Transcript Limita posloupnosti

Fakulta životního prostředí
Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika II.
KIG / 1MAT2
Přednáška 03
Limita posloupnosti
[email protected]
O čem budeme hovořit:
•
•
•
•
Definice posloupnosti
Konvergence a divergence posloupností
Věty o konvergenci a divergenci
posloupností
Výpočty limit posloupností
Definice posloupnosti
Co je to posloupnost?
Definice:
Posloupností {an} nazýváme zobrazení množiny
přirozených čísel N do množiny reálných čísel R.
n  an
Příklady:
aritmetické a geometrické
an = 1/n
an = 1 + sin n
Posloupnosti.xls
Uměli byste členy posloupností
vyjádřit nějakým vzorcem?
1, 3, 5, 7, 9, 11, ……….
an = 2n - 1
2, 4, 8, 16, 32, 64, …….
an = 2 n
1, 4, 9, 16, 25, 36, …….
an = n 2
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ….
an+1 = an + n
2, 3, 12, 52, 78, …
???????????
Konvergence a divergence
posloupností
Motivační příklad
Uvažujme, jak se s rostoucím indexem n mění členy
posloupnosti dané vzorcem
an = 2 + (-1)n /n :
Znázorněme si to také graficky:
Limita-úvod.xls
Členy posloupnosti se s rostoucím indexem n
„čím dál více blíží“ k číslu 2.
Číslo 2 není v tomto případě nikdy dosaženo,
je tzv. limitou posloupnosti.
Vlastní limita posloupnosti
Definice:
Reálné číslo a je (vlastní) limitou posloupnosti {an}
pro n blížící se nekonečnu právě tehdy, když platí
(  0)(n0 N)(n) n  n0  a -   an  a + 
Poznámky:
• Kladné číslo  je libovolně volitelné!
• Přirozené číslo n0 je závislé na čísle  !
• Členy an s indexy většími než n0 jsou sevřeny
mezi čísly a -  , a +  .
Konvergence posloupností - zápisy
Je-li číslo a limitou posloupnosti {an} podle
předchozí definice, pak posloupnost nazýváme
konvergentní a zapisujeme
limn an  a
Nevlastní limita posloupnosti
Rostou-li členy posloupnosti se zvětšujícím se
indexem nade všechny meze, pak budeme říkat,
že posloupnost má limitu „plus nekonečno“
(diverguje k plus nekonečnu).
Analogicky se vymezí limita „minus nekonečno“.
Definice:
Posloupnost {an} má pro n blížící se nekonečnu
nevlastní limitu +  („plus nekonečno“) právě
tehdy, když platí
(K  0)(n0 N)(n) n  n0  an  K
Divergence posloupností - zápisy
Je-li limitou posloupnosti {an} podle předchozí
definice +  , pak posloupnost nazýváme
divergentní a zapisujeme
limn an  
Je-li limitou posloupnosti -  , pak posloupnost
také nazýváme divergentní a zapisujeme
limn an  
Souvislosti vlastností posloupností
Problémy
Nalezněte posloupnosti, které patří do různých
oblastí následujícího digramu:
M
O
K
Věty o posloupnostech
Je-li posloupnost konvergentní, pak je
omezená.
Je-li posloupnost monotónní a omezená,
pak je konvergentní.
Problémy:
• Platí obrácené věty?
• Jak zní obměněné věty?
• Dokážete zformulovat podobné věty o
divergentních posloupnostech?
Výpočty limit posloupností
Důležité věty o vlastních limitách
Nechť lim an = a  R, lim bn = b  R.
Pak
lim ( an + bn ) = a + b ,
lim ( an – bn ) = a – b ,
lim ( an . bn ) = a . b ,
a je-li navíc b  0, pak
lim ( an : bn ) = a : b .
„Algebra nekonečna“
Pro případ nevlastních limit užíváme tyto rovnosti:
++=+
––=–
(+ ) . (+ ) = + 
(– ) . (– ) = + 
(+ ) . (– ) = – 
Pro vlastní limitu a pak užíváme rovnosti:
++a=+
–+a=–
a : (+ ) = 0
a : (– ) = 0
Je-li a > 0, pak (+ ) . a = +  , (– ) . a = –  ,
je-li a < 0, pak (+ ) . a = –  , (– ) . a = +  .
Pozor na „neurčité výrazy“ !!
U výpočtu limit se někdy setkáváme s případy,
které popisují tyto symboly:
–
:
0.
0:0
Tyto symboly nazýváme neurčité výrazy.
Neurčitým výrazům nelze definicí určit přesnou
hodnotu, příslušnou limitu je třeba počítat v
každém konkrétním případě zvlášť.
Co je třeba znát a umět?
•
•
•
•
•
•
Rozumět pojmu posloupnost reálných čísel,
znát důležité vlastnosti posloupností
(speciálně monotonii a omezenost),
pochopit pojem vlastní a nevlastní limity
posloupnosti,
rozumět vztahům mezi těmito pojmy,
znát vlastnosti speciálních posloupností
(aritmetických a geometrických),
umět počítat limity posloupností.
Děkuji za pozornost