Transcript 1 - Stredná odborná škola, Gemerská 1, Košice
Slide 1
y
Využitie PowerPoint-u pri výučbe
funkcií
x
Vstup
©Zuzana Hajduková, 2005
Slide 2
Typy funkcií
•
•
•
•
•
•
•
•
Lineárna
Kvadratická
S absolútnou hodnotou
Mocninové
Lineárna lomená
Exponenciálna
Logaritmická
Goniometrické
Táto prezentácia je určená ako učebná pomôcka pre študentov, ale i pre učiteľov, ktorých zaujíma problematika funkcií,
ich grafov a vlastností.
Grafy funkcií sú vytvorené pomocou programu RJS Graph 3.21.11.
Slide 3
Lineárna funkcia
Lineárna funkcia je každá funkcia určená rovnicou y=ax+b, a,b sú reálne čísla.
Definičným oborom lineárnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax+b
a 0
a 0
1
y
2
y
y = 2x-1
3
a 0
2
2
1
1
x
3
-2
-1
1
2
y =1
3
2
1
-3
y
y = -3x+2
3
x
3
-3
-2
-1
1
2
x
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
2
3
4
5
6
7
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=R
rastúca teda je prostá
nie je ohraničená
nemá maximum ani minimum
nie je párna ani nepárna
D(f)=R, H(f)=R
klesajúca teda je prostá
nie je ohraničená
nemá maximum ani minimum
nie je párna ani nepárna
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)={1}
konštantná a teda nie je prostá
je ohraničená
v každom bode x má minimum aj maximum
je párna funkcia
Grafom každej lineárnej funkcie y = ax+b je priamka rôznobežná s osou y.
8
Koeficient a udáva sklon priamky
Koeficient b určuje, aký úsek vytína
priamka na osi y
Druh lineárnej funkcie ak b=0 je priama úmernosť: y=ax. Priamka prechádza začiatkom súradnicovej sústavy.
Slide 4
späť
Vlastnosti lineárnych funkcií
y=ax+1
y=ax+1
1
y=-2x+b
y
y
3
2
2
3
4
5
6
7
8
y = -2x+2,5
y = -2x+1
y = -2x
y = -2x-0,5
y = -2x-2
3
y = 3x+1
y = x+1
y =1
y = -x/ 4+1
y = -4x/ 5+1
y = -4x+1
2
1
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Grafy všetkých lineárnych funkcií tvaru y = ax+1,
kde a je reálny parameter, vytínajú na osi y úsek 1,
mení sa iba smer priamok (mení sa parameter a).
2
3
Grafy všetkých lineárnych funkcií tvaru y = -2x+b, kde
b je reálny parameter, sú navzájom rovnobežné priamky
(majú rovnaký smer, a=-2) a na osi y vytínajú úsek b.
Slide 5
Kvadratická funkcia
Kvadratická funkcia je každá funkcia určená rovnicou y = ax2+bx+c, kde a,b,c sú ľubovoľné reálne čísla, a≠0.
Definičným oborom kvadratickej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax2
a>0
a<0
1
7
2
Y
1
Y
6
y=x2
y=2x2
y=3x2
5
3
4
4
-3
-2
-1
-2
-3
2
-4
-1
0
-1
1
2
3
X
y=-x2
y=-2x2
y=-3x2
-5
2-krát
5
-2
0
3
1
-3
-1
-6
1
2
3
X
-7
6
7
8
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=0,∞)
na (-∞,0>je klesajúca, na <0,∞) je rastúca,teda nie je prostá
zdola ohraničená,f(x)≥0
V[0,0] určuje minimum funkcie, je to f(0)=0
funkcia je párna
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(-∞,o>
na (-∞,0> je rastúca, na <0,∞) je klesajúca,teda nie je prostá
zhora ohraničená,f(x)≤0
V[0,0] určuje maximum funkcie, je to f(0)=0
funkcia je párna
Grafom kvadratickej funkcie je krivka parabola.
Na prvom obrázku vidíme natiahnutie grafu funkcie y = x2 v smere osi y, lebo hodnoty funkcií y = 2x2 (y = 3x2) sú
dvakrát (trikrát) väčšie ako hodnoty funkcie y = x2.
Na druhom obrázku vidíme preklopenie grafov okolo osi x, lebo hodnoty funkcií y = -x2, y = -2x2, y = -3x2 sú opačné
k hodnotám funkcií y = x2, y = 2x2, y = 3x2.
Slide 6
Kvadratická funkcia
y=x2+c
1
6
y=(x-m)2
7
Y
2
6
y=x2
y=x2+1
y=x2-1
5
4
Y
y=x2
y=(x-1)2
y=(x+1)2
5
4
3
3
3
2
2
1
+1
4
-4
5
-3
-2
-1
0
1
-1 1
2
3
4
X
-1
-4
-3
-2
-1-1 0
-1
+1 1
2
3
4
X
-2
6
7
8
V[0,c]
funkcia je párna
V[m,0]
funkcia nie je párna ani nepárna
Grafy všetkých kvadratických funkcií tvaru y = x2 + c, kde c je reálny parameter, vznikajú posunutím grafu funkcie y = x2
o „c“ jednotiek v smere osi y.
Ak c >0, graf sa posúva v smere kladnej polosi y.
Ak c <0, graf sa posúva v smere zápornej polosi y.
Grafy všetkých kvadratických funkcií tvaru y = (x-m)2, kde m je reálny parameter, vznikajú posunutím grafu funkcie y = x2
o „m“ jednotiek v smere osi x.
Ak m >0, graf sa posúva v smere kladnej polosi x.
Ak m <0 graf sa posúva v smere zápornej polosi x.
Slide 7
späť
Syntéza kreslenia grafov kvadratickej funkcie
Každá kvadratická funkcia, t.j. funkcia tvaru y = ax2 + bx + c, sa dá upraviť na tvar y = a(x-m)2 + n, teda stačí vedieť kresliť
grafy funkcií upraveného tvaru.
Graf ľubovoľnej kvadratickej funkcie vznikne z grafu „najjednoduhšej“ kvadratickej funkcie y=x2 použitím 4 operácií:
1
2
natiahnutím grafu v smere osi y,
preklopením grafu okolo osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi y.
Príklad:
y = -2x2 -4x +1=-2(x+1)2+3=-2[x-(-1)]2+3
Riešenie ukazuje nasledujúca séria obrázkov:
3
4
Y
4
y=x2
3
4
-4
6
-3
-2
preklopenie
5
7
8
2
+3
2-krát
1
y=-2x2
y=-2(x+1)2
y=-2(x+1)2+3
3
y=2x2
y=-2x2
2
Y
1
-1
-1
0
1
2
3
4
X
-1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
y=2x2 stlačenie grafu funkcie y =x2 v smere osi y
y=-2x2 preklopenie grafu y=2x2 okolo osi x
1
2
3
4
X
y=-2(x+1)2 posunutie grafu y=-2x2 o jednotku v smere
zápornej polosi x (m=-1, V[-1,0])
y=-2(x+1)2+3 posunutie grafu y=-2(x+1)2 o 3 jednotky
v smere kladnej polosi y (n=3, V[-1,3]).
