Transcript Teória číselných množín

ČÍSELNÉ MNOŽINY
PREHĽAD
Mgr.Jozef Vozár2010
Križovatka
1.
2.
3.
4.
5.
O číselných množinách všeobecne
Množina prirodzených čísel N
Množina celých čísel Z
Množina racionálnych čísel Q
Množina reálnych čísel R
Základy základov
Ak začneme budovať číselnú množinu, potom
musíme vedieť:
1) Čo obsahuje – prvky
2) Operácie s prvkami a ich vlastnosti
3) Binárne relácie (vzťahy) medzi prvkami
4) Vlastnosti, použitie, obmedzenia
Prvky číselných množín
1) Prvkami číselných množín sú čísla (prirodzené,
racionálne, reálne, ...). Pojem čísla je
základným pojmom, to znamená, že ho
nedefinujeme a spoliehame sa na to, že to
predsa každý vie.
Operácie s prvkami množiny
2) Operáciu môžeme definovať aj tak, že
vezmeme 2 prvky množiny (usporiadanú,
alebo neusporiadanú dvojicu) a priradíme im
nejakým spôsobom tretí prvok. Ten môže byť z
tej istej množiny - množina je voči operácii
uzavretá, alebo môže byť mimo množiny.
a ; b  
c
Operácie s prvkami množiny
Pri výbere operácií, hľadáme také, ktoré sa
osvedčili v praxi a tak, aby ich počet nebol
príliš veľký – dve, tri.
V prípade číselných množín sú to obvykle
operácie:
a) Súčet čísel – znak „+“
b) Súčin čísel – znak „.“
Ak potrebujeme, môžeme si dodať aj ďalšie.
Vlastnosti operácií
V ďalšom texte bude ako znak akejkoľvek
operácie vystupovať znak „*“ .
1) Uzavretosť
– množina je uzavretá voči operácii, ak výsledok
operácie patrí do tej istej množiny
a, b  M ; a * b  M
Vlastnosti operácií
2) Komutatívnosť
– operácia je komutatívna, ak v nej nezáleží na
poradí v akom sa vykonáva
a, b  M ; a * b  b * a
Vlastnosti operácií
3) Asociatívnosť
– operácia je asociatívna, ak umožňuje pomocou
zátvoriek vytvárať asociácie – skupiny
 a , b , c  M ; ( a * b ) * c  a * (b * c )
Vlastnosti operácií
4) Neutrálny prvok
– v množine M existuje taký prvok, ktorý
neovplyvňuje výsledok operácie
a  M , e  M ; a * e  e * a  a
Vlastnosti operácií
5) Inverzný prvok
– v množine existuje pre operáciu inverzný
prvok, taký že ak urobíme operáciu s prvkom a
inverzným prvkom k nemu, potom výsledkom
bude neutrálny prvok tej operácie
 a  M ,  a ´; a * a ´ e
Vlastnosti operácií
Ak sú v množine definované dve operácie *, §,
potom môže pribudnúť ešte spoločná
vlastnosť oboch operácií
6) Distributívnosť – určuje pravidlá odstránenia,
alebo pridania zátvoriek
 a , b , c  M ; a * ( b § c )  ( a * b )§ ( a * c )
alebo
 a , b , c  M ; a§ (b * c )  ( a§ b ) * ( a§ c )
Vlastnosti operácií - záver
Množina, ktorá má dve operácie, z ktorých
každá má prvých 5 vlastnosti a ešte aj šiestu,
teda spolu jedenásť uvedených vlastností sa
nazýva komutatívne teleso.
Takáto množina je mimoriadne užitočná a pri
skúmaní číselných množín hľadáme odpoveď
na otázku, do akej miery sa skúmaná množina
približuje k tejto dokonalej.
Binárne relácie medzi číslami
Máme tu na mysli binárne relácie medzi číslami
v množine. V takom prípade sledujeme
vlastnosti binárnych relácií:
1. Reflexívnosť
2. Symetria
3. Tranzitívnosť
Vlastnosti binárnych relácií v množine
1. Reflexívnosť
Relácia X v množine M je reflexívna práve
vtedy, ak každý prvok a množiny M je v relácii
sám so sebou, teda keď každá usporiadaná
dvojica [a;a] je prvkom relácie X.
X  reflexívna  (  a  M ; aXa )
Vlastnosti binárnych relácií v množine
2. Symetria
Relácia X v množine M je symetrická práve
vtedy, ak pre každé dva prvky a, b množiny M
platí, že ak usporiadaná dvojica [a;b] je
prvkom relácie X, potom aj usporiadaná
dvojica [b;a] je prvkom relácie X.
X  symetrická
 (  a , b  M ; aXb  bXa )
Vlastnosti binárnych relácií v množine
3. Tranzitívnosť
Relácia X v množine M je tranzitívna práve
vtedy, ak pre každé tri prvky a, b, c množiny M
platí, že ak usporiadaná dvojica [a;b] je
prvkom relácie X a usporiadaná dvojica [b;c] je
prvkom relácie X, potom aj dvojica [a;c] je
prvkom relácie X.
