Transcript 6.pr.-pasivni odpory

Pasivní odpory
(tření)
Rovnováha těles s ohledem na pasivní odpory
Třecí síla
Při vyšetřování rovnováhy a pohybu tělesa s ohledem na tzv. pasivní odpory se
setkáváme s pojmem „styčná plocha“
- plocha dvou navzájem se dotýkajících těles.
Při dotyku dvou dokonale hladkých „ideálních těles“ působí mezi nimi jen síly
(akce tíhová síla G a reakce N) ve směru normály a to i při pohybu.
N
G
v
N
v
G
Ale ze zkušenosti je známo, že vyrobit
ideálně hladký povrch pevné látky
je nemožné.
I tzv. „zrcadlově“ hladký povrch kovu se
nám při dostatečném zvětšení jeví jako
hrbolatý (viz obr.), tzn. má určitou drsnost.
1500 x zvětšený povrch vyleštěné ložiskové oceli
Skutečné povrchy mají tedy určitou drsnost a také určitou adhezi (přilnavost).
Tyto faktory způsobují vznik:
- statických třecích sil (za klidu)
- a třecích sil (za pohybu) - odporu proti pohybu
Praktické zkušenosti ukázaly, že k uvedení tělesa do pohybu je potřeba větší síly
než k jeho udržení v rovnoměrném pohybu
tření za pohybu je menší než za klidu.
Při uvedení tělesa do pohybu musíme překonat tření za klidu, které je asi o 20—30 %
větší než za pohybu.
Velikost a směr třecí síly za klidu nejsou jednoznačné.
Statická třecí síla může mít v tečné rovině libovolný směr a velikost.
Tato velikost se může pohybovat od nuly až do hodnoty adhezní síly Ta.
Ta – mezní hodnota tečné reakce, kterou může vazba za klidu přenášet Ta = f0 . N
(f0=koeficient statického tření za klidu).
R
N
F
Ta
G
Závislost síly tření (koeficientu
F  Ta  klid
tření f ) na tažné síle (čase).
Ta
Na čem závisí velikost třecí síly?
Tření je složitý jev závisející na mnoha faktorech, ale nejvýznamnějšími jsou:
- přítlačná síla Fpř, která těleso přitlačuje na plochu. Je zcela lhostejné, zda tato
síla vyjadřuje hmotnost tělesa nebo je to nějaká vnější síla. Jestliže se síla přitlačující
těleso k ploše zvětší např. 2x, také třecí síla se 2x zvětší.
- materiál třecích ploch a drsnost povrchu třecích ploch
(vlastnosti obou materiálů – materiálu, ze kterého je pohybující se těleso i materiál,
po kterém se toto těleso pohybuje).
To nám vyjadřuje tzv. součinitel tření f. Jeho hodnota např. mezi kovem a dřevem je
0,5 a mezi ocelí a ledem pouhých 0,027.
U hladkých leštěných povrchů může být f=0,05 nebo i méně.
U běžných povrchů typicky f=0,2, u drsných povrchů např. f=0,7.
Speciálně vyvinuté materiály pak mohou mít koeficient tření f >1.
Kromě toho koeficient tření závisí na řadě dalších faktorů:
- rychlosti pohybu,
- měrném tlaku na dotykových plochách,
- teplotě povrchů atd.
Vliv těchto faktorů nelze jednoduše vyjádřit, není však zdaleka tak významný, jako vliv
drsnosti povrchů.
Pozor velikost plochy nemá na velikost třecí síly žádný vliv !!!
Třecí síly jsou rozdělovány na síly:
-
tření smykového,
tření čepového,
vláknového,
a valivého odporu.
Z jiného hlediska dělíme tření na:
- suché (bez použití maziv)
- a mokré (s použitím maziv).
Kontaktní plochy při tření suchém
Snížení tření mazáním
Mokré (vazké) tření
Praxe nám ukazuje, že suché tření lze značně snížit, použijeme – li maziv.
Použití kapalin jako maziv značně snižuje tření obou třecích ploch. Názorně
si to lze představit tak, že se po sobě již nepohybují obě plochy, ale tenké
vrstvičky kapaliny (maziva) – tzv. mokré tření.