Záver:
y=ax2 + bx + c = a(x-m)2+n
V[m,n]
Slide 8
Funkcie s absolútnou hodnotou
Absolútna hodnota ľubovoľného reálneho čísla x je z algebrického významu vždy nezáporné reálne číslo, teda
Vx R:|x|≥0
y=k.|f(x-m)|+n
1
y=3.|x-1|-2
y=|x2+4x|-2
2
y=|x|
y=|x-1|
y=3.|x-1|
y=3.|x-1|-2
Y
3
6
5
4
3
5
4
2
4
1
3
5
2
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
-1
1
6
-2
-4
-3
-2
-1
0
-1
7
y=x2+4x=(x+2)2-4
y=|x2+4x|
y=|x2+4x|-2
Y
-2
1
2
3
4
5
X
-3
-4
8
y=|f(x)|: graf leží nad osou x, využijeme tu nezápornosť všetkých funkčných hodnôt.
y=|f(x-m)|: graf funkcie y=|f(x)| sa posúva o „m“ jednotiek v smere osi x.
y=k.|f(x-m)|: k-násobné natiahnutie grafu y=|f(x-m)| v smere osi y.
y=k.|f(x-m)|+n: posunutie grafu y=k.|f(x-m)| o „n“ jednotiek n smere osi y.
2
X
Slide 9
Mocninové funkcie
Mocninové funkcie sú všetky funkcie určené predpisom y=xn, n je celé číslo rôzne od nuly.
Definičný obor mocninových funkcií závisí od hodnoty exponenta n, preto grafy mocninových funkcií rozoberáme v závislosti od n.
y=axn, n N
n je párne
1
5
n je nepárne
3
Y
4
2
y=x
y=x3
y=x5
y=x2
y=x4
y=x6
3
Y
2
1
3
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
4
1
5
0
-1
-2
-3
-2
-1
7
8
2
3
X
-1
6
1
-3
• D(f)=R, H(f)=0,∞)
• D(f)=R, H(f)=R
• na (-∞,0>je klesajúca, na <0,∞) rastúca, teda nie je prostá
• na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
• zdola je ohraničená, f(x)≥0
• nie je ohraničená
• má minimum, f(0)=0
• nemá minimum ani maximum
• je to párna funkcia, f(-x)=f(x)
• je to nepárna funkcia
Dve funkcie z mocninových funkcií už poznáme: lineárnu funkciu - priamu úmernosť y = x1 (graf priamka prechádzajúca
začiatkom) a kvadratickú funkciu y = x2 (graf parabola).
Pre n párne sú grafy osovo súmerné krivky podľa osi y a prechádzajú tromi dôležitými bodmi [-1,1], [0,0],[1,1,].
Pre n nepárne sú grafy stredovo súmerné krivky podľa začiatku sústavy súradníc a prechádzajú tromi dôležitými bodmi
[-1,-1], [0,0],[1,1,].
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov v smere osi x u mocninových funkcií so zväčšujúcim sa exponentom v porovnaní s grafmi
funkcií y=x2 a y=x.
Slide 10
Mocninové funkcie
y=x-n, n N
n je párne
5
1
y x
n
1
x
n
n je nepárne
x 0
Y
4
y=x-2
y=x-4
y=x-6
4
Y
y=x-1
y=x-3
y=x-5
3
2
3
2
1
2
-4
3
-3
-2
-1
0
-1
1
1
2
3
4
X
-2
4
-3
-2
-1
0
1
2
-3
3
X
-1
-4
5
6
•
•
•
•
•
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(0,∞)
na (-∞,0)je rastúca, na (0,∞) je klesajúca, teda nie je prostá
zdola je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je párna funkcia
•
•
•
•
•
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
7
Keďže definičným oborom sú všetky reálne čísla okrem nuly, grafom sú dve navzájom nespojité (oddelené) krivky
v čísle 0 s asymptotami v súradnicových osiach x, y.
8
Pre n párne sú grafy osovo súmerné krivky podľa osi y a prechádzajú dvoma dôležitými bodmi [-1,1 ], [1,1].
Pre n nepárne sú grafy stredovo súmerné krivky podľa začiatku sústavy súradníc a prechádzajú dvoma dôležitými bodmi
[-1,-1 ], [1,1].
Osobitným prípadom mocninových funkcií so záporným exponentom je nepriama úmernosť y = x-1 =1/x (graf hyperbola).
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
Natiahnutie grafov v smere osi y u mocninových funkcií so zmenšujúcim sa exponentom v porovnaní s grafmi funkcií
y=x-2 a y=x-1 .
Slide 11
späť
Syntéza kreslenia grafov zložitejších mocninových funkcií
y=a(x-m)n+p, n Z- {0}
Graf ľubovoľnej mocninovej funkcie vznikne z grafu „základnej“ mocninovej funkcie y=xn použitím 4 operácií:
natiahnutím (stlačením) grafu v smere osi y,
preklopením grafu okolo osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi y.
1
2
y=(x+1)-3-1
y= -x-2+1
y=(x+1)3-0,5
3
x=-1
4
5
Y
4
2
Y
y=x-2
y=-x-2
y=-x-2+1
4
y=(x+1)-3
y=(x+1)-3-1
3
5
5
y=x-3
3
1
y=1
1
-1
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
-1
1
2
3
-2
7
8
Y
2
2
-1
1
6
3
y=x3
y=(x+1)3
y=(x+1)3-0,5
4
5
X
y=-1
+1
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
5
X
-3
-2
-0,5
-1
0
1
2
3
X
-1
-2
-3
• posunutie grafu funkcie y=x-3 o „1“
v smere osi zápornej polosi x
• preklopenie grafu funkcie y=x-2
okolo osi x
• posunutie grafu funkcie y=x3 o „1“
v smere zápornej polosi x
• posunutie grafu y=(x+1)-3 o „1“
v smere zápornej polosi y
• posunutie grafu funkcie y=-x-2 o „1“
v smere kladnej polosi y
• posunutie grafu funkcie y=(x+1)3 o „1“
v smere zápornej polosi y
Slide 12
Lineárna lomená funkcia
Lineárna lomená funkcia je každá funkcia určená rovnicou
ax b
y
cx d
Druh lineárnej lomenej funkcie, ak a=0 a b=0 – nepriama úmernosť:
y
d
D f R .
c
, kde a , b , c , d R , c 0 , ad bc 0 .
y
b
cx
k
x
, k R 0 , D ( f ) R 0 .
k
x
1
k>0
k<0
y
2
4
3
5
6
7
•
•
•
•
•
4
3
2
2
-5 -4 -3 -2 -1
1
x
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
•
•
•
•
•
x
1
-1
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
y = -1/ x
y = -2/ x
y = -3/ x
5
3
1
4
y
y = 1/ x
y = 2/ x
y = 3/ x
5
2
3
4
5
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
8
Grafom nepriamej úmernosti je rovnoosá hyperbola so stredom v začiatku súradnicovej sústavy.
Hyperbola sa skladá z dvoch častí – vetiev, ktoré sú od seba oddelené v čísle 0 a sú stredovo súmerné podľa začiatku
sústavy súradníc.
Súradnicové osi x,y sú spoločné dotyčnice oboch vetiev v nevlastnom bode - v nekonečne. Také dotyčnice sa nazývajú
asymptoty.
Funkcia y=1/x je zároveň mocninová funkcia so záporným nepárnym exponentom t.j. y=x-1.
Slide 13
späť
Lineárna lomená funkcia
Každá lineárna lomená funkcia
y
ax b
sa dá upraviť na tvar:
cx d
Graf upravenej funkcie vzniká posunutím grafu funkcie
1
2
3
y
x 1
x2
x 2 1
x2
x2
x2
1
x2
1
x2
1
x
xm
n
(nepriama úmernosť) :
1
x 2
1,
m=-2, n=1
Riešenie ukazuje nasledujúca séria obrázkov:
4
y
y
x=-2
1
4
x2
3
-2
5
-6
-5
-4
-3
-2
y
x=-2
y = -1/ x
y = -1/ (x+2)
4
3
2
-1
y = -1/ (x+2)
y = -1/ (x+2)+1
2
1
6
k
k
o „m“ jednotiek v smere osi x
o „n“ jednotiek v smere osi y.
Príklad:
y
y
1
2
3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
1
x
+1
-1
1
x2
y=1
1
+1
x
y
2
3
-2
7
8
• Posunutie grafu
y
1
o „ -2“ v smere osi x.
• Posunutie grafu
x
y
1
x2
o „1“ v smere osi y.
Grafom lineárnej lomenej funkcie je rovnoosá hyperbola so stredom [m,n ] a jej asymptoty (priamky ohraničujúce hyperbolu)
prechádzajú týmto stredom [m,n] a sú rovnobežné so súradnicovými osami x,y.
Rovnice asymptot: x=m
y=n
Slide 14
Exponenciálna funkcia
x
Exponenciálna funkcia je každá funkcia určená rovnicou y a , a R 1.
Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax
a>1
1
6
0
Y
6
y=2x
y=ex
y=10x
5
2
4
3
4
-4
5
-3
-2
-1
4
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
4
-4
X
7
8
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(0,∞)
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
zdola je ohraničená, f(x)>0
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
6
y=(1/2)x
y=(1/e)x
y=(1/10)x
5
3
0
Y
3
4
X
-2
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
zdola je ohraničená, f(x)>0
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
Grafom exponenciálnej funkcie y=ax je exponenciálna krivka prechádzajúca bodom [0,1].
Ox x je asymptotou grafu.
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov mocninových funkcií v smere osi x:
s rastúcim základom pre a>1
a s klesajúcim základom pre 0
Slide 15
Zložitejšie exponenciálne funkcie
1
y=kax
2
4
y=ax+n
Y
y=2x
y=2.2x
y=-2.2x
3
3
y=2x
y=2x+1
y=2x-1
5
Y
4
3
2
2-krát
2
1
4
1
-4
5
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
+1
-1
X
-4
-3
-2
-1
0
-2
-1
-3
-2
-4
-3
1
2
7
• natiahnutie grafu y=2x v smere osi y
8
• preklopenie grafu funkcie y=2.2x
okolo osi x.
• posunutie grafu y=2x o jednotku
v kladnom smere osi y
• posunutie grafu y=2x o jednotku
v zápornom smere osi y
3
4
X
Slide 16
Syntéza kreslenia grafov zložitejších exponenciálnych funkcií
späť
Každá zložitejšia exponenciálna funkcia sa dá upraviť na tvar:
y=kax+n, k R - {0}
1
Graf upravenej exponenciálnej funkcie vzniká z grafu „základnej“ exponenciálnej funkcie y=ax použitím troch operácií:
natiahnutím grafu v smere osi y
preklopením grafu okolo osi x
posunutím grafu pozdĺž osi y
2
3
4
Príklad:
y= -3.2x+1
y= -12.2x-2 +1= -12.2x.2-2 +1= -3.2x +1
Y
Riešenie ukazuje nasledujúci obrázok:
5
y=2x
y=3.2x
y=-3.2x
y=-3.2x+1
4
5
3
• základná exponenciálna funkcia
6
7
• preklopenie grafu y=3.2x okolo osi x
8
2
-4
-3
-2
-1
y=1
0
1
2
3
4
X
-1
-2
-3
Priamka y=1 je asymptotou grafu y=-3.2x+1
3-krát
1
• trojnásobné natiahnutie grafu y=2x v smere osi y
• posunutie grafu y= -3.2x o „1“ v smere osi y
preklopenie
+1
-4
-5
Asymptotou grafu exponenciálnej funkcie y=k.ax+n je priamka y=n.
Slide 17
Logaritmická funkcia
Logaritmická funkcia so základom a R+ - {0} je funkcia inverzná k exponenciálnej funkcii y=ax.
Je to funkcia určená predpisom x=ay, čo zapisujeme y=logax.
Druhy logaritmov:
dekadický logaritmus: ak základ a=10 (10-deka), potom základ 10 nepíšeme, teda log10=logx.
prirodzený logaritmus: ak základ a=e ( e je Eulerovo číslo), potom základ e nepíšeme, teda logex=lnx
1
y=logax
a>1
0
2
5
y=log2x
y=lnx
y=log4x
y=logx
Y
3
4
5
4
3
3
4
2
2
1
1
5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
8
2
3
4
5
6
7
8
9
-3
-4
-4
•
•
•
•
•
1
-2
-2
-3
7
0
-1
X
-1
6
y=log1/2x
y=log1/ex
y=log1/4x
y=log1/10x
Y
D(f)=(0, ∞), H(f)=R
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
•
•
•
•
•
D(f)=(0, ∞), H(f)=R
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
Grafom logaritmickej funkcie y=logax je logaritmická krivka, ktorá prechádza bodom [1,0].
Os y je asymptotou grafu.
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov logaritmických funkcií v smere osi y:
s rastúcim základom pre a>1
s klesajúcim základom pre 0
10
X
Slide 18
Exponenciálna a logaritmická funkcia
ako inverzné funkcie
Logaritmická funkcia y=logax a exponenciálna funkcia y=ax sú navzájom inverzné funkcie.
Príklady navzájom inverzných funkcií:
a>1
1
2
3
6
y=logx
y=10x
y=lnx
y=ex
y=log2x
y=2x
0
Y
6
Y
5
5
4
4
3
y=log1/10x
y=(1/10)x
y=log1/2x
y=(1/2)x
3
2
2
1
4
1
-3
5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
X
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
6
7
-2
-3
-3
• f: y=10x
• f: y=ex
• f: y=2x
f-1: y=logx
f-1: y=lnx
f-1: y=log2x
• f: y=(1/10)x
• f: y=(1/2)x
f-1: y=log1/10x
f-1: y=log1/2x
8
Platí:
Teda:
5
6
X
-1
D(f)=R, H(f)=(0, ∞)
D(f-1)=(0, ∞), H(f-1)=R
D(f)=H(f-1)
H(f)=D(f-1)
Grafy exponenciálnej a logaritmickej funkcie sú súmerné podľa priamky y=x.
Slide 19
Syntéza kreslenia grafov zložitejších logaritmických funkcií
späť
Zložitejšie logaritmické funkcie môžeme upraviť na tvar:
y=k.log(x-m)+n
Pri kreslení grafov zložitejších logaritmických funkcií využívame myšlienku:
natiahnutia grafu v smere osi y
preklopenia grafu okolo osi x
posunutia grafu v smere osi x alebo y
1
2
Príklad:
Príklad:
y log
x 2 4
teda:
y= 4.log(x-2)-1
y log
10
20
x 1
teda:
y= -log(x+1)+log20
3
6
4
y=logx
y=4logx
y=4log(x-2)
y=4log(x-2)-1
Y
x=2
5
4
5
3
2
+2
4-krát
-1
-1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
-1
-2
-1
0
log20
1
2
3
4
-1
5
6
7
8
X
-1
-2
-2
8
y=logx
y=log(x+1)
y=-log(x+1)
y=-log(x+1)+log20
4
1
6
Y
5
3
2
7
6
x=-1
-3
-3
• 4-násobné natiahnutie grafu y=logx v smere osi y
• posunutie grafy y= 4logx o „2“ v smere osi x
• posunutie grafu y= 4.log(x-2) o „-1“ v smere osi y
Priamka x=2 je asymptotou grafu y=4.log(x-2)-1
• posunutie grafu y=logx o „-1“ v smere osi x
• preklopenie grafu y=log(x+1) okolo osi x
• posunutie grafu y= -log(x+1) o „log20“ v smere osi y
Priamka x=-1 je asymptotou grafu y=-log(x+1)+log20
Asymptotou grafu logaritmickej funkcie y=k.log(x-m)+n je priamka x=m.
Slide 20
Goniometrické funkcie
1
funkcia sínus a kosínus
funkcia tangens a kotangens
2
3
4
5
6
7
8
Goniometrické funkcie sa objavujú nielen v matematike, ale aj vo fyzike pri opisovaní periodických dejov,
napríklad priebehu striedavého napätia, pohybu kyvadla, mechanických kmitov , vlnenia a pod.
Slide 21
Funkcia sínus a kosínus
y 1
Ak sledujeme priesečník P koncového ramena uhla x s jednotkovou
kružnicou k(O,r=1), potom definujeme funkcie sínus a kosínus takto:
P
sinx
1
-1
O
Funkcia y=sinx je definovaná ako y-ová súradnica priesečníka P koncového
ramena uhla x a jednotkovej kružnice.
[1,0]
x
.
cosx
x
Funkcia y=cosx je definovaná ako x-ová súradnica priesečníka P koncového
ramena uhla x a jednotkovej kružnice.
2
-1
3
sínusoida
kosínusoida
Y
Y
4
1
1
sinx
5
cos(-x)
cosx
perióda
6
-180°
-90 °
0°
90 °
180 °
perióda
270°
360 °
450°
540°
X
-180 °
-90 °
0°
90 °
180 °
270°
360 °
450°
sin(-x)
7
-1
-1
8
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=<-1,1>
nepárna, sin(-x)=-sinx
ohraničená na celom D(f), -1≤sinx≤1
periodická s periódou 360°, sinx=sin(x+k.360°)
minimum má v bodoch x=270°+k.360°, k Z
maximum má v bodoch x=90°+ k.360°
rastúca na <-90°+k.360°,90°+k.360°>
klesajúca na <90°+k.360°,270°+k.360°>
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=<-1,1>
párna, cos(-x)=cosx
ohraničená na celom D(f), -1≤cosx≤1
periodická s periódou 360°, cosx=cos(x+k.360°)
minimum má v bodoch x=180°+k.360°, k Z
maximum má v bodoch x=0°+ k.360°
rastúca na <-180°+k.360°,k.360°>
klesajúca na
540°
X
Slide 22
Zložitejšie funkcie sínus a kosínus
y=sin(ax)
y=sin(ax-m)
Y
y=sinx
y=sin(2x)
1
y=sinx
y=sin(2x)
y=sin(2x+60°)
Y
1
1
2
0°
-30°
90°
180°
270°
360°
X
3
-1
0
90
°
180
°
270
°
360
X
-1
4
5
6
7
y=sin(2x)
Perióda: 2x=k.360°
x=k.180°
y=sin(2x+60°)
Perióda: 2x+60°=k.360°
x=-30°+k.180°
„Základný tvar“ sínusoidy funkcie y=sin(2x) sa
vykreslí na intervale <0°,180°>.
„Základný tvar“ sínusoidy funkcie y=sin(2x+60°)
sa vykreslí na <-30°,150°>.
8
Predvedený postup je všeobecný.
Treba len vždy rozhodnúť, na ktorom intervale sa vykreslí „základný tvar“ goniometrickej krivky podľa vzťahu:
ax-m=k.360°
Slide 23
Syntéza kreslenia grafov zložitejších funkcií sínus a kosínus
y=k.sin(ax-m)+n
1
2
späť
y=k.cos(ax-m)+n
Graf ľubovoľnej zložitejšej goniometrickej funkcie vzniká z grafu základnej goniometrickej funkcie na <0°,360°> použitím
niektorej z operácií:
vykreslením „základného tvaru“ y=sin(ax),y=cos(ax)
posunutím grafu v smere osi x
natiahnutím grafu v smere osi y
posunutím grafu v smere osi y
Y
y=sinx
y=sin(x-45°)
y=2.sin(x-45°)
y=2.sin(x-45°)-1
2
3
2-krát
1
y=cosx
y=cos(2x)
y=cos(2x+40°)
y=cos(2x+40°)+1
Y
2
4
5
0 +45°
90°
180°
270°
1
360°
X
-1
6
0°
-20°
90 °
180°
270°
360°
X
+1
-2
-1
7
-1
-3
8
• posunutie grafu y=sinx o „+45°“ v smere osi x
• dvojnásobné natiahnutie grafu y=sin(x-45°) v smere osi y
• posunutie grafu y= 2.sin(x-45°) o „-1“ v smere osi y
H(f)=<-2-1,2-1>=<-3,1>
• graf y=cos(2x), perióda 180°
• posunutie grafu y=cos(2x) o „-20°“ v smere osi x
• posunutie grafu y=cos(2x+40°) o „+1“ v smere osi y
H(f)=<-1+1,1+1>=<0,2>
Obor hodnôt funkcie y=k.sin(ax-m)+n určíme podľa vzťahu: H(f)=<-k+n,k+n>
Slide 24
Funkcia tangens a kotangens
Pomocou jednotkovej kružnice
1
späť
Ako pomer funkcií sínus a kosínus:
cotgx
y tgx
sin x
, cos x 0
cos x
tgx
1
[1,0]
x
y cot x
-1
cos x
, sin x 0
sin x
2
-1
3
kotangenoida
tangenoida
5
4
Y
5
4
4
5
2
2
6
-90
0
tg(-x)
-1
°
-180
7
8
•
•
•
•
•
•
°
t=tgx
3
t=tgx
3
1
Y
1
tgx
°
90
perióda
180
°
270
°
°
360
°
450
°
°
-180
540
X
°
-90
0
cotg(-x)-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
D(f)=R-{90°+k.180°,k Z}, H(f)=R
rastúca na celom D(f)
nepárna, tg(-x)=-tgx
nie je ohraničená
je periodická s periódou 180°, tgx=tg(x+k.180°)
nemá minimum ani maximum
•
•
•
•
•
•
cotgx
90
°
perióda
°
180
°
270
°
360
450
°
°
540
X
D(f)=R-{k.180°, k Z}, H(f)=R
klesajúca na celom D(f)
nepárna, cotg(-x)=-cotgx
nie je ohraničená
je periodická s periódou 180°, cotgx=cotg(x+k.180°)
nemá minimum ani maximum
Slide 25
Francúzsky vedec, matematik, filozof,
zakladateľ novovekého myslenia
1
2
3
4
5
6
René Descartes
(1596 -1650)
7
René Descartes zavádza nový analytický spôsob štúdia geometrických útvarov pomocou súradníc bodov.
8
Descartova slávna veta:
Cogito, ergo sum.
Myslím, teda som.
Naše myslenie, naše „ja“ je základnou istotou, o ktorú sa môžeme oprieť.
Slide 26
Mgr. Zuzana Hajduková
Kontakt
Stredná odborná škola
Gemerská 1
040 11 Košice
y
Využitie PowerPoint-u pri výučbe
funkcií
x
Vstup
©Zuzana Hajduková, 2005
Slide 2
Typy funkcií
•
•
•
•
•
•
•
•
Lineárna
Kvadratická
S absolútnou hodnotou
Mocninové
Lineárna lomená
Exponenciálna
Logaritmická
Goniometrické
Táto prezentácia je určená ako učebná pomôcka pre študentov, ale i pre učiteľov, ktorých zaujíma problematika funkcií,
ich grafov a vlastností.
Grafy funkcií sú vytvorené pomocou programu RJS Graph 3.21.11.
Slide 3
Lineárna funkcia
Lineárna funkcia je každá funkcia určená rovnicou y=ax+b, a,b sú reálne čísla.
Definičným oborom lineárnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax+b
a 0
a 0
1
y
2
y
y = 2x-1
3
a 0
2
2
1
1
x
3
-2
-1
1
2
y =1
3
2
1
-3
y
y = -3x+2
3
x
3
-3
-2
-1
1
2
x
3
-3
-2
-1
1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
2
3
4
5
6
7
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=R
rastúca teda je prostá
nie je ohraničená
nemá maximum ani minimum
nie je párna ani nepárna
D(f)=R, H(f)=R
klesajúca teda je prostá
nie je ohraničená
nemá maximum ani minimum
nie je párna ani nepárna
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)={1}
konštantná a teda nie je prostá
je ohraničená
v každom bode x má minimum aj maximum
je párna funkcia
Grafom každej lineárnej funkcie y = ax+b je priamka rôznobežná s osou y.
8
Koeficient a udáva sklon priamky
Koeficient b určuje, aký úsek vytína
priamka na osi y
Druh lineárnej funkcie ak b=0 je priama úmernosť: y=ax. Priamka prechádza začiatkom súradnicovej sústavy.
Slide 4
späť
Vlastnosti lineárnych funkcií
y=ax+1
y=ax+1
1
y=-2x+b
y
y
3
2
2
3
4
5
6
7
8
y = -2x+2,5
y = -2x+1
y = -2x
y = -2x-0,5
y = -2x-2
3
y = 3x+1
y = x+1
y =1
y = -x/ 4+1
y = -4x/ 5+1
y = -4x+1
2
1
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Grafy všetkých lineárnych funkcií tvaru y = ax+1,
kde a je reálny parameter, vytínajú na osi y úsek 1,
mení sa iba smer priamok (mení sa parameter a).
2
3
Grafy všetkých lineárnych funkcií tvaru y = -2x+b, kde
b je reálny parameter, sú navzájom rovnobežné priamky
(majú rovnaký smer, a=-2) a na osi y vytínajú úsek b.
Slide 5
Kvadratická funkcia
Kvadratická funkcia je každá funkcia určená rovnicou y = ax2+bx+c, kde a,b,c sú ľubovoľné reálne čísla, a≠0.
Definičným oborom kvadratickej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax2
a>0
a<0
1
7
2
Y
1
Y
6
y=x2
y=2x2
y=3x2
5
3
4
4
-3
-2
-1
-2
-3
2
-4
-1
0
-1
1
2
3
X
y=-x2
y=-2x2
y=-3x2
-5
2-krát
5
-2
0
3
1
-3
-1
-6
1
2
3
X
-7
6
7
8
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=0,∞)
na (-∞,0>je klesajúca, na <0,∞) je rastúca,teda nie je prostá
zdola ohraničená,f(x)≥0
V[0,0] určuje minimum funkcie, je to f(0)=0
funkcia je párna
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(-∞,o>
na (-∞,0> je rastúca, na <0,∞) je klesajúca,teda nie je prostá
zhora ohraničená,f(x)≤0
V[0,0] určuje maximum funkcie, je to f(0)=0
funkcia je párna
Grafom kvadratickej funkcie je krivka parabola.
Na prvom obrázku vidíme natiahnutie grafu funkcie y = x2 v smere osi y, lebo hodnoty funkcií y = 2x2 (y = 3x2) sú
dvakrát (trikrát) väčšie ako hodnoty funkcie y = x2.
Na druhom obrázku vidíme preklopenie grafov okolo osi x, lebo hodnoty funkcií y = -x2, y = -2x2, y = -3x2 sú opačné
k hodnotám funkcií y = x2, y = 2x2, y = 3x2.
Slide 6
Kvadratická funkcia
y=x2+c
1
6
y=(x-m)2
7
Y
2
6
y=x2
y=x2+1
y=x2-1
5
4
Y
y=x2
y=(x-1)2
y=(x+1)2
5
4
3
3
3
2
2
1
+1
4
-4
5
-3
-2
-1
0
1
-1 1
2
3
4
X
-1
-4
-3
-2
-1-1 0
-1
+1 1
2
3
4
X
-2
6
7
8
V[0,c]
funkcia je párna
V[m,0]
funkcia nie je párna ani nepárna
Grafy všetkých kvadratických funkcií tvaru y = x2 + c, kde c je reálny parameter, vznikajú posunutím grafu funkcie y = x2
o „c“ jednotiek v smere osi y.
Ak c >0, graf sa posúva v smere kladnej polosi y.
Ak c <0, graf sa posúva v smere zápornej polosi y.
Grafy všetkých kvadratických funkcií tvaru y = (x-m)2, kde m je reálny parameter, vznikajú posunutím grafu funkcie y = x2
o „m“ jednotiek v smere osi x.
Ak m >0, graf sa posúva v smere kladnej polosi x.
Ak m <0 graf sa posúva v smere zápornej polosi x.
Slide 7
späť
Syntéza kreslenia grafov kvadratickej funkcie
Každá kvadratická funkcia, t.j. funkcia tvaru y = ax2 + bx + c, sa dá upraviť na tvar y = a(x-m)2 + n, teda stačí vedieť kresliť
grafy funkcií upraveného tvaru.
Graf ľubovoľnej kvadratickej funkcie vznikne z grafu „najjednoduhšej“ kvadratickej funkcie y=x2 použitím 4 operácií:
1
2
natiahnutím grafu v smere osi y,
preklopením grafu okolo osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi y.
Príklad:
y = -2x2 -4x +1=-2(x+1)2+3=-2[x-(-1)]2+3
Riešenie ukazuje nasledujúca séria obrázkov:
3
4
Y
4
y=x2
3
4
-4
6
-3
-2
preklopenie
5
7
8
2
+3
2-krát
1
y=-2x2
y=-2(x+1)2
y=-2(x+1)2+3
3
y=2x2
y=-2x2
2
Y
1
-1
-1
0
1
2
3
4
X
-1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
y=2x2 stlačenie grafu funkcie y =x2 v smere osi y
y=-2x2 preklopenie grafu y=2x2 okolo osi x
1
2
3
4
X
y=-2(x+1)2 posunutie grafu y=-2x2 o jednotku v smere
zápornej polosi x (m=-1, V[-1,0])
y=-2(x+1)2+3 posunutie grafu y=-2(x+1)2 o 3 jednotky
v smere kladnej polosi y (n=3, V[-1,3]).
Záver:
y=ax2 + bx + c = a(x-m)2+n
V[m,n]
Slide 8
Funkcie s absolútnou hodnotou
Absolútna hodnota ľubovoľného reálneho čísla x je z algebrického významu vždy nezáporné reálne číslo, teda
Vx R:|x|≥0
y=k.|f(x-m)|+n
1
y=3.|x-1|-2
y=|x2+4x|-2
2
y=|x|
y=|x-1|
y=3.|x-1|
y=3.|x-1|-2
Y
3
6
5
4
3
5
4
2
4
1
3
5
2
-6
-5
-4
-3
-2
0
-1
1
-1
1
6
-2
-4
-3
-2
-1
0
-1
7
y=x2+4x=(x+2)2-4
y=|x2+4x|
y=|x2+4x|-2
Y
-2
1
2
3
4
5
X
-3
-4
8
y=|f(x)|: graf leží nad osou x, využijeme tu nezápornosť všetkých funkčných hodnôt.
y=|f(x-m)|: graf funkcie y=|f(x)| sa posúva o „m“ jednotiek v smere osi x.
y=k.|f(x-m)|: k-násobné natiahnutie grafu y=|f(x-m)| v smere osi y.
y=k.|f(x-m)|+n: posunutie grafu y=k.|f(x-m)| o „n“ jednotiek n smere osi y.
2
X
Slide 9
Mocninové funkcie
Mocninové funkcie sú všetky funkcie určené predpisom y=xn, n je celé číslo rôzne od nuly.
Definičný obor mocninových funkcií závisí od hodnoty exponenta n, preto grafy mocninových funkcií rozoberáme v závislosti od n.
y=axn, n N
n je párne
1
5
n je nepárne
3
Y
4
2
y=x
y=x3
y=x5
y=x2
y=x4
y=x6
3
Y
2
1
3
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
4
1
5
0
-1
-2
-3
-2
-1
7
8
2
3
X
-1
6
1
-3
• D(f)=R, H(f)=0,∞)
• D(f)=R, H(f)=R
• na (-∞,0>je klesajúca, na <0,∞) rastúca, teda nie je prostá
• na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
• zdola je ohraničená, f(x)≥0
• nie je ohraničená
• má minimum, f(0)=0
• nemá minimum ani maximum
• je to párna funkcia, f(-x)=f(x)
• je to nepárna funkcia
Dve funkcie z mocninových funkcií už poznáme: lineárnu funkciu - priamu úmernosť y = x1 (graf priamka prechádzajúca
začiatkom) a kvadratickú funkciu y = x2 (graf parabola).
Pre n párne sú grafy osovo súmerné krivky podľa osi y a prechádzajú tromi dôležitými bodmi [-1,1], [0,0],[1,1,].
Pre n nepárne sú grafy stredovo súmerné krivky podľa začiatku sústavy súradníc a prechádzajú tromi dôležitými bodmi
[-1,-1], [0,0],[1,1,].
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov v smere osi x u mocninových funkcií so zväčšujúcim sa exponentom v porovnaní s grafmi
funkcií y=x2 a y=x.
Slide 10
Mocninové funkcie
y=x-n, n N
n je párne
5
1
y x
n
1
x
n
n je nepárne
x 0
Y
4
y=x-2
y=x-4
y=x-6
4
Y
y=x-1
y=x-3
y=x-5
3
2
3
2
1
2
-4
3
-3
-2
-1
0
-1
1
1
2
3
4
X
-2
4
-3
-2
-1
0
1
2
-3
3
X
-1
-4
5
6
•
•
•
•
•
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(0,∞)
na (-∞,0)je rastúca, na (0,∞) je klesajúca, teda nie je prostá
zdola je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je párna funkcia
•
•
•
•
•
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
7
Keďže definičným oborom sú všetky reálne čísla okrem nuly, grafom sú dve navzájom nespojité (oddelené) krivky
v čísle 0 s asymptotami v súradnicových osiach x, y.
8
Pre n párne sú grafy osovo súmerné krivky podľa osi y a prechádzajú dvoma dôležitými bodmi [-1,1 ], [1,1].
Pre n nepárne sú grafy stredovo súmerné krivky podľa začiatku sústavy súradníc a prechádzajú dvoma dôležitými bodmi
[-1,-1 ], [1,1].
Osobitným prípadom mocninových funkcií so záporným exponentom je nepriama úmernosť y = x-1 =1/x (graf hyperbola).
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
Natiahnutie grafov v smere osi y u mocninových funkcií so zmenšujúcim sa exponentom v porovnaní s grafmi funkcií
y=x-2 a y=x-1 .
Slide 11
späť
Syntéza kreslenia grafov zložitejších mocninových funkcií
y=a(x-m)n+p, n Z- {0}
Graf ľubovoľnej mocninovej funkcie vznikne z grafu „základnej“ mocninovej funkcie y=xn použitím 4 operácií:
natiahnutím (stlačením) grafu v smere osi y,
preklopením grafu okolo osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi x,
posunutím grafu pozdĺž osi y.
1
2
y=(x+1)-3-1
y= -x-2+1
y=(x+1)3-0,5
3
x=-1
4
5
Y
4
2
Y
y=x-2
y=-x-2
y=-x-2+1
4
y=(x+1)-3
y=(x+1)-3-1
3
5
5
y=x-3
3
1
y=1
1
-1
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
-1
1
2
3
-2
7
8
Y
2
2
-1
1
6
3
y=x3
y=(x+1)3
y=(x+1)3-0,5
4
5
X
y=-1
+1
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
1
2
3
4
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
5
X
-3
-2
-0,5
-1
0
1
2
3
X
-1
-2
-3
• posunutie grafu funkcie y=x-3 o „1“
v smere osi zápornej polosi x
• preklopenie grafu funkcie y=x-2
okolo osi x
• posunutie grafu funkcie y=x3 o „1“
v smere zápornej polosi x
• posunutie grafu y=(x+1)-3 o „1“
v smere zápornej polosi y
• posunutie grafu funkcie y=-x-2 o „1“
v smere kladnej polosi y
• posunutie grafu funkcie y=(x+1)3 o „1“
v smere zápornej polosi y
Slide 12
Lineárna lomená funkcia
Lineárna lomená funkcia je každá funkcia určená rovnicou
ax b
y
cx d
Druh lineárnej lomenej funkcie, ak a=0 a b=0 – nepriama úmernosť:
y
d
D f R .
c
, kde a , b , c , d R , c 0 , ad bc 0 .
y
b
cx
k
x
, k R 0 , D ( f ) R 0 .
k
x
1
k>0
k<0
y
2
4
3
5
6
7
•
•
•
•
•
4
3
2
2
-5 -4 -3 -2 -1
1
x
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
•
•
•
•
•
x
1
-1
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
y = -1/ x
y = -2/ x
y = -3/ x
5
3
1
4
y
y = 1/ x
y = 2/ x
y = 3/ x
5
2
3
4
5
D(f)=(-∞,0)U(0,∞), H(f)=(-∞ ,0)U(0,∞)
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
je nepárna funkcia
8
Grafom nepriamej úmernosti je rovnoosá hyperbola so stredom v začiatku súradnicovej sústavy.
Hyperbola sa skladá z dvoch častí – vetiev, ktoré sú od seba oddelené v čísle 0 a sú stredovo súmerné podľa začiatku
sústavy súradníc.
Súradnicové osi x,y sú spoločné dotyčnice oboch vetiev v nevlastnom bode - v nekonečne. Také dotyčnice sa nazývajú
asymptoty.
Funkcia y=1/x je zároveň mocninová funkcia so záporným nepárnym exponentom t.j. y=x-1.
Slide 13
späť
Lineárna lomená funkcia
Každá lineárna lomená funkcia
y
ax b
sa dá upraviť na tvar:
cx d
Graf upravenej funkcie vzniká posunutím grafu funkcie
1
2
3
y
x 1
x2
x 2 1
x2
x2
x2
1
x2
1
x2
1
x
xm
n
(nepriama úmernosť) :
1
x 2
1,
m=-2, n=1
Riešenie ukazuje nasledujúca séria obrázkov:
4
y
y
x=-2
1
4
x2
3
-2
5
-6
-5
-4
-3
-2
y
x=-2
y = -1/ x
y = -1/ (x+2)
4
3
2
-1
y = -1/ (x+2)
y = -1/ (x+2)+1
2
1
6
k
k
o „m“ jednotiek v smere osi x
o „n“ jednotiek v smere osi y.
Príklad:
y
y
1
2
3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
1
x
+1
-1
1
x2
y=1
1
+1
x
y
2
3
-2
7
8
• Posunutie grafu
y
1
o „ -2“ v smere osi x.
• Posunutie grafu
x
y
1
x2
o „1“ v smere osi y.
Grafom lineárnej lomenej funkcie je rovnoosá hyperbola so stredom [m,n ] a jej asymptoty (priamky ohraničujúce hyperbolu)
prechádzajú týmto stredom [m,n] a sú rovnobežné so súradnicovými osami x,y.
Rovnice asymptot: x=m
y=n
Slide 14
Exponenciálna funkcia
x
Exponenciálna funkcia je každá funkcia určená rovnicou y a , a R 1.
Definičným oborom exponenciálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.
y=ax
a>1
1
6
0
Y
6
y=2x
y=ex
y=10x
5
2
4
3
4
-4
5
-3
-2
-1
4
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
4
-4
X
7
8
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(0,∞)
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
zdola je ohraničená, f(x)>0
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
6
y=(1/2)x
y=(1/e)x
y=(1/10)x
5
3
0
Y
3
4
X
-2
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=(0,∞)
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
zdola je ohraničená, f(x)>0
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
Grafom exponenciálnej funkcie y=ax je exponenciálna krivka prechádzajúca bodom [0,1].
Ox x je asymptotou grafu.
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov mocninových funkcií v smere osi x:
s rastúcim základom pre a>1
a s klesajúcim základom pre 0
Slide 15
Zložitejšie exponenciálne funkcie
1
y=kax
2
4
y=ax+n
Y
y=2x
y=2.2x
y=-2.2x
3
3
y=2x
y=2x+1
y=2x-1
5
Y
4
3
2
2-krát
2
1
4
1
-4
5
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
+1
-1
X
-4
-3
-2
-1
0
-2
-1
-3
-2
-4
-3
1
2
7
• natiahnutie grafu y=2x v smere osi y
8
• preklopenie grafu funkcie y=2.2x
okolo osi x.
• posunutie grafu y=2x o jednotku
v kladnom smere osi y
• posunutie grafu y=2x o jednotku
v zápornom smere osi y
3
4
X
Slide 16
Syntéza kreslenia grafov zložitejších exponenciálnych funkcií
späť
Každá zložitejšia exponenciálna funkcia sa dá upraviť na tvar:
y=kax+n, k R - {0}
1
Graf upravenej exponenciálnej funkcie vzniká z grafu „základnej“ exponenciálnej funkcie y=ax použitím troch operácií:
natiahnutím grafu v smere osi y
preklopením grafu okolo osi x
posunutím grafu pozdĺž osi y
2
3
4
Príklad:
y= -3.2x+1
y= -12.2x-2 +1= -12.2x.2-2 +1= -3.2x +1
Y
Riešenie ukazuje nasledujúci obrázok:
5
y=2x
y=3.2x
y=-3.2x
y=-3.2x+1
4
5
3
• základná exponenciálna funkcia
6
7
• preklopenie grafu y=3.2x okolo osi x
8
2
-4
-3
-2
-1
y=1
0
1
2
3
4
X
-1
-2
-3
Priamka y=1 je asymptotou grafu y=-3.2x+1
3-krát
1
• trojnásobné natiahnutie grafu y=2x v smere osi y
• posunutie grafu y= -3.2x o „1“ v smere osi y
preklopenie
+1
-4
-5
Asymptotou grafu exponenciálnej funkcie y=k.ax+n je priamka y=n.
Slide 17
Logaritmická funkcia
Logaritmická funkcia so základom a R+ - {0} je funkcia inverzná k exponenciálnej funkcii y=ax.
Je to funkcia určená predpisom x=ay, čo zapisujeme y=logax.
Druhy logaritmov:
dekadický logaritmus: ak základ a=10 (10-deka), potom základ 10 nepíšeme, teda log10=logx.
prirodzený logaritmus: ak základ a=e ( e je Eulerovo číslo), potom základ e nepíšeme, teda logex=lnx
1
y=logax
a>1
0
2
5
y=log2x
y=lnx
y=log4x
y=logx
Y
3
4
5
4
3
3
4
2
2
1
1
5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
8
2
3
4
5
6
7
8
9
-3
-4
-4
•
•
•
•
•
1
-2
-2
-3
7
0
-1
X
-1
6
y=log1/2x
y=log1/ex
y=log1/4x
y=log1/10x
Y
D(f)=(0, ∞), H(f)=R
na celom D(f) je rastúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
•
•
•
•
•
D(f)=(0, ∞), H(f)=R
na celom D(f) je klesajúca, teda je prostá
nie je ohraničená
nemá minimum ani maximum
nie je párna ani nepárna funkcia
Grafom logaritmickej funkcie y=logax je logaritmická krivka, ktorá prechádza bodom [1,0].
Os y je asymptotou grafu.
Na obidvoch obrázkoch vidíme:
stlačenie grafov logaritmických funkcií v smere osi y:
s rastúcim základom pre a>1
s klesajúcim základom pre 0
10
X
Slide 18
Exponenciálna a logaritmická funkcia
ako inverzné funkcie
Logaritmická funkcia y=logax a exponenciálna funkcia y=ax sú navzájom inverzné funkcie.
Príklady navzájom inverzných funkcií:
a>1
1
2
3
6
y=logx
y=10x
y=lnx
y=ex
y=log2x
y=2x
0
Y
6
Y
5
5
4
4
3
y=log1/10x
y=(1/10)x
y=log1/2x
y=(1/2)x
3
2
2
1
4
1
-3
5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
X
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2
6
7
-2
-3
-3
• f: y=10x
• f: y=ex
• f: y=2x
f-1: y=logx
f-1: y=lnx
f-1: y=log2x
• f: y=(1/10)x
• f: y=(1/2)x
f-1: y=log1/10x
f-1: y=log1/2x
8
Platí:
Teda:
5
6
X
-1
D(f)=R, H(f)=(0, ∞)
D(f-1)=(0, ∞), H(f-1)=R
D(f)=H(f-1)
H(f)=D(f-1)
Grafy exponenciálnej a logaritmickej funkcie sú súmerné podľa priamky y=x.
Slide 19
Syntéza kreslenia grafov zložitejších logaritmických funkcií
späť
Zložitejšie logaritmické funkcie môžeme upraviť na tvar:
y=k.log(x-m)+n
Pri kreslení grafov zložitejších logaritmických funkcií využívame myšlienku:
natiahnutia grafu v smere osi y
preklopenia grafu okolo osi x
posunutia grafu v smere osi x alebo y
1
2
Príklad:
Príklad:
y log
x 2 4
teda:
y= 4.log(x-2)-1
y log
10
20
x 1
teda:
y= -log(x+1)+log20
3
6
4
y=logx
y=4logx
y=4log(x-2)
y=4log(x-2)-1
Y
x=2
5
4
5
3
2
+2
4-krát
-1
-1
0
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
-1
-2
-1
0
log20
1
2
3
4
-1
5
6
7
8
X
-1
-2
-2
8
y=logx
y=log(x+1)
y=-log(x+1)
y=-log(x+1)+log20
4
1
6
Y
5
3
2
7
6
x=-1
-3
-3
• 4-násobné natiahnutie grafu y=logx v smere osi y
• posunutie grafy y= 4logx o „2“ v smere osi x
• posunutie grafu y= 4.log(x-2) o „-1“ v smere osi y
Priamka x=2 je asymptotou grafu y=4.log(x-2)-1
• posunutie grafu y=logx o „-1“ v smere osi x
• preklopenie grafu y=log(x+1) okolo osi x
• posunutie grafu y= -log(x+1) o „log20“ v smere osi y
Priamka x=-1 je asymptotou grafu y=-log(x+1)+log20
Asymptotou grafu logaritmickej funkcie y=k.log(x-m)+n je priamka x=m.
Slide 20
Goniometrické funkcie
1
funkcia sínus a kosínus
funkcia tangens a kotangens
2
3
4
5
6
7
8
Goniometrické funkcie sa objavujú nielen v matematike, ale aj vo fyzike pri opisovaní periodických dejov,
napríklad priebehu striedavého napätia, pohybu kyvadla, mechanických kmitov , vlnenia a pod.
Slide 21
Funkcia sínus a kosínus
y 1
Ak sledujeme priesečník P koncového ramena uhla x s jednotkovou
kružnicou k(O,r=1), potom definujeme funkcie sínus a kosínus takto:
P
sinx
1
-1
O
Funkcia y=sinx je definovaná ako y-ová súradnica priesečníka P koncového
ramena uhla x a jednotkovej kružnice.
[1,0]
x
.
cosx
x
Funkcia y=cosx je definovaná ako x-ová súradnica priesečníka P koncového
ramena uhla x a jednotkovej kružnice.
2
-1
3
sínusoida
kosínusoida
Y
Y
4
1
1
sinx
5
cos(-x)
cosx
perióda
6
-180°
-90 °
0°
90 °
180 °
perióda
270°
360 °
450°
540°
X
-180 °
-90 °
0°
90 °
180 °
270°
360 °
450°
sin(-x)
7
-1
-1
8
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=<-1,1>
nepárna, sin(-x)=-sinx
ohraničená na celom D(f), -1≤sinx≤1
periodická s periódou 360°, sinx=sin(x+k.360°)
minimum má v bodoch x=270°+k.360°, k Z
maximum má v bodoch x=90°+ k.360°
rastúca na <-90°+k.360°,90°+k.360°>
klesajúca na <90°+k.360°,270°+k.360°>
•
•
•
•
•
•
•
•
D(f)=R, H(f)=<-1,1>
párna, cos(-x)=cosx
ohraničená na celom D(f), -1≤cosx≤1
periodická s periódou 360°, cosx=cos(x+k.360°)
minimum má v bodoch x=180°+k.360°, k Z
maximum má v bodoch x=0°+ k.360°
rastúca na <-180°+k.360°,k.360°>
klesajúca na
540°
X
Slide 22
Zložitejšie funkcie sínus a kosínus
y=sin(ax)
y=sin(ax-m)
Y
y=sinx
y=sin(2x)
1
y=sinx
y=sin(2x)
y=sin(2x+60°)
Y
1
1
2
0°
-30°
90°
180°
270°
360°
X
3
-1
0
90
°
180
°
270
°
360
X
-1
4
5
6
7
y=sin(2x)
Perióda: 2x=k.360°
x=k.180°
y=sin(2x+60°)
Perióda: 2x+60°=k.360°
x=-30°+k.180°
„Základný tvar“ sínusoidy funkcie y=sin(2x) sa
vykreslí na intervale <0°,180°>.
„Základný tvar“ sínusoidy funkcie y=sin(2x+60°)
sa vykreslí na <-30°,150°>.
8
Predvedený postup je všeobecný.
Treba len vždy rozhodnúť, na ktorom intervale sa vykreslí „základný tvar“ goniometrickej krivky podľa vzťahu:
ax-m=k.360°
Slide 23
Syntéza kreslenia grafov zložitejších funkcií sínus a kosínus
y=k.sin(ax-m)+n
1
2
späť
y=k.cos(ax-m)+n
Graf ľubovoľnej zložitejšej goniometrickej funkcie vzniká z grafu základnej goniometrickej funkcie na <0°,360°> použitím
niektorej z operácií:
vykreslením „základného tvaru“ y=sin(ax),y=cos(ax)
posunutím grafu v smere osi x
natiahnutím grafu v smere osi y
posunutím grafu v smere osi y
Y
y=sinx
y=sin(x-45°)
y=2.sin(x-45°)
y=2.sin(x-45°)-1
2
3
2-krát
1
y=cosx
y=cos(2x)
y=cos(2x+40°)
y=cos(2x+40°)+1
Y
2
4
5
0 +45°
90°
180°
270°
1
360°
X
-1
6
0°
-20°
90 °
180°
270°
360°
X
+1
-2
-1
7
-1
-3
8
• posunutie grafu y=sinx o „+45°“ v smere osi x
• dvojnásobné natiahnutie grafu y=sin(x-45°) v smere osi y
• posunutie grafu y= 2.sin(x-45°) o „-1“ v smere osi y
H(f)=<-2-1,2-1>=<-3,1>
• graf y=cos(2x), perióda 180°
• posunutie grafu y=cos(2x) o „-20°“ v smere osi x
• posunutie grafu y=cos(2x+40°) o „+1“ v smere osi y
H(f)=<-1+1,1+1>=<0,2>
Obor hodnôt funkcie y=k.sin(ax-m)+n určíme podľa vzťahu: H(f)=<-k+n,k+n>
Slide 24
Funkcia tangens a kotangens
Pomocou jednotkovej kružnice
1
späť
Ako pomer funkcií sínus a kosínus:
cotgx
y tgx
sin x
, cos x 0
cos x
tgx
1
[1,0]
x
y cot x
-1
cos x
, sin x 0
sin x
2
-1
3
kotangenoida
tangenoida
5
4
Y
5
4
4
5
2
2
6
-90
0
tg(-x)
-1
°
-180
7
8
•
•
•
•
•
•
°
t=tgx
3
t=tgx
3
1
Y
1
tgx
°
90
perióda
180
°
270
°
°
360
°
450
°
°
-180
540
X
°
-90
0
cotg(-x)-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
D(f)=R-{90°+k.180°,k Z}, H(f)=R
rastúca na celom D(f)
nepárna, tg(-x)=-tgx
nie je ohraničená
je periodická s periódou 180°, tgx=tg(x+k.180°)
nemá minimum ani maximum
•
•
•
•
•
•
cotgx
90
°
perióda
°
180
°
270
°
360
450
°
°
540
X
D(f)=R-{k.180°, k Z}, H(f)=R
klesajúca na celom D(f)
nepárna, cotg(-x)=-cotgx
nie je ohraničená
je periodická s periódou 180°, cotgx=cotg(x+k.180°)
nemá minimum ani maximum
Slide 25
Francúzsky vedec, matematik, filozof,
zakladateľ novovekého myslenia
1
2
3
4
5
6
René Descartes
(1596 -1650)
7
René Descartes zavádza nový analytický spôsob štúdia geometrických útvarov pomocou súradníc bodov.
8
Descartova slávna veta:
Cogito, ergo sum.
Myslím, teda som.
Naše myslenie, naše „ja“ je základnou istotou, o ktorú sa môžeme oprieť.
Slide 26
Mgr. Zuzana Hajduková
Kontakt
Stredná odborná škola
Gemerská 1
040 11 Košice