Transcript FUNKCIE

Definície vlastností funkcií

Autorky SOČ: Barbora Kuffová Miroslava Špirková

Konzultantka: RNDr. Marta Mlynarčíková

Prehľady grafov funkcií a ich vlastností

Lineárne a kvadratické funkcie

Goniometrické funkcie

Mocninové funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Barbora Kuffová, 3. A

[email protected]

Miroslava Špirková, 3. A

Gymnázium P. O. Hviezdoslava Hviezdoslavova 20 060 14 KEŽMAROK SOČ 2008 – odbor 02: Matematika, fyzika

RNDr. Marta Mlynarčíková

Gymnázium P. O. Hviezdoslava aprobácia: matematika, fyzika mmlynarcikova @ gmail.com

www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova

Lineárne a kvadratické funkcie

č. 1: slovná úloha o stoličke

č. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami

č. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom

č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou

č. 5: funkcia s absolútnou hodnotou

č. 6: graf kvadratickej funkcie

č. 7: graf kvadratickej funkcie

č. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede

č. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha

č. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede

č. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede

č. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu

č. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu

Goniometrické funkcie

Mocninové funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Goniometrické funkcie

č. 1: graf funkcie s kosínusom

č. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom

č. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou

č. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha

č. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou

č. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotou

č. 7: goniometrická rovnica

č. 8: graf funkcie s kosínusom

č. 9: graf funkcie s tangensom

č. 10: graf funkcie s kotangensom

č. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede

č. 12: goniometrická rovnica

č. 13: goniometrické rovnice

Lineárne a kvadratické funkcie

Mocninové funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Mocninové funkcie

č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede

č. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede

č. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede

č. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede

č. 5: slovná úloha o autobuse

č. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou

č. 7: definičný obor funkcie

č. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou

č. 9: rovnica s odmocninami

č. 10: rovnica s odmocninami

č. 11: nerovnica s odmocninou

č. 12: rovnica s 3 odmocninami

č. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou

Lineárne a kvadratické funkcie

Goniometrické funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Exponenciálne a logaritmické funkcie

č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede

č. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede

č. 3: graf exponenciálnej funkcie

č. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 6: logaritmická rovnica

č. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke

č. 8: graf logaritmickej funkcie

č. 9: exponenciálna rovnica

č. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 11: graf exponenciálnej funkcie

č. 12: exponenciálna rovnica

č. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou

č. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie

Lineárne a kvadratické funkcie

Goniometrické funkcie

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka

testových úloh k maturit ě z matematiky, str. 49)

Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm.

Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,7 cm. a) Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí.

b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva jej nosnosť do 120 kg.

c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg.

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

a)

f

:

p

 0 , 025 .

m

 5 , 2 c)

Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.

b)

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Lineárna funkcia:

f

:

y

a

.

x

b

,

a

,

b

R

Graf lineárnej funkcie - priamka

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla  do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p  získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b  sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc  vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie  vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka)  cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla  do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

b) m ... hmotnosť osoby v kg p ... prehnutie sedadla stoličky v cm a)

f

:

p

a

.

m

b

,

a

,

b

R

6 , 2 

a

.

40 

b

6 , 7 

a

.

60 

b

Riešením sústavy rovníc určíme koeficienty a, b

a

 0 , 025

f b

 5 , 2 :

p

 0 , 025 .

m

 5 , 2 c)

m

 90 

p

 0 , 025 .

90  5 , 2  7 , 45

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 1 

x

x

 3

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 1 

x

x

 3

D

  

R

,

H

 2 ,   funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=2 funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je rastúca na intervale 3 ,   funkcia f je klesajúca na intervale    , 1

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Vzorce, grafy

a

 0

f

:

y

b f

:

y

ax

b a

 0

f

:

y

ax

b

Definícia: 

a

R

:

a

 0 

a

a a

 0 

a

 

a

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly  na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie  do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií  graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f 1 Uf 2 Uf 3  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| + |x - 3|  x-3=0 x=3

f

1 :

y

 1 

x

  

x

 3    2

x

 4

f

2 :

y

  1 

x

  

x

 3   2

f

3 :

y

  1 

x

 

x

 3   2

x

 4

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

f

1 :

y

  2

x

 4

f

2 :

y

 2

f

3 :

y

 2

x

 4

Výsledok

f

:

y

 1 

x

x

 3 Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka

testových úloh k maturit ě z matematiky, str. 52)

Je daná funkcia

f

.

f

:

y

 1 

x

 1 2

x

 2 a) Zostrojte graf funkcie

f

.

b) Pomocou grafu funkcie

f

určte počet riešení rovnice 1 

x

 1 2

x

 2 

p

v závislosti od hodnoty reálneho parametra

p

.

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a)

Výsledok

b)

p

   ,  3 2  rovnica nemá riešenie

p

  3 2  rovnica má jedno riešenie

p

  3 2 ,   rovnica má dve riešenia

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Vzorce, grafy

a

 0

f

:

y

b f

:

y

ax

b a

 0

f

:

y

ax

b

Definícia: 

a

R

:

a

 0 

a

a a

 0 

a

 

a

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly  na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie  do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií  graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f 1 Uf 2 Uf 3  ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií g p  počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie f: y= |1 - x| -0,5.|x + 2|  x+2=0 x=-2

f

1 :

y

 1 

x

 1 2  

x

 2    1 2

x

 2

f

2 :

y

 1 

x

 1 2 

x

 2    3 2

x f

3 :

y

  1 

x

 1 2 

x

 2   1 2

x

 2

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

f p

 

f

1    ,  3 2

f

2 

f

3 1 

x

 1 2  rovnica nemá riešenie

x

 2 

p p

  3 2  rovnica má jedno riešenie

p

  3 2 ,   rovnica má dve riešenia

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

x x

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

x x D

  

R

 ,

H

funkcia f je nepárna  1 , 1 funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f je zhora ohraničená, h=1

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má neostré maximum pre ka ž dé x>0 funkcia f má neostré minimum pre ka ž dé x<0 funkcia f nie je rastúca funkcia f nie je klesajúca

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

x x f

:

y

 

x x

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 musíte si uvedomiť, že úloha pre x=0 nemá riešenie  funkcia f bude zjednotením dvoch funkcií f 1 a f 2  definičný obor funkcie f 1 x menšie ako 0 je pre x väčšie ako 0 a funkcie f 2 pre  načrtnite funkciu f1: y= x /x =1 , pričom x sú čísla kladné  načrtnite funkciu f2: y= -x /x=-1 , pričom x sú čísla záporné

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

x x

 1

f

2 :

y

 

x x

  1

f

:

y

x x

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

x

2

x

  2 4

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D H

 

f

R

  4 ,     f nemá maximum ani minimum f je zdola ohraničená d=-4 f nie je zhora ohraničená f nie je prostá, nie je párna ani nepárna, nie je periodická f je klesajúca na intervale f je rastúca na intervale    , 2 

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Základné grafy, vzorce

a

 0

f

:

y

b f

:

y

ax

b a

 0

f

:

y

ax

b

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Definícia: 

a

R

:

a

 0 

a

a a

 0 

a

 

a a

2 

b

2  

a

b



a

b

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

  určte definičný obor funkcie f využite definíciu absolútnej hodnoty a v menovateli zlomku nahraďte absolútnu hodnotu výrazom, ktorý sa jej na príslušnom intervale rovná – získate tak dve funkcie, ktorých rovnice už neobsahujú absolútnu hodnotu  výraz v menovateľoch rozložte na súčin a vykráťte zlomky  do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy oboch funkcií  graf pôvodnej funkcie je zjednotením grafov oboch funkcií pri zohľadnení ich definičných oborov  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

:

y

x

2

x

  4 2

D

  

R

 

x

R

:

x

 2 

x

 2 

x

 2 

f

1 :

y

x

2  4

x

 2  

x

 2 .



x x

 2  2  

x

 2 Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok 

x

R

:

x

 2 

x

 2  

x

 2 

f

2 :

y

 

x

2  4

x

 2  

x

   2

x

.

 

x

2   2   

x

 2

f

f

1 

f

2 Graf funkcie f je zjednotením grafov funkcií f 1 a f 2 , je potrebné zoh ľ adni ť , ž e

D

       1   2    , 2  Grafom funkcie f je teda zjednotenie dvoch polpriamok bez počiatočných bodov.

