Transcript Spojitost a derivace funkce
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Matematika II.
KIG / 1MAT2 Přednáška 05 Spojitost a derivace funkce [email protected]
O čem budeme hovořit:
• • • • •
Spojitost funkce v bodě Spojitost funkce v intervalu Derivace funkce v bodě Derivace funkce v intervalu Souvislost spojitosti a derivace
Spojitost funkce v bodě
Základní představa Je-li funkce f(x) „spojitá v bodě c “, pak její graf v blízkém okolí bodu c „můžeme nakreslit, aniž bychom oddálili tužku od papíru“.
Příklady funkcí, které v některých bodech nejsou spojité:
f
(
x
)
tg x f
(
x
)
x
2 1
x
1
f
(
x
) sgn
x f
(
x
)
Int x
Definice spojitosti funkce v bodě Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v bodě c právě tehdy, když
lim
x
c f
(
x
)
f
(
c
)
Analogicky se definuje spojitost funkce y = f(x) v bodě c zprava a zleva.
Co znamená, že funkce y = f(x) není spojitá v bodě c?
(Není v bodě definována nebo limita neexistuje nebo limita existuje, ale nerovná se funkční hodnotě.)
Spojitost funkce v intervalu
Spojitost v otevřeném intervalu
Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v otevřeném intervalu (a;b) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě
c
(a;b) .
Příklady:
f
(
x
)
x
3 2
f
(
x
) sin
x f
(
x
)
tg x
Spojitost v ostatních druzích intervalů Definice: Funkce y = f(x) je spojitá v polouzavřeném intervalu
a;b ) právě tehdy, když je spojitá v každém bodě c
(a;b)
a je spojitá v bodě a zprava.
Analogicky se definuje spojitost funkce v intervalech ( a;b > a
a;b > .
Příklady:
f
(
x
)
Int x f
(
x
) arcsin
x
Věty o spojitých funkcích
• • • •
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu má minimum i maximum. (Věta neplatí pro jiné intervaly!) Nechť funkce y = f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu
a;b > . Pak nabývá všech hodnot mezi čísly f(a) a f(b) . Nechť funkce y = f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu
a;b > , nechť f(a) . f(b)
0. Pak existuje c
(a;b) takové, že f(c) = 0. Každý polynom třetího stupně má alespoň jeden reálný kořen.
Turista v horách
Problém:
Turista vyšel z vesnice v 6 hodin ráno a na horskou chatu dorazil ve 14 hodin. Druhý den ráno vyšel z horské chaty opět v 6 hodin a po stejné cestě dorazil do vesnice v 11 hodin.
Jak dokázat, že na určitém místě byl v oba dny ve stejném čase?
B A Dráha 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Čas
Čtverec opsaný křivce
Platí tato věta:
Každé jednoduché uzavřené hladké křivce lze opsat čtverec.
Jak větu dokázat?
Derivace funkce v bodě
Okamžitá rychlost volného pádu Těleso padající volným pádem urazí za čas t (sekund) přibližně dráhu s(t) = 5.t 2 (metrů).
Jak se vypočítá průměrná rychlost v daném časovém intervalu?
Jak se vypočítá okamžitá rychlost v určitém čase?
Čas
t
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Dráha
s(t)
0,00 1,25 5,00 11,25 20,00 31,25 45,00 61,25 80,00
Tečna ke grafu funkce v daném bodě Máme nalézt rovnici tečny ve tvaru
y = k . x + q
, která prochází bodem [c ; f(c)].
k
tg
lim
h
f
(
c
h
)
f
(
c
)
h
Klíčové bude nalézt směrnici tečny k. Jak?
Tečna ke grafu funkce.ggb
Definice derivace funkce v bodě Definice: Derivací funkce y = f(x) v bodě c nazýváme limitu
f
(
c
) lim
h
0
f
(
c
h
)
f
(
c
)
h
• • •
Podle charakteru limity říkáme že derivace f ´(c) neexistuje, existuje a je nevlastní (+ či – nekonečno), existuje a je vlastní (je to reálné číslo).
Ekvivalentní definice derivace Derivaci funkce y = f(x) v bodě c můžeme také vyjádřit ve tvaru:
f
(
c
) lim
x
c f
(
x
)
x
c f
(
c
)
Rozmyslete si to podle obrázku!
Derivace funkce v intervalu
Derivace dané funkce je také funkce!
Vypočítáme-li derivaci funkce f(x) v několika bodech, bude se její hodnota obecně měnit.
Derivace je funkce.ggb
Definice: Derivací funkce f(x) budeme nazývat funkci f ´(x), která je definována formulí
f
(
x
) lim
h
0
f
(
x
h
)
f
(
x
)
h
Příklad: okamžitá rychlost při volném pádu
Souvislost spojitosti a derivace
Co plyne z existence vlastní derivace?
Platí tato věta: Věta: Má-li funkce y = f(x) v bodě c vlastní derivaci f ´(c), pak je v tomto bodě spojitá.
Důkaz:
lim
x
c f
(
x
) lim
x
c
f
(
x
)
f
(
c
)
f
(
c
) lim
x
c
f
(
x
)
x
c f
(
c
) (
x
c
)
f
(
c
)
f
(
c
) 0
f
(
c
)
f
(
c
)
Co je třeba znát a umět?
• • • • •
Rozumět definici spojitosti funkce v bodě a intervalu, znát důležité věty o spojitých funkcích a umět je aplikovat, rozumět definici derivace funkce v bodě a intervalu, znát souvislosti derivace funkce s tečnou ke grafu funkce a s okamžitou rychlostí, znát vztah existence vlastní derivace a spojitosti.