Transcript ppsx - Jan Josef Šafařík
Slide 1
Zborcené plochy
Mgr. Jan Šafařík
Konzultace č. 3
přednášková skupina P-BK1VS1
učebna Z240
Slide 2
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Základní literatura:
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v
Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého
učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta
stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I.
ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební
VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana,
Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník
Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených
plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
2
http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Slide 3
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Doporučená literatura:
Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy
stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar,
Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová,
Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného
studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.
Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie,
verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v
Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
3
Slide 4
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Další zdroje:
Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká
fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006
Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý,
Kočandrlová: Konstruktivní geometrie,
http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html.
Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html.
Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8,
http://kag.upol.cz/juklova/index.html.
Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a
rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství
Československé akademie věd, Praha 1958.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální
fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006
Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce,
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.
4
Slide 5
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Zborcená plocha je dána třemi různými
(obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2,
3, které neleží na téže rozvinutelné ploše
Značíme (1, 2, 3)
Přímka protínající všechny tři řídící přímky se
nazývá tvořící přímka
5
Slide 6
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Konstrukce tvořící přímky:
Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející
bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s
vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s
vrcholem A a řídící křivkou 3.
6
Slide 7
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových
ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá
kuspidální bod.
Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy
, tzv. torzální rovina.
Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže
každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází
dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).
Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách
zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.
Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy
se nazývá asymptotická.
7
Slide 8
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Stupeň plochy:
Buď zborcená plocha dána algebraickými
křivkami 1 stupně 1n, 2 stupně 2n a 3 stupně
3n.
Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak
je stupně 2·1n·2n·3n
Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný sij bodů,
pak je stupně
2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n
8
Slide 9
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Užití zborcených ploch
Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení
bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné
zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch
Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím
provozním chodu bez zpevňujících zařízení
Ze statického hlediska jsou zborcené plochy
samonosné
9
Slide 10
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Jednodílný hyperboloid
Hyperbolický paraboloid
10
Slide 11
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a,
3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ(1a,
2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku
Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b,
… jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby
například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň
dvě z přímek 1a, 2a, 3a (1b, 2b), ale to je spor
s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a.
Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se
nazývají např. přímky I. regulu plochy .
Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například
1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky
1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří
přímky II. regulu plochy .
11
Slide 12
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Z konstrukce je patrné, že:
Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II.
regulu a naopak
Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné
Tečná rovina plochy v bodě M je určena
přímkami obou regulů, bodem M procházejících
12
Slide 13
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
13
Slide 14
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s
rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný
hyperboloid (obecně nerotační).
Základní vlastnosti
Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou
kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).
Střed hrdlové kružnice nazýváme středem
hyperboloidu.
Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.
Plocha dvojí křivosti.
Nerozvinutelná plocha.
14
Slide 15
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Asymptotická kuželová plocha
Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed
hyperboloidu.
Každá tvořící přímka asymptotické kuželové
plochy je rovnoběžná s některou tvořící
přímkou hyperboloidu.
Má-li asymptotická kuželová plocha obrys,
jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu
hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je
hyperbola.
15
Slide 16
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
přímky
kružnice, elipsa
16
Slide 17
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
parabola
hyperbola
17
Slide 18
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
arch. Oscar Niemeyer, 1970,
Cathedral of Brasília
(Catedral Metropolitana Nossa
Senhora Aparecida)
18
Slide 19
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
19
Slide 20
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Chladící věže jaderných elektráren
20
Slide 21
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
21
Slide 22
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky
nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné,
dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.
Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník
Řídicí rovina
Systém (regulus) přímek
Sedlový bod, sedlová plocha
Vrchol hyperbolického paraboloidu
Osa hyperbolického paraboloidu
Směr osy hyperbolického paraboloidu
Zborcená přímková kvadratická plocha
Plocha dvojí křivosti
22
Slide 23
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v
téže rovině
Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je
rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů
Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa
hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem
HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.
Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou
přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří
do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.
23
Slide 24
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:
Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2.
regulu, je řezem jedna površka.
Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě
dotyku T, jsou řezem dvě površky.
Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou
hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími
rovinami obou regulů, je řezem parabola
Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.
