Transcript Výrazy - rozkladné vzorce

Rozklad mnohočlenů na součin
Opakování znalostí o výrazech
Odvození rozkladných vzorců
(vzorců pro rozklad výrazů na součin)
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Opakování – algebraický výraz
= předpis jedné nebo více matematických operací
(sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)
Připomínají Vám něco následující výrazy?
Které matematické operace obsahují?
a b c
z
=
 z  v
2
a známe
2  Výraz
b
a  b c
jako část vzorce
Výraz známe
pro výpočet
jako
1
2 část vzorce
obvodu
pro výpočet
trojúhelníku.
objemu kvádru.
Výraz známe
0
Výraz je částí
jako částVýraz
vzorce
vzorce (a; b; c; v;
předpis,
který
blíže neurčené znaky
jeobsahuje
částí
pro výpočet
pro výpočet
vzorce
z1; z2;
Q; m;
t… – mohou to být konstanty
či proměnné
obvodu čtverce.
obsahu
pro výpočet
a nemusíme
znát ani jejich hodnotu), čísla
a matematické
lichoběžníku.
měrné tepelné
operátory (sčítání,
kapacity. odčítání, násobení, dělení, umocňování…)
Q
m  t  t

Opakování – číselný a algebraický výraz
Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny:
1) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla:
Číselné výrazy
7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3
5 . (4 – 3) – 6 : 3
4 . 2,5 – 6 + 22
2) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla
z určité množiny:
Algebraické výrazy
x – 6 + 3x
(x + 2) / 4
y2 – 6y + 9
Opakování – mnohočleny
Mnohočlen = zvláštní typ výrazů
Mnohočleny obsahují pouze přirozené mocniny neznámých
(jedné nebo více).
3x  4 x  7
2
… Mnohočlen s jednou proměnnou
x y  5 x  2y … Mnohočlen dvou proměnných
3
2
x 
 2 … Není mnohočlen (x je ve jmenovateli,
tzn. záporná mocnina x)
4x
2
2
2
x 2 x 2
… Není mnohočlen (obsahuje odmocninu
z x, tzn. mocnina ve tvaru zlomku)
3
x  x 2
4
… Je mnohočlen (sice obsahuje zlomek,
ale bez neznámé ve jmenovateli)
2
2
Opakování – sčítání mnohočlenů
Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou
a se stejným mocnitelem.
To znamená čísla jen s čísly, proměnné jen s proměnnými,
proměnné na druhou jen s proměnnými na druhou atd.
3+4=7
3x2 + 4x2 = 7x2
3x + 4x = 7x
Příklad:
(3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 =
= 3x2 – 2x2 + 7x – 4x
–5+1
=
x2 + 3x – 4
Opakování – odčítání mnohočlenů
Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný.
K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li
znaménka všech jeho členů na opačná.
–2x2 – 4x + 1
2x2 + 4x – 1
Příklad:
(3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 =
= 3x2 + 2x2 + 7x + 4x
–5-1
=
5x2 + 11x – 6
Opakování – násobení mnohočlenů
Každý člen prvního mnohočlenu násobíme s každým členem
druhého mnohočlenu a výsledné členy pak sečteme.
(2x – 1)(2x2 – 4x + 1) =
= 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 + 4x - 1
Příklad:
(3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) =
= -6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 =
= -6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 =
= -6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5
Rozklad mnohočlenu na součin
Obdobně jako v případě počítání s číselnými výrazy (zlomky),
můžeme i v případě lomených výrazů s proměnnou, za dodržení
podmínek krácení (tj. dělíme čitatele i jmenovatele stejným
číslem, výrazem, mnohočlenem různým od nuly), krátit výrazy
(mnohočleny) nad sebou a v případě součinu i do kříže.
21 3  7 3


