Transcript Komplexní čísla - Integrovaná střední škola technická Vysoké Mýto

Název školy
Integrovaná střední škola technická, Vysoké Mýto, Mládežnická 380
Číslo a název projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0374
Inovace vzdělávacích metod EU - OP VK
Číslo a název klíčové aktivity
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Autor
Ing. Pavel Novotný
Číslo materiálu
VY_32_INOVACE_MAT_4S_NO_07_17
Název
Komplexní čísla – algebraický tvar
Druh učebního materiálu
Prezentace
Předmět
Matematika
Ročník
4
Tématický celek
Komplexní čísla
Anotace
Algebraický tvar komplex. čísel a zobrazení v Gaussově rovině. Početní operace s kompl. čísly
Metodický pokyn
Materiál slouží k výkladu nové látky a následnému procvičení na řešených příkladech (35 min)
Klíčová slova
Komplexní číslo, Gaussova rovina, komplexně sdružené číslo
Očekávaný výstup
Žáci jsou schopni provádět početní operace s komplexními čísly a zobrazovat je v Gaussově
rovině komplexních čísel
Datum vytvoření
5.7.2012
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
- jsou to všechna čísla, která lze zobrazit v pravoúhlé souřadné
soustavě, tzv. Gaussově rovině komplexních čísel, která je
tvořena reálnou osou x (Re x) a imaginární osou y (Im y)
- algebraický tvar komplexního
čísla: z = a + bi
a – reálná část k.č.
b – imaginární část k.č.
i – imaginární jednotka
Im y
z = a + bi
b
a
- uspořádaná dvojice čísel [a,b] představuje kartézské
souřadnice komplexního čísla v rovině
Re x
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
- komplexně sdružené číslo k číslu z = a + bi je číslo
- čísla z a jsou osově souměrné
podle osy x
= a – bi
Im y
z = a + bi
b
|z|
- absolutní hodnota k.č. - |z| je
vzdálenost k.č. od počátku
souřadného systému
a
–b
Re x
= a – bi
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
- sčítání a odčítání k.č. se provádí po částech, podobně i při
násobení k.č. reálným číslem
(6 + 5i) + (3 – 3i) = 6 + 3 + (5 – 3)i = 9 + 2i
(6 + 5i) – (3 – 3i) = 6 – 3 + (5 + 3)i = 3 + 8i
3.(6 + 5i) = 18 + 15i
- při násobení a dělení se využívá pravidla i2 = - 1
(3 + 2i).(4 – 5i) =12 – 15i + 8i – 10i2 = 12 – 7i – 10.(– 1) = 22 – 7i
(6 + 3i).(6 – 3i) = 36 – 18i + 18i – 9i2 = 36 – 9.(– 1) = 45
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
- dělení se provádí tak, že se přepíše do tvaru zlomku a
rozšíří se komplexně sdruženým číslem ke jmenovateli
- umocňování se provádí stejným způsobem jako u jiných
číselných oborů pro n є N
n - krát
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Příklad 1: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla
a číslo zakreslete do Gaussovy roviny
a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (2 + 3i)2
b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 + 2i)
a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (5 + 3i)2 =
= 12 + 16i – 6i – 8i2 – (25 + 30i + 9i2) =
= 12 + 16i – 6i + 8 – 25 – 30i + 9 = 4 – 20i
b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 +2i) =
= (8 – 6i + 4i – 3i2).(-2 + 2i) = (11 – 2i).(-2 + 2i) =
= – 22 + 22i + 4i – 4i2 = – 18 + 26i
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Příklad 1: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla
a číslo zakreslete do Gaussovy roviny
a) z1 = (4 – 2i).(3 + 4i) – (2 + 3i)2
b) z2 = (2 + i).(4 – 3i).(-2 + 2i)
Im y
z2 = – 18 + 26i
26
4
- 18
Re x
- 20
z1 = 4 – 20i
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Příklad 2: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Příklad 2: Upravte na algebraický tvar komplexního čísla