24
Slide 25
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Proč hyperbolický paraboloid
25
Slide 26
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V izometrii je dán průmět
dvou zdí stejné výšky, jejíž
lícní roviny , mají různý
spád. Proveďte spojení obou
zdí pomocí plochy
hyperbolického paraboloidu.
A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0,
80, 60], D[0, 0, 60].
26
Slide 27
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V pravoúhlé izometrii je
dán hyperbolický
paraboloid zborceným
čtyřúhelníkem ABCD.
Sestrojte několik tvořících
přímek plochy patřících do
obou přímkových regulů.
Je dáno A[40, 0, 0], B[0,
80, 50], C[-40, 0, 0], D[0,
-80, 50]. Plochu omezte
rovinami (x, y), , , jeli dáno: : y = 80, : y =
- 80.
27
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
Slide 28
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V Mongeově promítání je dána
plocha hyperbolického paraboloidu
pomocí zborceného čtyřúhelníku
ABCD, který se v půdorysně
zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62,
77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19,
9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte
tečnou rovinu τ. Sestrojte řez
rovinou , rovnoběžnou s nárysnou
, procházející vrcholem V
hyperbolického paraboloidu.
28
Slide 29
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Střešní roviny stejného spádu
hřeben není vodorovný
Požadujeme hřeben
vodorovný
29
Slide 30
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Půlícím bodem střední
příčky je veden vodorovný
hřeben MN rovnoběžný s
jednou okapovou hranou.
• Část střešní plochy tvoří
hyperbolický paraboloid
určený zborceným
čtyřúhelníkem ABMN.
• Latě jsou vodorovné, ale
krokve nejsou kolmé k
hřebeni.
30
Slide 31
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Krokve jsou kolmé
na hřeben.
• Hyperbolický
paraboloid je určen
zborceným
čtyřúhelníkem
KLMN.
• Nároží se
sousedními
střešními rovinami
jsou části
kuželoseček.
31
Slide 32
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Užitá část
hyperbolického
paraboloidu je
ohraničena zborceným
čtyřúhelníkem KLMN.
• Přechází v části rovin
určených body ALM a
BKN.
• Tím docílíme, že
všechna nároží jsou
úsečky.
32
Slide 33
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Graham McCourt Architects, 1983,
sportovní aréna,
Calgary, Alberta, Canada
33
Slide 34
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972,
Olympijský stadión, Mnichov, Německo
34
Slide 35
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
35
Slide 36
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy vyšších stupňů
Přímý kruhový konoid
Plückerův konoid
Küpperův konoid
Plocha Štramberské trúby
Plocha Montpellierského oblouku
Plocha Marseillského oblouku
Plocha Šikmého průchodu
36
Slide 37
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Konoidy
Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v
konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.
Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.
Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu:
kruhový konoid
eliptický konoid
šroubový konoid
…
Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá
přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou
= 90 – přímý konoid
≠ 90 – kosý konoid
37
Slide 38
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
38
Slide 39
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící kružnicí k ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
39
Slide 40
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
Příklad:
V kosoúhlém promítání (=135,
qx=2/3) je dán přímý kruhový
konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35,
0], r=) v půdorysně, řídící rovinou
a řídící přímkou 2k . Přímka
2k prochází bodem M[0, 35, 80].
Sestrojte několik tvořících přímek
konoidu, určete stupeň plochy.
40
Slide 41
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
41
Slide 42
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící parabolou p ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
42
Slide 43
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
43
Slide 44
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
44
Slide 45
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
zadání
dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d
kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se
středem na ose mimoběžek 1d a 2d.
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
45
Slide 46
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
46
Slide 47
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
47
Slide 48
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
zadání
řídící kružnicí k
řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice
k kolmo na rovinu kružnice
řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s
rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d
stupeň křivky:
2·2·1·1=4
48
Slide 49
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
49
Slide 50
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku
Příklad:
V Mongeově promítání
sestrojte Montpelliérský
oblouk daný řídící
kružnicí 1k (S [0, 20, 0],
r = 40), která leží v
rovině ν' || ν (x, z), dále
řídící přímkou 2d || x1,2,
Q 2d, Q [0, 60, 60] a
přímkou 3d, 3d ν, S
3d. Plochu omezte řídící
kružnicí 1k, řídící
přímkou 2d a rovinami α
(20, -20, ) a β (-20, 20, ). Dále sestrojte
řez rovinou ρ(, 80, 65).
