Transcript FUNKCIE
Autorky SOČ: Barbora Kuffová Miroslava Špirková
Konzultantka: RNDr. Marta Mlynarčíková
Prehľady grafov funkcií a ich vlastností
Lineárne a kvadratické funkcie
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Barbora Kuffová, 3. A
Miroslava Špirková, 3. A
Gymnázium P. O. Hviezdoslava Hviezdoslavova 20 060 14 KEŽMAROK SOČ 2008 – odbor 02: Matematika, fyzika
RNDr. Marta Mlynarčíková
Gymnázium P. O. Hviezdoslava aprobácia: matematika, fyzika mmlynarcikova @ gmail.com
www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova
Lineárne a kvadratické funkcie
č. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami
č. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom
č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou
č. 5: funkcia s absolútnou hodnotou
č. 6: graf kvadratickej funkcie
č. 7: graf kvadratickej funkcie
č. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede
č. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha
č. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede
č. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede
č. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu
č. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Goniometrické funkcie
č. 1: graf funkcie s kosínusom
č. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom
č. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou
č. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha
č. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou
č. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotou
č. 8: graf funkcie s kosínusom
č. 9: graf funkcie s tangensom
č. 10: graf funkcie s kotangensom
č. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede
Lineárne a kvadratické funkcie
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Mocninové funkcie
č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede
č. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede
č. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede
č. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede
č. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou
č. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou
č. 12: rovnica s 3 odmocninami
č. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou
Lineárne a kvadratické funkcie
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Exponenciálne a logaritmické funkcie
č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede
č. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede
č. 3: graf exponenciálnej funkcie
č. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke
č. 8: graf logaritmickej funkcie
č. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 11: graf exponenciálnej funkcie
č. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou
č. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka
testových úloh k maturit ě z matematiky, str. 49)
Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm.
Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,7 cm. a) Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí.
b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva jej nosnosť do 120 kg.
c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg.
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
a)
f
:
p
0 , 025 .
m
5 , 2 c)
Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.
b)
Lineárne a kvadratické funkcie
Vzorce, grafy
Lineárna funkcia:
f
:
y
a
.
x
b
,
a
,
b
R
Graf lineárnej funkcie - priamka
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka) cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
b) m ... hmotnosť osoby v kg p ... prehnutie sedadla stoličky v cm a)
f
:
p
a
.
m
b
,
a
,
b
R
6 , 2
a
.
40
b
6 , 7
a
.
60
b
Riešením sústavy rovníc určíme koeficienty a, b
a
0 , 025
f b
5 , 2 :
p
0 , 025 .
m
5 , 2 c)
m
90
p
0 , 025 .
90 5 , 2 7 , 45
Lineárne a kvadratické funkcie
Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
1
x
x
3
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
f
:
y
1
x
x
3
D
R
,
H
2 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=2 funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na intervale 3 , funkcia f je klesajúca na intervale , 1
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Vzorce, grafy
a
0
f
:
y
b f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
b
Definícia:
a
R
:
a
0
a
a a
0
a
a
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f 1 Uf 2 Uf 3 sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| + |x - 3| x-3=0 x=3
f
1 :
y
1
x
x
3 2
x
4
f
2 :
y
1
x
x
3 2
f
3 :
y
1
x
x
3 2
x
4
Lineárne a kvadratické funkcie
f
1 :
y
2
x
4
f
2 :
y
2
f
3 :
y
2
x
4
f
:
y
1
x
x
3 Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Zadanie úlohy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka
testových úloh k maturit ě z matematiky, str. 52)
Je daná funkcia
f
.
f
:
y
1
x
1 2
x
2 a) Zostrojte graf funkcie
f
.
b) Pomocou grafu funkcie
f
určte počet riešení rovnice 1
x
1 2
x
2
p
v závislosti od hodnoty reálneho parametra
p
.
Lineárne a kvadratické funkcie
a)
Výsledok
b)
p
, 3 2 rovnica nemá riešenie
p
3 2 rovnica má jedno riešenie
p
3 2 , rovnica má dve riešenia
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Vzorce, grafy
a
0
f
:
y
b f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
b
Definícia:
a
R
:
a
0
a
a a
0
a
a
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f 1 Uf 2 Uf 3 ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií g p počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| -0,5.|x + 2| x+2=0 x=-2
f
1 :
y
1
x
1 2
x
2 1 2
x
2
f
2 :
y
1
x
1 2
x
2 3 2
x f
3 :
y
1
x
1 2
x
2 1 2
x
2
Lineárne a kvadratické funkcie
f p
f
1 , 3 2
f
2
f
3 1
x
1 2 rovnica nemá riešenie
x
2
p p
3 2 rovnica má jedno riešenie
p
3 2 , rovnica má dve riešenia
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
x x
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
f
:
y
x x D
R
,
H
funkcia f je nepárna 1 , 1 funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f je zhora ohraničená, h=1
Lineárne a kvadratické funkcie
funkcia f má neostré maximum pre ka ž dé x>0 funkcia f má neostré minimum pre ka ž dé x<0 funkcia f nie je rastúca funkcia f nie je klesajúca
Základný graf
f
:
y
x x f
:
y
x x
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
musíte si uvedomiť, že úloha pre x=0 nemá riešenie funkcia f bude zjednotením dvoch funkcií f 1 a f 2 definičný obor funkcie f 1 x menšie ako 0 je pre x väčšie ako 0 a funkcie f 2 pre načrtnite funkciu f1: y= x /x =1 , pričom x sú čísla kladné načrtnite funkciu f2: y= -x /x=-1 , pričom x sú čísla záporné
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
x x
1
f
2 :
y
x x
1
f
:
y
x x
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
x
2
x
2 4
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
D H
f
R
4 , f nemá maximum ani minimum f je zdola ohraničená d=-4 f nie je zhora ohraničená f nie je prostá, nie je párna ani nepárna, nie je periodická f je klesajúca na intervale f je rastúca na intervale , 2
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Základné grafy, vzorce
a
0
f
:
y
b f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
b
Lineárne a kvadratické funkcie
Definícia:
a
R
:
a
0
a
a a
0
a
a a
2
b
2
a
b
a
b
Návod na riešenie úlohy
určte definičný obor funkcie f využite definíciu absolútnej hodnoty a v menovateli zlomku nahraďte absolútnu hodnotu výrazom, ktorý sa jej na príslušnom intervale rovná – získate tak dve funkcie, ktorých rovnice už neobsahujú absolútnu hodnotu výraz v menovateľoch rozložte na súčin a vykráťte zlomky do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy oboch funkcií graf pôvodnej funkcie je zjednotením grafov oboch funkcií pri zohľadnení ich definičných oborov sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
f
:
y
x
2
x
4 2
D
R
x
R
:
x
2
x
2
x
2
f
1 :
y
x
2 4
x
2
x
2 .
x x
2 2
x
2 Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
x
R
:
x
2
x
2
x
2
f
2 :
y
x
2 4
x
2
x
2
x
.
x
2 2
x
2
f
f
1
f
2 Graf funkcie f je zjednotením grafov funkcií f 1 a f 2 , je potrebné zoh ľ adni ť , ž e
D
1 2 , 2 Grafom funkcie f je teda zjednotenie dvoch polpriamok bez počiatočných bodov.
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
2
x
2 5
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
f
:
y
2
x
2 5
D
R
,
H
5 , funkcia f je párna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f nie je zhora ohraničená
Lineárne a kvadratické funkcie
funkcia f má ostré minimum v bode x=0 funkcia f nemá maximum funkcia f je rastúca na intervale 0 , funkcia f je klesajúca na intervale , 0
Základný graf
y
x
2
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2 načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.x
2 zväčší dvakrát ... každá funkčná hodnota sa načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=2.x
2 -5 ... posun o 5 nadol sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Lineárne a kvadratické funkcie
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
y
x
2
y
2
x
2
Lineárne a kvadratické funkcie
y
2
x
2 5
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
2
x
2 2
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
f
:
y
2
x
2 2
D
R
,
H
, 2 funkcia f je rastúca na intervale , 0 funkcia f je párna funkcia f je klesajúca na intervale 0 , funkcia f nie je prostá funkcia f je zhora ohraničená, h=2 funkcia f má maximum v bode x = 0 funkcia f nemá maximum funkcia f nie je zdola ohraničená
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Základný graf
f
:
y
ax
2
bx
c a
0
f
:
y
ax
2
bx
c
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2 načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.x
2 zväčší dvakrát ... každá funkčná hodnota sa načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=-2.x
2 ... preklopenie pod os x načrtnite graf funkcie f 4 =f: y=-2.x
2 +2 ... posun o 2 nahor sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Lineárne a kvadratické funkcie
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
f
1 :
y
x
2
f
2 :
y
2
x
2
f
3 :
y
2
x
2
f
:
y
2
x
2 2
Úplné riešenie úlohy
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
Graf ktorej funkcie je na obrázku?