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 2

x

2  5

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 2

x

2  5

D

  

R

,

H

  5 ,   funkcia f je párna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f nie je zhora ohraničená

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má ostré minimum v bode x=0 funkcia f nemá maximum funkcia f je rastúca na intervale 0 ,   funkcia f je klesajúca na intervale   , 0

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

y

x

2

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2  načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.x

2 zväčší dvakrát ... každá funkčná hodnota sa  načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=2.x

2 -5 ... posun o 5 nadol  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

y

x

2

y

 2

x

2

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

y

 2

x

2  5

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

  2

x

2  2

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

  2

x

2  2

D

  

R

,

H

    , 2 funkcia f je rastúca na intervale    , 0 funkcia f je párna funkcia f je klesajúca na intervale 0 ,   funkcia f nie je prostá funkcia f je zhora ohraničená, h=2 funkcia f má maximum v bode x = 0 funkcia f nemá maximum funkcia f nie je zdola ohraničená

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Základný graf

f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

f

:

y

ax

2 

bx

c

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2  načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.x

2 zväčší dvakrát ... každá funkčná hodnota sa  načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=-2.x

2 ... preklopenie pod os x  načrtnite graf funkcie f 4 =f: y=-2.x

2 +2 ... posun o 2 nahor  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

x

2

f

2 :

y

 2

x

2

f

3 :

y

  2

x

2

f

:

y

  2

x

2  2

Úplné riešenie úlohy

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Graf ktorej funkcie je na obrázku?

A. f : y = x 2 B. f : y = - x 2 C. f : y = -x D. f : y = - x 2 2 - 2x – 3 - 2x + 3 - 2x + 4 + 2x + 3 E. f : y = - 2x 2 + 4x + 6

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D f : y = - x 2 + 2x + 3

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základné grafy

f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 podľa grafu funkcie rozhodnite, aké znamienko má koeficient a pri kvadratickom člene - vylúčte rovnice, ktoré nevyhovujú  z obrázku vyplýva, že f(1)=4 , dosadením do rovníc funkcií, ktoré vyhovujú podmienke pre koeficient a, dosaďte za x=1 , vypočítajte y a zistite, v ktorom prípade je y=4 ... ak to vychádza len v jednej funkcie, je to riešenie úlohy  z obrázku určte nulové body funkcie ... f(x)=0 a dosadením do rovnice zistite či vyhovujú  úlohu môžete riešiť aj tak, že každú funkciu upravíte na vrcholový tvar, určíte súradnice vrcholov a overíte na obr., ktorá funkcia má zodpovedajúce súradnice vrcholu ... tento postup je zdĺhavý

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Na obr. je kvadratická funkcia, ktorá má vo vrchole maximum, preto koeficient a pri kvadratickom člene je záporný – nevyhovuje rovnica funkcie v prípade A.

Do ostatných rovníc dosadíme za x=1 a vypočítame y:

B

:

f

  1  2  3  0  4

C

:

f

  1  2  4  1  4

D

:

f

  1  2  3  4

E

:

f

  2  4  6  8  4 Ke ďž e vyhovuje len jedna funkcia, správna odpove ď je D .

Zlo ž itejší postup úpravou na vrcholový tvar:

B

:

y C

:

y

 

x

2  

x

2  2

x

 3   2

x

 4   

x

2  

x

2  2

x

  3  2

x

   4   

x

 

x

2 2  2 .

x

.

1  1 2   1  3   2 .

x

.

1  1 2   1  4   

x

 1  2  

x

 1  2  4  5

D

:

E

:

y y

  

x

2  2

x

2  2

x

 3   4

x

 6   

x

2   2 

x

2 2

x

  3   2

x

  6  

x

2   2 .

x

.

1  1 2  2 

x

2   1  3   

x

 1  2  2 .

x

.

1  1 2   2  6   4  2 

x

 1  2     8

V

  1 , 4 

V

  1 , 5 

V

V

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/tests/fun1/erkennen.html

) K daným grafom A – F prira ď te predpisy funkcií .

f

1 :

y

x

2 

x f f

2 : 3

y

:

y

  

x

3 

x

2 

x f

4 :

y

  2

x

 3

f

5 :

y

x

2  2

x

 1

f

6 :

y

  1 Podobné úlohy si mô ž ete precvičova ť na hore uvedenej www stránke.

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

A – f 3 B – f 4 D – f 5 E – f 2 C – f 1 F – f 6

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Základné grafy

a

 0

f

:

y

ax

b f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

f

:

y

ax

b a

 0

a

 0

f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

f

:

y

b

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 medzi grafmi je jediná konštantná funkcia - priraďte jej správnu rovnicu  medzi grafmi sú dve klesajúce lineárne funkcie - rovnice správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0  medzi grafmi sú tri kvadratické funkcie – rozhodnite, ktorý graf patrí k rovnici so záporným koeficientom a  rovnice dvoch kvadratických funkcií pre a>0 správne priraďte ku grafom napr. podľa hodnoty funkcií pre x=0

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

3 :

y

 

x

2 

x f

4 :

y

  2

x

 3

f

1 :

y

x

2 

x f

5 :

y

x

2  2

x

 1

f

2 :

y

 

x

3

f

6 :

y

  1

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

A C

Zadanie úlohy

Na ktorom obrázku je graf funkcie f ?

f

:

y

x

.

x

B E D

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

C

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Definícia: 

a

R

:

a

 0 

a

a a

 0 

a

 

a

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 využite definíciu absolútnej hodnoty reálneho čísla  funkciu f skúmajte ako zjednotenie 2 funkcií  nezabudnite zohľadniť intervaly, na ktorých je definovaná každá z funkcií  skontrolujte výpočtom, či váš vybraný graf prechádza vyznačenými bodmi

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

x

R

:

x

 0  

x

R

:

x

 0 

f f x

x 

x

  

x

f

1 :

f

2 :

y

y

x

.

x

x

2 

x

.

   : 

f

1 

y

x

2

f

2 pre každé reálne číslo

x

2 grafom funkcie

f

:

y

x

.

x je parabola v základnej polohe ako graf funcie

y

x

2 , preto správny graf je na obr.

C

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 1 2

x

2  3

x

 5 2

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 1 2

x

2  3

x

 5 2

D

  

R

,

H

 0 ,   funkcia f je klesajúca na intervaloch    , 1 a 3, 5 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je rastúca na intervaloch 1 , 3 a 5,   funkcia f nie je prostá funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f je zdola ohraničená , d=0 funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5 funkcia f nemá maximum

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Základný graf

f

:

y

ax

2 

bx

c a

 0

f

:

y

ax

2 

bx

c

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3) 2 -2|  načrtnite graf funkcie f 1 : y=x 2   načrtnite graf funkcie f 2 : y=(x-3) 2 zväčší dvakrát ... posun o 3 doprava načrtnite graf funkcie f 3 : y= 0,5.(x-3) 2 ... všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia  načrtnite graf funkcie f 4 : y= 0,5.(x-3) 2 -2 ... posun o 2 nadol  načrtnite graf funkcie f 5 =f: y=| 0,5.(x-3) 2 -2| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

x

2

f

2 :

y

 

x

 3  2

f

3 :

y

 1 2 

x

 3  2

Úplné riešenie úlohy

f

3 :

y

 1 2 

x

 3  2  2

f

3 :

y

 1 2 

x

 3  2  2

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh

k maturit ě z matematiky, str. 46)

Dĺžka obdĺžnika je dvakrát väčšia než jeho šírka. Obdĺžnik sa zmení tak, že jeho šírka sa zväčší o 0,2 m a jeho dĺžka sa zväčší na dvojnásobok novej šírky. Od pôvodnej šírky x metrov:

A:

závisí prírastok obvodu aj prírastok obsahu obdĺžnika

B:

závisí prírastok obvodu ale nezávisí prírastok obsahu obdĺžnika

C:

nezávisí prírastok obvodu ale závisí prírastok obsahu obdĺžnika

D:

nezávisí ani prírastok obvodu, ani prírastok obsahu obdĺžnika

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

C ( od pôvodnej šírky x nezávisí prírastok odvodu ale závisí prírastok obsahu obd ĺž nika ) 

o

o

 

o

 1 , 2 

S

S

 

S

 0 , 8

x

 0 , 08

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

b a Prírastok obvodu: Prírastok obsahu:

o

 2 .

a

b

S

a

.

b

o

o

 

o

S

S

 

S

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

  vyjadrite obvod a obsah pôvodného obdĺžnika pomocou jeho šírky x vyjadrite obvod a obsah zmeneného obdĺžnika pomocou šírky pôvodného obdĺžnika x  prírastok obvodu je rozdiel obvodu zmeneného obdĺžnika a obvodu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x  prírastok obsahu je rozdiel obsahu zmeneného obdĺžnika a obsahu pôvodného obdĺžnika – vyjadrite tento rozdiel a zistite, či závisí od x  pozorne čítajte ponuknuté možnosti a vyberte správnu odpoveď, ktorá zodpovedá predchádzajúcim výpočtom

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

o

 2 .

x

 2

Úplné riešenie úlohy

x

 6

x o

   2 .

2 .

3

x

x

  0 , 2 0 , 6

  6 2 .

x x

  1 , 0 , 2 2

 

S

x

.

2

x

 2

x

2

S

   2 .

 

x x

2   0 , 0 , 2 .

  4

x

x

 0 , 04 0 ,  2  

x

 2

x

2   0 , 2  2 0 , 8

x

  0 , 08 

o

o

 

o

 6

x

 1 , 2  6

x

 1 , 2 Prírastok obvodu nezávisí od x. 