Způsoby mazání můžeme rozdělit do tří skupin:
a)
Mazání pomocí tenkého kapalného filmu. V ideálním případě takového
mazání jsou obě třecí plochy vzájemně odděleny tenkou vrstvičkou vhodné
kapaliny. Mezera mezi oběma plochami bývá velká ve srovnání s jejich
drsností. Koeficient tření je v tomto případě dán vlastnostmi mazací kapaliny,
zejména její viskozitou. Proto hovoříme o tzv. hydrodynamickém mazání.
b)
Mazání pomocí vytvoření povrchové vrstvičky.
Tento způsob mazání spočívá ve vytvoření dvou povrchových vrstviček
na obou třecích plochách tak, aby nedošlo ke vzájemnému kontaktu .
Zmíněné vrstvičky jsou vytvořeny pomocí adsorpce různých maziv
(minerální či rostlinné oleje, tuky, mastné kyseliny, mýdla apod.). Tento
způsob mazání se používá většinou při nižších teplotách a tlacích.
Pro vysoké teploty a tlaky se tyto vrstvičky vytvářejí pomocí různých
aditiv, přidávaných do minerálních olejů (fosfor, chlór a síra). Tak
vzniknou poměrně pevné vrstvičky (soli), které mají vysokou teplotu tání
a brání přímému kontaktu obou kovů mezi sebou.
c)
Mazání pomocí tuhých maziv. Mezi tuhá maziva řadíme grafit, sirník
molybdenu a teflon. Tyto látky aplikujeme ve formě prášku, který přilne
k oběma třecím plochám a chemicky s nimi reaguje. Posláním těchto
maziv je oddělit od sebe obě třecí plochy prostředím s malým koeficientem
tření.
Tohoto způsobu mazání se používá při vysokých teplotách a tlacích a
v agresivním prostředí, kde jsou jiné druhy maziv neefektivní.
Hodnoty koeficientů tření pro některé v praxi používané dvojice materiálů
f
Materiál
f
Materiál
Dřevo – dřevo (suché)
0,40
Kov – kov (olej)
0,05
Dřevo – dřevo (namydlené)
0,20
Velmi dobře vyleštěné plochy
0,03
Kov – dubové dřevo (suché)
0,55
Ocel – achát (suché)
0,20
Kov – dubové dřevo (mokré)
0,25
Ocel – achát (olej)
0,11
Kůže - dub
0,32
Ocel – křemen (suché)
0,50
Kůže – kov (suché)
0,56
Pneumatika –beton (suché)
0,70
Kůže – kov (mokré)
0,36
Pneumatika – beton (mokré)
0,25
Kůže – kov (olej)
0,15
Dřevo - kámen
0,40
Kov – kov (suché)
0,17
Teflon - teflon
0,07
Kov – kov (mokré)
0,30
Nylon - nylon
0,25
Tření hraje v našem běžném životě důležitou roli, např. bez tření bychom nemohli ani chodit
ani se přepravovat dopravními prostředky (kolovými) atd.
Tření má také negativní účinky – způsobuje velké energetické ztráty
snižuje účinnost strojů a zařízení (např. část mechanické energie je třením přeměněna na
energii tepelnou).
Puž

1
P
Smykové tření
Smykové tření je nejběžnějším a nejjednodušším případem pasivního odporu.
Jeho mechanismus spočívá v tom, že drobné (mikroskopické) nerovnosti na tělese
zapadají do drobných nerovností na podložce.
Aby se těleso pohybovalo, musí být na překonání těchto nerovností vyvozena ve
směru pohybu jistá tažná síla, která musí překonat třecí sílu – odpor proti pohybu,
která při pohybu vzniká.
Smykové tření se projevuje tak, že proti směru pohybu působí třecí síla T.
Velikost této třecí síly je :
T = f . Fpř
kde
f je bezrozměrný koeficient tření,
Fpř je přítlačná síla.
Pojem přítlačná síla
vyžaduje podrobnější
vysvětlení.
Přítlačná síla Fpř je složka výslednice
všech sil, působících na těleso, mající
směr kolmý ke směru pohybu (složka
ve směru pohybu tento pohyb urychluje
nebo zpomaluje, tření však
neovlivňuje).