A. f : y = x 2 B. f : y = - x 2 C. f : y = -x D. f : y = - x 2 2 - 2x – 3 - 2x + 3 - 2x + 4 + 2x + 3 E. f : y = - 2x 2 + 4x + 6
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
D f : y = - x 2 + 2x + 3
Lineárne a kvadratické funkcie
Základné grafy
f
:
y
ax
2
bx
c a
0
f
:
y
ax
2
bx
c a
0
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
podľa grafu funkcie rozhodnite, aké znamienko má koeficient a pri kvadratickom člene - vylúčte rovnice, ktoré nevyhovujú z obrázku vyplýva, že f(1)=4 , dosadením do rovníc funkcií, ktoré vyhovujú podmienke pre koeficient a, dosaďte za x=1 , vypočítajte y a zistite, v ktorom prípade je y=4 ... ak to vychádza len v jednej funkcie, je to riešenie úlohy z obrázku určte nulové body funkcie ... f(x)=0 a dosadením do rovnice zistite či vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že každú funkciu upravíte na vrcholový tvar, určíte súradnice vrcholov a overíte na obr., ktorá funkcia má zodpovedajúce súradnice vrcholu ... tento postup je zdĺhavý
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
Na obr. je kvadratická funkcia, ktorá má vo vrchole maximum, preto koeficient a pri kvadratickom člene je záporný – nevyhovuje rovnica funkcie v prípade A.
Do ostatných rovníc dosadíme za x=1 a vypočítame y:
B
:
f
1 2 3 0 4
C
:
f
1 2 4 1 4
D
:
f
1 2 3 4
E
:
f
2 4 6 8 4 Ke ďž e vyhovuje len jedna funkcia, správna odpove ď je D .
Zlo ž itejší postup úpravou na vrcholový tvar:
B
:
y C
:
y
x
2
x
2 2
x
3 2
x
4
x
2
x
2 2
x
3 2
x
4
x
x
2 2 2 .
x
.
1 1 2 1 3 2 .
x
.
1 1 2 1 4
x
1 2
x
1 2 4 5
D
:
E
:
y y
x
2 2
x
2 2
x
3 4
x
6
x
2 2
x
2 2
x
3 2
x
6
x
2 2 .
x
.
1 1 2 2
x
2 1 3
x
1 2 2 .
x
.
1 1 2 2 6 4 2
x
1 2 8
V
1 , 4
V
1 , 5
V
V
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/erkennen.html
) K daným grafom A – F prira ď te predpisy funkcií .
f
1 :
y
x
2
x f f
2 : 3
y
:
y
x
3
x
2
x f
4 :
y
2
x
3
f
5 :
y
x
2 2
x
1
f
6 :
y
1 Podobné úlohy si mô ž ete precvičova ť na hore uvedenej www stránke.
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
A – f 3 B – f 4 D – f 5 E – f 2 C – f 1 F – f 6
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Základné grafy
a
0
f
:
y
ax
b f
:
y
ax
2
bx
c a
0
f
:
y
ax
b a
0
a
0
f
:
y
ax
2
bx
c a
0
f
:
y
b
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
medzi grafmi je jediná konštantná funkcia - priraďte jej správnu rovnicu medzi grafmi sú dve klesajúce lineárne funkcie - rovnice správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0 medzi grafmi sú tri kvadratické funkcie – rozhodnite, ktorý graf patrí k rovnici so záporným koeficientom a rovnice dvoch kvadratických funkcií pre a>0 správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
f
3 :
y
x
2
x f
4 :
y
2
x
3
f
1 :
y
x
2
x f
5 :
y
x
2 2
x
1
f
2 :
y
x
3
f
6 :
y
1
Lineárne a kvadratické funkcie
A C
Zadanie úlohy
Na ktorom obrázku je graf funkcie f ?
f
:
y
x
.
x
B E D
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
C
Lineárne a kvadratické funkcie
Vzorce, grafy
Definícia:
a
R
:
a
0
a
a a
0
a
a
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
využite definíciu absolútnej hodnoty reálneho čísla funkciu f skúmajte ako zjednotenie 2 funkcií nezabudnite zohľadniť intervaly, na ktorých je definovaná každá z funkcií skontrolujte výpočtom, či váš vybraný graf prechádza vyznačenými bodmi
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
x
R
:
x
0
x
R
:
x
0
f f x
x
x
x
f
1 :
f
2 :
y
y
x
.
x
x
2
x
.
:
f
1
y
x
2
f
2 pre každé reálne číslo
x
2 grafom funkcie
f
:
y
x
.
x je parabola v základnej polohe ako graf funcie
y
x
2 , preto správny graf je na obr.
C
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
1 2
x
2 3
x
5 2
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
f
:
y
1 2
x
2 3
x
5 2
D
R
,
H
0 , funkcia f je klesajúca na intervaloch , 1 a 3, 5 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je rastúca na intervaloch 1 , 3 a 5, funkcia f nie je prostá funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je zdola ohraničená , d=0 funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5 funkcia f nemá maximum
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Základný graf
f
:
y
ax
2
bx
c a
0
f
:
y
ax
2
bx
c
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3) 2 -2| načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2 načrtnite graf funkcie f 2 : y=(x-3) 2 zväčší dvakrát ... posun o 3 doprava načrtnite graf funkcie f 3 : y= 0,5.(x-3) 2 ... všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia načrtnite graf funkcie f 4 : y= 0,5.(x-3) 2 -2 ... posun o 2 nadol načrtnite graf funkcie f 5 =f: y=| 0,5.(x-3) 2 -2| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Lineárne a kvadratické funkcie
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
f
1 :
y
x
2
f
2 :
y
x
3 2
f
3 :
y
1 2
x
3 2
Úplné riešenie úlohy
f
3 :
y
1 2
x
3 2 2
f
3 :
y
1 2
x
3 2 2
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh
k maturit ě z matematiky, str. 46)
Dĺžka obdĺžnika je dvakrát väčšia než jeho šírka. Obdĺžnik sa zmení tak, že jeho šírka sa zväčší o 0,2 m a jeho dĺžka sa zväčší na dvojnásobok novej šírky. Od pôvodnej šírky x metrov:
A:
závisí prírastok obvodu aj prírastok obsahu obdĺžnika
B:
závisí prírastok obvodu ale nezávisí prírastok obsahu obdĺžnika
C:
nezávisí prírastok obvodu ale závisí prírastok obsahu obdĺžnika
D:
nezávisí ani prírastok obvodu, ani prírastok obsahu obdĺžnika
Lineárne a kvadratické funkcie
Výsledok
C ( od pôvodnej šírky x nezávisí prírastok odvodu ale závisí prírastok obsahu obd ĺž nika )
o
o
o
1 , 2
S
S
S
0 , 8
x
0 , 08
Lineárne a kvadratické funkcie
Vzorce, grafy
b a Prírastok obvodu: Prírastok obsahu:
o
2 .
a
b
S
a
.
b
o
o
o
S
S
S
Návod na riešenie úlohy
vyjadrite obvod a obsah pôvodného obdĺžnika pomocou jeho šírky x vyjadrite obvod a obsah zmeneného obdĺžnika pomocou šírky pôvodného obdĺžnika x prírastok obvodu je rozdiel obvodu zmeneného obdĺžnika a obvodu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x prírastok obsahu je rozdiel obsahu zmeneného obdĺžnika a obsahu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x pozorne čítajte ponuknuté možnosti a vyberte správnu odpoveď, ktorá zodpovedá predchádzajúcim výpočtom
Lineárne a kvadratické funkcie
o
2 .
x
2
Úplné riešenie úlohy
x
6
x o
2 .
2 .
3
x
x
0 , 2 0 , 6
6 2 .
x x
1 , 0 , 2 2
S
x
.
2
x
2
x
2
S
2 .
x x
2 0 , 0 , 2 .
4
x
x
0 , 04 0 , 2
x
2
x
2 0 , 2 2 0 , 8
x
0 , 08
o
o
o
6
x
1 , 2 6
x
1 , 2 Prírastok obvodu nezávisí od x.
S
S
S
2
x
2 0 , 8
x
0 , 08 2
x
2 0 , 8
x
0 , 08 Prírastok obsahu závisí od x. ( je lineárnou funkciou x ) Správna odpove ď je C
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh
k maturit ě z matematiky, str. 50)
Auto má spotrebu 6 litrov benzínu na 100 km. Na začiatku jazdy malo v plnej nádrži 36 litrov benzínu.
a) Vyjadrite závislosť počtu litrov v nádrži od počtu prejdených kilometrov.
b) Zostrojte graf určenej závislosti.
c) Po koľkých kilometroch jazdy bude v nádrži posledný liter benzínu?