S

S

 

S

  2

x

2  0 , 8

x

 0 , 08   2

x

2  0 , 8

x

 0 , 08  Prírastok obsahu závisí od x. ( je lineárnou funkciou x ) Správna odpove ď je C

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh

k maturit ě z matematiky, str. 50)

Auto má spotrebu 6 litrov benzínu na 100 km. Na začiatku jazdy malo v plnej nádrži 36 litrov benzínu.

a) Vyjadrite závislosť počtu litrov v nádrži od počtu prejdených kilometrov.

b) Zostrojte graf určenej závislosti.

c) Po koľkých kilometroch jazdy bude v nádrži posledný liter benzínu?

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a)

Výsledok

f

:

V

 36  0 , 06 .

s

V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km

D

   0 , 600

H

 0 , 36 b) c) V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy.

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 0

Vzorce, grafy

f

:

y

b a

 0

f

:

y

ax

b a

 0

f

:

y

ax

b

Lineárna funkcia:

f

:

y

a

.

x

b

,

a

,

b

R

Graf lineárnej funkcie - priamka

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

označte si premenné – napr. V – objem benzínu v nádrži v litroch, s – počet prejdených kilometrov  vyjadrite spotrebu benzínu na 1 km  uvedomte si, že s množstvom prejdených km sa zmenšuje objem benzínu v nádrži  vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť objemu benzínu v nádrži od prejdených kilometrov  vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka)  zohľadnite obmedzenie definičného oboru a oboru hodnôt vyplývajúce z reálnej situácie  do rovnice funkcie f dosaďte za V=1 a vypočítajte s

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

b) a) označme: V ... počet litrov benzínu v nádrži s ... počet prejdených km spotreba .... 6 litrov na 100 km t. j. 0,06 l na 1 km funkcia f, ktorá vyjadruje hľadanú závislosť je preto:

f

:

V

 36  0 , 06 .

s

f je lineárna klesajúca funkcia, jej grafom je úsečka

D

   0 , 600

H

 0 , 36 c)

V

 1  1  36  0 , 06 .

s

s

 35 0 , 06  583 , 3 V nádrži bude posledný liter benzínu po 583,3 km jazdy.

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

(ZHOUF, J. a kol:

Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52)

Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h

-1 , začal brzdiť s konštantným zrýchlením 5 m.s

-2 orientovaným proti smeru pohybu. a) Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia.

b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť a dráha od času.

c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h

-1 a začal brzdiť 30 m pred prekážkou.

Lineárne a kvadratické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a)

Výsledok

Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.

b)

f

:

v

v

0 

at

 25  5

t g

:

s

v

0

t

 1 2

at

2  25

t

 5 2

t

2 c) Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb:

v

v

0 

at s

v

0

t

 1 2

at

2

a

 0

a

 0

f

:

y

ax

b a

 0

a

 0

f

:

y

ax

b a

 0

f

:

y

ax

2 

bx

c f

:

y

ax

2 

bx

c

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s

-1  zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu  uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu  do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času  vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín  do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

v

0

a

a)  90

km

.

h

 1  5

m

.

s

 2  25

Úplné riešenie úlohy

m

.

s

 1 b)

f

:

v

v

0 

at

 25  5

t v

v

0 

at s

v

0

t

 1 2

at

2 ... lineárna klesajúca funkcia pri zastavení

v

 0

m

.

s

 1 0 

v

0 

at

t

v

0

a s

v

0

v a

0  1 2

a v a

0 2 

v

2 0 2

a s

 25 2 2 .

5  62 , 5

m

Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.

Pokračovanie riešenia úlohy

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

b)

g

:

s

v

0

t

 1 2

at

2  25

t

 5 2

t

2 ... kvadratická funkcia c)

v

0  90

km

.

h

 1  25

m

.

s

 1

s

 30

m s

30  

v

0

t

25

t

  1 2 1 2

at

5

t

2 2

t t

2  10

D

 52

t

 12  1  1 , 4

s

(

t

2 0  8 , 6

s

 5

s

)

v

v

0 

at v

 25  5 .

1 , 4   18

m

.

s

 1  64 , 8

km

.

h

 1 Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.

Lineárne a kvadratické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 2 cos 

x

 4

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 2 cos 

x

4

D

  

R

,

H

 2 ,  2 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min  2  funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f je zhora ohraničená, h=2

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,25 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=1,25 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (1,25 π +2k π , 2,25 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,25 π +2k π , 1,25 π +2k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

 cos

x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=cos x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=2.cos x ... každá funkčná hodnota sa zväčší dvakrát  načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=2.cos (x-π/4) ... posun o π/4 doprava  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 cos

x

Goniometrické funkcie

f

2 :

y

 2 cos

x

Zadanie úlohy

Výsledok

f

:

y

 2 cos 

x

 4

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie

f a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 sin 2

x

 sin

x

 cos 2

x

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 sin 2

x

 sin

x

 cos 2

x

funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min   funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d= 0 funkcia f je zhora ohraničená, h= 2

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode X=1,5 π +k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale ( -0,5 π +k π , 0,5 π +k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +k π , 1,5 π +k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

sin 2

x

 cos 2

x

 1

f

:

y

 sin

x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 sin sin

x

 cos

x

 sin

x

 cos

x x

 1  načrtnite graf funkcie f 1 : y=sin x  načrtnite graf funkcie f: y= sin x +1 ...funkcia f sa posunie o 1 hore  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 sin

x f f

: :

y y

  sin 2 sin

x

x

 1 sin

x

 cos 2

x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 sin

x

 sin

x

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 sin

x

 sin

x D

  

R

,

H

 0 , 2 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min  2  funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je zhora ohraničená, h=2

Goniometrické funkcie

funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f nemá minimum

Zadanie úlohy

funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0 π +2k π , 0,5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , π +2k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

 sin

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 funkciu f si rozdeľte na funkcie f1 a f2, pričom sin x v absolútnej hodnote vo funkcii f1 je kladný a vo funkcii f2 záporný  načrtnite graf funkcie f 1 : y= sin x +sin x y=2sin x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=sin x –sin x y=0  funkcia f1 platí pre sin x kladné, čiže funkciu f1 zvýraznite na intervaloch (0+2k π , π + 2k π )  funkcia f2 platí pre sin x záporné, čiže ju zvýrazníte na intervaloch( π + 2k π , 2 π + 2k π )  zvýraznené časti tvoria funkciu f: y=sin x + |sin x|  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 2 sin

Goniometrické funkcie

f

2 :

y

 0

Zadanie úlohy

Výsledok

f

3 :

y

 sin

x

 sin

x

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

( http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 ) K daným grafom A – F prira ď te predpisy funkcií .

f

1 :

y

 cos

x f

2 :

y

  cos

x

2

f

3 :

y

 sin

x f

4 :

y f

5 :

y f

6 :

y

   2 .

sin  sin 2

x

  cos 

x

 4

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

A – f 1 B – f 5 D – f 4 E – f 2 C – f 6 F – f 3

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

 sin

x

Základné grafy

g

:

y

 cos

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 nájdite medzi grafmi základné funkcie y=sinx a y=cosx  nájdite medzi grafmi niektorú zo základných funkcií posunutú len v smere osi x a priraďte jej rovnicu y=sin(x±d) alebo

y=cos(x±d)

 nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej obor hodnôt je <-2,2> a priraďte jej rovnicu y =2.sinx alebo y=2.cosx  nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zväčšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(x/2) alebo y=cos(x/2) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom  nájdite medzi grafmi funkciu, ktorej perióda sa oproti základným funkciám dvakrát zmenšila a priraďte jej správnu rovnicu y=sin(2x) alebo y=cos(2x) , zohľadnite pritom aj vynásobenie hodnôt funkcie záporným číslom

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

1

f

5

f

6

f

4

f

2

f

3

f

1 :

y

 cos

x f

2 :

y

  cos

x

2

f

3 :

y

 sin

x f

4 :

y f

5 :

y f

6 :

y

   2 .

sin  sin 2

x

  cos 

x

 4

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

tg

 4  1

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

tg

    4    1

D

  

R

k   Z  0,75.

  k.

