Transcript 2. Tlumené kmity. Nucené kmity a rezonance. Skládání kmitů.

Tlumené kmity
pružná síla
brzdná síla?
Tlumené kmity
pohybová rovnice
pružná síla
brzdná síla
Tlumené kmity
Tlumené kmity
smyčkové pravidlo („pohybová rovnice“)
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je
- lineární
- homogenní
- a má konstantní koeficienty
Z linearity vyplývá, že lineární kombinace řešení je také řešení.
tedy také řešení
Dokažte.
řešení
řešení
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je
- lineární
- homogenní
- a má konstantní koeficienty
Obecné řešení takové rovnice je
obecné řešení
Zdůvodněte tvrzení.
dvě lineárně nezávislá řešení
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
předpokládáme řešení
obecné řešení:
3 možnosti:
1.
Aperiodický pohyb
(silný útlum)
2.
Mezní aperiodický pohyb
(kritický útlum)
3.
Tlumený harmonický kmit
(slabý útlum)
1. Aperiodický pohyb
záleží na p.p., zde např. pro
(tlumení) roste
Platí:
1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze,
2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou
2. Mezní aperiodický pohyb
záleží na p.p., zde např. pro
Platí:
1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze,
2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou
3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)
3. Tlumený harmonický kmit
reálné, tj.
nebo
Výchylka konverguje k rovnovážné poloze
3. Tlumený harmonický kmit
- kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá
Pozn.: pro velmi slabý útlum
3. Tlumený harmonický kmit
Pozn.: definují se
útlum
logaritmický dekrement útlumu = ln(útlum)
Energie slabě tlumeného oscilátoru
netlumený oscilátor
exponenciálně klesá
tlumený oscilátor
ztrátový výkon
relativní rychlost energetických ztrát
činitel kvality
Q = 2π
energie systému
ztráta energie během jedné periody
např. pro RLC obvod
Nucené kmity a rezonance
b

volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence:
- vlastní frekvence 
- frekvence budící síly b
Nucené kmity a rezonance
?
b

- pružná síla
- brzdná síla
- budící síla
Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené)
a nucených kmitů.
Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do
ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity.
?
?
Nucené kmity a rezonance
b
kmitající nosník

pružná síla
brzdná síla
?
?
Nucené kmity a rezonance
b
kmitající nosník

pružná síla
brzdná síla
pohybová rovnice
Nucené kmity a rezonance

b
smyčkové pravidlo
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
Jedná se o obyčejnou diferenciální
rovnici druhého řádu, která je
- lineární
- nehomogenní
- a má konstantní koeficienty
b

Obecné řešení takové nehomogenní
rovnice je součet partikulárního řešení
této rovnice a obecného řešení
odpovídající homogenní rovnice.
Obecné řešení homogenní rovnice už známe (tlumené kmity).
Pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů (partikulární řešení).
Po dostatečně dlouhé době volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu.
K popisu ustáleného stavu tedy stačí nalézt partikulární řešení nehomogenní rovnice.
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
(použijeme komplexní vyjádření)
předpokládané partikulární řešení
rovnice platí pro všechna t
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
?
?
- Amplituda i fáze jsou funkcemi budící frekvence.
- Fáze nezávisí na amplitudě budící síly.
10
amplituda výchylky, náboje, ...
x 2/|f|
m
8
6
/
/
/
/
/
 = 0.10
 = 0.25
 = 0.40
 = 0.55
 = 0.70
4
2
0
100
amplituda rychlosti, proudu, ...
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
v /|f|
m
8
6
4
2
0
100
amplituda zrychlení
6
m
a /|f|
8
4
2
0
0
10
Rezonance
x 2/|f|
m
6
 = 0.10
 = 0.25
 = 0.40
 = 0.55
 = 0.70
4
2
0
100
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
v /|f|
m
8
6
4
2
0
100
8
6
m
a /|f|
Poloha maxima - rezonanční frekvence
8
/
/
/
/
/
4
2
0
0
10
Q jako faktor zesílení
Pro amplitudu výchylky:
x 2/|f|
m
Q souvisí s výškou maxima.
8
6
/
/
/
/
/
 = 0.10
 = 0.25
 = 0.40
 = 0.55
 = 0.70
4
2
0
100
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
v /|f|
m
8
6
4
2
0
100
8
6
m
a /|f|
zesílení:
4
2
0
0
torzní kmity hřídele
Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis
pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100
Amplituda a fáze
výchylky, náboje, ...
x 2/|f|
m
8
6
/
/
/
/
/
 = 0.10
 = 0.25
 = 0.40
 = 0.55
 = 0.70
4
10
8
v /|f|
m
10
rychlosti, proudu, ...
2
0
0
0
1
2
Budící frekvence, b/
0
0
0.5
3
-0.2
fáze rychlosti / 
fáze výchlyky / 
4
2
x se opožďuje za F
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
6
1
2
Budící frekvence, b/
3
1
2
Budící frekvence, b/
3
0
v předbíhá F
-0.5
0
v se opožďuje za F
1
2
Budící frekvence, b/
3
Amplituda a fáze
fáze
fáze proudu
rychlosti / 
0.5
0
i předbíhá e
-0.5
0
i se opožďuje za e
1
2
Budící frekvence, b/
3
fáze
fáze proudu
rychlosti / 
0.5
0
i předbíhá e
-0.5
0
i se opožďuje za e
1
2
Budící frekvence, b/
3
induktivní charakter: i se opožďuje za e
kapacitní charakter: i předbíhá e
rezonance
fáze
fáze proudu
rychlosti / 
0.5
0
i předbíhá e
-0.5
0
i se opožďuje za e
1
2
Budící frekvence, b/
3
Krouživé kmity hřídele
rychlost těžiště
úhlová rychlost
(pouze označení!)
výchylka ve fázi
kritické
otáčky
výchylka
v protifázi
Nucené kmity: výkon
Ztrátový (absorbovaný) výkon = výkon brzdné síly
Dodaný výkon = výkon budící síly
V ustáleném stavu platí
kmitající nosník
Časová střední hodnota
Dvě harmonické funkce (o stejné frekvenci)
Nucené kmity: výkon
Ztrátový (absorbovaný) výkon = výkon brzdné síly
Dodaný výkon = výkon budící síly
V ustáleném stavu platí
Důkaz:
Nucené kmity: výkon, šířka pásma a Q
šířka křivky v polovině výšky maxima
Skládání stejnosměrných harmonických kmitů
Působí 2 síly
vybudí kmit
(princip superpozice)
?
(a) stejné frekvence
?
stav kdy
?
(a) stejné frekvence
?
stav kdy
?
stav kdy
(b) stejné amplitudy
(b) stejné amplitudy
Skládání vzájemně kolmých kmitů
(a) stejné frekvence
Skládání vzájemně kolmých kmitů
(a) stejné frekvence
Odvození rovnice elipsy
vyloučíme
(rovnice elipsy)
Skládání vzájemně kolmých kmitů
(b) různé frekvence
Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence
závisí na fázovém rozdílu
Maximum:
libovolné celé číslo
- kmity jsou ve fázi
- (plně) konstruktivní superpozice (interference)
Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence
závisí na fázovém rozdílu
Minimum:
libovolné celé číslo
- kmity jsou v protifázi
- (plně) destruktivní superpozice (interference)
Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence
Jev se nejvíce projeví pokud