Lineárne a kvadratické funkcie
a)
Výsledok
f
:
V
36 0 , 06 .
s
V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km
D
0 , 600
H
0 , 36 b) c) V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy.
Lineárne a kvadratické funkcie
a
0
Vzorce, grafy
f
:
y
b a
0
f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
b
Lineárna funkcia:
f
:
y
a
.
x
b
,
a
,
b
R
Graf lineárnej funkcie - priamka
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
označte si premenné – napr. V – objem benzínu v nádrži v litroch, s – počet prejdených kilometrov vyjadrite spotrebu benzínu na 1 km uvedomte si, že s množstvom prejdených km sa zmenšuje objem benzínu v nádrži vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť objemu benzínu v nádrži od prejdených kilometrov vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka) zohľadnite obmedzenie definičného oboru a oboru hodnôt vyplývajúce z reálnej situácie do rovnice funkcie f dosaďte za V=1 a vypočítajte s
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
b) a) označme: V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km spotreba .... 6 litrov na 100 km t. j. 0,06 l na 1 km funkcia f, ktorá vyjadruje hľadanú závislosť je preto:
f
:
V
36 0 , 06 .
s
f je lineárna klesajúca funkcia, jej grafom je úsečka
D
0 , 600
H
0 , 36 c)
V
1 1 36 0 , 06 .
s
s
35 0 , 06 583 , 3 V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy.
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
(ZHOUF, J. a kol:
Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52)
Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h
-1 , začal brzdiť s konštantným zrýchlením 5 m.s
-2 orientovaným proti smeru pohybu. a) Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia.
b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť a dráha od času.
c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h
-1 a začal brzdiť 30 m pred prekážkou.
Lineárne a kvadratické funkcie
a)
Výsledok
Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.
b)
f
:
v
v
0
at
25 5
t g
:
s
v
0
t
1 2
at
2 25
t
5 2
t
2 c) Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.
Lineárne a kvadratické funkcie
Vzorce, grafy
Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb:
v
v
0
at s
v
0
t
1 2
at
2
a
0
a
0
f
:
y
ax
b a
0
a
0
f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
2
bx
c f
:
y
ax
2
bx
c
Lineárne a kvadratické funkcie
Návod na riešenie úlohy
premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s
-1 zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku
Lineárne a kvadratické funkcie
v
0
a
a) 90
km
.
h
1 5
m
.
s
2 25
Úplné riešenie úlohy
m
.
s
1 b)
f
:
v
v
0
at
25 5
t v
v
0
at s
v
0
t
1 2
at
2 ... lineárna klesajúca funkcia pri zastavení
v
0
m
.
s
1 0
v
0
at
t
v
0
a s
v
0
v a
0 1 2
a v a
0 2
v
2 0 2
a s
25 2 2 .
5 62 , 5
m
Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.
Lineárne a kvadratické funkcie
Úplné riešenie úlohy
b)
g
:
s
v
0
t
1 2
at
2 25
t
5 2
t
2 ... kvadratická funkcia c)
v
0 90
km
.
h
1 25
m
.
s
1
s
30
m s
30
v
0
t
25
t
1 2 1 2
at
5
t
2 2
t t
2 10
D
52
t
12 1 1 , 4
s
(
t
2 0 8 , 6
s
5
s
)
v
v
0
at v
25 5 .
1 , 4 18
m
.
s
1 64 , 8
km
.
h
1 Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.
Lineárne a kvadratické funkcie
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
2 cos
x
4
Výsledok
f
:
y
2 cos
x
4
D
R
,
H
2 , 2 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min 2 funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f je zhora ohraničená, h=2
funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,25 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=1,25 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (1,25 π +2k π , 2,25 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,25 π +2k π , 1,25 π +2k π ) , k є Z
Základný graf
f
:
y
cos
x
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=cos x načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.cos x ... každá funkčná hodnota sa zväčší dvakrát načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=2.cos (x-π/4) ... posun o π/4 doprava sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
cos
x
f
2 :
y
2 cos
x
f
:
y
2 cos
x
4
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie
f a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
sin 2
x
sin
x
cos 2
x
Výsledok
f
:
y
sin 2
x
sin
x
cos 2
x
funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d= 0 funkcia f je zhora ohraničená, h= 2
funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode X=1,5 π +k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale ( -0,5 π +k π , 0,5 π +k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +k π , 1,5 π +k π ) , k є Z
Vzorce, grafy
sin 2
x
cos 2
x
1
f
:
y
sin
x
Návod na riešenie úlohy
sin sin
x
cos
x
sin
x
cos
x x
1 načrtnite graf funkcie f 1 : y=sin x načrtnite graf funkcie f: y= sin x +1 ...funkcia f sa posunie o 1 hore sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
sin
x f f
: :
y y
sin 2 sin
x
x
1 sin
x
cos 2
x
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
sin
x
sin
x
Výsledok
f
:
y
sin
x
sin
x D
R
,
H
0 , 2 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min 2 funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je zhora ohraničená, h=2
funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f nemá minimum
funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0 π +2k π , 0,5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , π +2k π ) , k є Z
Základný graf
f
:
y
sin
Návod na riešenie úlohy
funkciu f si rozdeľte na funkcie f1 a f2, pričom sin x v absolútnej hodnote vo funkcii f1 je kladný a vo funkcii f2 záporný načrtnite graf funkcie f 1 : y= sin x +sin x y=2sin x načrtnite graf funkcie f 2 : y=sin x –sin x y=0 funkcia f1 platí pre sin x kladné, čiže funkciu f1 zvýraznite na intervaloch (0+2k π , π + 2k π ) funkcia f2 platí pre sin x záporné, čiže ju zvýrazníte na intervaloch( π + 2k π , 2 π + 2k π ) zvýraznené časti tvoria funkciu f: y=sin x + |sin x| sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
2 sin
f
2 :
y
0
f
3 :
y
sin
x
sin
x
Zadanie úlohy
( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 ) K daným grafom A – F prira ď te predpisy funkcií .
f
1 :
y
cos
x f
2 :
y
cos
x
2
f
3 :
y
sin
x f
4 :
y f
5 :
y f
6 :
y
2 .
sin sin 2
x
cos
x
4
Výsledok
A – f 1 B – f 5 D – f 4 E – f 2 C – f 6 F – f 3
f
:
y
sin
x
Základné grafy
g
:
y
cos
Návod na riešenie úlohy
nájdite medzi grafmi základné funkcie y=sinx a y=cosx nájdite medzi grafmi niektorú zo základných funkcií posunutú len v smere osi x a priraďte jej rovnicu y=sin(x±d) alebo
y=cos(x±d)
nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej obor hodnôt je <-2,2> a priraďte jej rovnicu y =2.sinx alebo y=2.cosx nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zväčšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(x/2) alebo y=cos(x/2) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zmenšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(2x) alebo y=cos(2x) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom
Úplné riešenie úlohy
f
1
f
5
f
6
f
4
f
2
f
3
f
1 :
y
cos
x f
2 :
y
cos
x
2
f
3 :
y
sin
x f
4 :
y f
5 :
y f
6 :
y
2 .
sin sin 2
x
cos
x
4
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
tg
4 1
Výsledok
f
:
y
tg
4 1
D
R
k Z 0,75.
k.
,
H
1 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f nie je zhora ohraničená
funkcia f nemá maximum funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=0,25 π +k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0,25 π +k π , 0,75 π +k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (-0,25 π +k π , 0,25 π +k π ) , k є Z
Základný graf
f
:
y
tg
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=tgx načrtnite graf funkcie f 2 : y=tg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava načrtnite graf funkcie f 3 : y=|tg(x-π/4)| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=|tg(x-π/4)|-1 ... posun o 1 nadol sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
tg
f
2 :
y
tg
4
f
3 :
y
tg
4
f
4
f
:
y
tg
4 1
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
3 .
cos
x
2 4
Výsledok
f
:
y
3 cos 1 2 2
D
R
,
H
0 , 3 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min 2 funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je zhora ohraničená, h=3
funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=1,5 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , 1,5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (1,5 π +2k π , 2,5 π +2k π ) , k є Z
Základný graf
f
1 :
y
cos
Návod na riešenie úlohy
v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| načrtnite graf funkcie f 1 : y=cosx načrtnite graf funkcie f 2 : y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f 3 : y=cos[1/2.(x+π/2)] ... perióda sa dvakrát zväčší načrtnite graf funkcie f 4 : y=|cos[1/2.(x+π/2)]| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Úplné riešenie úlohy
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
f
1 :
y
cos
f
2 :
y
cos
x
2
f
3 :
y
cos 1 2 2
f
4 :
y
cos 1 2
2
f
5
f
:
y
3 cos 1 2
2
Zadanie úlohy
V obore reálnych čísel riešte rovnicu 2 sin
x
sin 3
x
5 0
Výsledok
K
k
Z
3 2
2
k
Vzorce, grafy
am
2
bm
c
0
D
b
2 4
ac m
1 , 2
b
2
a D
sin
x
y M
M – priesečník koncového ramena uhla s jednotkovou kružnicou
f
:
y
sin
x
Návod na riešenie úlohy
vynásobte rovnicu výrazom sinx použite substitúciu: sinx=m vyriešte kvadratickú rovnicu s neznámou m vráťte sa k substitúcii a vyriešte jednoduché goniometrické rovnice ( využite jednotkovú kružnicu alebo graf funkcie, uvedomte si, čo je oborom hodnôt funkcie sínus ) nezabudnite na periodičnosť funkcie sínus a zohľadnite to pri zápise koreňov pôvodná rovnica obsahovala zlomok, preto nezabudnite na podmienky zapíšte množinu všetkých riešení rovnice
2 sin 2 sin 2
x x
sin 5 3
x
sin 5
x
3 0 0 substitúci a sin 2
m
2
D
5
m
3 0 25 4 .
