Transcript Напред - urocipomatematika.net

Графически способ за решаване на системи уравнения
Скъпи приятели!
Тази презентация ще Ви помогне да се научие да
решавате системи уравнения с две променливи по
един от най – простите и нагледни способи –
графическия.
Но този способ е свързан с построението на
графиката на уравненията, влизащи в една или
друга система, затова за начало ще бъде полезно да
си припомним, как изглеждат графиките на
основните известни елементарни функции.
И така…
Напред
у
Вие, разбира се, помните, че
графика на функция се нарича
множеството от всички точки
в координатната равнина,
абсцисите на които са равни
на значенията на аргумента, а
ординатите – на
съответствуващите значения
на функцията.
у = f(х)
х
0
Вие вече познавате някои
важни видове функции
Напред
у
Линейна функция се задава
с уравнение от вида
у  kхв
където k и в – са някакви
числа
х
0
Графиката на тази функция се
явява
права
Напред
у
Функция с обратна
пропорционалност
k
у
х
,k0
х
0
Графиката на тази функция се
нарича хипербола
Напред
у
Да разгледаме функцията
( х  а) 2  ( у  в ) 2  r 2
където а, в и r – са някакви
числа
r
А
а
в
х
0
Графиката на тази функция се
явява окръжност
с радиус r и център в т. А (а;в)
Напред
Квадратна функция
у
у  а х в х с
2
където а,в,с – някакви числа и
а0

в
2а
х
0
Графиката на тази функция се
явява
парабола
Напред
Графиките на уравнения с две променливи се
наричат, както вие знаете, множество от точки в
координатната равнина, координатите на
които обръщат уравнението във вярно
равенство.
Затова понякога уравненията могат да бъдат
достатъчно сложни, а графиките на такива
уравнения – много необичайни по форма.
Нека разгледаме няколко примера на такива
уравнения, използвани във висшата математика.
Напред
у
Да разгледаме, например,
уравнението
у 2  ( а  х)  х 2  ( а  х)
0
Графиката на това уравнение ще
бъде крива, наричана
строфоида
Напред
у
А сега уравнението
(х  у )  а  (х  у )
2
2 2
2
2
х
0
Графиката на това уравнение се
нарича леминискат
на
Бернули
Напред
у
А на това уравнение
2
3
2
3
х у а
2
3
х
0
Графиката на това уравнение се
нарича
астроида
Напред
у
Следващ пример:
( х 2 у 2  2ах) 2  4а 2  ( х 2  у 2 )
х
0
Тази крива се нарича
кардиоида
Напред
!
А сега на работа – да се научим да решаваме
системи уравнения с две променливи
графически!
Уравнение 1,
Уравнение 2;
!
?
Напред
Нека трябва да решим системата
уравнения:
х2 + у2 = 25,
у = -х2 + 2х + 5;
Да построим в една координатна
система графиките на уравненията
х2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5
Координатите на произволна точка от
окръжноста се явяват решение на
уравнението
х2 + у2 = 25, а
координатите на произволна точка от
параболата се явяват решение на
уравнението у = -х2 + 2х + 5.
Значи, координатите на всяка от точките
на пресичане на окръжноста и
параболата удоволетворяват както
първото уравнение на системата, така и
второто, т.е. явяват се решение на
системата.
Намираме по рисунката значението на
координатите на точките на пресичане
на графиката : А(-2,2;-4,5), В(0;5),
С(2,2;4,5), D(4;-3). Тогава системата има
4 решения
х1 -2,2, у1 -4,5
х2 0, у2 5
х3 2,2, у3 4,5
х4 4, у4 -3
Второто и четвъртото от тези решения са точни, а
първото и третото – приближени.
Напред
Нека направим изводи от разгледания пример.
За да решите система с две уравнения с две
неизвестни, е необходимо :
 Да построите в една координатна система графиките
на уравненията, влизащи в системата ;
 Да определите координатите на всички точки на
пресичане на графиките (ако има такива);
 Координатите на тези точки ще бъдат решения на
системата.
Запомнете две неща !
1. Ако точки на пресичане на графиките няма, то системата няма решение;
2. Координатите на точките на пресичане се определят приблизително,
затова и решенията могат да се получат приблизителни;
За да проверите точността на получените решения, е нужно да ги
поставите в уравненията на системата!
Напред
Решаваме системата :
Задача 1
у
ху  3,
3 х  у  0;
у  3х
Преобразуваме системата
уравнения :
3
у ,
х
у  3х;
у
1
3
х
1
х
0
Строим в една координатна
система графиките на
уравненията от системата
А сега самостоятелно определете
решението на системата.
Напред
Решаваме системата :
у  х 2  0,
х  у  2  0;
у
Задача 2
у  х2
Преобразуваме системата
уравнения :
у  х2 ,
у  х  2;
1
1
х
0
Строим в една координатна
система графиките на
уравненията от системата
у  х2
А сега самостоятелно определете
решението на системата.
Напред
у
Задача 3
Пред Вас са графиките на две
уравнения. Запишете
системата, определена от
тези уравнения, и нейното
решение.
х-у=1
1
1
х
0
3х+2у=18
Напред
у
Задача 4
Пред Вас са графиките на две
уравнения. Запишете
системата, определена от
тези уравнения, и нейното
решение.
у  2х
у
1
1
2
х
х
0
Напред
Задача 5
у
Пред Вас са графиките на две
уравнения. Запишете
системата, определена от
тези уравнения, и нейното
решение.
х2  у2  9
1
1
х
0
у  х 3
Напред
у
Задача 6
у  х2  2
Пред Вас са графиките на две
уравнения. Запишете
системата, определена от
тези уравнения, и нейното
решение.
1
1
х
0
у  х2  4
Напред
у
0