Podle zákona akce a reakce je tato
přítlačná síla rovna normálové reakci
N, působící opačným směrem
N = Fpř
Třecí síla pak je :
T=N.f
Smykové tření za klidu
Jestliže je těleso v klidu, povrchy
stýkajících se těles se vůči sobě
nepohybují (nedochází k prokluzu),
tato vazba je druh valivé vazby, tzn.
přenáší stejné účinky jako valivá
vazba (3. přednáška). Přenáší jak
reakci N ve směru kolmém k
podložce (zvolený směr osy y), tak
reakci R ve směru rovnoběžném s
podložkou (zvolený směr osy x).
Velikost těchto reakcí se vypočítá z
rovnic rovnováhy :
R   Fix
N   Fiy
Jak je zřejmé, velikost obou reakcí (N ani R) nijak nesouvisí s
koeficientem tření za pohybu f.
R je reakce, nemůže být libovolně velká, její maximální velikost
je dána velikostí mezní adhezní síly Ta (závisí na přítlačné síle,
drsnosti povrchu a přilnavosti stýkajících se ploch).
Aby nedošlo k prokluzu, musí být splněna podmínka neproklouznutí
R  f .N
Je-li tato podmínka splněna, k prokluzu nedojde.
Není-li splněna, začne se těleso po podložce pohybovat
(klouzat). Proti směru pohybu pak působí třecí síla :
T=f.N
Tato „dvojakost“ projevu tření se týká všech
případů pasivních odporů, které budou dále
popsány.
Shrňme ještě jednou. Zabýváme-li se třením,
musíme vždy uvažovat dvě situace :
• těleso prokluzuje po podložce (pohybuje se)
• těleso leží na podložce bez prokluzu (je v klidu)
těleso prokluzuje po podložce (pohybuje se)
Proti směru pohybu působí třecí síla, která pohyb brzdí.
T=N.f
Kolmo k podložce působí normálová reakce,
jejíž velikost je dána silovou rovnováhou.
N   Fiy
těleso leží na podložce bez prokluzu (v klidu)
Aby nedošlo k
prokluzu, musí být
splněna podmínka
neproklouznutí :
R  f .N
Rovnoběžně s podložkou působí
reakce, jejíž velikost se vypočte
z rovnice rovnováhy.
R   Fix
Kolmo k podložce působí
normálová reakce, jejíž velikost
je dána silovou rovnováhou.
N   Fiy
Příklad
Těleso o hmotnosti m=1 kg leží na
šikmé podložce,skloněné o úhel
α=22º. Koeficient tření mezi
tělesem a podložkou je f=0,3.
Na těleso dále působí vodorovná
síla F.
Určete velikost této síly F aby :
a) těleso klouzalo konstantní
rychlostí dolů;
b) těleso zůstalo v klidu (bez
pohybu) na podložce;
c) těleso se pohybovalo
konstantní rychlostí vzhůru.
a) Pohybuje-li se těleso rovnoměrně dolů,
působí proti směru pohybu třecí síla :
T= f. N
Velikost normálové reakce je dána rovnicí
rovnováhy ve směru kolmém k podložce (v
tomto směru zvolíme směr osy y) :
F
iy
 0  N  G. cos  F.sin 
Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně
(konstantní rychlostí), musí nastat rovněž
rovnováha sil ve směru podélném (v tomto
směru zvolíme směr osy x) - ve směru
nakloněné roviny :
F
ix
 0  G.sin   F. cos  T
y
Z uvedených rovnic vyplývá brzdná síla :
sin   f . cos
F G
 0,91N
cos  f sin 
x
N = 9,44 N
T = 2,83 N
b) Nebude-li se těleso pohybovat, bude mezi
ním a podložkou působit kromě normálové
reakce N (ve směru osy y) také podélná reakce
R (rovnoběžná s podložkou, s osou x).