2 .
3 1
x
m m
1 , 2 5 1 2 .
2
m
1 1
m
2 3 2
Úplné riešenie úlohy
sin
x
1
x
3 2 2
k
sin
x
rovnica 3 2 nemá riešenie podmienky
x
k
: sin
x
0
K
k
Z
3 2 2
k
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
4 cos
x
2
Výsledok
f
:
y
4 cos
x
2
D
R
,
H
4 , 4 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min 2 funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d= 4 funkcia f je zhora ohraničená, h= 4
funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode X=1,5 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale ( -0, 5 π +2k π , 0, 5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , 1,5 π +2k π ) , k є Z
Základný graf
f
1 :
y
cos
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=cosx načrtnite graf funkcie f 2 : y=cos(x-π/2) ... posun o π/2 doprava načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=4cos(x hodnoty sa zväčšia štyrikrát π /2 )…,,natiahnutie“ funkčné sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Úplné riešenie úlohy
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
f
1 :
y
cos
f
2 :
y
cos
x
2
f
3 :
y
4 cos
x
2
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
3 tan 2
Výsledok
f
:
y
3 tan 2
D
R
k ,
H k Z
funkcia f je nepárna funkcia f je periodická
R p
min funkcia f nie je prostá funkcia nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f nemá maximum funkcia f nemá minimum funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale 0
k
,
k
Základný graf
f
:
y
tan
x
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=tan x načrtnite graf funkcie f 2 : y=tan(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=3tan(x+π/2)... Hodnoty f sa trikrát zväčšia sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
tan
f
2 :
y
tan 2
f
3 :
y
3 tan 2
Zadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
f
:
y
5 cot
g
4 2
Výsledok
f
:
y
5 cot
g
4 2
D
R
k Z 4 k ,
H
R
funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická
p
min funkcia f nie je prostá funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená
funkcia f nemá maximá funkcia f nemá minimá funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale 0 , 25 , 1 , 25
Základný graf
f
:
y
cot
g
Návod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f 1 : y=cotg x načrtnite graf funkcie f 2 : y=cotg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava načrtnite graf funkcie f 3 : y=5cotg(x-π/4)... hodnoty sa päťkrát zväčšia načrtnite graf funkcie f 4 =f: y=5cotg(x-π/4)-2...posun o dva dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
cot
g f
2 :
y
cot
g
4
f
3 :
y
5 cot
g
4
f
4 :
y
5 cot
g
4 2
Zadanie úlohy
ČERNEK, P. – KUBÁČEK, Z.:
MONITOR: NOVÁ MATURITA MATEMATIKA str. 69
Na obrázku je časť grafu funkcie f.
Aký obsah má vyfarbený obdĺžnik?
f
:
y
3 .
cos
x
2 A: 3 B: 6 D: 18
C: 12 E: 24
E
Výsledok
Vzorce, grafy
Obsah obdĺžnika: S = a.b
f
1 :
y
cos
Návod na riešenie úlohy
určte minimálnu periódu funkcie f – jej veľkosť je dĺžkou obdĺžnika určte obor hodnôt funkcie f a pomocou neho zistite šírku obdĺžnika vypočítajte obsah obdĺžnika a vyberte správnu odpoveď
Úplné riešenie úlohy
f
:
y
3 .
cos
x
2
p
min 4
a
4
S
a
.
b
4 .
6 24
H
3 , 3
b
6 správna odpove ď je E
Spracovala: Klaudia Pisarčíková, 2.B
Zadanie úlohy
V R riešte rovnicu : sin 2x
tg x
Výsledok
K k ; 4
k
2
Vzorce, grafy
sin 2x
2sin x .
cos x
tg x sin
x
cos x
Návod na riešenie úlohy Najprv som musela pou odstránila z menovate
ľ
cos x
ž
i
ť
uvedené vzorce, potom som a zlomku vykrátením,
ď
alej som vy
ň
ala sin x . Na koniec som určila podmienky a z toho korene.
Úplné riešenie úlohy
sin 2x tg x 2sin x 2sin x .
cos x .
cos x .
sin x cos x /.co
s x cos x sin x 2sin x .
cos 2 x sin x 0 sin x ( 2cos x 1) 0 sin x 0 (2cos 2 1 ) 0 x k 2cos 2 x 1 cos 2 x 1 2 cos x 1 2 cos x x 1 4 1
k
2 2 2 2
Spracovala: Veronika Gurecková, 2.B
Zadanie úlohy
Na intervale (0,2π) riešte rovnice: a) cos v + sin 2v = 0 b) tg2x + 4sin2 x - 3 = 0
Výsledok
a)
K= {π/2, 3π/2, 7π/6, 11π/6}
b)
K= {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}
Vzorce, grafy
a) sin 2x= 2sin x cos x b) tg x= sin x/ cos x cos²x= 1- sin²x
Návod na riešenie úlohy
v oboch prípadoch najskôr použijeme vhodné vzorce a) vyjmeme pred zátvorku čo sa dá b) dáme na společného menovateľa a roznásobíme a) uvažujeme, kedy sa to rovná nule a dopočítame pre sin aj cos b) riešime kvadratickú rovnicu pre sin² x a uvažujeme o sin x
Úplné riešenie úlohy
a) cos v + sin 2v = 0 cos v + 2sin v cos v = 0 cos v ·(1+ 2sin v) = 0 cos v = 0 alebo sin v = -1/2 (v =π/2 alebo v = 3π/2) alebo (v = 7π/6 alebo v = 11π/6) b) tg ²x + 4sin² x-3 = 0 sin ²x/cos ²x +4sin ² x-3 = 0 1- sin²x -4sin²˙²x + 8sin²x – 3 = 0 4sin²˙²x – 8sin²x + 3 = 0 sin²x sin ²x + 4sin ² x · (1- sin ²x) -3 · (1- sin ²x) = 0 1,2 =8 ± 8 √16 8 ± 4 8 = 1 ± 1/2 (sin² x patri <0,1> ∩ sin² x = 1± ½) =› sin² x =½ =› sin x =±√2/2 =› K
Zadanie úlohy
Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je párna?