 ,

H

  1 ,   funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min   funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=-1 funkcia f nie je zhora ohraničená

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximum funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=0,25 π +k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0,25 π +k π , 0,75 π +k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (-0,25 π +k π , 0,25 π +k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

tg

 

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=tgx  načrtnite graf funkcie f 2 : y=tg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava  načrtnite graf funkcie f 3 : y=|tg(x-π/4)| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x  načrtnite graf funkcie f: y=|tg(x-π/4)|-1 ... posun o 1 nadol  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

tg

 

f

2 :

y

tg

 4

Goniometrické funkcie

f

3 :

y

tg

 4

Zadanie úlohy

Výsledok

f

4 

f

:

y

tg

Vzorce, grafy

 4  1

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 3 .

cos

x

2  4

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 3 cos   1 2  2   

D

  

R

,

H

 0 , 3 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min  2  funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f je zhora ohraničená, h=3

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=1,5 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , 1,5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (1,5 π +2k π , 2,5 π +2k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

1 :

y

 cos

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]|  načrtnite graf funkcie f 1 : y=cosx  načrtnite graf funkcie f 2 : y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava  načrtnite graf funkcie f 3 : y=cos[1/2.(x+π/2)] ... perióda sa dvakrát zväčší  načrtnite graf funkcie f 4 : y=|cos[1/2.(x+π/2)]| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x  načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 cos

f

2 :

y

 cos 

x

 2

f

3 :

y

 cos   1 2  2  

Goniometrické funkcie

f

4 :

y

 cos   1 2

Zadanie úlohy

 2  

Výsledok

f

5 

f

:

y

 3 cos   1 2

Vzorce, grafy

 2   

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

V obore reálnych čísel riešte rovnicu 2 sin

x

 sin 3

x

 5  0

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

k

 

Z

3 2

 2

k

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

am

2 

bm

c

 0

D

b

2  4

ac m

1 , 2  

b

 2

a D

sin

x

y M

M – priesečník koncového ramena uhla s jednotkovou kružnicou

f

:

y

 sin

x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 vynásobte rovnicu výrazom sinx  použite substitúciu: sinx=m  vyriešte kvadratickú rovnicu s neznámou m  vráťte sa k substitúcii a vyriešte jednoduché goniometrické rovnice ( využite jednotkovú kružnicu alebo graf funkcie, uvedomte si, čo je oborom hodnôt funkcie sínus )  nezabudnite na periodičnosť funkcie sínus a zohľadnite to pri zápise koreňov  pôvodná rovnica obsahovala zlomok, preto nezabudnite na podmienky  zapíšte množinu všetkých riešení rovnice

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

2 sin 2 sin 2

x x

  sin 5 3

x

sin  5

x

  3 0  0 substitúci a sin 2

m

2

D

 5

m

 3  0  25  4 .

2 .

3  1

x

m m

1 , 2   5  1 2 .

2

m

1   1

m

2   3 2

Úplné riešenie úlohy

sin

x

  1

x

 3 2   2

k

 sin

x

 rovnica  3 2 nemá riešenie podmienky

x

k

 : sin

x

 0

K

k

 

Z

3 2   2

k

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 4 cos 

x

 2

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 4 cos 

x

 2

D

  

R

,

H

  4 , 4 funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min  2  funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d= 4 funkcia f je zhora ohraničená, h= 4

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má neostré maximá v ka ž dom bode x=0,5 π +2k π , k є Z funkcia f má neostré minimá v ka ž dom bode X=1,5 π +2k π , k є Z funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale ( -0, 5 π +2k π , 0, 5 π +2k π ) , k є Z funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale (0,5 π +2k π , 1,5 π +2k π ) , k є Z

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

1 :

y

 cos

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=cosx  načrtnite graf funkcie f 2 : y=cos(x-π/2) ... posun o π/2 doprava  načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=4cos(x hodnoty sa zväčšia štyrikrát π /2 )…,,natiahnutie“ funkčné  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 cos  

f

2 :

y

 cos 

x

 2

Goniometrické funkcie

f

3 :

y

 4 cos 

x

 2

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 3 tan  2

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 3 tan  2

D

  

R

   k  ,

H k Z

funkcia f je nepárna funkcia f je periodická 

R p

min   funkcia f nie je prostá funkcia nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená funkcia f nemá maximum funkcia f nemá minimum funkcia f je rastúca na ka ž dom intervale  0 

k

 ,  

k

 

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

 tan

x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=tan x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=tan(x+π/2) ... posun o π/2 doľava  načrtnite graf funkcie f 3 =f: y=3tan(x+π/2)... Hodnoty f sa trikrát zväčšia  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 tan

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

f

2 :

y

 tan  2

Výsledok

f

3 :

y

 3 tan  2

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 5 cot

g

 4  2

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 5 cot

g

 4  2

D

  

R

k   Z   4 k  ,

H

R

funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f je periodická

p

min   funkcia f nie je prostá funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximá funkcia f nemá minimá funkcia f je klesajúca na ka ž dom intervale  0 , 25  , 1 , 25  

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

 cot

g

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=cotg x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=cotg(x-π/4) ... posun o π/4 doprava  načrtnite graf funkcie f 3 : y=5cotg(x-π/4)... hodnoty sa päťkrát zväčšia  načrtnite graf funkcie f 4 =f: y=5cotg(x-π/4)-2...posun o dva dole  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 cot

g f

2 :

y

 cot

g

 4

Goniometrické funkcie

f

3 :

y

 5 cot

g

 4

Zadanie úlohy

Výsledok

f

4 :

y

 5 cot

g

 4  2

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

ČERNEK, P. – KUBÁČEK, Z.:

MONITOR: NOVÁ MATURITA MATEMATIKA str. 69

Na obrázku je časť grafu funkcie f.

Aký obsah má vyfarbený obdĺžnik?

f

:

y

 3 .

cos

x

2 A: 3  B: 6  D: 18

C: 12  E: 24 

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

E

Výsledok

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Obsah obdĺžnika: S = a.b

f

1 :

y

 cos

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte minimálnu periódu funkcie f – jej veľkosť je dĺžkou obdĺžnika  určte obor hodnôt funkcie f a pomocou neho zistite šírku obdĺžnika  vypočítajte obsah obdĺžnika a vyberte správnu odpoveď

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

:

y

 3 .

cos

x

2

p

min  4  

a

 4 

S

a

.

b

 4  .

6  24  

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

H

  3 , 3 

b

 6 správna odpove ď je E

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Klaudia Pisarčíková, 2.B

Zadanie úlohy

V R riešte rovnicu : sin 2x

tg x

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K   k  ;  4 

k

 2

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

sin 2x

2sin x .

cos x

tg x  sin

x

cos x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy Najprv som musela pou odstránila z menovate

ľ

cos x

ž

i

ť

uvedené vzorce, potom som a zlomku vykrátením,

ď

alej som vy

ň

ala sin x . Na koniec som určila podmienky a z toho korene.

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

sin 2x  tg x 2sin x 2sin x .

cos x .

cos x .

 sin x cos x /.co

s x cos x  sin x 2sin x .

cos 2 x sin x  0 sin x ( 2cos x 1)  0  sin x  0  (2cos 2  1 )  0   x  k  2cos 2 x  1 cos 2 x  1 2 cos x  1 2 cos x x 1   4   1 

k

 2 2   2 2

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Veronika Gurecková, 2.B

Zadanie úlohy

Na intervale (0,2π) riešte rovnice: a) cos v + sin 2v = 0 b) tg2x + 4sin2 x - 3 = 0

Goniometrické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

a)

K= {π/2, 3π/2, 7π/6, 11π/6}

b)

K= {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

a) sin 2x= 2sin x cos x b) tg x= sin x/ cos x cos²x= 1- sin²x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

v oboch prípadoch najskôr použijeme vhodné vzorce a) vyjmeme pred zátvorku čo sa dá b) dáme na společného menovateľa a roznásobíme a) uvažujeme, kedy sa to rovná nule a dopočítame pre sin aj cos b) riešime kvadratickú rovnicu pre sin² x a uvažujeme o sin x

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

a) cos v + sin 2v = 0 cos v + 2sin v cos v = 0 cos v ·(1+ 2sin v) = 0 cos v = 0 alebo sin v = -1/2 (v =π/2 alebo v = 3π/2) alebo (v = 7π/6 alebo v = 11π/6) b) tg ²x + 4sin² x-3 = 0 sin ²x/cos ²x +4sin ² x-3 = 0 1- sin²x -4sin²˙²x + 8sin²x – 3 = 0 4sin²˙²x – 8sin²x + 3 = 0 sin²x sin ²x + 4sin ² x · (1- sin ²x) -3 · (1- sin ²x) = 0 1,2 =8 ± 8 √16 8 ± 4 8 = 1 ± 1/2 (sin² x patri <0,1> ∩ sin² x = 1± ½) =› sin² x =½ =› sin x =±√2/2 =› K

Goniometrické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Ktorá z nasledujúcich funkcií nie je párna?

