Transcript Perspektívna afinita

Perspektívna afinita
Perspektívna afinita medzi dvoma rovinami
Nech sú dané dve rôznobežné roviny  , ´ a priamka s, ktorá nie
je rovnobežná so žiadnou z nich.
Zobrazenie, ktoré každému bodu A   priradí bod A´ ´
tak že AA´ // s sa nazýva
perspektívna afinita medzi rovinami  a ´.

s – smer afinity
o =   ´ – os afinity
s
A
´
A´
o
Poznámky :1/ Toto zobrazenie je bijektívne (  ´ , A A´)
2/ Ak by platilo  // ´ toto zobrazenie by bolo posunutie
Bod sa zobrazuje do bodu : A  A´;
Dvojica A, A´ je dvojica odpovedajúcich si bodov
Ak platí A = A´potom bod A nazývame samodružný
Priamka sa zobrazuje do priamky : a  a´
(nikdy nie do bodu ako pri rovnobežnom premietaní)
Priamky a , a´ sa pretínajú na osi afinity
v samodružnom bode a  a´ = 1 =1´,
alebo ak b // o  b´ // o

a
s
A
´
b
s – smer afinity
o =   ´ – os afinity
A´
1 = 1´
o
b´
a´
Porovnanie rovnobežného premietania a
perspektívnej afinity medzi dvoma rovinami:
Ak stotožníme roviny  a ´ a smery s , tak rovnakým princípom
premietame v prvom prípade celý priestor E3 , v druhom prípade len
body roviny  .
Pri oboch zobrazeniach platí : Obraz a vzor ležia na priamke
rovnobežnej so smerom s : AA1 // s ; AA´ // s
s
A
A
s
o


A´
A1
´
AE3
A
Vlastnosti perspektívnej afinity medzi dvoma rovinami
Afinita zachováva:
a) Incidenciu útvarov
b) Rovnobežnosť priamok
c) Deliaci pomer bodov na priamke
a 
A b
s
b´
A´
´
a´
1 = 1´
o
Platnosť týchto tvrdení vyplýva s predchádzajúceho porovnania a s vlastností
rovnobežného premietania. Napr. ak pre všetky priamky priestoru E3 platí že sa
zachováva ich rovnobežnosť, platí to určite aj pre priamky roviny .
Osová súmernosť
o
a
o
a
a´
a´
A´
A
B
B´
Kolmá afinita
A´
A
B
o
B´
1=1´
1=1´
a
a´
A
A´
Osová afinita
B
B´
1=1´
Obraz štvorca v osovej afinite
2=2´
o
D
A
S
D´
C
B
C´
S´
A´
1=1´
B´
Perspektívna afinita v rovine
je bijektívne zobrazenie bodov roviny  na body roviny 
s týmito vlastnosťami:
1) Bod a jeho obraz ležia vždy na priamke toho istého smeru ;
 smer afinity
2) Existuje jedna bodovo samodružná priamka;
 os afinity
3) Perspektívna afinita v rovine zachováva
 incidenciu útvarov
 rovnobežnosť priamok
 deliaci pomer bodov na priamke
Úloha: Perspektívna afinita je určená osou o a dvojicou odpovedajúcich si bodov A, A´.
Určte obraz útvaru “F“ v tejto afinite.
Poznámka : Ďalšie riešené príklady nájdete v skriptách:
Kyselová – Mészárosová – Bašová – Minárová –Pelikánová: Deskriptívna geometria.