Transcript Document

‫אי וודאות – המשך‬
‫תורת היצרן – טכנולוגיה ופונק' ייצור‬
‫‪1‬‬
‫בעיית הביטוח – פתרון אלגברי ב "מישור העושר"‬
‫בעיית המקסימיזציה שהפרט פותר הינה‪:‬‬
‫)‪Max p1u(10-K+K)+p2u(40-K‬‬
‫‪K‬‬
‫תנאי הסדר הראשון מתקבל מגזירה לפי ‪ K‬והשוואה‬
‫לאפס‪( .‬נסמן ב – ‪ X1‬תצ' במצב טבע ‪ 1‬וכן הלאה‪.‬‬
‫‪(1-)p1u'(X1)- p2u'(X2)=0‬‬
‫)‪u ' ( X1‬‬
‫) ‪ ( p2‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪u' ( X 2‬‬
‫‪(1   ) p1‬‬
‫‪or‬‬
‫) ‪p1u ' ( X 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪p2 u ' ( X 2‬‬
‫) ‪(1  ‬‬
‫מכיוון ש – ‪ p2=1-p1‬אנו שוב רואים כי ‪ =p1‬גורר‬
‫ש ‪.X1=X2 -‬‬
‫אם ‪ <p1‬אזי עקומת האדישות יותר תלולה מקו‬
‫התקציב בנקודת החיתוך עם קו ה ‪ ,450‬ושוב קונים‬
‫ביטוח מלא‪.‬‬
‫אם ‪ >p1‬אזי עקומת האדישות יותר שטוחה מקו‬
‫התקציב בנקודת החיתוך עם קו ה ‪ ,450‬במקרה זה‬
‫קונים כיסוי חלקי‪ .‬אם ‪ ‬גדול מספיק כלל לא נקנה‬
‫ביטוח‪( .‬זה יקרה כאשר ה ‪ MRS‬בנק' ה – ‪ C‬קטן מ‬
‫‪‬‬
‫) ‪(1  ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הבחירה האופטימאלית במקרה של‬
‫פרמייה "יותר מ – הוגנת"‬
‫‪good‬‬
‫‪K=C2-C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫)‪-/(1-‬‬
‫‪bad‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪3‬‬
‫הבחירה האופטימאלית במקרה של‬
‫פרמייה שאינה הוגנת‬
‫‪good‬‬
‫‪C2‬‬
‫)‪-/(1-‬‬
‫‪450‬‬
‫‪bad‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪4‬‬
‫דוגמה מספרית‬
‫מצב המוצא הינו‪:‬‬
‫)‪(10,000 , 40,000 ; 0.01,0.99‬‬
‫פונקציית התועלת ‪ VNM‬של הפרט הינה )‪.Ln(X‬‬
‫נקודת המוצא במישור התצרוכות המותנות הנה‬
‫)‪(10,000,40,000‬‬
‫התועלת של הפרט מכל צרוף תצרוכות מותנה הנה‬
‫)‪0.01*Ln(X1)+0.99*Ln(X2‬‬
‫שיפוע עקומת האדישות שלו בכל נקודה‬
‫‪0.01 X 2‬‬
‫(ה – ‪ )MRS‬ניתן על ידי‪:‬‬
‫‪0.99 X 1‬‬
‫‪.‬‬
‫קו התקציב של הפרט ניתן על ידי‪:‬‬
‫) ‪( X 1  10,000‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪( X 2  40,000 )  ‬‬
‫‪or‬‬
‫‪10,000  40,000‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪X1  X 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪5‬‬
‫דוגמה מספרית ‪1 -‬‬
‫לכן פתרון בעיית הפרט ניתן על ידי פתרון שתי‬
‫משוואות אלו‪:‬‬
‫תנאי ההשקה‬
‫‪0.01 X 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.99 X 1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ומגבלת התקציב‬
‫‪10,000  40,000‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪X1  X 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫שגורר‪:‬‬
