Transcript Rytzova konstrukce

Geometrie pro počítačovou grafiku
(Příklad 3)
Geometrie pro počítačovou grafiku
Příklad 3.
Příklad: Elipsa je dána obecnými prvky. Sestrojte hlavní a vedlejší osu elipsy.
1. V libovolných bodech sestrojíme tečny.
Q
A a,B baCc .
b
2. Sestrojíme průměr r.
r  RR´, kde R´ je střed úsečky AB
B
c
R
Q’
3. Stejně sestrojíme průměr q.
q  QQ´, kde RQ´ je střed úsečky BC
R’
C
a
S
4. Průsečík průměrů r, q je střed elipsy.
r... S
A
k
S  (r, q)
q... S
Geometrie pro počítačovou grafiku
Vlastnosti kuželoseček (3)
4. Omezíme průměr r. Pro průsečíky X, Y průměru r s elipsou platí:
SR´ . SR = SX 2 = SY 2.
Na obrázku je konstrukce provedena pomocí Thaletovy kružnice.
b
5. Sestrojíme sdružený průměr u k průměru r.
T
S  u // AB
M
Pro průsečíky U, V průměru u s elipsou platí:
ST´ . ST = SU 2 = SV 2,
kde T je průsečík tečny b a průměru u
B
N
R
T’
T  ( b * u) .
Na obrázku je opět konstrukce provedena
U
X
R’
a
S
pomocí Thaletovy kružnice.
Y
A
k
V
u
r
Geometrie pro počítačovou grafiku
Vlastnosti kuželoseček (3)
Rytzova konstrukce.
6. Průměr SY otočíme o 90° kolem středu S
Y → Y´
7. Sestrojíme střed S úsečky Y´U
Y → Y´
II
kO
8. Sestrojíme kružnici kO o středu S procházející
O
U
kO  ( S, r = OS )
bodem S
Body I a II jsou průsečíky kružnice kO s průměrem, K
X
který prochází body UY´
Y’
M
I
9. Hlavní osa elipsy prochází bodem I
S
(uvnitř ostrého úhlu průměrů XY, UV ).
Y
L
Vedlejší osa elipsy prochází bodem II (uvnitř tupého úhlu
průměrů XY, UV )
10. Omezení os: hlavní osa elipsy SK = SL = IY´
vedlejší osa elipsy SN = SM = Y´II
Výsledná elipsa k
N
V
k
Geometrie pro počítačovou grafiku
Vlastnosti kuželoseček (3)
Konec