50
Slide 51
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
51
Slide 52
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
zadání
řídící kružnicí 1k(1S, 1r) 1
řídící kružnicí 2k(2S, 2r) 2, 1
řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d 1, 2
2
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1=6
52
Slide 53
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
53
Slide 54
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
Příklad:
V kolmé axonometrii
Δ(90, 110, 95) je dána
plocha Marseillského
oblouku určena řídícími
kružnicemi 1k (1S[0, 47,
0], r=30) v bokorysně
, 2k (2S[30, 47, -10],
r=50) v ronině
rovnoběžné s a řídící
přímkou 3k procházející
bodem 1S kolmo k
rovině . Sestrojte část
plochy nad půdorysnou
, omezenou rovina v
nichž leží řídící kružnice.
54
Slide 55
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
55
Slide 56
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
zadání
řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných
rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S
řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a
procházejí středem úsečky 1S 2S
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1-2=4
56
Slide 57
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
57
Slide 58
dále viz …
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt
VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební
fakulty Vysokého učení technického v Brně,
Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Slide 59
Konec
Děkuji za pozornost
Zborcené plochy
Mgr. Jan Šafařík
Konzultace č. 3
přednášková skupina P-BK1VS1
učebna Z240
Slide 2
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Základní literatura:
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v
Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého
učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta
stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I.
ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební
VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana,
Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník
Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených
plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
2
http://math.fce.vutbr.cz/studium.php
Slide 3
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Doporučená literatura:
Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html
Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy
stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992.
Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.
Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar,
Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová,
Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného
studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008.
Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie,
verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v
Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.
3
Slide 4
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Literatura
Další zdroje:
Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká
fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006
Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý,
Kočandrlová: Konstruktivní geometrie,
http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html.
Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html.
Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe - 8. semestr - KAG/GPTP8,
http://kag.upol.cz/juklova/index.html.
Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a
rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství
Československé akademie věd, Praha 1958.
Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975.
Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální
fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006
Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce,
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006.
4
Slide 5
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Zborcená plocha je dána třemi různými
(obecně prostorovými) řídícími křivkami 1, 2,
3, které neleží na téže rozvinutelné ploše
Značíme (1, 2, 3)
Přímka protínající všechny tři řídící přímky se
nazývá tvořící přímka
5
Slide 6
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Konstrukce tvořící přímky:
Zvolme bod A 1. Tvořící přímku n procházející
bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2 s
vrcholem A a řídící křivkou 2 a kuželové plochy 3 s
vrcholem A a řídící křivkou 3.
6
Slide 7
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových
ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá
kuspidální bod.
Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy
, tzv. torzální rovina.
Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže
každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází
dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální).
Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách
zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem.
Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy
se nazývá asymptotická.
7
Slide 8
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Stupeň plochy:
Buď zborcená plocha dána algebraickými
křivkami 1 stupně 1n, 2 stupně 2n a 3 stupně
3n.
Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak
je stupně 2·1n·2n·3n
Mají-li křivky i, j pro 1ij3 společný sij bodů,
pak je stupně
2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n
8
Slide 9
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy
Užití zborcených ploch
Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení
bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné
zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch
Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím
provozním chodu bez zpevňujících zařízení
Ze statického hlediska jsou zborcené plochy
samonosné
9
Slide 10
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Jednodílný hyperboloid
Hyperbolický paraboloid
10
Slide 11
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a,
3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu Φ(1a,
2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku
Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b,
… jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby
například 1b a 2b byly ruznoběžné, pak alespoň
dvě z přímek 1a, 2a, 3a (1b, 2b), ale to je spor
s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a.
Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se
nazývají např. přímky I. regulu plochy .
Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například
1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky
1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří
přímky II. regulu plochy .
11
Slide 12
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy 2. stupně
(zborcené kvadriky)
Z konstrukce je patrné, že:
Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II.
regulu a naopak
Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné
Tečná rovina plochy v bodě M je určena
přímkami obou regulů, bodem M procházejících
12
Slide 13
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
13
Slide 14
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s
rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný
hyperboloid (obecně nerotační).