‫) ‪10000‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪10000‬‬
‫‪ 100  400‬‬
‫‪X 2  0.99( 40000 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪40000 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪X 1  0.01‬‬
‫‪1 ‬‬
‫נוסחאות אלו תקפות כל עוד )‪ (X1,X2‬בקטע בין‬
‫)‪ (10,000,40,000‬והמפגש עם קו ה – ‪.450‬‬
‫‪6‬‬
‫דוגמה מספרית ‪2 -‬‬
‫הצבת ‪ =0.01‬גוררת תצרוכת בכל מצב שווה ל‬
‫‪ 39,700‬מכאן מתקבל ‪.K=30,000‬‬
‫כלומר הפרט רכש ביטוח מלא‪.‬‬
‫תועלתו ניתנת על ידי ‪Ln(39700)=10.5891‬‬
‫אם ‪ =0.02‬ביטוח שאינו הוגן‪ ,‬מתקבל כי‬
‫‪X1=19700 X2=39802.04082‬‬
‫מכאן ‪K=50(40000-39802.0408)=9897.959‬‬
‫ותועלתו ניתנת על ידי ‪.10.5846‬‬
‫אם מתקיים‬
‫‪/(1-)=(0.01/0.99)*40000/10000‬‬
‫אזי הפרט לא יקנה ביטוח‪.‬‬
‫זה קורה עבור ‪=0.0388‬‬
‫עבור כל ‪ ‬גדול יותר הוא ודאי לא יקנה ביטוח‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫השקעה בנכס לא וודאי‬
‫לפרט יש רכוש ‪ W‬והוא יכול להשקיע כמות ‪X‬‬
‫בנכס מסוכן‪.‬‬
‫הנכס נותן תשואה ‪ r1‬במצב הרע (הסתברות ‪)p1‬‬
‫ותשואה ‪ r2‬במצב הטוב (הסתברות ‪.)p2‬‬
‫‪r1<0<r2‬‬
‫לכן אם הפרט ישקיע ‪ X‬בנכס רכושו במצב טבע ‪1‬‬
‫יהיה‪:‬‬
‫‪W-X+X(1+r1)=W+r1X‬‬
‫רכושו במצב טבע ‪ 2‬יהיה‪:‬‬
‫‪W+r2X‬‬
‫תוחלת התועלת של הפרט במידה ובחר להשקיע ‪X‬‬
‫ניתנת לכן על ידי‪:‬‬
‫)‪P1u(W+r1X)+p2u(W+r2X‬‬
‫הפרט יבחר ‪ X‬שימקסם ביטוי זה ותנאי הסדר‬
‫הראשון יהיה‪:‬‬
‫‪P1r1u'(W+r1X)+p2r2u'(W+r2X)=0‬‬
‫‪8‬‬
‫השקעה בנכס לא וודאי ‪1 -‬‬
‫האם ניתן לקבוע בוודאות מתי הפרט ישקיע בנכס?‬
‫התשובה לכך תלויה בנגזרת של פונקציית המטרה‬
‫בנקודה ‪.X=0‬‬
‫אם היא חיובית ממש הפרט ישקיע כמות חיובית‬
‫בנכס‪.‬‬
‫אם היא אי חיובית הוא יבחר לא להשקיע בנכס‪.‬‬
‫מהי נגזרת זו? הנגזרת היא‪:‬‬
‫)‪P1r1u'(W)+p2r2u'(W)=u'(w)(p1r1+p2r2‬‬
‫כלומר היא חיובית אמ"מ לנכס יש תשואה חיובית‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הפרט ישקיע כמות חיובית בנכס עם תשואה‬
‫חיובית‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן‬
‫נתון נכס שבהסתברות ‪ 0.9‬יהיה שווה ‪,500‬‬
‫ובהסתברות ‪ 0.1‬יהיה שווה ‪.0‬‬
‫כלומר נתונה ההגרלה )‪(0,500;0.1,0.9‬‬
‫קיים נכס הנותן תשואה בטוחה של ‪.4%‬‬
‫לפרט יש רכוש ‪ W‬ופונקציית תועלת ‪.U ,VNM‬‬
‫מהו המחיר המקסימאלי ‪ q‬שהפרט יהיה מוכן לשלם‬
‫תמורת הנכס המסוכן? (שימו לב ההחלטה כאן היא‬
‫בדידה‪ ,‬כן או לא‪ ,‬אין אפשרות לקנות חלק מהנכס)‬
‫מחיר מקסימאלי זה יקיים‪:‬‬
‫= )‪U(1.04W‬‬
‫))‪0.9U(1.04(W-q)+500) +0.1U(1.04(W-q‬‬
‫שימו לב שאם הנכס היה שווה ‪ 500‬בוודאות‪ ,‬מחירו‬
