Transcript Document
אי וודאות – המשך
תורת היצרן – טכנולוגיה ופונק' ייצור
1
בעיית הביטוח – פתרון אלגברי ב "מישור העושר"
בעיית המקסימיזציה שהפרט פותר הינה:
)Max p1u(10-K+K)+p2u(40-K
K
תנאי הסדר הראשון מתקבל מגזירה לפי Kוהשוואה
לאפס( .נסמן ב – X1תצ' במצב טבע 1וכן הלאה.
(1-)p1u'(X1)- p2u'(X2)=0
)u ' ( X1
) ( p2
) u' ( X 2
(1 ) p1
or
) p1u ' ( X 1
) p2 u ' ( X 2
) (1
מכיוון ש – p2=1-p1אנו שוב רואים כי =p1גורר
ש .X1=X2 -
אם <p1אזי עקומת האדישות יותר תלולה מקו
התקציב בנקודת החיתוך עם קו ה ,450ושוב קונים
ביטוח מלא.
אם >p1אזי עקומת האדישות יותר שטוחה מקו
התקציב בנקודת החיתוך עם קו ה ,450במקרה זה
קונים כיסוי חלקי .אם גדול מספיק כלל לא נקנה
ביטוח( .זה יקרה כאשר ה MRSבנק' ה – Cקטן מ
) (1
.
2
הבחירה האופטימאלית במקרה של
פרמייה "יותר מ – הוגנת"
good
K=C2-C1
C2
)-/(1-
bad
C1
3
הבחירה האופטימאלית במקרה של
פרמייה שאינה הוגנת
good
C2
)-/(1-
450
bad
C1
4
דוגמה מספרית
מצב המוצא הינו:
)(10,000 , 40,000 ; 0.01,0.99
פונקציית התועלת VNMשל הפרט הינה ).Ln(X
נקודת המוצא במישור התצרוכות המותנות הנה
)(10,000,40,000
התועלת של הפרט מכל צרוף תצרוכות מותנה הנה
)0.01*Ln(X1)+0.99*Ln(X2
שיפוע עקומת האדישות שלו בכל נקודה
0.01 X 2
(ה – )MRSניתן על ידי:
0.99 X 1
.
קו התקציב של הפרט ניתן על ידי:
) ( X 1 10,000
1
( X 2 40,000 )
or
10,000 40,000
1
X1 X 2
1
5
דוגמה מספרית 1 -
לכן פתרון בעיית הפרט ניתן על ידי פתרון שתי
משוואות אלו:
תנאי ההשקה
0.01 X 2
0.99 X 1
1
ומגבלת התקציב
10,000 40,000
1
X1 X 2
1
שגורר:
) 10000
1
1
10000
100 400
X 2 0.99( 40000
1
40000
X 1 0.01
1
נוסחאות אלו תקפות כל עוד ) (X1,X2בקטע בין
) (10,000,40,000והמפגש עם קו ה – .450
6
דוגמה מספרית 2 -
הצבת =0.01גוררת תצרוכת בכל מצב שווה ל
39,700מכאן מתקבל .K=30,000
כלומר הפרט רכש ביטוח מלא.
תועלתו ניתנת על ידי Ln(39700)=10.5891
אם =0.02ביטוח שאינו הוגן ,מתקבל כי
X1=19700 X2=39802.04082
מכאן K=50(40000-39802.0408)=9897.959
ותועלתו ניתנת על ידי .10.5846
אם מתקיים
/(1-)=(0.01/0.99)*40000/10000
אזי הפרט לא יקנה ביטוח.
זה קורה עבור =0.0388
עבור כל גדול יותר הוא ודאי לא יקנה ביטוח.
7
השקעה בנכס לא וודאי
לפרט יש רכוש Wוהוא יכול להשקיע כמות X
בנכס מסוכן.
הנכס נותן תשואה r1במצב הרע (הסתברות )p1
ותשואה r2במצב הטוב (הסתברות .)p2
r1<0<r2
לכן אם הפרט ישקיע Xבנכס רכושו במצב טבע 1
יהיה:
W-X+X(1+r1)=W+r1X
רכושו במצב טבע 2יהיה:
W+r2X
תוחלת התועלת של הפרט במידה ובחר להשקיע X
ניתנת לכן על ידי:
)P1u(W+r1X)+p2u(W+r2X
הפרט יבחר Xשימקסם ביטוי זה ותנאי הסדר
הראשון יהיה:
P1r1u'(W+r1X)+p2r2u'(W+r2X)=0
8
השקעה בנכס לא וודאי 1 -
האם ניתן לקבוע בוודאות מתי הפרט ישקיע בנכס?
התשובה לכך תלויה בנגזרת של פונקציית המטרה
בנקודה .X=0
אם היא חיובית ממש הפרט ישקיע כמות חיובית
בנכס.
אם היא אי חיובית הוא יבחר לא להשקיע בנכס.
מהי נגזרת זו? הנגזרת היא:
)P1r1u'(W)+p2r2u'(W)=u'(w)(p1r1+p2r2
כלומר היא חיובית אמ"מ לנכס יש תשואה חיובית.