A: B:

y

x

2  5

y

x

3

C: D:

y y

  20 

x x

6  6  4

E:

y

 2

x

 3

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základné grafy

f

:

y

x n

,

n

N

,

n

 2

k f

:

y

x

n

,

n

N

,

n

 2

k f

:

y

x n

,

n

N

,

n

 2

k

 1

f

:

y

x

n

,

n

N

,

n

 2

k

 1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte o aké typy funkcií ide a načrtnite si ich grafy  grafy párnych funkcií sú súmerné podľa osi y ... určte, ktorý graf nie je súmerný podľa osi y a vyberte správnu odpoveď  úlohu môžete riešiť aj overením, že pre niektorú z daných funkcií neplatí definícia párnej funkcie t. j., že 

x

D

     

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

x

2  5

f

4 :

y

 

x

 6  4

f

2 :

y

x

3

Mocninové funkcie

f

3 :

y

 20

x

6

Zadanie úlohy

Výsledok

f

5 

f

:

y

 2

x

 3

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

f

1 :

y

 

x

 1  3  8

f

2 :

y

 

x

 2   3  1

f

3 :

y

 

x

 2  3  1

f

4 :

y

 

x

 1  2  6

f

5 :

y

 

x

 2   2  1

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

3 :

y

 

x

 2  3  1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

x

2

Základné grafy

f

:

y

x

 2  1

x

2

Mocninové funkcie

f

:

y

x

3

f

:

y

x

 3  1

x

3

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 najprv uvažujte o mocninovej funkcii f* bez absolútnej honoty ( ľavú časť grafu, ktorá je nad osou x preklopte pod os x )  rozhodnite aký základný druh mocninovej funkcie má graf tvarovo rovnaký ako f* ( mocninová funkciu s kladným alebo záporným exponentom, párnym alebo nepárnym exponentom ) - tým vylúčite niekoľko funkcií  spomedzi rovníc, ktoré vám zostali vyberte správnu na základe posunu základného grafu vodorovným a zvislým smerom  správnosť výberu rovnice môžete overiť výpočtom niekoľkých hodnôt funkcie f prípadne skúmaním definičných oborov funkcií

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

z červeného grafu funkcie f získame preklopením modrý graf funkcie f*

f

1 :

y

   3  8

f

2 :

y

  3  1

f

3 :

y

 

x

 2  3  1 graf modrej funkcie f* vznikol posunutím grafu ružovej funkcie f**

f

4 :

y

   2  6

f

3 :

y

f

5 :

y

 

x

 2   2  1 podľa tvaru grafu funkcií f* a f** vieme, že ide o mocninovú funkciu s prirodzeným nepárnym exponentom

f

* * :

y

x

3 

x

 2  3  1 z ponúkaných rovníc funkcie môže preto danému grafu zodpovedať len f 1 alebo f 3 modrá funkcia vznikla z ružovej posunom o 2 doprava a o 1 nahor, preto správnou rovnicou je

f 3

f

* :

y

 

x

 2  3  1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

f

:

y

 

x

 1   3

f

:

y

 

x

 1   2  1

f

:

y

 

x

 1   2  1

f

:

y

 

x

 1  3  1

f

:

y

 

x

 1   2  1

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

C

Výsledok

f

:

y

x

 1

 2  1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

x

2

Základné grafy

f

:

y

x

 2  1

x

2

Mocninové funkcie

f

:

y

x

3

f

:

y

x

 3  1

x

3

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti  z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú  úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

 1 

D

   správna mo ž nos ť je A alebo C V prípade A je hodnota funkcie f(0)=1 , preto mo ž nos ť A nevyhovuje, správna odpove ď je preto C.

Úplné riešenie úlohy

C Pre úplnos ť sú nakreslené grafy všetkých funkcií.

A B

f

:

y

 

x

 1   3 D E

Mocninové funkcie

f

:

y

 

x

 1   2  1

f

:

y

 

x

 1  3  1

Zadanie úlohy

f

:

y

 

x

 1   2  1

Výsledok

Vzorce, grafy

f

:

y

 

x

 1   2  1

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

f

:

y

 

x

 2   3

f

:

y

 

x

 2   3  1

f

:

y

 

x

 2   2  1

f

:

y

 

x

 2  3  1

f

:

y

 

x

 2   3  1

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

B

f

:

y

x

 2

 3  1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

x

2

Základné grafy

f

:

y

x

 2  1

x

2

Mocninové funkcie

f

:

y

x

3

f

:

y

x

 3  1

x

3

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 určte definičný obor funkcie na obrázku a na základe toho vylúčte nevyhovujúce možnosti  z grafu odčítajte súradnice bodov, ktoré na ňom ležia a overte výpočtom, ktorej z dosiaľ zostávajúcich funkcií vyhovujú  úlohu môžete riešiť aj tak, že načrtnete grafy všetkých funkcií a porovnajte ich s daným grafom ... tento postup je ale časovo oveľa náročnejší

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

2 

D

   správna mo ž nos ť je B, C alebo E

Úplné riešenie úlohy

C Pre úplnos ť sú nakreslené grafy všetkých funkcií.

A D V prípade C je f(1) = 0 , v prípade B a E je f(1) =2 preto mo ž nos ť C nevyhovuje.

V prípade B je f(3) = 0 , v prípade E je f(3) =2 , preto správna odpove ď je B. B

f

:

y

 

x

 2   3

f

:

y

 

x

 2   3  1 E

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

f

:

y

 

x

 2   2  1

f

:

y

 

x

 2  3  1

f

:

y

 

x

 2   3  1

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút.

a)

Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu.

b)

Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h

-1 až 90 km.h

-1 .

c) d) e) f)

Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie.

Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny?

Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ?

Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ?

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a)

f

:

t

 1 2  120

v

b)

Výsledok

d) Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h

-1 .

d) c)

D

   40 , 90

km

.

h

 1

Mocninové funkcie

H

 11 , 6 7 2

hod

 1

hod

50 min, 3

hod

30 min

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

e) Najkratší možný čas cestovania je 1 hod a 50 min.

f) Cestujúci zaplatí na tejto trase 190 Sk.

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

f

:

y

k x

k>0

f

:

y

k x

k<0

s

v

.

t

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 čas 30 min premeňte na hodiny a zo základného fyzikálneho vzorca vyjadrite čas v závislosti od priemernej rýchlosti a dráhy, potom nezabudnite pripočítať čas, ktorý stojí autobus na zastávkach  uvedomte si, ktoré veličiny sa nemenia (sú konštantné) a na základe toho určte o aký typ funkcie ide  vo vhodnej mierke načtrnite graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času jazdy od priemernej rýchlosti autobusu (vodorovná os – rýchlosť v, zvislá os – čas t)  definičný obor funkcie je určený hraničnými priemernými rýchlosťami autobusu (zohľadnite to na grafe) a odčítaním z grafu alebo výpočtom určte obor hodnôt  do rovnice funkcie dosaďte za t=2 hod a vypočítajte v , v grafe veďte cez 2 na zvislej osi rovnobežku s vodorovnou osou a v jej priesečníku s grafom veďte kolmicu na vodorovnú os a odčítajte rýchlosť  najkratší čas cestovania určte z oboru hodnôt a vypočítajte cenu, ktorú zaplatí cestujúci

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

a)

f

:

t

 1 2 

s v

 1 2  120

v

c)

D

 40 , 90

km

.

h

 1 b)

v

 90

km

.

h

 1 

t

 1 2  120 90  1 2  4 3  11 6

v

 40

km

.

h

 1 

t

 1 2  120 40  1 2  3  7 2

H

 11 , 6 7 2

hod

 1

hod

50 min, 3 , 5

hod

d) d)

t

 2  2  1 2  120

v

v

 120 3  240 3  80 2 Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h

-1 .

e) f) Najkratší čas cestovania dosiahneme pri najvyššej priemernej rýchlosti autobusu: 1 120

v

 90

km

.

h

 1 

t

  min 2 90  1 2  4 3  11

hod

6  1

hod

50 min .

Cestujúci zaplatí

c

 120 .

1 , 5  10  190

Sk

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré sú riešeniami nerovnice

x x

 1  3  4

x

 11

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

Súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej nerovnici je 7

K

 

  , 2 

3 , 4  

N

  1 , 2 , 4 

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

k x k

 0

Základné grafy

f

:

y

k x k

 0

f

:

y

ax

b a

 0

Mocninové funkcie

f

:

y

ax

b a

 0

Zadanie úlohy

Výsledok

f

:

y

b a

 0

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 nerovnicu je vhodné riešiť graficky   výraz na ľavej strane nerovnice určuje funkciu upravte rovnicu funkcie f na tvar

f

:

y

r

f x k

s

:

y

x x

 1  3  načrtnite graf funkcie f ( je to lineárne lomená funkcia, ktorej grafom je hyperbola, preto je potrebné najprv narysovať asymptoty)   výraz na pravej strane nerovnice určuje funkciu

g

:

y

 4 do tej istej súradnicovej sústavy načrtnite graf funkcie g

x

 11   priesečníky grafov zodpovedajú riešeniu rovnice, pri riešení nerovnice hľadáme všetky hodnoty x, pre ktoré je graf funkcie f nad grafom funkcie g z grafov odčítame všetky prirodzené čísla, ktoré vyhovujú nerovnici a určíme ich súčet  skúste danú nerovnicu vyriešiť aj numericky a porovnajte náročnosť riešenia

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

x x

 1  3  4

x

 11

Úplné riešenie úlohy

 1

f

:

y

x

Graficky vyriešime danú

f

   

g

:

y

x

4

x

 3  11

f

Funkcia f je lineárna lomená funkcia.

:

y

x x

 1  3  1 

x

4  3

D

 

R

 , 

R

 g je lineárna funkcia.

Z grafov odčítame priesečníky oboch funkcií ako aj riešenie nerovnice. V R je to zjednotenie intervalov , 2   3 , 4 V mno ž ine prirodzených čísel danej nerovnici vyhovujú len čísla 1, 2, 4 . Ich súčet je 1+2+4=7.

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Určte definičný obor funkcie

f

.

f

:

y

x

2

x

 2  3

x

 2

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

x D

f D

 

1 ,  1 

x

2 ,  

x

 2

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Odmocniny sú definované len pre nezáporné reálne čísla.