‫המקסימאלי היה ‪.500/1.04‬‬
‫שימו לב שאם הפרט אדיש לסיכון יתקיים‪:‬‬
‫‪1.04W=1.04W+0.9*500-1.04q‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪ 500/q=1.04/0.9=1.155‬או ‪q=432.71‬‬
‫‪10‬‬
‫מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן ‪1 -‬‬
‫פרט שונא סיכון ירצה תשואה גדולה יותר מזו של‬
‫פרט אדיש לסיכון‪.‬‬
‫הגודל המדוייק תלוי בהעדפותיו‪.‬‬
‫נניח שהעדפותיו ניתנות על ידי פונקציית התועלת‬
‫‪.W0.5 , VNM‬‬
‫נפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫= )‪(1.04W‬‬
‫‪0.9(1.04(W-q)+500)0.5+0.1(1.04(W-q))0.5‬‬
‫כאשר ‪ W=1,000‬נקבל‪:‬‬
‫‪q=426.1595 r=500/q=1.173‬‬
‫כאשר ‪ W=1,200‬נקבל‪:‬‬
‫‪q=427.4835‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪ W‬נקבל‪:‬‬
‫כאשר ‪ W=1,000‬וההעדפות הן‬
‫‪q=422.53‬‬
‫כאשר ‪ W=1,000‬וההעדפות הן ‪ Ln‬נקבל‪:‬‬
‫‪q=418.65‬‬
‫ההסבר לתוצאות אלו נובע משינויים בשנאת הסיכון‪.‬‬
‫כאשר הרכוש עולה שנאת הסיכון יורדת‪.‬‬
‫כאשר פונקציית התועלת נעשית יותר קעורה‪ ,‬שנאת‬
‫הסיכון עולה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫תורת היצרן‬
‫• תורת היצרן‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫–‬
‫טכנולוגיות‪ ,‬פונקציות ייצור‬
‫מינימום הוצאות‪ ,‬פונקציית ההוצאות‪ ,‬פונקציות הביקוש‬
‫המותנות‬
‫התנהגות תחרותית‪ ,‬מקסום רווחים‪ ,‬פונקציות ביקוש (לגורמי‬
‫ייצור) והיצע (של תפוקות)‬
‫ביקושים והיצעים ענפיים‬
‫• שיווי משקל ענפי‬
‫– טווח קצר‪ ,‬טווח ארוך‬
‫עברנו יותר מחצי סמסטר והחלק הקשה עוד לפנינו סתם ‪...‬‬
‫‪12‬‬
‫• היום נכסה‬
‫– טכנולוגיה‬
‫– פונקציית ייצור‬
‫– מקסום תפוקה‬
‫‪13‬‬
‫טכנולוגיה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כיצד נתאר את הטכנולוגיה‬
‫באופן כללי ביותר הטכנולוגיה היא האמצעי להפוך‬
‫תשומות (גורמי ייצור) לתפוקות (מוצרים)‪.‬‬
‫בדרך כלל נניח שיש ‪ m‬גורמי ייצור מסומנים ב –‬
‫‪ z1,z2,…zm‬ותפוקה אחת המסומנת ב – ‪.q‬‬
‫פונקציית הייצור מתארת‪ ,‬עבור כל צירוף גורמי‬
‫ייצור את הכמות המקסימאלית של תפוקה אותה‬
‫ניתן להשיג באמצעות צירוף זה‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫דוגמאות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪F(z1,z2)=z10.5z20.3‬‬
‫‪F(z1,z2)=2z1+3z2‬‬
‫)‪F(z1,z2)=min(z1/3,z2/2‬‬
‫‪F(z1,z2)=z12+z22‬‬
‫התפוקה השולית של גורם ייצור ‪ i‬ניתנת על ידי‬
‫הנגזרת החלקית של פונקציית הייצור לפי ‪i‬‬
‫ומסומנת ב – ‪.Mpi‬‬
‫לעיתים במקרה של שני גורמי ייצור נשתמש ב ‪K‬‬
‫(הון) ו – ‪( L‬עבודה)‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫תוכניות ייצור אפשריות‬