מסקנה :הפרט ישקיע כמות חיובית בנכס עם תשואה
חיובית.
9
מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן
נתון נכס שבהסתברות 0.9יהיה שווה ,500
ובהסתברות 0.1יהיה שווה .0
כלומר נתונה ההגרלה )(0,500;0.1,0.9
קיים נכס הנותן תשואה בטוחה של .4%
לפרט יש רכוש Wופונקציית תועלת .U ,VNM
מהו המחיר המקסימאלי qשהפרט יהיה מוכן לשלם
תמורת הנכס המסוכן? (שימו לב ההחלטה כאן היא
בדידה ,כן או לא ,אין אפשרות לקנות חלק מהנכס)
מחיר מקסימאלי זה יקיים:
= )U(1.04W
))0.9U(1.04(W-q)+500) +0.1U(1.04(W-q
שימו לב שאם הנכס היה שווה 500בוודאות ,מחירו
המקסימאלי היה .500/1.04
שימו לב שאם הפרט אדיש לסיכון יתקיים:
1.04W=1.04W+0.9*500-1.04q
כלומר:
500/q=1.04/0.9=1.155או q=432.71
10
מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן 1 -
פרט שונא סיכון ירצה תשואה גדולה יותר מזו של
פרט אדיש לסיכון.
הגודל המדוייק תלוי בהעדפותיו.
נניח שהעדפותיו ניתנות על ידי פונקציית התועלת
.W0.5 , VNM
נפתור את המשוואה:
0.5
= )(1.04W
0.9(1.04(W-q)+500)0.5+0.1(1.04(W-q))0.5
כאשר W=1,000נקבל:
q=426.1595 r=500/q=1.173
כאשר W=1,200נקבל:
q=427.4835
0.25
Wנקבל:
כאשר W=1,000וההעדפות הן
q=422.53
כאשר W=1,000וההעדפות הן Lnנקבל:
q=418.65
ההסבר לתוצאות אלו נובע משינויים בשנאת הסיכון.
כאשר הרכוש עולה שנאת הסיכון יורדת.
כאשר פונקציית התועלת נעשית יותר קעורה ,שנאת
הסיכון עולה.
11
תורת היצרן
• תורת היצרן
–
–
–
–
טכנולוגיות ,פונקציות ייצור
מינימום הוצאות ,פונקציית ההוצאות ,פונקציות הביקוש
המותנות
התנהגות תחרותית ,מקסום רווחים ,פונקציות ביקוש (לגורמי
ייצור) והיצע (של תפוקות)
ביקושים והיצעים ענפיים
• שיווי משקל ענפי
– טווח קצר ,טווח ארוך
עברנו יותר מחצי סמסטר והחלק הקשה עוד לפנינו סתם ...
12
• היום נכסה
– טכנולוגיה
– פונקציית ייצור
– מקסום תפוקה
13
טכנולוגיה
•
•
•
•
כיצד נתאר את הטכנולוגיה
באופן כללי ביותר הטכנולוגיה היא האמצעי להפוך
תשומות (גורמי ייצור) לתפוקות (מוצרים).
בדרך כלל נניח שיש mגורמי ייצור מסומנים ב –
z1,z2,…zmותפוקה אחת המסומנת ב – .q
פונקציית הייצור מתארת ,עבור כל צירוף גורמי
ייצור את הכמות המקסימאלית של תפוקה אותה
ניתן להשיג באמצעות צירוף זה.
14
דוגמאות
•
•
•
•
•
•
F(z1,z2)=z10.5z20.3
F(z1,z2)=2z1+3z2
)F(z1,z2)=min(z1/3,z2/2
F(z1,z2)=z12+z22
התפוקה השולית של גורם ייצור iניתנת על ידי
הנגזרת החלקית של פונקציית הייצור לפי i
ומסומנת ב – .Mpi
לעיתים במקרה של שני גורמי ייצור נשתמש ב K
(הון) ו – ( Lעבודה).
15
תוכניות ייצור אפשריות
הקשר הבסיסי בין תשומות ותפוקה
פונקציית הייצור
•תפוקה אחת ומספר תשומות
) q ≤F (z1, z2, ....,zm
ניתן לכתיבה בצורה יותר קומפקטית כ -
•אנו כותבים ≤ ולא = ,ניתן "להשליך"
תשומות.
•מהי המשמעות של ?F
נבדיל בין 2מקרים
וקטור התשומות
)q F (z
Fמתארת את כמות התפוקה
המקסימאלית שניתן לייצר עבור כל
צירוף של גורמי ייצור.
יעילות טכנולוגית
•המקרה של ייצור יעיל
מבחינה טכנולוגית
•המקרה של ייצור בלתי
יעיל מבחינה טכנולוגית
מקרה :1
)q F (z
מקרה :2
)q < F (z
הצירוף ) (q,zאינו יעיל אם ניתן להשליך חלק מהתשומות ולייצר
אותה רמת תפוקה.