A: B:
y
x
2 5
y
x
3
C: D:
y y
20
x x
6 6 4
E:
y
2
x
3
Výsledok
D
Základné grafy
f
:
y
x n
,
n
N
,
n
2
k f
:
y
x
n
,
n
N
,
n
2
k f
:
y
x n
,
n
N
,
n
2
k
1
f
:
y
x
n
,
n
N
,
n
2
k
1
Návod na riešenie úlohy
určte o aké typy funkcií ide a načrtnite si ich grafy grafy párnych funkcií sú súmerné podľa osi y ... určte, ktorý graf nie je súmerný podľa osi y a vyberte správnu odpoveď úlohu môžete riešiť aj overením, že pre niektorú z daných funkcií neplatí definícia párnej funkcie t. j., že
x
D
Úplné riešenie úlohy
f
1 :
y
x
2 5
f
4 :
y
x
6 4
f
2 :
y
x
3
f
3 :
y
20
x
6
f
5
f
:
y
2
x
3
Zadanie úlohy
f
1 :
y
x
1 3 8
f
2 :
y
x
2 3 1
f
3 :
y
x
2 3 1
f
4 :
y
x
1 2 6
f
5 :
y
x
2 2 1
Výsledok
f
3 :
y
x
2 3 1
f
:
y
x
2
Základné grafy
f
:
y
x
2 1
x
2
f
:
y
x
3
f
:
y
x
3 1
x
3
Návod na riešenie úlohy
najprv uvažujte o mocninovej funkcii f* bez absolútnej honoty ( ľavú časť grafu, ktorá je nad osou x preklopte pod os x ) rozhodnite aký základný druh mocninovej funkcie má graf tvarovo rovnaký ako f* ( mocninová funkciu s kladným alebo záporným exponentom, párnym alebo nepárnym exponentom ) - tým vylúčite niekoľko funkcií spomedzi rovníc, ktoré vám zostali vyberte správnu na základe posunu základného grafu vodorovným a zvislým smerom správnosť výberu rovnice môžete overiť výpočtom niekoľkých hodnôt funkcie f prípadne skúmaním definičných oborov funkcií
Úplné riešenie úlohy
z červeného grafu funkcie f získame preklopením modrý graf funkcie f*
f
1 :
y
3 8
f
2 :
y
3 1
f
3 :
y
x
2 3 1 graf modrej funkcie f* vznikol posunutím grafu ružovej funkcie f**
f
4 :
y
2 6
f
3 :
y
f
5 :
y
x
2 2 1 podľa tvaru grafu funkcií f* a f** vieme, že ide o mocninovú funkciu s prirodzeným nepárnym exponentom
f
* * :
y
x
3
x
2 3 1 z ponúkaných rovníc funkcie môže preto danému grafu zodpovedať len f 1 alebo f 3 modrá funkcia vznikla z ružovej posunom o 2 doprava a o 1 nahor, preto správnou rovnicou je
f 3
f
* :
y
x
2 3 1
Zadanie úlohy
f
:
y
x
1 3
f
:
y
x
1 2 1
f
:
y
x
1 2 1
f
:
y
x
1 3 1
f
:
y
x
1 2 1
C
Výsledok
f
:
y
x
1
2 1
f
:
y
x
2
Základné grafy
f
:
y
x
2 1
x
2
f
:
y
x
3
f
:
y
x
3 1
x
3
Návod na riešenie úlohy
určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší
1
D
správna mo ž nos ť je A alebo C V prípade A je hodnota funkcie f(0)=1 , preto mo ž nos ť A nevyhovuje, správna odpove ď je preto C.
Úplné riešenie úlohy
C Pre úplnos ť sú nakreslené grafy všetkých funkcií.
A B
f
:
y
x
1 3 D E
f
:
y
x
1 2 1
f
:
y
x
1 3 1
f
:
y
x
1 2 1
f
:
y
x
1 2 1
Zadanie úlohy
f
:
y
x
2 3
f
:
y
x
2 3 1
f
:
y
x
2 2 1
f
:
y
x
2 3 1
f
:
y
x
2 3 1
Výsledok
B
f
:
y
x
2
3 1
f
:
y
x
2
Základné grafy
f
:
y
x
2 1
x
2
f
:
y
x
3
f
:
y
x
3 1
x
3
Návod na riešenie úlohy
určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší
2
D
správna mo ž nos ť je B, C alebo E
Úplné riešenie úlohy
C Pre úplnos ť sú nakreslené grafy všetkých funkcií.
A D V prípade C je f(1) = 0 , v prípade B a E je f(1) =2 preto mo ž nos ť C nevyhovuje.
V prípade B je f(3) = 0 , v prípade E je f(3) =2 , preto správna odpove ď je B. B
f
:
y
x
2 3
f
:
y
x
2 3 1 E
f
:
y
x
2 2 1
f
:
y
x
2 3 1
f
:
y
x
2 3 1
Zadanie úlohy
Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút.
a)
Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu.
b)
Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h
-1 až 90 km.h
-1 .
c) d) e) f)
Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie.
Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny?
Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ?
Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ?
a)
f
:
t
1 2 120
v
b)
Výsledok
d) Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h
-1 .
d) c)
D
40 , 90
km
.
h
1
H
11 , 6 7 2
hod
1
hod
50 min, 3
hod
30 min
e) Najkratší možný čas cestovania je 1 hod a 50 min.
f) Cestujúci zaplatí na tejto trase 190 Sk.
Základný graf
f
:
y
k x
k>0
f
:
y
k x
k<0
s
v
.
t
Návod na riešenie úlohy
čas 30 min premeňte na hodiny a zo základného fyzikálneho vzorca vyjadrite čas v závislosti od priemernej rýchlosti a dráhy, potom nezabudnite pripočítať čas, ktorý stojí autobus na zastávkach uvedomte si, ktoré veličiny sa nemenia (sú konštantné) a na základe toho určte o aký typ funkcie ide vo vhodnej mierke načtrnite graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času jazdy od priemernej rýchlosti autobusu (vodorovná os – rýchlosť v, zvislá os – čas t) definičný obor funkcie je určený hraničnými priemernými rýchlosťami autobusu (zohľadnite to na grafe) a odčítaním z grafu alebo výpočtom určte obor hodnôt do rovnice funkcie dosaďte za t=2 hod a vypočítajte v , v grafe veďte cez 2 na zvislej osi rovnobežku s vodorovnou osou a v jej priesečníku s grafom veďte kolmicu na vodorovnú os a odčítajte rýchlosť najkratší čas cestovania určte z oboru hodnôt a vypočítajte cenu, ktorú zaplatí cestujúci
Úplné riešenie úlohy
a)
f
:
t
1 2
s v
1 2 120
v
c)
D
40 , 90
km
.
h
1 b)
v
90
km
.
h
1
t
1 2 120 90 1 2 4 3 11 6
v
40
km
.
h
1
t
1 2 120 40 1 2 3 7 2
H
11 , 6 7 2
hod
1
hod
50 min, 3 , 5
hod
d) d)
t
2 2 1 2 120
v
v
120 3 240 3 80 2 Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h
-1 .
e) f) Najkratší čas cestovania dosiahneme pri najvyššej priemernej rýchlosti autobusu: 1 120
v
90
km
.
h
1
t
min 2 90 1 2 4 3 11
hod
6 1
hod
50 min .
Cestujúci zaplatí
c
120 .
1 , 5 10 190
Sk
Zadanie úlohy
Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré sú riešeniami nerovnice
x x
1 3 4
x
11
Výsledok
Súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej nerovnici je 7
K
, 2
3 , 4
N
1 , 2 , 4
f
:
y
k x k
0
Základné grafy
f
:
y
k x k
0
f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
ax
b a
0
f
:
y
b a
0
Návod na riešenie úlohy
nerovnicu je vhodné riešiť graficky výraz na ľavej strane nerovnice určuje funkciu upravte rovnicu funkcie f na tvar
f
:
y
r
f x k
s
:
y
x x
1 3 načrtnite graf funkcie f ( je to lineárne lomená funkcia, ktorej grafom je hyperbola, preto je potrebné najprv narysovať asymptoty) výraz na pravej strane nerovnice určuje funkciu
g
:
y
4 do tej istej súradnicovej sústavy načrtnite graf funkcie g
x
11 priesečníky grafov zodpovedajú riešeniu rovnice, pri riešení nerovnice hľadáme všetky hodnoty x, pre ktoré je graf funkcie f nad grafom funkcie g z grafov odčítame všetky prirodzené čísla, ktoré vyhovujú nerovnici a určíme ich súčet skúste danú nerovnicu vyriešiť aj numericky a porovnajte náročnosť riešenia
x x
1 3 4
x
11
Úplné riešenie úlohy
1
f
:
y
x
Graficky vyriešime danú
f
g
:
y
x
4
x
3 11
f
Funkcia f je lineárna lomená funkcia.
:
y
x x
1 3 1
x
4 3
D
R
,
R
g je lineárna funkcia.
Z grafov odčítame priesečníky oboch funkcií ako aj riešenie nerovnice. V R je to zjednotenie intervalov , 2 3 , 4 V mno ž ine prirodzených čísel danej nerovnici vyhovujú len čísla 1, 2, 4 . Ich súčet je 1+2+4=7.
Zadanie úlohy
Určte definičný obor funkcie
f
.
f
:
y
x
2
x
2 3
x
2
Výsledok
x D
f D
1 , 1
x
2 ,
x
2
Vzorce, grafy
Odmocniny sú definované len pre nezáporné reálne čísla.