‫הקשר הבסיסי בין תשומות ותפוקה‬
‫פונקציית הייצור‬
‫•תפוקה אחת ומספר תשומות‬
‫) ‪q ≤F (z1, z2, ....,zm‬‬
‫ניתן לכתיבה בצורה יותר קומפקטית כ ‪-‬‬
‫•אנו כותבים ≤ ולא =‪ ,‬ניתן "להשליך"‬
‫תשומות‪.‬‬
‫•מהי המשמעות של ‪?F‬‬
‫נבדיל בין ‪ 2‬מקרים‬
‫וקטור התשומות‬
‫)‪q F (z‬‬
‫‪ F‬מתארת את כמות התפוקה‬
‫המקסימאלית שניתן לייצר עבור כל‬
‫צירוף של גורמי ייצור‪.‬‬
‫יעילות טכנולוגית‬
‫•המקרה של ייצור יעיל‬
‫מבחינה טכנולוגית‬
‫•המקרה של ייצור בלתי‬
‫יעיל מבחינה טכנולוגית‬
‫‪ ‬מקרה ‪:1‬‬
‫)‪q F (z‬‬
‫‪‬מקרה ‪:2‬‬
‫)‪q < F (z‬‬
‫הצירוף )‪ (q,z‬אינו יעיל אם ניתן להשליך חלק מהתשומות ולייצר‬
‫אותה רמת תפוקה‪.‬‬
‫הפונקצייה ‪F‬‬
‫‪‬פונקציית הייצור‬
‫‪I‬נקודות פנימיות אפשריות אך אינן‬
‫יעילות‬
‫‪ ‬נקודות שפה הינן אפשריות ויעילות‬
‫‪ ‬נקודות בלתי אפשריות‬
‫‪z2‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪q >F (z‬‬
‫)‪q <F (z‬‬
‫)‪q =F (z‬‬
‫‪0‬‬
‫אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה‬
‫‪ ‬בחרו רמת תפוקה ‪q‬‬
‫‪ ‬זכרו כי חייב להתקיים‬
‫)‪q≤F(z‬‬
‫‪ ‬מצאו וקטור תשומות ‪ z‬שמסוגל לייצר אותה‬
‫‪ ‬חזרו על פעולה זו וחשבו את כל הוקטורים האלו‬
‫‪ ‬כך מתקבל אוסף התשומות הנדרש‬
‫}‪Z(q) := {z:F (z)  q‬‬
‫‪ ‬הצורה של ‪ Z‬תלוייה בהנחות לגבי‬
‫הטכנולוגיה‬
‫ראשית המקרה‬
‫ה"טיפוסי"‬
‫‪‬נבחן ארבעה מקרים‬
‫אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה‬
‫‪ ‬אפשרי ולא יעיל‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬אפשרי ויעיל‬
‫‪ ‬לא אפשרי‬
‫)‪Z(q‬‬
‫)‪q < F (z‬‬
‫)‪q = F (z‬‬
‫)‪q > F (z‬‬
‫‪z1‬‬
‫מקרה ‪ Z :1‬מתנהגת ממש יפה (קמורה ממש וחלקה)‬
‫‪ ‬בחרו שתי נקודות על השפה‬
‫‪ ‬שרטטו את הקו המחבר אותן‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬הקו נמצא בתוך ‪.Z‬‬
‫)‪Z(q‬‬
‫‪z‬‬
‫)‪q<F (z‬‬
‫‪‬שילוב של שתי תכניות ייצור‬
‫עשוי לייצר תפוקה גבוהה‬
‫יותר‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫)‪q =F (z‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪q =F (z‬‬
‫מקרה ‪ Z :2‬מתנהגת יפה "אבל לא ממש"‬
‫‪ ‬בחרו שתי נקודות על השפה‬
‫‪ ‬שרטטו את הקו המחבר אותן‬
‫‪z2‬‬
‫‪‬הקו נמצא אף הוא על השפה‬
‫)‪Z(q‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬צירוף של שתי תכניות ייצור‬
‫אפשריות‪ ,‬אפשרי אף הוא‪.‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מקרה ‪ Z :3‬חלקה אך אינה קמורה‬
‫‪ ‬חברו שתי נקודות מצידיו של‬
‫ה"שקע"‬
‫‪ ‬קחו נקודה ביניהן‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬הדגישו את האזור בו‬
