Transcript ppsx - Jan Josef Šafařík

Zborcené plochy
Mgr. Jan Šafařík
Přednáška č. 11 - 13
přednášková skupina P-BK1VS1
učebna Z240
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Literatura
Základní literatura:




Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v
Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého
učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta
stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I.
ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební
VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana,
Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník
Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených
plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
2
http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Literatura
Doporučená literatura:





Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy
stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar,
Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová,
Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného
studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.
Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie,
verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v
Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
3
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Literatura
Další zdroje:








Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká
fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006
Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý,
Kočandrlová: Konstruktivní geometrie,
http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html.
Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html.
Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8,
http://kag.upol.cz/juklova/index.html.
Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a
rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství
Československé akademie věd, Praha 1958.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální
fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006
Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce,
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.
4
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy



Zborcená plocha  je dána třemi různými
(obecně prostorovými) řídícími křivkami 1c, 2c,
3c, které neleží na téže rozvinutelné ploše
Značíme  (1c, 2c, 3c)
Přímka protínající všechny tři řídící přímky se
nazývá tvořící přímka
5
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy

Konstrukce tvořící přímky:

Zvolme bod A 1c. Tvořící přímku n procházející
bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s
vrcholem A a řídící křivkou 2c a kuželové plochy 3 s
vrcholem A a řídící křivkou 3c.
6
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy





Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových
ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá
kuspidální bod.
Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy
, tzv. torzální rovina.
Křivka  na zborcené ploše  se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže
každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází
dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).
Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách
zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.
Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy
 se nazývá asymptotická.
7
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy

Stupeň plochy:



Buď zborcená plocha  dána algebraickými
křivkami 1c stupně 1n, 2c stupně 2n a 3c stupně
3n.
Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak 
je stupně 2·1n·2n·3n
Mají-li křivky ic, jc pro 1ij3 společný sij bodů,
pak  je stupně
2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n
8
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy

Užití zborcených ploch

Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení
bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné
zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch


Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím
provozním chodu bez zpevňujících zařízení
Ze statického hlediska jsou zborcené plochy
samonosné
9
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)


Jednodílný hyperboloid
Hyperbolický paraboloid
10
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)



Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a,
3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu (1a,
2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku
Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b,
… jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby
například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň
dvě z přímek 1a, 2a, 3a  (1b, 2b), ale to je spor
s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a.
Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy  se
nazývají např. přímky I. regulu plochy .
Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například
1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky
1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří
přímky II. regulu plochy .
11
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)

Z konstrukce je patrné, že:



Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II.
regulu a naopak
Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné
Tečná rovina plochy  v bodě M je určena
přímkami obou regulů, bodem M procházejících
12
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid
13
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid


Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s
rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný
hyperboloid (obecně nerotační).
Základní vlastnosti
 Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou




kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).
Střed hrdlové kružnice nazýváme středem
hyperboloidu.
Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.
Plocha dvojí křivosti.
Nerozvinutelná plocha.
14
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid

Asymptotická kuželová plocha



Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed
hyperboloidu.
Každá tvořící přímka asymptotické kuželové
plochy je rovnoběžná s některou tvořící
přímkou hyperboloidu.
Má-li asymptotická kuželová plocha obrys,
jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu
hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je
hyperbola.
15
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid

Řezy na jednodílném hyperboloidu
přímky
kružnice, elipsa
16
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid

Řezy na jednodílném hyperboloidu
parabola
hyperbola
17
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid
arch. Oscar Niemeyer, 1970,
Cathedral of Brasília
(Catedral Metropolitana Nossa
Senhora Aparecida)
18
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid
The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
19
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Jednodílný hyperboloid
Chladící věže jaderných elektráren
20
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
21
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid


Jestliže existuje rovina  (’), se kterou jsou přímky
nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné,
dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.
Základní pojmy









Zborcený čtyřúhelník
Řídicí rovina
Systém (regulus) přímek
Sedlový bod, sedlová plocha
Vrchol hyperbolického paraboloidu
Osa hyperbolického paraboloidu
Směr osy hyperbolického paraboloidu
Zborcená přímková kvadratická plocha
Plocha dvojí křivosti
22
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid

Základní pojmy




Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v
téže rovině
Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je
rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů
Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa
hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem
HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.
Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou
přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří
do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.
23
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid

Základní pojmy

Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:




Je-li rovina řezu  rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2.
regulu, je řezem jedna površka.
Je-li rovina řezu  tečna hyperbolického paraboloidu v bodě
dotyku T, jsou řezem dvě površky.
Je-li rovina řezu  rovnoběžná resp. procházející osou
hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími
rovinami obou regulů, je řezem parabola
Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.
24
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Proč hyperbolický paraboloid
25
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V izometrii je dán průmět
dvou zdí stejné výšky, jejíž
lícní roviny ,  mají různý
spád. Proveďte spojení obou
zdí pomocí plochy
hyperbolického paraboloidu.
A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0,
80, 60], D[0, 0, 60].
26
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V pravoúhlé izometrii je
dán hyperbolický
paraboloid zborceným
čtyřúhelníkem ABCD.
Sestrojte několik tvořících
přímek plochy patřících do
obou přímkových regulů.
Je dáno A[40, 0, 0], B[0,
80, 50], C[-40, 0, 0], D[0,
-80, 50]. Plochu omezte
rovinami  (x, y), ,  ,
je- li dáno:  : y = 80,  :
y = - 80.
27
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V Mongeově promítání je dána
plocha hyperbolického paraboloidu
pomocí zborceného čtyřúhelníku
ABCD, který se v půdorysně 
zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62,
77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19,
9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte
tečnou rovinu τ. Sestrojte řez
rovinou , rovnoběžnou s nárysnou
, procházející vrcholem V
hyperbolického paraboloidu.
28
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Střešní roviny stejného spádu
 hřeben není vodorovný
Požadujeme hřeben
vodorovný
29
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Půlícím bodem střední
příčky je veden vodorovný
hřeben MN rovnoběžný s
jednou okapovou hranou.
• Část střešní plochy tvoří
hyperbolický paraboloid
určený zborceným
čtyřúhelníkem ABMN.
• Latě jsou vodorovné, ale
krokve nejsou kolmé k
hřebeni.
30
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Krokve jsou kolmé
na hřeben.
• Hyperbolický
paraboloid je určen
zborceným
čtyřúhelníkem
KLMN.
• Nároží se
sousedními
střešními rovinami
jsou části
kuželoseček.
31
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Užitá část
hyperbolického
paraboloidu je
ohraničena zborceným
čtyřúhelníkem KLMN.
• Přechází v části rovin
určených body ALM a
BKN.
• Tím docílíme, že
všechna nároží jsou
úsečky.
32
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Graham McCourt Architects, 1983,
sportovní aréna,
Calgary, Alberta, Canada
33
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972,
Olympijský stadión, Mnichov, Německo
34
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Hyperbolický paraboloid
F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
35
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Zborcené plochy vyšších stupňů







Přímý kruhový konoid
Plückerův konoid
Küpperův konoid
Plocha Štramberské trúby
Plocha Montpellierského oblouku
Plocha Marseillského oblouku
Plocha Šikmého průchodu
36
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Konoidy



Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v
konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.
Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.
Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu:





kruhový konoid
eliptický konoid
šroubový konoid
…
Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá
přímka v konečnu s řídící rovinou


 = 90 – přímý konoid
 ≠ 90 – kosý konoid
37
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý kruhový konoid
38
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý kruhový konoid

zadání




řídící rovinou  (c ∞  )
řídící přímkou d  
řídící kružnicí k   ;   , d  
stupeň křivky:

2·1·1·2=4
39
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý kruhový konoid
Příklad:
V kosoúhlém promítání (=135,
qy=2/3) je dán přímý kruhový
konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35,
0], r=35) v půdorysně, řídící
rovinou  a řídící přímkou 2k  .
Přímka 2k prochází bodem M[35,
0, 80]. Sestrojte několik tvořících
přímek konoidu, určete stupeň
plochy.
40
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý parabolický konoid
41
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý parabolický konoid

zadání




řídící rovinou  (c ∞  )
řídící přímkou d  
řídící parabolou    ;   , d  
stupeň křivky:

2·1·1·2=4
42
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Přímý parabolický konoid
43
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Štramberské trúby
44
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Štramberské trúby

zadání



dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d
kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se
středem na ose mimoběžek 1d a 2d.
stupeň křivky:

2·1·1·2=4
45
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Štramberské trúby
46
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku
47
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku

zadání




řídící kružnicí k
řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice
k kolmo na rovinu kružnice
řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s
rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d
stupeň křivky:

2·2·1·1=4
48
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku
49
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku
Příklad:
V Mongeově promítání
sestrojte Montpelliérský
oblouk daný řídící
kružnicí 1k (S [0, 20, 0],
r = 40), která leží v
rovině ν' || ν (x, z), dále
řídící přímkou 2d || x1,2,
Q  2d, Q [0, 60, 60] a
přímkou 3d, 3d  ν, S 
3d. Plochu omezte řídící
kružnicí 1k, řídící
přímkou 2d a rovinami α
(20, -20, ) a β (-20, 20, ). Dále sestrojte
řez rovinou ρ(, 80, 65).
50
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Marseillského oblouku
51
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Marseillského oblouku

zadání

řídící kružnicí 1k(1S, 1r)  1
řídící kružnicí 2k(2S, 2r)  2, 1

řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d  1, 2


2
stupeň křivky:

2·2·2·1-2·1=6
52
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Marseillského oblouku
53
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Marseillského oblouku
Příklad:
V kolmé axonometrii
Δ(90, 110, 95) je dána
plocha Marseillského
oblouku určena řídícími
kružnicemi 1k (1S[0, 47,
0], r=30) v bokorysně
, 2k (2S[30, 47, -10],
r=50) v rovině
rovnoběžné s  a řídící
přímkou 3k procházející
bodem 1S kolmo k
rovině . Sestrojte část
plochy nad půdorysnou
, omezenou rovinami v
nichž leží řídící kružnice.
54
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha šikmého průchodu
55
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha šikmého průchodu

zadání



řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných
rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S
řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a
procházejí středem úsečky 1S 2S
stupeň křivky:

2·2·2·1-2·1-2=4
56
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
57
dále viz …
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt
VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební
fakulty Vysokého učení technického v Brně,
Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Konec
Děkuji za pozornost