Návod na riešenie úlohy
musíte si uvedomiť, že výraz pod odmocninou musí byť kladný, čiže celý výraz musí byť väčší, alebo rovný nule menovateľ výrazu si upravíme na súčin všimnite si, že výraz x-2 sa nachádza v čitateli aj menovateli zlomku. Tento výraz môžeme vykrátiť v prípade, že x sa nebude rovnať 2 po vykrátení získame výraz 1/x-1. Tento výraz bude väčší ako nula práve vtedy keď x bude väčšie ako 1 zohľadníte obe podmienky pre x, znázornime ich na číselnej osi určíme prienik a zapíšeme definičný obor
Úplné riešenie úlohy
Definičný obor funkcie f.............D(f)
x
D
x
D
x
2
x x
2 3
x
x
2 2
x
2 1 0 0
x
x
D
D
x
1 1 1
x
x
0 2 0
x
1
x
2
D
2 ,
Spracoval: Lukáš Kormoš , 2.B
Zadanie úlohy
Načrtnite graf a popíšte vlastnosti funkcie:
Výsledok
Vlastnosti:
nie je prostá nie je párna ani nepárna nie je periodická nie je zhora ohraničená je zdola ohraničená má ostré minimum pre x=-3 je klesajúca ( ∞, -3 je rast úca (-3,-2) > ∩ < 2,
∞)
n-je nepárne
f
Vzorce, grafy
n
:
y
x
1
x n
n-je párne
Návod na riešenie úlohy
Najpr si načrtneme graf len pre z á klad funkcie y=x -3 ,grafy) (viď.vzorce •Postupne uvažujte o ostatných činiteloch vo funkcii. Ak je pod mocninou pri neznámej dalšie číslo ktore sa pripočítava alebo odčítava od neznámej funkcia sa posuva pozdĺž x-ovej osi a to pri pripočítavaní doľava a pri odčítaní doprava •Ak sa k základu funkcie pripočítavá alebo odčítavá dalšie číslo mimo mocniny graf funcie sa posúva po y-ovej osi a to pri pripočítavaní hore a pri odčítaní dole. •Ak je vo funkcii absolútna hodnota všetky jej záporné hodnoty sa menia na kladné resp. sa zalomí nad x-ovú os.
Úplné riešenie úlohy
f 1 f 2 f 3 : y=(x+2) -3 …..………………..posunie sa o 2 do ľ ava : y= (x+2) -3 +1 ………………..posunie sa o 1 hore : y= /(x+2) -3 +1/ ……………...preklopí sa nad x-ovú os
Spracovala: Viktória Kisková, 2.B
Zadanie úlohy
V obore reálnych
č
ísel vyriešte danú rovnicu.
x
1
x
1
Výsledok
K
Vzorce, grafy (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2
Návod na riešenie úlohy
Keďže je celá rovnica pod odmocninou, umocníme ju tým odmocninu odstránime.
V rovnici ostala ešte jedna odmocnina, preto všetky ostatné členy presunieme na druhú stranu a rovnicu opäť umocníme.
Členy pozlučujeme, spravíme skúšku správnosti a vypíšeme korene.
Úplné riešenie úlohy
vR
:
x
1
x
1 2
x
1 1
x
x
1 1
x
2 1
x
1 2
x
x
2 0 0
x x
2
x
3
x
3
x
0
x
3
L P
ˇ 1 0 1 1
L P
ˇ 1 3
L L
ˇ ˇ
P
P
4 3 2 1 1
V K
V
K
Spracovala: Martina Marhefková, 2.B
Zadanie úlohy
Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu.
4
x
2 8
x
5 2
x
1
Výsledok
K
1 2
Vzorce, grafy
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2
Návod na riešenie úlohy
Rovnicu umocníme a tým odstránime jednu odmocninu.
Na pravej strane rovnice použijeme vzorec (a+b) 2 .
Presunieme členy rovnice na pravú stranu, na ľavej necháme odmocninu.
Rovnicu umocníme, pozlučujeme členy a vyjadrime x 1 a x 2 .
Keďže sme použili dôsledkové úpravy (umocnenie), je nutná skúška.
Vykonaním skúšky správnosti zistime, či vypočítané korene sú aj koreňmi danej rovnice.
4
x
2 4
x
2 4
x
2
x
1 1 2
Úplné riešenie úlohy
8
x
5 8
x
5 2
x
1
2
x
1
2 8
x
5 4
x
2 4
x
1 8
x
5 4
x
1 8
x
5 16
x
2 8
x
1 4 16
x
2 2 2 4
x
2
L
ˇ
x
1
neexistuje
4 1 4 8 1 2 5 1
L
ˇ 2
P
2 4 1 1 1 4 0 4 5 1 9 1 3 1 1 1 2 0 0 1 4
x
2
x
1 2 :
L
ˇ
L
ˇ 1 2
P P
1 2
x
2 1 2
K
1 2
Spracovala: Lucia Čekovská, 2.B
Zadanie úlohy
V R riešte nerovnicu:
x
2
4
x
2
Výsledok
K = ‹ o, ∞)
Vzorce, grafy (a+b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2 Pri riešení nerovníc s neznámou pod odmocninou používame len ekvivalentné úpravy!
Návod na riešenie úlohy
Určíme podmienky Riešenie rozvetvíme na dva prípady (aby sme zabezpečili ekvivalentnosť úpravy) Každý prípad riešime zvlášť: 1. vetva- ak pravá strana ≥0, umocníme obidve strany nerovnice na druhú, úpravou získame nerovnicu, po jej vyriešení zohľadníme podmienku a dostaneme množinu koreňov 1. vetvy 2. vetva- ak pravá strana ‹0, urobíme diskusiu Celková množina koreňov je zjednotením množín koreňov obidvoch vetiev
Úplné riešenie úlohy
(x 2 + 4) 0,5 ≤ x + 2 Podmienka: x 2 + 4 ≥ 0, platí pre všetky x z množiny R 1. vetva: ak x+2 ≥ 0 → x ≥ -2, potom (x 2 + 4) 0,5 ≤ x + 2 / 2 → x 2 + 4 ≤ x 2 + 4x + 4 → 0 ≤ x po zohľadnení podmienky K 1 = ‹ o, ∞) 2. vetva: ak x+2 ‹ 0 → x ‹ -2, potom ĽS= (x 2 + 4) 0,5 ≥ 0 (druhá odmocnina je vždy nezáporná), PS= x+2‹0 → ĽS bude vždy väčšia ako PS (spor so zadaním) → K 2 = Ø K = K 1 U K 2 =
‹ o, ∞
)
Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B
Zadanie úlohy v R riešte rovnicu:
x
2
4
x
6
x
Výsledok
K
4 , 12 5
Vzorce, grafy
a
b
2
a
2 2
ab
b
2
a
b
2
a
2 2
ab
b
2
D
b
2 4
ac x
1 ;
x
2
b
2 2
a D
Návod na riešenie úlohy
rovnicu umocníme, pričom použijeme dané vzorce odstránili súčet odmocnín
týmto sme
rovnicu upravíme tak, aby sme na jednej strane rovnice mali iba odmocniny
opäť rovnicu umocníme
dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú vyriešíme pomocou diskriminantu D
vykonali sme dôsledkové úpravy preto musíme urobiť aj skúšku správnosti
x
2
Úplné riešenie úlohy
4
x
6
x x
2 2
x
2 4
x
4
x
6
x
2
x
2 4 4
x
2 4
x
4
x x
16 8
x
2
x
2 2 2
Ľ
Skúška:
P x
x
2
Ľ
6
x
P
4
x
2 4
K
2 16
x
4
x
2 32 8
x
16 8
x
5
x
2 5
x
2 32
x
32
x
48 48 0 0
x
2 16 ; 8
x
;
x
2
D D D
b
2 32 4
ac
2 4 5 64 48
Ľ P x
x
2 4
x
0 , 4 6
x
Ľ
P
3 , 6 .
1 , 89736 12 5
K x
1 ;
x x
1
x
2 1
D x
2 4 8
b
32 2
a
8 10 2 32 10 8
x
2 12 5
D K
V K
4 , 12 5 1 , 6 .
1 , 89736
Spracoval: Jozef Zoričák, 2.B
Zadanie úlohy
Zostrojte graf funkcie f a popíšte vlastnosti
f
:
y
x x
1 2
Výsledok
D(f)=
R
H(f)=R Funkcia f je klesajúca na intervale od (-∞,1) zjednotenie (2, ∞) Rastúca na intervale (1,2) Nie je prosta, nie je párna ani nepárna Zdola ohraničená d=0, minimum ma v 1
Vzorce, grafy
a=1 b>1
f
1 1
x a
b f
1
x a
b x
0
x
b
Návod na riešenie úlohy
Rovnicu si upravíme tak, že vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme tvar funkcie
f
1 1
x
1 2 Potom si nájdeme asymptoty, na osi x bude prechádzať cez 2 a na osi y cez 1 Dopočítame zopár hodnôt do tabuľky Načrtneme graf funkcie
f
1 Zápornú časť grafu prevrátime okolo x osy
Úplné riešenie úlohy
(
x
Vydelením dostaneme tvar funkcie 1 ) : (
x
2 ) 1
f:y
1
x
1 2 (
x
2 ) 1 x -3 -2 -1 0 1 3 y 0,8 0,75 0,6 0,5 0 2
Po prevrátení zápornej časti grafu
f
:
y
1
x
1 2
Zadanie úlohy
Č
o majú všetky štyri funkcie spoločné ?
f
1 :
y
7
x f
2 :
y
x f
3 :
y
log 5
x f
4 :
y
log 0 , 3
x
A. majú rovnaký obor hodnôt B. majú rovnaký definičný obor C. všetky sú rastúce D. grafy všetkých pretínajú os x E. všetky sú prosté
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Výsledok
E Všetky štyri funkcie sú prosté.
