Transcript Aplikace určitého integrálu

Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně
Matematika II.
KIG / 1MAT2
Přednáška 11
Aplikace určitého integrálu
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
•
•
Obsah rovinné oblasti
Objem rotačního tělesa
Délka křivky
Povrch rotačního tělesa
Další aplikace
Obsah rovinné oblasti
Opakování
Obsah rovinné
oblasti rozložíme na
elementární útvary.
Obsah plochy pod
grafem funkce
vypočítáme určitým
integrálem:
b
P   f ( x) dx  [ F ( x)]ba  F (b)  F (a)
a
Příklad
Vypočítejte obsah
oblasti, ohraničené
parabolou o
rovnici y = 6x – x2
a osou x.
3
x
P   (6 x  x 2 ) dx  [3x 2  ]60 
0
3
3
3
6
0
 (3  62  )  (3  02  )  108 72  36
3
3
6
Příklad
Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolami
o rovnicích:
y x
1
P
0
1
y  x2
1
x dx   x dx   ( x  x2 ) dx 
0
3
2
3
2
0
3
2
2
x 1 1
1
3 1
 [ x  ]0   [2 x  x ]0 
3
3
3
3
Znaménková konvence
Při výpočtu obsahu se oblasti ohraničené grafem
funkce, které leží nad osou x, počítají s kladným
znaménkem a oblasti, které leží pod osou x, se
záporným znaménkem.
Příklad
Vypočítejte obsah
oblasti, ohraničené
křivkou o rovnici
y = x . sin x a osou x.

P   x sin x dx  
0
2

3
x sin x dx   x sin x dx
 x sin x dx  sin x  x cos x
P    3  5  9
2
Objem rotačního tělesa
Jak počítat objem?
Těleso rozřežeme
na tenké válečky.
Objem rotačního
tělesa vytvořeného
rotací grafu funkce
vypočítáme tímto
integrálem:
b
V     f ( x) dx
a
2
Příklad
Vypočítejte objem
kužele.
(Vzniká rotací
funkce f(x) = rx/v).
r v 2
r x
V       dx  2   x dx 
0
0
v
 v 
2
3
r x v 1
 2  [ ]0    r 2v
v
3
3
v
2
2
Příklad
Vypočítejte objem
anuloidu.
V  2 Rr
2
2
Délka křivky
Jak počítat délku křivky?
Křivku
aproximujeme
krátkými úsečkami.
Délku křivky
vypočítáme tímto
integrálem:
L
b
a
1   f ´(x) dx
2
Příklad
L  2 r
Vypočítejte délku kružnice.
f ( x)  r  x
2
x
f ( x) 
2
r 2  x2
2
r
r
L
x
2
  1   f ´(x) dx   1  2
dx 
2
0
4 0
r x
r
r
0
r x

2
2
dx  
r
0
1
 x
1  
r
2
dx
x
 sin t
r
Povrch rotačního tělesa
Jak počítat obsah pláště rotačního tělesa?
Těleso rozřežeme
na tenké válečky.
Plášť rotačního
tělesa vypočítáme
tímto integrálem:
S  2   f ( x)  1   f ´(x) dx
b
a
2
Příklad
S   rl
Vypočítejte obsah pláště kužele.
r
f ( x)  x
v
S  2  
v
0
2
2
v
r
r
r
v

r
 
x  1    dx  2
  x dx 
2
0
v
v
v
v
2
r  l x2 v
 2 2  [ ]0   r l
v
2
Příklad
S  4 r 2
Vypočítejte povrch koule.
f ( x)  r  x
2
S  2  
r
r
 2  
r
r
f ( x) 
2
x
r 2  x2
f ( x)  1   f ´(x) dx 
2
r
r x 
2
2
 2 r [ x]  4 r
r
r
r 2  x2
2
dx 
Další aplikace
Příklad
Vypočítejte potenciální energii tělesa hmotnosti m
v nehomogenním gravitačním poli Země.
Použijte Newtonův gravitační zákon.
E pot  
Rh
R
Rh 1
mM
 2 dr   m M 
dr 
2
R
r
r
1 Rh
1
1
  m M  [  ]R   m M  ( 
 )
r
Rh R

 mM
R
h
h

 m g R
Rh
Rh
Příklad
Vypočítejte únikovou rychlost z nehomogenního
gravitačního pole Země.
Ze zákona zachování energie plyne:
lim h    E pot
1
 m g R  m v 2  Ekin
2
Odtud pak vypočítáme:
m
km
v  2 g R  2  9,8  6,4 10
 11,2
s
s
6
Co je třeba znát a umět?
•
•
•
•
•
Vypočítávat určitým integrálem obsahy
rovinných oblastí,
umět vypočítat objem rotačních těles,
umět vypočítat délky křivek,
umět vypočítat povrch rotačních těles,
umět používat určité integrály k dalším
výpočtům z oblasti přírodních věd.
Děkuji za pozornost