Velikost obou reakcí (není přímo závislá na
koeficientu tření !) je dána rovnicemi rovnováhy
F
 0  G.sin   F. cos  R
F
 0  G. cos  F.sin   N
ix
iy
Nemá-li dojít k prokluzu tělesa po podložce,
musí být splněna podmínka neproklouznutí :
neboli :
R  f .N
y
Pokud by však síla F byla příliš velká, nastal by
pohyb směrem vzhůru.
x
c) Pohybuje-li se těleso
rovnoměrně vzhůru působí opět
proti směru pohybu třecí síla :
T=N.f
Rovnice rovnováhy ve směru osy y:
F
 0  G. cos  F.sin   N
iy
Rovnice rovnováhy ve směru
podélném (ve směru nakloněné
roviny a osy x) však má tvar :
F
ix
 0  G.sin   F. cos  T
Tlačná síla F pak je :
y
x
V souvislosti se smykovým třením je třeba definovat ještě jeden pojem. Uvažujme těleso, ležící
na vodorovné podložce (s koeficientem tření f). Na těleso působí šikmá přítlačná síla F,
skloněná od svislé osy (osa y) pod úhlem α, (tíhovou sílu v tomto idealizovaném případě
neuvažujeme).
tg  f
Jednoduchým rozborem dospějeme k závěru, že je-li :
těleso se nebude pohybovat.
To nás vede k tomu, že definujeme tzv. třecí úhel φ :
Pak platí, že je-li
Je-li naopak
 
 
tg  f
těleso se nebude pohybovat.
těleso se dá do pohybu.
  arctg( f )
Tření v klínové drážce
Se smykovým třením se kromě základní
formy, popsané výše, setkáváme v různých
modifikacích. Jednou z těchto modifikací je
klínové těleso, uložené v klínové drážce.
Vrcholový úhel tělesa i drážky
je 2·α.
Těleso je do drážky vtlačováno přítlačnou
silou Fpř, kolmo k dotykovému povrchu
tělesa a drážky působí normálové reakce N
(po jedné z každé strany).
Vlivem tažné síly Ftah se těleso pohybuje ve
směru drážky.
Z rovnice rovnováhy pro svislý směr vyplývá
vztah pro normálovou reakci :
F
iy
 0  2 N . sin   Fpř  N 
Fpř
2 sin 
Proti pohybu působí na dvou dotykových
plochách dvě třecí síly :
T  f .N  f .
Fpř
2 sin 
Má-li se těleso pohybovat rovnoměrně,
musí být tyto dvě třecí síly vyrovnány
tažnou silou:
Ftah  2.T 
f
Fpř
sin 
N
2α Fpř
N
Srovnání tohoto výrazu s řešením smykového
tření v základní podobě nás vede k tomu, že
definujeme tzv. koeficient tření v klínové drážce :
f
f kl 
sin 
Zavedením této substituce (v níž f vyjadřuje
skutečné tření,úhel α pak vliv geometrie)
převádíme tření v klínové drážce
na základní model smykového tření - proti směru
pohybu působí celková třecí síla :
T  f kl .Fpř
Čepové tření
Uvažujeme těleso, uložené čepem v
třecím ložisku (kruhový otvor), otáčející
se jistým směrem.
Těleso je zatíženo přítlačnou silou Fpř,
proti směru pohybu působí třecí síla T.
Dotykový bod čepu v ložisku se rotací
posune mimo nositelku přítlačné síly
(čep se po kruhové podložce „vyšplhá“
poněkud vzhůru).
Vlivem toho jak normálová reakce N, tak
třecí síla T působí šikmo pod úhlem φ.
Rovnice rovnováhy pro směr normály
(směr osy y) a tečny (směr osy x) jsou:
F
ix
 0  T  Fpř sin 
F
iy
 0  N  Fpř cos
Kromě toho samozřejmě : T = f.N
Dosazením rovnic rovnováhy do vztahu
pro třecí sílu dostáváme velmi logický
výsledek
tanφ = f
protože přítlačná síla samozřejmě působí
vůči normále v dotykovém bodě pod
třecím úhlem.
Uvážíme-li dále vztahy mezi
goniometrickými funkcemi
sin  
tg
1  tg 2
cos 
1
1  tg 2
a dosadíme je do rovnic rovnováhy, je třecí síla:
T  Fpř .
f
1 f 2
Proti směru rotace tedy působí
moment čepového tření:
M č  Fpř .
f
1 f
2
.rč
kde rč je poloměr čepu
Poznámka: Při malých hodnotách koeficientu tření
se jmenovatel ve výrazu pro moment čepového tření
blíží jedničce.
Zjednodušíme-li jej na prosté Mč = Fpř·f·rč
dopouštíme se při f = 0,1 chyby 0,5 %. Při f = 0,2 je
chyba již 2 % a při f = 0,5 chyba narůstá na 12 %.