Exponenciálne a logaritmické funkcie
a
1
Základné grafy
f
:
y
a x g
:
y
log
a x g
f
1 0
a
1
f
:
y
a x g
:
y
log
a x
Exponenciálne a logaritmické funkcie
Návod na riešenie úlohy
načrtnite si grafy exponenciálnych funkcií f: y=a x a skúmajte ich vlastnosti v závislosti od základu a ( a >1, 0 Exponenciálne a logaritmické funkcie Na obr. sú načrtnuté grafy všetkých 4 funkcií. f 1 : y 7 x f 2 : y x f 3 : y log 5 x f 4 : y log 0 , 3 x Všetky štyri funkcie sú prosté, preto správna odpove ď je E. Exponenciálne a logaritmické funkcie Ktorý interval je definičným oborom funkcie f ? f : y log 0 , 3 9 x 2 x 5 Exponenciálne a logaritmické funkcie D D 3 , 3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Logaritmy sú definované pre všetky kladné reálne čísla. Odmocniny sú definované pre všetky nezáporné reálne čísla. Exponenciálne a logaritmické funkcie uvedomte si akú podmienku musí spĺňať výraz, ktorý je v argumente logaritmu a akú výraz pod odmocninou ... zapíšte tieto podmienky nerovnicami vyriešte každú zo zapísaných nerovníc a jej množinu riešení napíšte ako interval keďže čísla x, ktoré sú z definičného oboru funkcie f musia vyhovovať obidvom podmienkam, definičný obor nájdite ako prienik intervalov správnu odpoveď môžete určiť aj dosadzovaním vhodných čísel do rovnice funkcie a postupným vylučovaním nesprávnych odpovedí Exponenciálne a logaritmické funkcie f : y log 0 , 3 9 x 2 x 5 x D 9 x 2 0 x 5 0 9 x 2 3 x 3 x 0 ... x 3 , 3 x 5 0 x 5 x 5 , ) D 3 , 3 5 , ) 3 , 3 Správna odpove ď je D. Exponenciálne a logaritmické funkcie Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y 2 x 3 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie D R , H 2 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá funkcia f je rastúca na celom definičnom obore f : y a x a 1 f : y a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite graf funkcie f 1 : y=2 x načrtnite graf funkcie f 2 : y=2 x-3 ... posun o 3 jednotky doprava načrtnite graf funkcie f 3 = f : y=2 x-3 ... posun o 2 jednotky dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok f 1 : y 2 x f 2 : y 2 x 3 f 3 f : y 2 x 3 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y 1 2 . 1 4 x 2 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie f 5 f : y 1 2 . 1 4 x 2 2 D R , H 0 , ) funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f má ostré minimum v bode x = -3 funkcia f nemá maximum funkcia f nie je prostá funkcia f je klesajúca na intervale , 3 funkcia f je rastúca na intervale 3 , f : y a x a 1 f : y a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite graf funkcie f 1 : y 1 4 x načrtnite graf funkcie f 2 : y 1 4 x 2 načrtnite graf funkcie f 3 : y 1 2 . 1 4 x 2 ... posun o 2 jednotky doľava ... hodnoty funkcie sa zmenšia dvakrát a graf sa preklopí pod os x načrtnite graf funkcie f 4 : y 1 2 . 1 4 x 2 2 ... posun o 2 jednotky nahor načrtnite graf funkcie f 5 f : y 1 2 . 1 4 x 2 2 ... časť grafu pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok f 1 : y 1 4 x f 2 : y 1 4 x 2 f 3 : y 1 2 . 1 4 x 2 f 4 : y 1 2 . 1 4 x 2 2 f 5 f : y 1 2 . 1 4 x 2 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y 2 x 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie f : y 2 x 2 D R , H 0 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f nemá maximum funkcia f má minimum pre x= 1 funkcia f je rastúca na intervale funkcia f je klesajúca na intervale , 1 f : y 2 x Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite funkciu f 1 : y 2 x načrtnite funkciu ...posun o 2 dole f f y x ...preklopenie funkcie cez y-ovú os sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie f : y 2 x f : y 2 x 2 f : y 2 x 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie PATRIKOVÁ, K. – REITEROVÁ, M.: Nová maturita: MATEMATIKA str. 110 Pre ktoré xєD(g) nadobúda funkcia g funkčnú hodnotu jeden? g : y log x log x Exponenciálne a logaritmické funkcie g : y log x log x Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre x 10 1 , 10 Exponenciálne a logaritmické funkcie log a x n n log a x log x log x log x log x Exponenciálne a logaritmické funkcie použite vzorec pre logaritmus mocniny log x log x log x log x odmocnite log x 2 určte x, pre ktoré platí: log x=1 alebo log x=-1 Exponenciálne a logaritmické funkcie 1 log x log x 1 1 log log x log x 2 x 1 log x log log x 1 x 1 x 10 log x 1 x 10 1 f : y log x log x Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre x 10 1 , 10 Exponenciálne a logaritmické funkcie Na diskotéke namerala kontrola hladinu intenzity hluku B 1 =120 dB, na ulici B 2 =70 dB. Koľkokrát je intenzita zvuku I 1 na diskotéke väčšia ako intenzita zvuku I 2 na ulici? Exponenciálne a logaritmické funkcie Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici. Exponenciálne a logaritmické funkcie B B 0 10 . log I I 0 dB log a r s a s r log a t log a u log a t u Exponenciálne a logaritmické funkcie vyjadrite rozdiel hladín intenzity zvuku na diskotéke a ulici B 1 – B 2 rozdiel upravujte pomocou viet o logaritmoch, tak aby neobsahoval intenzitu I 0 a v argumente logaritmu bol podiel intenzít I 1 /I 2 využite definíciu logaritmu a vyjadrite podiel intenzít I 1 /I 2 I 1 vyjadrite ako násobok I 2 a sformulujte slovnú odpoveď Exponenciálne a logaritmické funkcie B 1 B 2 10 . log I 1 I 0 10 . log I 2 I 0 10 . log I 1 I 0 log I 2 I 0 10 . log I 1 I 0 I 2 I 0 10 . log I I 1 2 B 1 B 2 120 70 50 dB 50 10 . log I 1 I 2 log I 1 I 2 5 I 1 I 2 10 5 I 1 10 5 . I 2 Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici. Exponenciálne a logaritmické funkcie Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y log 3 x 2 4 Exponenciálne a logaritmické funkcie D , H R funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá funkcia f je rastúca na celom definičnom obore f : y log a x a 1 f : y log a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite graf funkcie f 1 : y=log 3 x načrtnite graf funkcie f 2 : y= log 3 (x-2) ... posun o 2 jednotky doprava načrtnite graf funkcie f 3 = f : y= log 3 (x-2)+4 ... posun o 4 jednotky hore sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok f 1 : y log 3 x f 2 : y log 3 x 2 f 3 f : y log 3 x 2 4 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracoval: František Bizovský, 2.B V obore reálnych čísel vyriešte exponenciálnu rovnicu : x 1 3 2 3 x 1 3 x 7 8 x 3 0 Exponenciálne a logaritmické funkcie K 20 13 Exponenciálne a logaritmické funkcie b a x ab x b x ab x x 2 1 a b d c ad cb bd Exponenciálne a logaritmické funkcie na ľavej strane si odstránime odmocninu v prvom člene, druhý člen ľavej strany upravíme na rovnaký základ ako má prvý člen odmocniny si upravíme do exponenciálneho tvaru, tak aby ani jeden z členov rovnice nebol záporný z vlastností exponenciálnych funkcií vyplýva ( exp. funkcia je prostá), že ak sa mocniny s rovnakým základom rovnajú, tak sa rovnajú aj exponenty exponenty si prehodíme na ľavú stranu a dáme na spoločného menovateľa vynásobíme rovnicu menovateľom, roznásobíme výraz na ľavej strane upravíme výraz a vyjadríme x, overíme, či koreň vyhovuje podmienkam, zapíšeme množinu riešení Exponenciálne a logaritmické