X  tranzitívn a  (  a , b , c  M ; aXb  bXc  aXc )
Príklad 1
Relácia: x je bratom y v množine všetkých
žijúcich ľudí
1. Nie je reflexívna
2. Nie je symetrická
3. Je tranzitívna
Príklad 2
Relácia: x je kolmá na y v množine všetkých
priamok danej roviny
1. Nie je reflexívna
2. Je symetrická
3. Nie je tranzitívna
Príklad 3
Relácia: x je rovnobežná s y v množine všetkých
rovín daného priestoru
1. Je reflexívna
2. Je symetrická
3. Je tranzitívna
Binárne relácie v číselných množinách
V číselných množinách majú veľkú dôležitosť
dve binárne relácie:
1. Relácia rovnosť čísel
2. Relácia nerovnosť čísel
a=b
a<b
Relácia „rovnosť čísel“
Vlastnosti:
1. Relácia je reflexívna:
(x = x)
2. Relácia je symetrická: (x = y)  (y = x)
3. Relácia je tranzitívna:
(x  y)  ( y  z)  (x  z)
Relácia s takýmito vlastnosťami sa volá
relácia ekvivalencie.
Relácia „nerovnosť čísel“
Vlastnosti:
1. Relácia je antireflexívna:
2. Relácia je asymetrická: (x < y)
3. Relácia je tranzitívna:

(x < x)´
(y < x)´
(x  y)  ( y  z)  (x  z)
Relácia s takýmito vlastnosťami sa volá
relácia usporiadania.
Množina prirodzených čísel N
Prirodzené čísla sa používajú na označovanie
počtu vecí, ľudí, zvierat.
N = {1, 2, 3, 4, …}
Niekedy do tejto množiny zaraďujeme aj číslo
0, historicky však toto číslo pribudlo omnoho
neskôr ako ostatné prirodzené čísla.
Vlastnosti operácií v N
Vlastnosti sčítania
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok - nemá
5. Inverzný prvok - nemá
Vlastnosti násobenia
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok – 1
5. Inverzný prvok - nemá
Záver pre N
Ako vidieť z tabuľky táto množina má tri vážne
nedostatky. Taktiež neumožňuje v plnej miere
používať „opačné“ operácie – rozdiel a podiel
prirodzených čísel. (Vyskúšaj !)
Aby sa aspoň časť nedostatkov odstránila,
pridáme do N číslo 0 a výsledky rozdielov
prirodzených čísel.
Množina celých čísel Z
Táto množina vznikne rozšírením N o 0 a
výsledky odčítania prirodzených čísel – teda o
záporné čísla. Umožňuje už vypočítavať aj
dlhy, resp. chýbajúce veci. Pridávajú sa
pravidlá pre počítanie so zátvorkami a
zápornými číslami.
Vlastnosti operácií v Z
Vlastnosti sčítania
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok - 0
5. Inverzný prvok – opačné
číslo -a
Vlastnosti násobenia
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok – 1
5. Inverzný prvok - nemá
Záver pre Z
Takto zostavená množina už má takmer všetky
vlastnosti dobrej číselnej množine, ale ešte
stále je v nej nedostatok. Nie je v nej možné
používať „opačnú“ operáciu k násobeniu, lebo
jej výsledky nesmerujú do Z (nie je uzavretá
pre delenie – vyskúšaj!).
Pre jej zlepšenie pridáme do nej výsledky
delenia celých čísel.
Množina racionálnych čísel
Túto množinu získame rozšírením Z o výsledky
delenia celých čísel. Táto množina potom
umožní aj počítanie častí celku. Doplnená je o
pravidlá pre počítanie so zlomkami
Vlastnosti operácií v Q
Vlastnosti sčítania
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok - 0
5. Inverzný prvok – opačné
číslo -a
Vlastnosti násobenia
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok – 1
5. Inverzný prvok –
prevrátené číslo 1/a
Záver pre Q
Takto zostavená množina už má všetky
vlastnosti dobrej číselnej množiny. Takto aj
bola dlhý čas po svojom objavení (alebo
konštrukcii) vnímaná. Ukázalo sa však, existujú
čísla, ktoré nie sú racionálne napr. druhé
odmocniny, π, hodnoty gon. fcií a pod.
Ak uvedené iracionálne čísla pridáme k Q aj s
pravidlami pre počítanie s nimi, získame
množinu R – reálnych čísel.
Množina reálnych čísel R
Ak do množiny Q pridáme všetky čísla, ktoré
do nej nepatria aj s pravidlami prepočítanie s
nimi získame novú množinu v ktorej je možné
počítať všetky situácie, kde vystačíme s
jednorozmerným priestorom.
Vlastnosti operácií v R
Vlastnosti sčítania
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok - 0
5. Inverzný prvok – opačné
číslo -a
Vlastnosti násobenia
1. Uzavretosť
2. Komutatívnosť
3. Asociatívnosť
4. Neutrálny prvok – 1
5. Inverzný prvok –
prevrátené číslo 1/a
Distributívnosť v číselných množinách
Vo všetkých číselných množinách N, Z, Q, R
existuje spoločná vlastnosť pre obidve operácie a
to distributívnosť vzhľadom k násobeniu.
 a , b , c  M ; a .( b  c )  a .b  a .c
Poznámka: ak túto vlastnosť čítame zľava doprava
hovoríme o roznásobení. Pri čítaní opačným
smerom hovoríme o vynímaní pred zátvorku.
M je ktorákoľvek z množín N, Z, Q, R.
Vennov diagram o vzťahoch medzi
číselnými množinami
R
Z
N
Q
Q
Záver pre R
Množina reálnych čísel R obsahuje všetky
doteraz známe čísla a tým, že jej operácie
majú všetkých 11 uvedených vlastností spĺňa
požiadavky na zaradenie medzi množiny so
spoločným menom komutatívne teleso.