Má-li těleso zůstat v klidu (bez otáčení),
musí být splněna podmínka neproklouznutí = moment všech sil ke
středu rotace musí splňovat nerovnost :
M
i
 Fpř .
f
1 f
2
.rč
Vláknové tření
Tažná síla Fvelká,
působící ve směru
pohybu, však musí být
větší, protože překonává
tření.
Přes pevnou zaoblenou podložku je
přehozeno vlákno, lano, popruh nebo jiný
druh ohebného materiálu.
Na obou stranách je popruh napínán
tažnými silami
Fvelká a Fmalá
Bez odvození (jež spočívá v integraci třecích sil na
elementárních obloucích) uvedeme:
Fvelká  Fmalá .e
f .
kde e je základ přirozených logaritmů = 2,719
f je koeficient tření mezi popruhem (vláknem, lanem)
a podložkou,
α je tzv. úhel opásání, jež se dosazuje v obloukové míře
(radiány).
 rad  

180
. 
Příklad
Přes trám kruhového průřezu je
přehozeno lano, na jehož konci je
zavěšeno břemeno o hmotnosti
m = 0,102 kg (tíha G = m·g = 1 N).
Koeficient tření mezi lanem a trámem
je f = 0,1.
Má-li být břemeno rovnoměrně
(konstantní rychlostí) zvedáno, musí
být lano taženo silou F, jež překonává
jak tíhu břemene, tak tření :
F  G.e f .  G.e f .  1,37N
protože úhel opásání je α = 180º
   3,14rad
Příklad
Má-li být břemeno naopak rovnoměrně spouštěno dolů, musí být silou F přibrzďováno.
Tření, které má vždy brzdný účinek, v tomto případě „spolupracuje“ se silou F.
Bude-li velikost síly v uvedeném rozmezí
F  0,73,....1,37
zůstane břemeno v klidu.
G  F .e f .
G
F  f .  0,73 N
e
Příklad
Pro praktickou úvahu ještě uvádím situaci, kdy je lano otočeno okolo trámu 1,5 x dokola.

Úhel opásání je pak   540  3.  9,43rad
Pohyb vzhůru
Pohyb dolů
G  F .e f .3
F
G
e
f .3
 0,39 N
Bude-li velikost síly v rozmezí
F  0,39N ,...2,57N
F  G.e f .3  2,57N
zůstane břemeno v klidu.
Jak je zřejmé, síla F, potřebná k překonání síly a tření (při
pohybu břemene vzhůru), resp. k ubrzdění tíhy (při pohybu
dolů) je podstatně větší, resp. menší, než když bylo lano
jen přehozeno a ne omotáno.
Valivý odpor
S valivým odporem se setkáme všude tam, kde se povrch (obvod) tělesa valí po podložce.
V důsledku poddajnosti (deformace) materiálů dochází k tomu, že materiál podložky je jistým
způsobem „hrnut“ v jakési vlně před tělesem. Také těleso se zdeformuje (zploští).
Následkem těchto deformací normálová reakce N (je v rovnováze se zatížením přítlačnou silou
Fpř) nepůsobí na stejné nositelce jako přítlačná síla, ale o určitou vzdálenost před ní. Tuto
vzdálenost nazýváme rameno valivého odporu, které značíme  mm; m


Vyvolává tedy brzdný moment, který působí proti směru valení.
M B  N .
u ideálních (nereálných) těles
Má-li být těleso udrženo v rovnoměrném
pohybu, musí být taženo silou Ftah, která na
rameni r vyrovnává brzdný moment
Ftah .r  M B  N.
Velikost této tažné síly tedy pak je
kde
u reálných těles
Ftah  N .

r
r je poloměr kruhového obvodu
Jak je zřejmé, mechanizmus valivého odporu je zcela odlišný od
smykového tření a přes to se často v literatuře uvádí jako „valivé tření“.
Zavedeme-li totiž substituci kde fv = /r a nazveme jej koeficientem
valivého odporu (valivého tření), bude se valivý odpor navenek
projevovat stejně jako smykové tření – abychom těleso udrželi v
pohybu, musíme jej táhnout silou F  f .N
tah
v