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 musíte si uvedomiť, že výraz pod odmocninou musí byť kladný, čiže celý výraz musí byť väčší, alebo rovný nule  menovateľ výrazu si upravíme na súčin  všimnite si, že výraz x-2 sa nachádza v čitateli aj menovateli zlomku. Tento výraz môžeme vykrátiť v prípade, že x sa nebude rovnať 2  po vykrátení získame výraz 1/x-1. Tento výraz bude väčší ako nula práve vtedy keď x bude väčšie ako 1  zohľadníte obe podmienky pre x, znázornime ich na číselnej osi určíme prienik a zapíšeme definičný obor

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Definičný obor funkcie f.............D(f)

x

D

  

x

D

   

x

2

x x

 2  3

x

x

 2  2

x

 2  1    0 0

x

x

D

 

D

   

x

1  1   1 

x

x

  0 2  0 

x

 1 

x

 2

D

    

2 , 

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Lukáš Kormoš , 2.B

Zadanie úlohy

Načrtnite graf a popíšte vlastnosti funkcie:

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

Vlastnosti:

nie je prostá nie je párna ani nepárna nie je periodická nie je zhora ohraničená je zdola ohraničená má ostré minimum pre x=-3 je klesajúca ( ∞, -3 je rast úca (-3,-2) > ∩ < 2,

∞)

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

n-je nepárne

f

Vzorce, grafy

n

:

y

x

1

x n

n-je párne

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

Najpr si načrtneme graf len pre z á klad funkcie y=x -3 ,grafy) (viď.vzorce •Postupne uvažujte o ostatných činiteloch vo funkcii. Ak je pod mocninou pri neznámej dalšie číslo ktore sa pripočítava alebo odčítava od neznámej funkcia sa posuva pozdĺž x-ovej osi a to pri pripočítavaní doľava a pri odčítaní doprava •Ak sa k základu funkcie pripočítavá alebo odčítavá dalšie číslo mimo mocniny graf funcie sa posúva po y-ovej osi a to pri pripočítavaní hore a pri odčítaní dole. •Ak je vo funkcii absolútna hodnota všetky jej záporné hodnoty sa menia na kladné resp. sa zalomí nad x-ovú os.

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f 1 f 2 f 3 : y=(x+2) -3 …..………………..posunie sa o 2 do ľ ava : y= (x+2) -3 +1 ………………..posunie sa o 1 hore : y= /(x+2) -3 +1/ ……………...preklopí sa nad x-ovú os

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Viktória Kisková, 2.B

Zadanie úlohy

V obore reálnych

č

ísel vyriešte danú rovnicu.

x

 1 

x

 1

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 Keďže je celá rovnica pod odmocninou, umocníme ju tým odmocninu odstránime.

 V rovnici ostala ešte jedna odmocnina, preto všetky ostatné členy presunieme na druhú stranu a rovnicu opäť umocníme.

 Členy pozlučujeme, spravíme skúšku správnosti a vypíšeme korene.

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

vR

: 

x

 1 

x

 1 2  

x

  1  1

x

x

 1  1 

x

2 1 

x

 1  2

x

x

2 0  0 

x x

 2

x

  3

x

3  

x

 0 

x

  3 

L P

ˇ       1  0  1  1

L P

ˇ       1 3 

L L

ˇ ˇ

 

 

P

 

P

 

4  3  2  1  1

V K

 

V

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

K

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Martina Marhefková, 2.B

Zadanie úlohy

Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu.

4

x

2  8

x

 5  2

x

 1

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

   1 2

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 Rovnicu umocníme a tým odstránime jednu odmocninu.

 Na pravej strane rovnice použijeme vzorec (a+b) 2 .

 Presunieme členy rovnice na pravú stranu, na ľavej necháme odmocninu.

 Rovnicu umocníme, pozlučujeme členy a vyjadrime x 1 a x 2 .

 Keďže sme použili dôsledkové úpravy (umocnenie), je nutná skúška.

 Vykonaním skúšky správnosti zistime, či vypočítané korene sú aj koreňmi danej rovnice.

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

4

x

2  4

x

2  4

x

2  

x

1  1 2

Úplné riešenie úlohy

8

x

 5 8

x

 5  2

x

 1 

2

x

 1

2 8

x

 5  4

x

2  4

x

 1 8

x

 5  4

x

 1 8

x

 5  16

x

2  8

x

 1 4  16

x

2 2 2   4

x

2 

L

ˇ

x

 

1 

neexistuje

4  1 4  8  1 2  5  1 

L

ˇ   2

P

  2   4  1   1 1 4   0  4  5  1  9  1  3  1  1  1  2 0  0 1 4 

x

2

x

 1 2 :

L

ˇ

L

ˇ   1   2  

P P

  1   2

x

2   1 2

K

   1 2

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Lucia Čekovská, 2.B

Zadanie úlohy

V R riešte nerovnicu:

x

2

4

x

2

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K = ‹ o, ∞)

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy (a+b)

2

= a

2

+ 2ab + b

2 Pri riešení nerovníc s neznámou pod odmocninou používame len ekvivalentné úpravy!

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

      Určíme podmienky Riešenie rozvetvíme na dva prípady (aby sme zabezpečili ekvivalentnosť úpravy) Každý prípad riešime zvlášť: 1. vetva- ak pravá strana ≥0, umocníme obidve strany nerovnice na druhú, úpravou získame nerovnicu, po jej vyriešení zohľadníme podmienku a dostaneme množinu koreňov 1. vetvy 2. vetva- ak pravá strana ‹0, urobíme diskusiu Celková množina koreňov je zjednotením množín koreňov obidvoch vetiev

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

(x 2 + 4) 0,5 ≤ x + 2 Podmienka: x 2 + 4 ≥ 0, platí pre všetky x z množiny R 1. vetva: ak x+2 ≥ 0 → x ≥ -2, potom (x 2 + 4) 0,5 ≤ x + 2 / 2 → x 2 + 4 ≤ x 2 + 4x + 4 → 0 ≤ x po zohľadnení podmienky K 1 = ‹ o, ∞) 2. vetva: ak x+2 ‹ 0 → x ‹ -2, potom ĽS= (x 2 + 4) 0,5 ≥ 0 (druhá odmocnina je vždy nezáporná), PS= x+2‹0 → ĽS bude vždy väčšia ako PS (spor so zadaním) → K 2 = Ø K = K 1 U K 2 =

‹ o, ∞

)

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B

Zadanie úlohy v R riešte rovnicu:

x

2

4

x

6

x

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

 4 , 12 5

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

a

b

 2 

a

2  2

ab

b

2 

a

b

 2 

a

2  2

ab

b

2

D

b

2  4

ac x

1 ;

x

2  

b

 2 2

a D

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

rovnicu umocníme, pričom použijeme dané vzorce odstránili súčet odmocnín

týmto sme

rovnicu upravíme tak, aby sme na jednej strane rovnice mali iba odmocniny

opäť rovnicu umocníme

dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú vyriešíme pomocou diskriminantu D

vykonali sme dôsledkové úpravy preto musíme urobiť aj skúšku správnosti

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

x

 2 

Úplné riešenie úlohy

4 

x

 6 

x x

 2  2

x

 2 4 

x

 4 

x

 6 

x

2

x

 2 4  4 

x

 2  4 

x

 4 

x x

  16  8

x

 2 

x

2   2 2

Ľ

Skúška:

P x

x

 2  

Ľ

6 

x

 

P

4 

x

 2 4 

K

2 16

x

 4

x

2  32  8

x

 16  8

x

  5

x

2 5

x

2   32

x

32

x

  48 48   0 0

x

2    16 ;  8

x

;   

x

2

D D D

  

b

 2  32 4

ac

 2  4  5   64 48

Ľ P x

 

x

 2  4 

x

 0 , 4  6 

x

Ľ

P

3 , 6  .

1 , 89736 12 5 

K x

1 ;

x x

1

x

2 1

D x

2   4    8

b

 32  2 

a

8 10 2  32  10 8

x

2  12 5

D K

V K

 4 , 12 5 1 , 6  .