‫מתרחשת תופעה זו‬
‫)‪Z(q‬‬
‫‪ ‬באיזור זה אין "חלוקתיות"‬
‫נקודה זו אינה‬
‫אפשרית‬
‫‪‬‬
‫‪z1‬‬
‫מקרה ‪ Z :4‬קמורה ולא חלקה‬
‫‪z2‬‬
‫)‪q = F (z‬‬
‫‪ ‬השיפוע בנקודה זו אינו‬
‫מוגדר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪z1‬‬
‫חזרה‪ :‬ארבעת התרחישים‬
‫המקרה ה "כמעט‬
‫טיפוסי"‬
‫‪z2‬‬
‫המקרה הטיפוסי‬
‫‪z1‬‬
‫המקרה הלא חלק‬
‫‪z1‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪z2‬‬
‫המקרה הבעייתי‬
‫‪z2‬‬
‫‪z1‬‬
‫עקומות שוות תפוקה‬
‫‪ ‬בהינתן רמה של ‪q‬‬
‫‪ ‬חשבו את )‪Z(q‬‬
‫‪ ‬העקומה שוות תפוקה המתאימה ל ‪ q‬הינה‬
‫השפה של ‪{ z :F (z) = q }.Z‬‬
‫)‪F(z‬‬
‫—— =‪Fi(z) :‬‬
‫‪zi .‬‬
‫ממי צורתה של‬
‫העקומה ש"ת?‬
‫‪ ‬השיפוע של העקומה שוות התפוקה הינו שיעור‬
‫התחלופה הטכנולוגי בייצור ‪ TRS21‬וניתן על ידי‬
‫)‪Fj (z‬‬
‫——‬
‫)‪Fi (z‬‬
‫‪ ‬נותן את הקצב שבו צריך להגדיל את גורם‬
‫ייצור ‪ 2‬כשמקטינים את כמותו של גורם ייצור‬
‫‪ ,1‬על מנת לשמור על רמת תפוקה קבועה‪.‬‬
‫עקומה שוות תפוקה‪ TRS ,‬ויחס גורמי ייצור‬
‫‪ ‬הקבוצה )‪z(q‬‬
‫‪ ‬קו שווה רמה של ‪( F‬עקומה ש"ת)‬
‫‪ ‬נקודה על העקומה‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬יחס גורמי הייצור בנקודה‬
‫‪ ‬ה ‪ TRS‬בנקודה‬
‫‪ ‬הגדילו את ה ‪TRS‬‬
‫‪z2 / z1= constant‬‬
‫)‪MRTS21=F1(z)/F2(z‬‬
‫‪ z′‬‬
‫‪ z°‬‬
‫}‪{z:F (z)=q‬‬
‫‪ ‬ה ‪ TRS‬הולך וגדל מימין‬
‫לשמאל‬
‫‪z1‬‬
‫‪z1°‬‬
‫‪z2°‬‬
‫טכנולוגיה הומוטתית‬
‫‪ ‬העקומות שוות התפוקה‬
‫‪ ‬שרטטו קרן דרך הראשית‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬ה ‪ TRS‬קבוע לאורך כל קרן‬
‫‪z1‬‬
‫‪O‬‬
‫עקומות שוות תפוקה של פונקציה הומוגנית‬
‫‪ ‬עקומות שוות תפוקה‬
‫‪z2‬‬
‫‪ ‬התשומות ב ‪z0‬‬
‫‪ ‬עקומה שוות תפוקה עבור‬
‫תשומות מוכפלות ב ‪t‬‬
‫‪ tz°‬‬
‫‪ F‬הינה הומוגנית מדרגה ‪r‬‬
‫אם לכל ‪ t>0‬ולכל ‪ z‬מתקיים‬
‫)‪F (tz) = t r F (z‬‬
‫‪tz2°‬‬
‫‪ z°‬‬
‫‪z2°‬‬
‫‪trq‬‬
‫‪q‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪tz1°‬‬
‫‪z1°‬‬
‫‪O‬‬
‫תשואה לגודל‬
‫‪Returns to Scale‬‬
‫תשואה לגודל נקבעת לפי השינוי בתפוקה‬
‫כשמשנים את כל גורמי הייצור באותו יחס‪.‬‬
‫תשואה קבועה לגודל‬
‫) ‪ < 0 : f (z1,..., zn )  f ( z1,..., zn‬‬
‫תשואה עולה לגודל‬
‫) ‪ < 1 : f (z1,..., zn )  f ( z1,..., zn‬‬
‫תשואה יורדת לגודל‬
‫) ‪ < 1 : f (z1,..., zn ) < f ( z1,..., zn‬‬
‫מקרה ‪ : 1‬תשואה עולה לגודל‬
‫‪q‬‬
‫‪‬פונקציית ייצור תע"ל‬
‫‪‬בחר נקודת ייצור כלשהי‬
‫‪ ‬קו הגידול בתוצר‬
‫‪‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪ t>1‬גורר ש‬
‫)‪F(tz) > tF(z‬‬
‫‪‬הכפלת התשומות‬
‫מגדילה את התוצר פי‬
‫‪.α>2‬‬