56 7  8 8
2  x  x  1
x 1
2x  2x


2
2  x  2  3 x  2  3 x
4x  6x
2
;x  0
x  2 / 3
Proto se naučíme rozkládat mnohočleny na součin.
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Jako vždy nebudeme nikomu věřit a na základě
znalostí, které již máme, si vzorce postupně
odvodíme sami!
Uprav daný výraz umocněním závorky:
x  3
  x  3   x  3  
2
2
 x  3x  3x  9  x  6x  9
2
Využijeme
toho, co
Tak ještě jednou
obecněji:
o umocňování víme.
Tzn. že druhou
mocninu daného
základu můžeme
zapsat i jako součin
těchto základů.
a  b
Pokračovat můžeme
znalostmi o násobení
mnohočlenů. Tzn. tím,
A na závěr ještěže každým členem
sečteme jednoho mnohočlenu
„co se dá“.vynásobíme každý člen
mnohočlenu druhého.
 a  b a  b 
2
2
2
2
 a  ab  ab  b  a  2ab  b
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Tak jako vždy nebudeme nikomu věřit a vzorce si sami
na základě znalostí, které již máme postupně
odvodíme sami!
Uprav daný výraz umocněním závorky:
x  3   x  3    x  3  
2
2
 x  3 x 2 3 x  29  x  6 x  9 2
(a + b) = a + 2ab + b
2
a  b  a  b a  b 
2
A máme první vzorec na světě:
Tak ještě jednou obecněji:
 a  ab  ab  b  a  2ab  b
2
2
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
x  5 
2
a
b
 x  2 x 5  5 
2
a2
2
+
2ab
+ b2
 x  25  x  5 
2
 x  10 x  25
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
3x  4
2
a
b
 3 x   2  3 x  4  4 
2
a2
2
+
2ab
+ b2
 3 x  23 4 x  4 
2
2
 9 x  24 x  16
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
3  2 x 
2 2
a
b
 
 3  2  3  2x  2x
2
a2
2
+
2ab
+
2 2
b2
 3  2  3  2x  2 x 
2
2
 9  12 x  4 x
2
2
4
4

Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
A dokud nám to jde, tak pokračujeme.
Uprav daný výraz umocněním závorky:
x  3
 x  3  x  3 
2
2
 x  3x  3x  9  x  6x  9
2
využijeme
Tak ještě jednouOpět
obecněji:
toho, co
o umocňování víme.
Tzn. že druhou mocninu
daného základu
můžeme zapsat i jako
součin těchto základů.
a  b
Pokračovat budeme
znalostmi o násobení
mnohočlenů. Tzn. tím,
že každým členem
A na závěr ještě
jednoho mnohočlenu
sečteme
vynásobíme každý člen
„co se dá“.
mnohočlenu druhého.
 a  b a  b 
2
2
2
2
 a  ab  ab  b  a  2ab  b
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
A dokud nám to jde, tak pokračujeme.
Uprav daný výraz umocněním závorky:
x  3
 x  3  x  3 
A druhý vzorec je na světě:
2
2
 x  3x  3x  9  x  6x  9
2
2
– b)
=
Tak(a
ještě jednou
obecněji:
a  b
2
a
– 2ab +
2
b
 a  b a  b 
2
2
2
2
 a  ab  ab  b  a  2ab  b
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
x  1
2
a
b
 x  2  x  1 1 
2
a2
2
–
2ab
+ b2
 x  2  1 x  1 
2
 x  2x  1
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
5x  2
2
a
b
 5 x   2  5 x  2  2 
2
2
–
a2
2ab
+
b2
 5 x  252 x  2 
2
2
 25 x  20 x  4
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
x  3y 
2 2
a
b
 
 x  2  x  3y  3y
2
a2
2
–
2ab
+
2 2
b2

 x  2  3  xy  3 y 
2
2
 x  6 xy  9y
2
2
2
4
4
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice
všeho dobrého ještě o jeden vzorec.
Uprav:
x  3   x  3 
 x  3x  3x  9  x  9
2
Tak ještě jednou obecněji:
2
I nyní využijeme znalostí
o násobení mnohočlenů.
Tzn. toho, že každým
A na závěr ještě
členem jednoho
sečteme
mnohočlenu vynásobíme
„co se dá“.
každý člen mnohočlenu
druhého.
a  b a  b 
 a  ab  ab  b  a 2  b2
2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice
všeho dobrého, ještě o jeden vzorec.
Uprav:
x  3Atřetí
 x vzorec
 3 je už také na světě:
 x  3x  3x  9  x  9
2
(a + b).(a – b) = a
2
2
–
Tak ještě jednou obecněji:
a  b a  b 
 a  ab  ab  b  a  b
2
2
2
2
2
b
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
x  2   x  2 
a
+ b
a
– b
 x 2  x  4
2
a2
2
–
b2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
1 x  1 x  
a
+ b
a
– b
 1  x  1 x
2
a2
2
–
b2
2
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Příklady na ujasnění:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
3x  5y  3x  5y  
2
2
2 2
2 2
 3 x   5y   3 x  5 y 
a
a
b
+
a2
–
–
b
b2
 9 x  25y
2
2
Rozkladné vzorce
Všechny tři vzorce však budeme mnohem častěji
používat obráceně, tzn. tak, abychom pomocí nich
rozkládali dané mnohočleny na součin.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
To ale až zase
2
2
2
a –
2ab
+
b
=
(a
–
b)
příští hodinu!
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b).(a – b) = a2 – b2
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
Použité obrázky:
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí
Creative Commons na http://www.clker.com.
Obrázek na pozadí:[cit. 2010-10-19]. Dostupný pod licencí Public domain na www:
<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.