Základní vlastnosti
Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou
kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem).
Střed hrdlové kružnice nazýváme středem
hyperboloidu.
Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly.
Plocha dvojí křivosti.
Nerozvinutelná plocha.
14
Slide 15
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Asymptotická kuželová plocha
Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed
hyperboloidu.
Každá tvořící přímka asymptotické kuželové
plochy je rovnoběžná s některou tvořící
přímkou hyperboloidu.
Má-li asymptotická kuželová plocha obrys,
jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu
hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je
hyperbola.
15
Slide 16
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
přímky
kružnice, elipsa
16
Slide 17
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Řezy na jednodílném hyperboloidu
parabola
hyperbola
17
Slide 18
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
arch. Oscar Niemeyer, 1970,
Cathedral of Brasília
(Catedral Metropolitana Nossa
Senhora Aparecida)
18
Slide 19
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.
19
Slide 20
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Jednodílný hyperboloid
Chladící věže jaderných elektráren
20
Slide 21
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
21
Slide 22
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Jestliže existuje rovina (), se kterou jsou přímky
nečárkovaného (čárkovaného) regulu rovnoběžné,
dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid.
Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník
Řídicí rovina
Systém (regulus) přímek
Sedlový bod, sedlová plocha
Vrchol hyperbolického paraboloidu
Osa hyperbolického paraboloidu
Směr osy hyperbolického paraboloidu
Zborcená přímková kvadratická plocha
Plocha dvojí křivosti
22
Slide 23
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v
téže rovině
Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je
rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů
Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa
hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem
HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP.
Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou
přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří
do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.
23
Slide 24
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Základní pojmy
Řez hyperbolického paraboloidu rovinou:
Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2.
regulu, je řezem jedna površka.
Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě
dotyku T, jsou řezem dvě površky.
Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou
hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími
rovinami obou regulů, je řezem parabola
Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.
24
Slide 25
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Proč hyperbolický paraboloid
25
Slide 26
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V izometrii je dán průmět
dvou zdí stejné výšky, jejíž
lícní roviny , mají různý
spád. Proveďte spojení obou
zdí pomocí plochy
hyperbolického paraboloidu.
A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0,
80, 60], D[0, 0, 60].
26
Slide 27
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V pravoúhlé izometrii je
dán hyperbolický
paraboloid zborceným
čtyřúhelníkem ABCD.
Sestrojte několik tvořících
přímek plochy patřících do
obou přímkových regulů.
Je dáno A[40, 0, 0], B[0,
80, 50], C[-40, 0, 0], D[0,
-80, 50]. Plochu omezte
rovinami (x, y), , , jeli dáno: : y = 80, : y =
- 80.
27
Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.
Slide 28
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Příklad:
V Mongeově promítání je dána
plocha hyperbolického paraboloidu
pomocí zborceného čtyřúhelníku
ABCD, který se v půdorysně
zobrazí jako rovnoběžník. A[-69, 62,
77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19,
9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte
tečnou rovinu τ. Sestrojte řez
rovinou , rovnoběžnou s nárysnou
, procházející vrcholem V
hyperbolického paraboloidu.
28
Slide 29
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
Střešní roviny stejného spádu
hřeben není vodorovný
Požadujeme hřeben
vodorovný
29
Slide 30
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Půlícím bodem střední
příčky je veden vodorovný
hřeben MN rovnoběžný s
jednou okapovou hranou.
• Část střešní plochy tvoří
hyperbolický paraboloid
určený zborceným
čtyřúhelníkem ABMN.
• Latě jsou vodorovné, ale
krokve nejsou kolmé k
hřebeni.
30
Slide 31
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Krokve jsou kolmé
na hřeben.
• Hyperbolický
paraboloid je určen
zborceným
čtyřúhelníkem
KLMN.
• Nároží se
sousedními
střešními rovinami
jsou části
kuželoseček.
31
Slide 32
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem
• Užitá část
hyperbolického
paraboloidu je
ohraničena zborceným
čtyřúhelníkem KLMN.
• Přechází v části rovin
určených body ALM a
BKN.
• Tím docílíme, že
všechna nároží jsou
úsečky.