funkcie x 1 3 2 x 1 3 x 7 8 x 3 0 3 x 3 2 3 x 1 3 x 7 2 3 x 9 2 3 x 1 3 x 3 0 2 3 x 9 3 x 7 9 x 2 3 x 3 x 3 x 1 3 x 3 x 3 3 x 3 x 1 3 3 x 1 3 x x 7 3 7 3 3 3 x x x 3 x 1 3 7 3 9 3 x 9 3 3 x x x 1 7 3 0 3 0 0 1 7 7 x 3 x 7 9 x 2 6 x 17 x 13 x 27 0 20 x 20 13 Exponenciálne a logaritmické funkcie x 1 , x 7 3 Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y 2 . log 1 x 4 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie D R , H 0 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f nemá maximum , má minimum v bode x=-3 funkcia f nie je prostá funkcia f je klesajúca na intervale , 3 funkcia f je rastúca na intervale 3 , f : y log a x a 1 f : y log a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite graf funkcie f 1 : y=log 1/2 x načrtnite graf funkcie f 2 : y= log 1/2 (x+4) ... posun o 4 jednotky doľava načrtnite graf funkcie f 3 = f : y=-2. log 1/2 (x+4) ... hodnoty funkcie sa dvakrát zväčšia a zmenia znamienko načrtnite graf funkcie f 4 = f : y=|-2. log 1/2 (x+4)| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok f 1 : y log 1 2 x f 2 : y log 1 x 4 2 f 3 : y 2 . log 1 x 4 2 f : y 2 . log 1 x 4 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracovala: Lívia Sisková, 2.B Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti. f : y 3 x 2 5 Exponenciálne a logaritmické funkcie D R , H 5 , funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f nie je zhora ohraničená Exponenciálne a logaritmické funkcie funkcia f je rastúca funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá f : y a x a 1 f : y a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie načrtnite graf funkcie f 1 : y=3 x načrtnite graf funkcie f 2 : y=3 x+2 ... posun o 2 jednotky doľava načrtnite graf funkcie f 3 : y=3 x+2 -5 ... posun o 5 jednotiek dole sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť,maximá a minimá, intervaly rastu a klesania Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok f 1 : y 3 x f 2 : y 3 x 2 f 3 f : y 3 x 2 5 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracoval: Stanislav Pitoniak, 2.B 9 x ( x 1 ) 0 , 5 3 Exponenciálne a logaritmické funkcie K 1 2 , 3 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie D b 2 4 ac x 1 b 2 a D x 2 b 2 a D Exponenciálne a logaritmické funkcie obe strany rovnice upravíme na mocniny so základom 3 keďže exponenciálna funkcia je prostá, z rovnosti mocnín vyplýva rovnosť exponentov exponenty dáme do rovnosti a riešime kvadratickú rovnicu Exponenciálne a logaritmické funkcie 9 x ( x 1 ) 0 , 5 3 ( 3 2 ) x ( x 1 ) 0 , 5 3 2 1 3 2 x ( x 1 ) 1 3 2 1 2 x ( x 1 ) 1 1 2 4 x ( x 1 ) 2 1 4 x 2 4 x 2 1 4 x 2 4 x 3 0 D b 2 4 ac D 4 2 4 . 4 .( 4 ) D 64 x 1 4 8 8 x 1 K 3 2 1 2 , 3 2 x 2 4 8 8 x 2 1 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracoval: Stanislav Kušmírek, 2.B Narysu j te graf funkci e a učte je j vlastnosti : f : y = │ 2 (x+3) -2 │ -3 Narysujte graf funkcii a učte jeho vlastnosti : f: y = │ 2 (x+3) -2 │ -3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Vlastnosti: D(f) = R , H(f) = < 3, ∞) na intervale ( –∞ ,-2) je klesajúca, na (-2,+∞) je rastúca, má minimum v bode x=-2,maximum nemá, je zdola ohraničená d= -3, zhora nie je ohraničená, nie je ani parná ani neparná, nie je periodická, nie je prostá Exponenciálne a logaritmické funkcie f : y a x a 1 f : y a x 0 a 1 Exponenciálne a logaritmické funkcie Treba si uvedomiť, že ide o exponenciálnu funkciu. Postupujme po krokoch: Základná funkcia y= 2 x sa zmení nasledovne: a: y= 2 (x+3) o 3← b: y= 2 (x+3) c: y= │2 (x+3) 2 o 2↓ -2 │ všetky záporné hodnoty sa nám prevrátia na kladné, funkcia sa lomí f: y =│2 (x+3) 2│-3 všetky hodnoty sa posunu o 3 ↓ Tabuľka pre výsledné hodnoty: Exponenciálne a logaritmické funkcie x y -4 -1/2 -2 -3 0 3 1 11 2 27 1. a: y= 2 (x+3) 2. b: y= 2 (x+3) 3. c: y= │ 2 (x+3) 4. f: y = │ 2 (x+3) -2 -2 │ -2 │ -3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B Zostrojte graf funkcie a popíšte jej vlastnosti y 1 / 2 ( x 2 ) 3 Exponenciálne a logaritmické funkcie y f(x)=abs(1/2^(x+2)-3) 8 6 D(f)=R f H(f)=<0,∞) f:→ nieje prostá → nieje periodická → namá maximum -9 → nieje párna , ani nepárna → nieje rastúca ani klesajúca na celom D → je klesajúca na (-∞, n> → je rastúca na -8 → je zdola ohraničená d= 0 → nieje zhora ohraničená → má minimum v bode n -7 -6 -5 -4 n -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Exponenciálne a logaritmické funkcie y 8 6 4 2 f(x)=1/2^x f(x)=1/2^(x+2) f(x)=1/2^(x+2)-3 f(x)=abs(1/2^(x+2)-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -6 -8 -2 -4 Exponenciálne a logaritmické funkcie základná funkcia tejto exponenciálnej funkcie je určená rovnicou y=1/2 x pomocou tabuľky pre dané hodnoty x zistíme hodnoty y a narysujeme základný graf funkciu budeme potom posúvať na základe koeficientov a nakoniec prevrátime záporné hodnoty, pretože ide o funkciu s absolútnou hodnotou Exponenciálne a logaritmické funkcie f 1 f 2 f 3 f 4 : : : y y f y : 1 y 1 / / 1 x 2 / 2 x 1 / 2 2 x 2 x 2 2 3 o 2 o 3 3 Exponenciálne a logaritmické funkcie Spracovala: Katarína Mesarčíková, 2.B Určte všetky c R , pre ktoré je exponenciálna funkcia daná rovnicou f : y 2 c 1 2 c 1 x a) b) rastúca klesajúca Exponenciálne a logaritmické funkcie a. b. Exponenciálne a logaritmické funkcie - Exponenciálne a logaritmické funkcie Exponenciálne a logaritmické funkcie a. x Exponenciálne a logaritmické funkcie b. x (2c + 1 › 0 Λ 2c – 1 › 0) ν (2c + 1 ‹ 0 Λ 2c – 1 ‹ 0) (c › -0,5 Λ c › 0,5) ν ( c ‹ -0,5 Λ c ‹ 0,5) ‹ ‹ ‹ Exponenciálne a logaritmické funkcie Tabu ľ ka č.1 - Vlastnosti lineárnych funkcií f: y = a.x+b a = 0 a > 0 a < 0 graf funkcie Tabu ľ ka č.2 - Vlastnosti kvadratických funkcií f: y=a.x 2 +b.x+c Tabu ľ ka č.3 – Grafy a vlastnosti goniometrických funkcií Tabu ľ ka č.4- vlastnosti mocninových funkcií f: y= x n , n є N N Tabu ľ ka č.5- vlastnosti mocninových funkcií f: y= x – n , n є N N Tabu ľ ka č.6 vlastnosti exponenciálnych funkcií f: y= a x Tabu ľ ka č.7- vlastnosti logaritmických funkcií f: y= loga xÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
A.
- 3 ,
B.( - 3 ,
) ) C.
- 3 , 3 D.( - 3 , 3 ) E.( 0 ,
)
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Základné grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Základné grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Základný graf
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Základné grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Základné grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
Vzorce, grafy
Návod na riešenie úlohy
Úplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Výsledok
ak c (0,5 ;∞), tak f je rastúca
ak c (-∞ ; -0,5), tak f je klesajúca
Vzorce, grafy
grafické znázornenie pre rovnicu f je klesajúca
Návod na riešenie úlohy Na riešenie úlohy využijeme poznatky z exponenciálnych funkcií : ak má byť funkcia rastúca, tak a›1 ak má byť funkcia klesajúca ,tak 0‹a‹1
f: y= a
Úplné riešenie úlohy je rastúca ‹=› a ›1 ›1 › 0 2c -1 › 0 2c › 1 c › 0,5
c (0,5 ; ∞)
f: y= a
Úplné riešenie úlohy je klesajúca ‹=› 0‹a‹1 ‹1 ‹ 0
2c -1
0 c (0,5; ∞) ν (- ∞; - 0,5) 2c
1 c
0,5 c (-∞;-0,5)