найдите множество значений функции
Основные тождества для обратных
тригонометрических функций








sin(arcsin a) = a, -1≤ a ≤ 1
cos(arccos a) = a, -1≤ a ≤ 1
tg(arctg a) = a, a e R
ctg(arcctg a) = a, a e R
arcsin(sin x) = x,
-π /2 ≤ x ≤ π /2
arccos(cos x) = x, 0 ≤ x ≤ π
arctg (tg x) = x,
-π /2 < x < π /2
arcctg(ctg x) =x, 0 < x < π






arcsin a + arccos a = π /2,
-1≤ a ≤ 1
arctg a + arcctg a = π /2, a e R
arcsin (-a) = -arcsin a ,
-1≤ a ≤ 1
arccos (-a) = π - arccos a ,
-1≤ a ≤ 1
arctg (-a) = -arctg a, a e R
arcctg (-a) = π - arcctg a,
aeR
Действия с обратными тригонометрическими
функциями
Вычислить:
1. sin(arccos2/7),
2. cos(arcsin(-3/4)),
3. tg(arccos(-5/13)),
4. ctg(arccos4/5),
5. arctg(tg7π/3),
6. arcsin(sin17π/5),
7. arccos(sin(-3π/7)),
8. arctg(ctg3)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
tg²(arccos(-1/4)),
sin(arccos4/5 + arcsin4/5),
tg(2arctg1- arctg2),
5√2sin(π/2 - arctg(-1/7)),
4/3tg(π - arcsin(-3/5))
tg²(5arctg√3/3 - 0,25 arcsin √3/2)
Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2arcsin²x – 7arcsin x + 3 = 0,
arcsin²x – 3π/4 arcsin x + π²/18 = 0,
arcsin²x – 3π/4 arcsin x + π²/4 = 0,
arctg²x – 5π/12 + π²/24 = 0,
arcsin(x²-3x + 1/2) = π/6,
arcsin(x²-4x + 3) = 0,
arcctg x = arccos x,
arccos (x√3) + arccos x = π/2.
Решите уравнение.
arcctgx  arccosx
x  ctg arccosx  
x
x
1 x2
cosarccosx 

sin arccosx 
 0, 1  x 2  0
x 1 x2  x  0


x2 1 x2  x2  0
x4  0
x0
Проверка: arcctg0  arccos0
От вет: х  0
x
1 x2
Производные обратных
тригонометрических функций

arcsin x 

arccosx 


1
1 x2
1
1 x2
1

arctg x  
1 x2
1

arcctg x   
1 x2
Найдите производные следующих функций: