Slide 1

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

Margita Vajsáblová

138


Slide 2

Jednoduché kužeľové zobrazenia

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

139

Jednoduché kužeľové zobrazenia sú zobrazenia
referenčnej guľovej plochy na kužeľovú plochu (obr.
1), pričom obraz prvkov referenčnej guľovej plochy je
rozvinutý do roviny (obr. 2).
 Obrazy poludníkov ležia na zväzku polpriamok, ktoré
majú začiatok vo vrchole kužeľovej plochy. Obraz poludníka
so zemepisnou dĺžkou V zviera s obrazom nultého poludníka
uhol , pre ktorý platí  = nV, kde 0  n  1 .

Obr. 1

 Rovnobežky sa zobrazujú do rovnobežkových kružníc kužeľovej plochy,
teda po rozvinutí do oblúkov sústredných kružníc so stredom vo vrchole
kužeľovej plochy.
 Póly sa zobrazujú do bodu totožného s vrcholom
kužeľa alebo do oblúka sústredného s obrazmi
rovnobežkových kružníc.

Obr. 2

Poznámka: V tejto kapitole sa oboznámime s jednoduchými kužeľovými zobrazeniami v pólovej
polohe, a to takými, ktorých obraz možno zostrojiť konštrukčne, príp. pomocou jednoduchých
výpočtov.


Slide 3

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

140

Príklad kužeľového zobrazenia ekvidištančného na poludníkoch
Ptolemaiovo zobrazenie (90 – 168 n. l.), v literatúre nazývané aj jednoduché kužeľové
zobrazenie Bonneovo (18.stor.). Ptolemaios ho použil na zobrazenie vtedy známeho sveta.
-

Ptolemaiovo zobrazenie zachováva dĺžky na poludníkoch, ako aj dĺžky na jednej rovnobežke,
napr. U0 = 45, príp. U0 = 55.

Zobrazovacie rovnice v polárnych súradniciach:    0  R U  U 0  ,
  nV .

V

RcotgU0

U0
.
U0

Parametre (obr. 3):
 0  R cotg U 0
n  sin U 0


V

Obr. 3

Rozvinutie kužeľovej plochy dotykovej v rovnobežke U0:
- polomer rozvinutia základnej rovnobežky U0 je 0,
- uhol rozvinutia plochy je :   360 sinU0 .
Na obr. 4 je obraz zemepisnej siete a hraníc svetadielov v Ptolemaiovom
kužeľovom zobrazení ekvidištančnom na poludníkoch, kde U0= 45.

Obr. 4


Slide 4

Kužeľové projekcie

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

141

Premietanie referenčnej guľovej plochy na súosú kužeľovú plochu cez stred premietania S.

Typy kužeľových projekcií:
1. Kužeľová projekcia s pevným stredom – stred premietania S leží na zemskej osi (obr. 5).

2. Kužeľová projekcia s pohyblivým stredom
a) stred premietania S leží v rovine rovníka (obr. 6),
b) stred premietania S leží v rovine rovnobežkovej kružnice (obr. 7),
pričom stred S rotuje okolo zemskej osi a z každej polohy stredu S sa zobrazuje poludník
ležiaci so stredom S v osovej rovine, ale v opačnej polrovine vzhľadom na os.
Kužeľová plocha sa dotýka referenčnej guľovej plochy v bodoch rovnobežkovej kružnice so
zemepisnou šírkou U0, príp. je sečná – prienik guľovej plochy a kužeľovej plochy sú rovnobežkové
kružnice s U1 a U2.
V
V

V



U0
PS

P´

U0
P

U
R

P´

O

S

PS

S

P

c

U

U0
O





U0

O

c
c

Obr. 5

S

Obr. 6

Obr. 7

P P´
U U´
U0


Slide 5

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

142

1. Kužeľová projekcia s pevným stredom (na zemskej osi)
- Kónická perspektíva referenčnej guľovej plochy  na kužeľovú plochu  súosú (sečnú
v rovnobežkách s U1 , U2 alebo dotykovú v základnej rovnobežke U0) zo stredu S,
ktorý leží na zemskej osi, c = SO (obr. 9).
 Z dôvodu bijekcie sa zobrazuje iba časť guľovej plochy.
 Rovník a rovnobežkové kružnice sa zobrazujú do oblúkov sústredných kružníc so stredom
vo vrchole kužeľovej plochy (obr. 8).
 Pól sa zobrazuje do vrchola kužeľovej plochy V.
 Poludníky sa zobrazujú do zväzku polpriamok s počiatkom vo vrchole V.
 Ak kužeľová plocha je dotyková, potom uhol jej rozvinutia   360sinU0, polomer
rozvinutia základnej rovnobežky U0 je 0 = RcotgU0.
V
 Ak je kužeľová plocha sečná, potom uhol jej rozvinutia:



  360  sin

U1  U 2

PS

.

2

P´
P

U
R

U0

O
c

Obr. 8

Obr. 9

S


Slide 6

Príklady kužeľových projekcií s pevným stredom

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

143

V

Braunova stereografická kužeľová projekcia (1867) (obr. 10a, b,)
- stred S je južný pól, teda c = R, kužeľová plocha dotyková
v rovnobežke s U0 = 30.
- zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] v polárnych súradniciach sú:
x



90   U 

3 R sin

 

y


sin  U 0



U0

P´
P

U0

U
R

O

2
90   U 


2


c=R

  V sin U 0

S
Obr. 10a
V

Obr. 10b



- severný pól sa zobrazí do vrcholu kužeľovej plochy,
- južný pól a jeho blízke okolie sa nezobrazuje.

U0

Murdochova 2. gnómonická kužeľová projekcia (obr. 11)
- stred S je totožný so stredom sféry, teda c = 0,
- kužeľová plocha je sečná v rovnobežkách s U1 a U2 ,
- zemepisná šírka U0 základnej rovnobežky je určená:
U0 

P´

P

U2
U
R

U1

S
c

U1  U 2
2

Obr. 11


Slide 7

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

144

Kužeľové projekcie s pohyblivým stredom v rovine rovníka
- Stredové premietanie referenčnej guľovej plochy  na kužeľovú plochu  súosú (sečnú
v rovnobežkách s U1 , U2 alebo dotykovú v rovnobežke s U0 ) zo stredu S, ktorý leží v
rovine rovníka, rotuje okolo zemskej osi, c = SO(obr. 13), pričom
• z každej polohy stredu je premietaný poludník, ktorý leží so stredom S v opačnej
polrovine vzhľadom na os,
• vzor a obraz každého bodu ležia v tej istej polrovine vzhľadom na os.
Obraz prvkov zemepisnej siete (obr. 12):
 Rovník a rovnobežkové kružnice sa zobrazujú do oblúkov sústredných kružníc so stredom
vo vrchole V kužeľovej plochy.
 Obrazy poludníkov ležia na zväzku polpriamok s počiatkom vo vrchole V.
 Ak kužeľová plocha je dotyková, potom uhol jej rozvinutia   360sinU0, polomer
V
rozvinutia základnej rovnobežky U0 je 0 = RcotgU0.

 Ak je kužeľová plocha sečná, potom uhol jej rozvinutia:
S
P
P´
P
V


  360  sin

U1  U 2

.

2

U

S

O
c

Obr. 12

Obr. 13

U0


Slide 8

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

Zobrazovacie rovnice kužeľových projekcií s pohyblivým stredom v rovine
V
rovníka

U0

Nech kužeľová plocha je dotyková v rovnobežke U0,
stred S v rovine rovníka SO= c (obr. 14) .

P´

PS

P

Zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] sú:

U

c R  R cos U  c R sin U 0 sin U
2

 

U0

O

S

sin U 0  R cos U  U 0   c cos U 0 

c

  V sin U 0

Obr. 14

Nech kužeľová plocha je sečná v rovnobežkách U1 a U2 ,
stred S v rovine rovníka SO= c (obr. 15).

V

Základnú rovnobežku U0 určujeme:

U0 



U1  U 2

U0

2

PS

P´
P

Zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] sú:
U
U2

cR cos U 0  U 1   sin U sin U 0   R cos U sin U 0 sin U 2  cos U 0 cos U 1 
2

 

sin U 0 cos U  U 0   c cos U 0 

S

O
c

  V sin U 0

Obr. 15

U1

145


Slide 9

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

Príklady kužeľových projekcií s pohyblivým stredom v rovine rovníka
Stereografická kužeľová projekcia s pohyblivým stredom v rovine rovníka
V

Stred S leží na guľovej ploche, teda c = R,
- nech je kužeľová plocha dotyková v rovnobežke U0,
- zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] v polárnom tvare sú:



U0

P´

PS

P

U

 

R  R cos U  R sin U 0 sin U

sin U 0 cos U  U 0   cos U 0 

U0

O

S

c=R

  V sin U 0
• Pre U0 > 45, príp. U0 < -45, stanovujeme podmienku
.
na zobrazovanie guľovej plochy v intervale:

ak U0 > 0,
inak

Obr. 16

U  2 U 0  180  , 90 

U  90  , 2 U 0  180  .

Na obr. 17 je stereografická kužeľová projekcia s
U0 = 30.
Obr. 17

146


Slide 10

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

Príklady kužeľových projekcií s pohyblivým stredom v rovine rovníka
Gnómonická kužeľová projekcia na dotykovú kužeľovú plochu (obr. 18)
Stred S je totožný so stredom guľovej plochy, teda c = 0,
Nech kužeľová plocha dotyková v rovnobežke U0, potom
zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] v polárnom tvare sú:
 

 sin U 0



P´

U0

P

R cos U
sin U 0  90   U

V

U0

U
R

S

  V sin U 0

• ak U0 > 0, severný pól sa zobrazuje do vrcholu kužeľovej
plochy a vzhľadom na kompaktnosť obrazu možno zobrazovať
body referenčnej guľovej plochy z určitého intervalu zemepisnej
.šírky, a to:
U  U 0  90  , 90  ,
ak U0 < 0, potom

Obr. 18

U   90  , U 0  90  .

Kužeľová projekcia s pohyblivým stredom v rovine
rovníka na sečnú kužeľovú plochu
Stred S v rovine rovníka SO= c,
kužeľová plocha sečná v rovnobežkách U1 a U2 .
Na obr. 19: c = 2R, U1 = 20, U2 = 70.
Obr. 19

147


Slide 11

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

148

Kužeľové projekcie s pohyblivým stredom v rovine rovnobežkovej
kružnice
V
Kužeľová plocha dotyková v rovnobežke U0, stred S v rovine
rovnobežkovej kružnice U´, S, o= c (obr. 20).


PS
S

Zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] sú:
 

c

R sin U 0 sin U ' cos U  R cos U  c sin U 0 sin U  c sin U 0 sin U '
sin U 0 sin U 0 sin U ' cos U 0  U

O

P P´
U U´
U0



  V sin U 0
Obr. 20

Kužeľová plocha sečná v rovnobežkách U1, U2 ,
stred S v rovine rovnobežkovej kružnice U´, S, o= c (obr. 21).

V

Zobrazovacie rovnice bodu P[U,V] sú:

PS


P

P´

S

 

R sin U

2

 U 1  R cos U  c   R sin U 0  R cos U sin U ' c sin U

sin U 0 cos U 0  R cos U  c   R sin

2

U 0 sin U  sin U ' 



c

O

U2
U´
U1
U

  V sin U 0

Obr. 21


Slide 12

Vajsáblová, M.: Metódy zobrazovania

149

Príklady kužeľových projekcií s pohyblivým stredom v rovine rovnobežkovej
kružnice
Kužeľová plocha dotyková v rovnobežke
U0, stred S v rovine rovnobežkovej kružnice
U´, S, o= c.
Na obr. 22: c = 2R, U´ = 15, U0 = 30
Obr. 22

Kužeľová plocha sečná v rovnobežke U1, U2 ,
stred S v rovine rovnobežkovej kružnice U´,
S, o= c.
Na obr. 23: c = 2R, U´ = 15, U1 = 20 , U2 = 70

Obr. 23