‫‪0‬‬
‫מקרה ‪ : 2‬תשואה יורדת לגודל‬
‫‪q‬‬
‫‪ ‬פונקציית ייצור תי"ל‬
‫‪‬בחר נקודת ייצור כלשהי‬
‫‪ ‬קו הגידול בתוצר‬
‫‪‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪ t>1‬גורר ש‬
‫)‪F(tz) < tF(z‬‬
‫‪‬הכפלת התשומות‬
‫גדילה את התוצר פי‬
‫‪.α<2‬‬
‫‪0‬‬
‫מקרה ‪ :3‬תשואה קבועה לגודל‬
‫‪q‬‬
‫‪ ‬פונקציית ייצור תק"ל‬
‫‪ ‬בחר נקודת ייצור כלשהיא‬
‫‪ ‬התוצר גדל לאורך קרן‬
‫‪‬‬
‫‪z2‬‬
‫)‪ F(tz) = tF(z‬‬
‫‪‬הכפלת התשומות‬
‫בדיוק מכפילה את‬
‫התוצר‬
‫‪0‬‬
‫פונקצייה תק"ל ‪ -‬תכונות‬
‫נזכור כי פונקציה היא הומוגנית מדרגה ‪r‬‬
‫אם ) ‪f (X 1 ,..., X n )  r f ( X 1 ,..., X n‬‬
‫פונקצית ייצור תק"ל היא לכן פונקציה הומוגנית‬
‫מדרגה ‪ 1‬או הומוגנית ליניארית (‪. )r=1‬‬
‫בפונקציה תק"ל של שני גורמי ייצור התפוקה‬
‫‪K‬‬
‫‪.‬‬
‫השולית של גורם ייצור תלויה רק ביחס‬
‫‪L‬‬
‫לכן ה ‪ TRS -‬קבוע לאורך קרן היוצאת מראשית‬
‫הצירים‪.‬‬
‫‪34‬‬
"‫הוכחה ל "בית‬
‫הוכחת הטענה עבור תפוקות שוליות‬
f ( K , L)  f (
K L
, ) ‫לפי הגדרת תק"ל‬
 
, f ( K , L)  Lf (
K L
K
, )  Lg ( ) :‫לכן‬
L L
L
K/L ‫ היא פונקציה של היחס‬g( ) ‫כאשר‬
:K ‫נגזור לפי‬
f
K 1
K
 f K  Lg ( )  g ( )
K
L L
L
f
K
K K
 f L  g    Lg   2 
L
L
 LL
K
K K
g    g  
L
LL
35
L ‫נגזור לפי‬
‫פונקציות הומוגניות – תכונות והשלכות‬
‫כלכליות‬
‫טענה‬
‫הנגזרות החלקיות של פונקציה הומוגנית מדרגה ‪r‬‬
‫הנן הומוגניות מדרגה ‪.r-1‬‬
‫משפט אוילר‪:‬‬
‫אם הפונקציה ‪ f‬הומוגנית מדרגה ‪ r‬אזי‪:‬‬
‫) ‪ zi f i  rf ( z1 ,..., z n‬‬
‫הוכחה‪ :‬בפונקציה הומוגנית מדרגה ‪ r‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪f (z1,..., zm )  r f ( z1,..., zm‬‬
‫נגזור את‬
‫שני האגפים לפי ‪ ‬ונעריך א הנגזרת בנקודה ‪.1=‬‬
‫השלכות כלכליות‬
‫כאשר פונקצית היצור היא תק"ל ‪ ,‬אם נשלם לכל‬
‫גורם ייצור את התפוקה השולית שלו כשכר (עבודה)‬
‫או רנטה (הון)‪ ,‬התפוקה תספיק בדיוק לכיסוי‬
‫התשלום‪.‬‬
‫הערה התפוקה לא תספיק לתשלום כזה במקרה של‬
‫תע"ל (למשל ‪ )Y=KL‬ותשאיר עודף במקרה של תי"ל‬
‫(למשל ‪L0.25‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪.) Q  K‬‬
‫‪36‬‬
‫תרגיל נוסף‬
‫עבור פונקציית תק"ל‪ ,‬התפוקה הממוצעת של ‪K‬‬
‫עולה אם ורק אם התפוקה השולית של ‪L‬‬
‫שלילית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫אם התפוקה הממוצעת עולה ב ‪ K‬אזי‬
‫)‪ ( f / K‬‬
‫‪0‬‬
‫‪K‬‬
‫נגזרת זו הינה‪:‬‬
‫) ‪ ( F / K ) FK K  F KFK  ( Kf K  Lf L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪K‬‬
‫‪K2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Lf L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן אם נגזרת זו חיובית חייב להתקיים כי‬