1 , 89736

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Jozef Zoričák, 2.B

Zadanie úlohy

Zostrojte graf funkcie f a popíšte vlastnosti

f

:

y

x x

 1  2

Mocninové funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

 D(f)=

R

H(f)=R Funkcia f je klesajúca na intervale od (-∞,1) zjednotenie (2, ∞) Rastúca na intervale (1,2) Nie je prosta, nie je párna ani nepárna Zdola ohraničená d=0, minimum ma v 1

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

a=1 b>1

f

1  1 

x a

b f

 1 

x a

b x

 0

x

b

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 Rovnicu si upravíme tak, že vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme tvar funkcie

f

1  1 

x

1  2  Potom si nájdeme asymptoty, na osi x bude prechádzať cez 2 a na osi y cez 1  Dopočítame zopár hodnôt do tabuľky  Načrtneme graf funkcie

f

1  Zápornú časť grafu prevrátime okolo x osy

Mocninové funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Mocninové funkcie

Úplné riešenie úlohy

(

x

Vydelením dostaneme tvar funkcie  1 ) : (

x

 2 )  1 

f:y

 1 

x

1  2  (

x

 2 ) 1 x -3 -2 -1 0 1 3 y 0,8 0,75 0,6 0,5 0 2

Zadanie úlohy

Po prevrátení zápornej časti grafu

f

:

y

 1 

x

1  2

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Č

o majú všetky štyri funkcie spoločné ?

f

1 :

y

 7

x f

2 :

y

 

x f

3 :

y

 log 5

x f

4 :

y

 log 0 , 3

x

A. majú rovnaký obor hodnôt B. majú rovnaký definičný obor C. všetky sú rastúce D. grafy všetkých pretínajú os x E. všetky sú prosté

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

E Všetky štyri funkcie sú prosté.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

a

 1

Základné grafy

f

:

y

a x g

:

y

 log

a x g

f

 1 0 

a

 1

f

:

y

a x g

:

y

 log

a x

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite si grafy exponenciálnych funkcií f: y=a x a skúmajte ich vlastnosti v závislosti od základu a ( a >1, 0

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Na obr. sú načrtnuté grafy všetkých 4 funkcií.

f

1 :

y

 7

x f

2 :

y

  

x f

3 :

y

 log 5

x f

4 :

y

 log 0 , 3

x

Všetky štyri funkcie sú prosté, preto správna odpove ď je E.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Ktorý interval je definičným oborom funkcie f ?

f

:

y

 log 0 , 3  9 

x

2  

x

 5

A.

- 3 ,

B.( - 3 ,

) ) C.

- 3 , 3 D.( - 3 , 3 ) E.( 0 ,

)

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

D

  

 3 , 3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

Logaritmy sú definované pre všetky kladné reálne čísla.

Odmocniny sú definované pre všetky nezáporné reálne čísla.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 uvedomte si akú podmienku musí spĺňať výraz, ktorý je v argumente logaritmu a akú výraz pod odmocninou ... zapíšte tieto podmienky nerovnicami  vyriešte každú zo zapísaných nerovníc a jej množinu riešení napíšte ako interval  keďže čísla x, ktoré sú z definičného oboru funkcie f musia vyhovovať obidvom podmienkam, definičný obor nájdite ako prienik intervalov  správnu odpoveď môžete určiť aj dosadzovaním vhodných čísel do rovnice funkcie a postupným vylučovaním nesprávnych odpovedí

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

:

y

 log 0 , 3  9 

x

2  

x

 5

x

D

    9 

x

2  0   

x

 5  0  9 

x

2 

3 

x



3 

x

 0  ...

x

 3 , 3

x

 5  0  

x

  5 

x

  5 ,  )

D

  

 3 , 3

  5 ,  ) 

 3 , 3

Správna odpove ď je D.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 2

x

 3  2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

  

R

,

H

    2 ,   funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=-2 funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá funkcia f je rastúca na celom definičnom obore

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základné grafy

f

:

y

a x a

 1

f

:

y

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=2 x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=2 x-3 ... posun o 3 jednotky doprava  načrtnite graf funkcie f 3 = f : y=2 x-3 ... posun o 2 jednotky dole  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 2

x f

2 :

y

 2

x

 3

f

3 

f

:

y

 2

x

 3  2

Úplné riešenie úlohy

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

5 

f

:

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2

D

  

R

,

H

 0 ,  ) funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f má ostré minimum v bode x = -3 funkcia f nemá maximum funkcia f nie je prostá funkcia f je klesajúca na intervale    ,  3  funkcia f je rastúca na intervale   3 ,  

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základné grafy

f

:

y

a x a

 1

f

:

y

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie

f

1 :

y

 1 4

x

 načrtnite graf funkcie

f

2 :

y

 1 4

x

 2  načrtnite graf funkcie

f

3 :

y

  1 2  .

 1 4

x

 2 ... posun o 2 jednotky doľava ... hodnoty funkcie sa zmenšia dvakrát a graf sa preklopí pod os x  načrtnite graf funkcie

f

4 :

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2 ... posun o 2 jednotky nahor  načrtnite graf funkcie

f

5 

f

:

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2 ... časť grafu pod osou x sa preklopí nad os x  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 1 4

x f

2 :

y

 1 4

x

 2

f

3 :

y

  1 2  .

 1 4

x

 2

f

4 :

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2

f

5 

f

:

y

  1 2  .

 1 4

x

 2  2

Úplné riešenie úlohy

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 2

x

 2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

f

:

y

 2

x

 2

D

  

R

,

H

 0 ,  funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá funkcia f je zdola ohraničená, d=0 funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximum funkcia f má minimum pre x= 1 funkcia f je rastúca na intervale funkcia f je klesajúca na intervale    , 1 

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

f

:

y

 2

x

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite funkciu

f

1 :

y

 2

x

 načrtnite funkciu ...posun o 2 dole 

f f y x

...preklopenie funkcie cez y-ovú os  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

:

y

 2

x f

:

y

 2

x

 2

f

:

y

 2

x

 2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

PATRIKOVÁ, K. – REITEROVÁ, M.:

Nová maturita: MATEMATIKA

str. 110 Pre ktoré xєD(g) nadobúda funkcia g funkčnú hodnotu jeden?

g

:

y

 log

x

log

x

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

g

:

y

 log

x

log

x

Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre

x

  10  1 , 10 

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Základný graf

log

a x n

n

log

a x

 log

x

log

x

log

x

log

x

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 použite vzorec pre logaritmus mocniny log

x

log

x

 log

x

 log

x

 odmocnite

log

x

2  určte x, pre ktoré platí: log x=1 alebo log x=-1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

1  log

x

log

x

1  1  log  log

x

 log

x

 2

x

1  log

x

log log

x

  1

x

 1 

x

 10 log

x

  1 

x

 10  1

f

:

y

 log

x

log

x

Funkcia g nadobúda funkčnú hodnotu jeden pre

x

  10  1 , 10 

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Na diskotéke namerala kontrola hladinu intenzity hluku B 1 =120 dB, na ulici B 2 =70 dB. Koľkokrát je intenzita zvuku I 1 na diskotéke väčšia ako intenzita zvuku I 2 na ulici?

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

B

B

0  10 .

log

I I

0

dB

log

a r

s

a s

r

log

a t

 log

a u

 log

a t u

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 vyjadrite rozdiel hladín intenzity zvuku na diskotéke a ulici B 1 – B 2  rozdiel upravujte pomocou viet o logaritmoch, tak aby neobsahoval intenzitu I 0 a v argumente logaritmu bol podiel intenzít I 1 /I 2  využite definíciu logaritmu a vyjadrite podiel intenzít I 1 /I 2  I 1 vyjadrite ako násobok I 2 a sformulujte slovnú odpoveď

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

B

1 

B

2  10 .

log

I

1

I

0  10 .

log

I

2

I

0  10  .

 log

I

1

I

0  log

I

2

I

0     10 .

log

I

1

I

0

I

2

I

0  10 .

log

I I

1 2

B

1 

B

2  120  70  50

dB

50  10 .

log

I

1

I

2  log

I

1

I

2  5 

I

1

I

2  10 5 

I

1  10 5 .

I

2 Intenzita zvuku na diskotéke je 100 000 krát väčšia ako na ulici.

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 log 3 

x

 2   4

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

    ,

H

R

funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f nie je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá funkcia f je rastúca na celom definičnom obore

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

 log

a x a

 1

Základné grafy

f

:

y

 log

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=log 3 x  načrtnite graf funkcie f 2 : y= log 3 (x-2) ... posun o 2 jednotky doprava  načrtnite graf funkcie f 3 = f : y= log 3 (x-2)+4 ... posun o 4 jednotky hore  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 log 3

x f

2 :

y

 log 3 

x

 2 

f

3 

f

:

y

 log 3 

x

 2   4

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: František Bizovský, 2.B

Zadanie úlohy

V obore reálnych čísel vyriešte exponenciálnu rovnicu :

x

 1 3 2 3

x

 1  3

x

 7 8

x

 3  0

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

 20 13

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

b a x

ab x

 

b

x ab x

x

2 1

a b

d c

ad

cb bd

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 na ľavej strane si odstránime odmocninu v prvom člene, druhý člen ľavej strany upravíme na rovnaký základ ako má prvý člen  odmocniny si upravíme do exponenciálneho tvaru, tak aby ani jeden z členov rovnice nebol záporný  z vlastností exponenciálnych funkcií vyplýva ( exp. funkcia je prostá), že ak sa mocniny s rovnakým základom rovnajú, tak sa rovnajú aj exponenty  exponenty si prehodíme na ľavú stranu a dáme na spoločného menovateľa  vynásobíme rovnicu menovateľom, roznásobíme výraz na ľavej strane  upravíme výraz a vyjadríme x, overíme, či koreň vyhovuje podmienkam, zapíšeme množinu riešení

