Transcript Integrace racionálních funkcí I

Katedra informatiky a geoinformatiky
Fakulta životního prostředí
Univerzita Jana Evangelisty Purkyně
Matematika II.
KIG / 1MAT2
Přednáška 08
Integrace racionálních funkcí – 1. část
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
Ryze lomené a neryze lomené racionální
funkce
Rozklad ryze lomené racionální funkce
na parciální zlomky
Integrace parciálních zlomků – 1.část
Ryze lomené a neryze lomené
racionální funkce
Racionální funkce (ryze a neryze lomené)
Definice
Nechť jsou dány dva polynomy:
P( x)  pn x n  pn1 x n1  pn2 x n2    p1 x1  p0 ,
pn  0
Q( x)  qm x m  qm1 x m1  qm2 x m2    q1 x1  q0 , qm  0
Jejich podíl budeme
P( x)
R( x) 
nazývat racionální funkcí:
Q( x)
Racionální funkce se nazývá:
nm
ryze lomená právě tehdy, platí-li
nm
neryze lomená právě tehdy, platí-li
Vyjádření neryze lomené racionální funkce
Analogie:
Každý nepravý zlomek můžeme vyjádřit jako
součet přirozeného čísla a pravého zlomku:
23
?
7
23 : 7  3 (2)
23
2
 3
7
7
Každou neryze lomenou racionální funkci
můžeme vyjádřit jako součet polynomu a
ryze lomené racionální funkce.
Příklad
Je-li stupeň polynomu v čitateli větší nebo roven
stupni polynomu ve jmenovateli, vydělíme je.
Podílem je opět polynom (se zbytkem).
Nakonec napíšeme získané vyjádření.
2 x 6  4 x 5  12x 3  22x 2  5 x  10

4
3
2
2 x  8 x  10x  8 x  8
 x2  2x  3 
3x  14
2 x 4  8 x 3  10 x 2  8 x  8
Rozklad ryze lomené racionální
funkce na parciální zlomky
Co to jsou parciální zlomky?
Definice
Parciálními zlomky nazýváme tyto funkce:
A
, speciálně:
r
( x  a)
A
xa
Bx  C
, speciálně:
2
s
( x  px  q )
Bx  C
x 2  px  q
Velká i malá písmena označují reálná čísla,
exponenty jsou přirozená čísla, kvadratické
polynomy mají záporný diskriminant.
Co musíme udělat nejdříve
Nalezneme kořeny polynomu ve jmenovateli a
vyjádříme jej jako součin kořenových činitelů.
Kořenové činitele odpovídající dvěma komplexně
sdruženým kořenům vynásobíme a získáme
polynomy druhého stupně se záporným
diskriminantem.
Součiny stejných činitelů zapíšeme ve tvaru
mocniny.
Q( x)  c  ( x  a1 )r1  ( x  a2 )r2    ( x 2  p1 x  q1 ) s1  
Příklad
Nechť má polynom ve jmenovateli tvar:
Q( x)  2x 4  8x3  10x 2  8x  8
Jeho kořeny jsou:
reálné číslo 2 (je to dvojnásobný kořen),
a dvě komplexně sdružená čísla +i a –i .
Vyjádříme jej tedy takto:
Q( x)  2  ( x  2)  ( x  1)
2
2
Návod na rozklad
Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru
( x  a)
r
vygeneruje těchto r parciálních zlomků:
Ar
Ar 1
A1


r
r 1
( x  a) ( x  a)
xa
Poznámka:
Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude
generovat pouze jeden parciální zlomek.
Návod na rozklad - pokračování
Každý činitel z rozkladu jmenovatele tvaru
( x  px  q)
2
s
vygeneruje těchto s parciálních zlomků:
Bs x  Cs
Bs 1 x  Cs 1
B1 x  C1
 2
 2
2
s
s 1
( x  px  q) ( x  px  q)
x  px  q
Poznámka:
Je-li kořenový činitel v první mocnině, bude
generovat pouze jeden parciální zlomek.
Příklad
Nechť má polynom ve jmenovateli tvar:
Q( x)  2  ( x  2)2  ( x 2  1)
Pak rozklad racionální funkce na parciální
zlomky bude mít tvar:
P( x )
A
B
CxD


 2
2
2
2
2  ( x  2)  ( x  1) ( x  2)
x2
x 1
Složitější příklad
Nechť má polynom ve jmenovateli tvar:
Q( x)  ( x  3)4  ( x  1)2  ( x2  x  1)3  ( x2  2 x  2)
Jak bude vypadat příslušný rozklad racionální
funkce na parciální zlomky?
Jak nalezneme neznámé koeficienty A, B, C, atd. ?
Hledání neznámých koeficientů
Rovnost vyjadřující rozklad na parciální zlomky
upravíme vynásobením polynomem Q(x) na
rovnost polynomů a porovnáním jejich koeficientů
sestavíme soustavu rovnic.
Příklad:
3x  14
A
B
CxD


 2
2
2
2
2  ( x  2)  ( x  1) ( x  2)
x2
x 1
47
47
4
27
B

C
A
D
50
50
5
25
Integrace parciálních zlomků
Jak integrovat
parciální zlomek?
A
xa
Integrál z této funkce lze počítat přímo –
po vytknutí konstanty vede na logaritmus
jmenovatele.
Obecný postup:
A
1
 x  a dx  A   x  a dx  A  ln x  a  C
Jak integrovat
parciální zlomek?
A
r
( x  a)
Integrál z této funkce lze počítat přímo –
při vhodné manipulaci s konstantou vede
na mocninu jmenovatele.
Obecný postup:
A
r
dx

A

(
x

a
)
dx 
 ( x  a) r

A
A
1
1 r

 ( x  a)  C  

C
r 1
1 r
r  1 ( x  a)
Jak integrovat
parciální zlomek?
Bx  C
x 2  px  q
Integrál lze vhodnou manipulací s konstantami
rozložit na dva integrály, jeden vede na
logaritmus a druhý na arctangens.
Příklad:

x 1
1
2x  2
dx    2
dx 
2
x  x 1
2 x  x 1
1
2x 1
1
1
  2
dx    2
dx  
2 x  x 1
2 x  x 1
Co je třeba znát a umět?
•
•
•
Umět dělit mnohočleny,
umět rozložit ryze lomenou racionální funkci na
parciální zlomky,
umět integrovat parciální zlomky.
Děkuji za pozornost