‫‪. fL < 0‬‬
‫‪37‬‬
‫גורם ייצור משתנה יחיד – ‪TP AP MP‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נניח שיש גורם ייצור משתנה יחיד (‪)L‬‬
‫התפוקה הכוללת מסומנת ב – ‪ TP‬וניתנת על ידי‬
‫‪.F‬‬
‫התפוקה השולית מסומנת ב – ‪ MP‬וניתנת על ידי‬
‫הנגזרת החלקית של ‪ F‬לפי גורם ייצור זה (‪.)FL‬‬
‫התפוקה הממוצעת מסומנת ב – ‪ AP‬וניתנת על‬
‫ידי ‪.F/L‬‬
‫כיצד נייצג גדלים אלו גראפית ומה היחסים‬
‫ביניהם?‬
‫‪38‬‬
)L( ‫ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד‬
Marginal
Product
Average
Product
Total
Amount
Output (Q) of Capital (K)
Amount
of Labor (L)
---
---
0
10
0
10
10
10
10
1
20
15
30
10
2
30
20
60
10
3
20
20
80
10
4
15
19
95
10
5
13
18
108
10
6
4
16
112
10
7
0
14
112
10
8
-4
12
108
10
9
-8
10
100
10
10
‫ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד (‪)L‬‬
‫כשנוספים עובדים‬
‫התפוקה )‪ (TP‬גדלה‪ ,‬מגיעה למקסימום ומתחילה לרדת‪.‬‬
‫התפוקה הממוצעת )‪ (AP=Q/L‬בתחילה גדלה ולאחר מכן יורדת‪.‬‬
‫התפוקה השולית )‪ (MP=FL‬עולה בתחילה ולאחר מכן יורדת ואף‬
‫נעשית שלילית‪.‬‬
)L( ‫ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד‬
‫תפוקה‬
D
112
Total Product
C
60
A: slope of tangent = MP (20)
B: slope of OB = AP (20)
C: slope of OC= MP & AP
B
A
0 1
2 3
4
5 6
7 8
9
10 ‫עבודה‬
‫ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד (‪)L‬‬
‫תפוקה‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫משמאל ל ‪ MP>AP E -‬ו ‪ AP‬עולה‪.‬‬
‫מימין ל – ‪ MP<AP E‬ו ‪ AP‬יורד‪.‬‬
‫ב ‪ MP=AP E‬ו ‪ AP‬מגיע לשיאו‪.‬‬
‫כאשר ‪ TP ,MP=0‬מגיע לשיאו‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪Marginal Product‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Average Product‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫עבודה ‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7 8‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪0 1‬‬
‫בעיית מקסימום תפוקה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫המגבלות – תקציב לשכירת תשומות‬
‫המטרות – מקסימום תפוקה‬
‫דרך הפעולה – שכירת צירוף תשומות (גורמי ייצור) הממקסם את‬
‫התפוקה בהינתן מחיריהם‪ ,‬התקציב ופונקציית הייצור‪.‬‬
‫נתונים‬
‫– תקציב ומחירי גורמי הייצור‬
‫– טכנולוגיה (בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור)‬
‫• תוצאות‬
‫– צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ותפוקה מקסימאלית‬
‫• למעשה שקול לבעיית צרכן‪.‬‬
‫‪43‬‬