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

x

 1 3

Úplné riešenie úlohy

2

x

 1  3

x

 7 8

x

 3  0 3

x

 3 2 3

x

 1  3

x

 7 2 3

x

 9 2 3

x

 1 3

x

 3  0  2 3

x

 9 3

x

 7 9

x

2   3

x

 3

x

3

x

 1  3

x

3

x

 3 3

x

3

x

  1    3 3

x

1   3

x x

   7 3 7     3 3 3

x

 

x x

 3

x

    1 3 7  3 9     3

x

9  3   3

x x x

   1 7 3    0  3   0 0   1 7  7

x

 3

x

 7  9

x

2  6

x

 17

x

 13

x

27   0 20

x

 20 13

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

x

 1 ,

x

 7 3

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

  2 .

log 1

x

 4

2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

  

R

,

H

 0 ,   funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f nemá maximum , má minimum v bode x=-3 funkcia f nie je prostá funkcia f je klesajúca na intervale    ,  3  funkcia f je rastúca na intervale   3 ,  

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

f

:

y

 log

a x a

 1

Základné grafy

f

:

y

 log

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=log 1/2 x  načrtnite graf funkcie f 2 : y= log 1/2 (x+4) ... posun o 4 jednotky doľava  načrtnite graf funkcie f 3 = f : y=-2. log 1/2 (x+4) ... hodnoty funkcie sa dvakrát zväčšia a zmenia znamienko  načrtnite graf funkcie f 4 = f : y=|-2. log 1/2 (x+4)| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

Úplné riešenie úlohy

f

1 :

y

 log 1 2

x f

2 :

y

 log 1 

x

 4  2

f

3 :

y

  2 .

log 1 

x

 4  2

f

:

y

  2 .

log 1 

x

 4  2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Lívia Sisková, 2.B

Zadanie úlohy

Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.

f

:

y

 3

x

 2  5

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

D

 

R

,

H

  

 5 , 

funkcia f nie je párna ani nepárna funkcia f nie je periodická funkcia f je zdola ohraničená, d=-5 funkcia f nie je zhora ohraničená

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

funkcia f je rastúca funkcia f nemá maximum ani minimum funkcia f je prostá

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

f

:

y

a x a

 1

f

:

y

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 načrtnite graf funkcie f 1 : y=3 x  načrtnite graf funkcie f 2 : y=3 x+2 ... posun o 2 jednotky doľava  načrtnite graf funkcie f 3 : y=3 x+2 -5 ... posun o 5 jednotiek dole  sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť,maximá a minimá, intervaly rastu a klesania

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

Vlastnosti funkcie f sú uvedené v časti – Výsledok

f

1 :

y

 3

x f

2 :

y

 3

x

 2

f

3

f

:

y

3

x

 2

5

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Stanislav Pitoniak, 2.B

Zadanie úlohy

9

x

(

x

 1 )  0 , 5  3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

K

   1 2 , 3 2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

D

b

2  4

ac x

1  

b

 2

a D x

2  

b

 2

a D

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

 obe strany rovnice upravíme na mocniny so základom 3  keďže exponenciálna funkcia je prostá, z rovnosti mocnín vyplýva rovnosť exponentov  exponenty dáme do rovnosti a riešime kvadratickú rovnicu

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

9

x

(

x

 1 )  0 , 5  3 ( 3 2 )

x

(

x

 1 )  0 , 5  3 2 1 3 2

x

(

x

 1 )  1

3 2 1 2

x

(

x

 1 )  1  1 2 4

x

(

x

 1 )  2  1 4

x

2  4

x

 2  1 4

x

2  4

x

 3  0

Úplné riešenie úlohy

D

b

2  4

ac D

 4 2  4 .

4 .(  4 )

D

 64

x

1  4  8 8

x

1

K

  3 2   1 2 , 3 2

x

2  4  8 8

x

2   1 2

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Stanislav Kušmírek, 2.B

Zadanie úlohy

Narysu

j

te graf funkci

e

a učte je

j

vlastnosti :

f

: y =

2 (x+3) -2

-3 Narysujte graf funkcii a učte jeho vlastnosti : f: y =

2 (x+3) -2

-3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

Vlastnosti: D(f) = R , H(f) = < 3, ∞) na intervale ( –∞ ,-2) je klesajúca, na (-2,+∞) je rastúca, má minimum v bode x=-2,maximum nemá, je zdola ohraničená d= -3, zhora nie je ohraničená, nie je ani parná ani neparná, nie je periodická, nie je prostá

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

f

:

y

a x a

 1

f

:

y

a x

0 

a

 1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

Treba si uvedomiť, že ide o exponenciálnu funkciu. Postupujme po krokoch: Základná funkcia y= 2 x sa zmení nasledovne: a: y= 2 (x+3) o 3← b: y= 2 (x+3) c: y= │2 (x+3) 2 o 2↓ -2 │ všetky záporné hodnoty sa nám prevrátia na kladné, funkcia sa lomí f: y =│2 (x+3) 2│-3 všetky hodnoty sa posunu o 3 ↓ Tabuľka pre výsledné hodnoty:

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

x y -4 -1/2 -2 -3

Výsledok

0 3

Vzorce, grafy

1 11 2 27

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

1. a: y= 2 (x+3) 2. b: y= 2 (x+3) 3. c: y=

2 (x+3) 4. f: y =

2 (x+3) -2 -2

-2

-3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracoval: Pavol Smoleň, 2.B

Zadanie úlohy

Zostrojte graf funkcie a popíšte jej vlastnosti

y

 1 / 2 (

x

2 )  3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

y

f(x)=abs(1/2^(x+2)-3) 8 6

D(f)=R f H(f)=<0,∞) f:→ nieje prostá → nieje periodická → namá maximum

-9

→ nieje párna , ani nepárna → nieje rastúca ani klesajúca na celom D → je klesajúca na (-∞, n> → je rastúca na

-8

→ je zdola ohraničená d= 0 → nieje zhora ohraničená → má minimum v bode n

-7 -6 -5 -4

n

-3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

y

8 6 4 2 f(x)=1/2^x f(x)=1/2^(x+2) f(x)=1/2^(x+2)-3 f(x)=abs(1/2^(x+2)-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -6 -8 -2 -4

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Návod na riešenie úlohy

základná funkcia tejto exponenciálnej funkcie je určená rovnicou y=1/2 x

pomocou tabuľky pre dané hodnoty x zistíme hodnoty y a narysujeme základný graf

funkciu budeme potom posúvať na základe koeficientov

a nakoniec prevrátime záporné hodnoty, pretože ide o funkciu s absolútnou hodnotou

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

Úplné riešenie úlohy

f

1

f

2

f

3

f

4 : : : 

y y f y

  :  1

y

1 / / 1 

x

2 / 2

x

1  / 2 2

x

2

x

  2  2 3

o

2 

o

 3  3

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Úplné riešenie úlohy

Spracovala: Katarína Mesarčíková, 2.B

Zadanie úlohy

Určte všetky

c

R

, pre ktoré je exponenciálna funkcia daná rovnicou

f

:

y

 2

c

 1 2

c

 1

x

a) b) rastúca klesajúca

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Výsledok

a.

ak c (0,5 ;∞), tak f je rastúca

b.

ak c (-∞ ; -0,5), tak f je klesajúca

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

Vzorce, grafy

-

grafické znázornenie pre rovnicu f je klesajúca

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Návod na riešenie

Riešenie úlohy

  

Návod na riešenie úlohy Na riešenie úlohy využijeme poznatky z exponenciálnych funkcií : ak má byť funkcia rastúca, tak a›1 ak má byť funkcia klesajúca ,tak 0‹a‹1

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Riešenie úlohy

a.

f: y= a

x

Úplné riešenie úlohy je rastúca ‹=› a ›1 ›1 › 0 2c -1 › 0 2c › 1 c › 0,5

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

c (0,5 ; ∞)

Výsledok

Vzorce, grafy

Pokračovanie riešenia úlohy

Návod na riešenie

b.

f: y= a

x

Úplné riešenie úlohy je klesajúca ‹=› 0‹a‹1 ‹1 ‹ 0

(2c + 1 › 0 Λ 2c – 1 › 0) ν (2c + 1 ‹ 0 Λ 2c – 1 ‹ 0) (c › -0,5 Λ c › 0,5) ν ( c ‹ -0,5 Λ c ‹ 0,5)

2c -1

0 c (0,5; ∞) ν (- ∞; - 0,5) 2c

1 c

0,5 c (-∞;-0,5)

Exponenciálne a logaritmické funkcie

Zadanie úlohy

Výsledok

Vzorce, grafy

Návod na riešenie

Tabu ľ ka č.1 - Vlastnosti lineárnych funkcií f: y = a.x+b

a

= 0

a >

0

a <

0 graf funkcie

Tabu ľ ka č.2 - Vlastnosti kvadratických funkcií f: y=a.x

2 +b.x+c

Tabu ľ ka č.3 – Grafy a vlastnosti goniometrických funkcií

Tabu ľ ka č.4- vlastnosti mocninových funkcií f: y= x

n

, n

є

N  N

Tabu ľ ka č.5- vlastnosti mocninových funkcií f: y= x

– n

, n

є N

 N

Tabu ľ ka č.6 vlastnosti exponenciálnych funkcií f: y= a

x

Tabu ľ ka č.7- vlastnosti logaritmických funkcií f: y= loga x