32
Slide 33
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Graham McCourt Architects, 1983,
sportovní aréna,
Calgary, Alberta, Canada
33
Slide 34
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972,
Olympijský stadión, Mnichov, Německo
34
Slide 35
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Hyperbolický paraboloid
F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie
35
Slide 36
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Zborcené plochy vyšších stupňů
Přímý kruhový konoid
Plückerův konoid
Küpperův konoid
Plocha Štramberské trúby
Plocha Montpellierského oblouku
Plocha Marseillského oblouku
Plocha Šikmého průchodu
36
Slide 37
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Konoidy
Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v
konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid.
Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně.
Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu:
kruhový konoid
eliptický konoid
šroubový konoid
…
Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá
přímka v konečnu s řídící s řídící rovinou
= 90 – přímý konoid
≠ 90 – kosý konoid
37
Slide 38
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
38
Slide 39
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící kružnicí k ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
39
Slide 40
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý kruhový konoid
Příklad:
V kosoúhlém promítání (=135,
qx=2/3) je dán přímý kruhový
konoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35,
0], r=) v půdorysně, řídící rovinou
a řídící přímkou 2k . Přímka
2k prochází bodem M[0, 35, 80].
Sestrojte několik tvořících přímek
konoidu, určete stupeň plochy.
40
Slide 41
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
41
Slide 42
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
zadání
řídící rovinou (c ∞ )
řídící přímkou d
řídící parabolou p ; , d
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
42
Slide 43
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Přímý parabolický konoid
43
Slide 44
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
44
Slide 45
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
zadání
dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d
kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se
středem na ose mimoběžek 1d a 2d.
stupeň křivky:
2·1·1·2=4
45
Slide 46
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Štramberské trúby
46
Slide 47
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
47
Slide 48
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
zadání
řídící kružnicí k
řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice
k kolmo na rovinu kružnice
řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s
rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d
stupeň křivky:
2·2·1·1=4
48
Slide 49
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Montpellierského oblouku
49
Slide 50
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie BA03
Plocha Montpellierského oblouku
Příklad:
V Mongeově promítání
sestrojte Montpelliérský
oblouk daný řídící
kružnicí 1k (S [0, 20, 0],
r = 40), která leží v
rovině ν' || ν (x, z), dále
řídící přímkou 2d || x1,2,
Q 2d, Q [0, 60, 60] a
přímkou 3d, 3d ν, S
3d. Plochu omezte řídící
kružnicí 1k, řídící
přímkou 2d a rovinami α
(20, -20, ) a β (-20, 20, ). Dále sestrojte
řez rovinou ρ(, 80, 65).
50
Slide 51
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
51
Slide 52
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
zadání
řídící kružnicí 1k(1S, 1r) 1
řídící kružnicí 2k(2S, 2r) 2, 1
řídící přímkou d, 1Sd, 2Sd, d 1, 2
2
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1=6
52
Slide 53
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
53
Slide 54
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha Marseillského oblouku
Příklad:
V kolmé axonometrii
Δ(90, 110, 95) je dána
plocha Marseillského
oblouku určena řídícími
kružnicemi 1k (1S[0, 47,
0], r=30) v bokorysně
, 2k (2S[30, 47, -10],
r=50) v ronině
rovnoběžné s a řídící
přímkou 3k procházející
bodem 1S kolmo k
rovině . Sestrojte část
plochy nad půdorysnou
, omezenou rovina v
nichž leží řídící kružnice.
54
Slide 55
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
55
Slide 56
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
zadání
řídícími kružnicemi 1k a 2k, ležících v rovnoběžných
rovinách, o stejném poloměru a středech 1S a 2S
řídící přímkou d, kolmou na roviny kružnic a
procházejí středem úsečky 1S 2S
stupeň křivky:
2·2·2·1-2·1-2=4
56
Slide 57
Jan Šafařík: Zborcené plochy
Deskriptivní geometrie pro kombinované studium BA03
Plocha šikmého průchodu
Vyšehradský tunel
57
Slide 58
dále viz …
Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt
VUT v Brně:
Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební
fakulty Vysokého učení technického v Brně,
Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v
Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.
Slide 59
Konec
Děkuji za pozornost