הפונקצייה F
פונקציית הייצור
Iנקודות פנימיות אפשריות אך אינן
יעילות
נקודות שפה הינן אפשריות ויעילות
נקודות בלתי אפשריות
z2
q
)q >F (z
)q <F (z
)q =F (z
0
אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה
בחרו רמת תפוקה q
זכרו כי חייב להתקיים
)q≤F(z
מצאו וקטור תשומות zשמסוגל לייצר אותה
חזרו על פעולה זו וחשבו את כל הוקטורים האלו
כך מתקבל אוסף התשומות הנדרש
}Z(q) := {z:F (z) q
הצורה של Zתלוייה בהנחות לגבי
הטכנולוגיה
ראשית המקרה
ה"טיפוסי"
נבחן ארבעה מקרים
אוסף התשומות הנדרש לייצור תפוקה נתונה
אפשרי ולא יעיל
z2
אפשרי ויעיל
לא אפשרי
)Z(q
)q < F (z
)q = F (z
)q > F (z
z1
מקרה Z :1מתנהגת ממש יפה (קמורה ממש וחלקה)
בחרו שתי נקודות על השפה
שרטטו את הקו המחבר אותן
z2
הקו נמצא בתוך .Z
)Z(q
z
)q<F (z
שילוב של שתי תכניות ייצור
עשוי לייצר תפוקה גבוהה
יותר.
z
)q =F (z
z1
)q =F (z
מקרה Z :2מתנהגת יפה "אבל לא ממש"
בחרו שתי נקודות על השפה
שרטטו את הקו המחבר אותן
z2
הקו נמצא אף הוא על השפה
)Z(q
z
z
צירוף של שתי תכניות ייצור
אפשריות ,אפשרי אף הוא.
z1
מקרה Z :3חלקה אך אינה קמורה
חברו שתי נקודות מצידיו של
ה"שקע"
קחו נקודה ביניהן
z2
הדגישו את האזור בו
מתרחשת תופעה זו
)Z(q
באיזור זה אין "חלוקתיות"
נקודה זו אינה
אפשרית
z1
מקרה Z :4קמורה ולא חלקה
z2
)q = F (z
השיפוע בנקודה זו אינו
מוגדר.
z1
חזרה :ארבעת התרחישים
המקרה ה "כמעט
טיפוסי"
z2
המקרה הטיפוסי
z1
המקרה הלא חלק
z1
z2
z1
z2
המקרה הבעייתי
z2
z1
עקומות שוות תפוקה
בהינתן רמה של q
חשבו את )Z(q
העקומה שוות תפוקה המתאימה ל qהינה
השפה של { z :F (z) = q }.Z
)F(z
—— =Fi(z) :
zi .
ממי צורתה של
העקומה ש"ת?
השיפוע של העקומה שוות התפוקה הינו שיעור
התחלופה הטכנולוגי בייצור TRS21וניתן על ידי
)Fj (z
——
)Fi (z
נותן את הקצב שבו צריך להגדיל את גורם
ייצור 2כשמקטינים את כמותו של גורם ייצור
,1על מנת לשמור על רמת תפוקה קבועה.
עקומה שוות תפוקה TRS ,ויחס גורמי ייצור
הקבוצה )z(q
קו שווה רמה של ( Fעקומה ש"ת)
נקודה על העקומה
z2
יחס גורמי הייצור בנקודה
ה TRSבנקודה
הגדילו את ה TRS
z2 / z1= constant
)MRTS21=F1(z)/F2(z
z′
z°
}{z:F (z)=q
ה TRSהולך וגדל מימין
לשמאל
z1
z1°
z2°
טכנולוגיה הומוטתית
העקומות שוות התפוקה
שרטטו קרן דרך הראשית
z2
ה TRSקבוע לאורך כל קרן
z1
O
עקומות שוות תפוקה של פונקציה הומוגנית
עקומות שוות תפוקה
z2
התשומות ב z0
עקומה שוות תפוקה עבור
תשומות מוכפלות ב t
tz°
Fהינה הומוגנית מדרגה r
אם לכל t>0ולכל zמתקיים
)F (tz) = t r F (z
tz2°
z°
z2°
trq
q
z1
tz1°
z1°
O
תשואה לגודל
Returns to Scale
תשואה לגודל נקבעת לפי השינוי בתפוקה
כשמשנים את כל גורמי הייצור באותו יחס.
תשואה קבועה לגודל
) < 0 : f (z1,..., zn ) f ( z1,..., zn
תשואה עולה לגודל
) < 1 : f (z1,..., zn ) f ( z1,..., zn
תשואה יורדת לגודל
) < 1 : f (z1,..., zn ) < f ( z1,..., zn
מקרה : 1תשואה עולה לגודל
q
פונקציית ייצור תע"ל
בחר נקודת ייצור כלשהי
קו הגידול בתוצר
z2
t>1גורר ש
)F(tz) > tF(z
הכפלת התשומות
מגדילה את התוצר פי
.α>2
0
מקרה : 2תשואה יורדת לגודל
q
פונקציית ייצור תי"ל
בחר נקודת ייצור כלשהי
קו הגידול בתוצר
z2
t>1גורר ש
)F(tz) < tF(z
הכפלת התשומות
גדילה את התוצר פי
.α<2
0
מקרה :3תשואה קבועה לגודל
q
פונקציית ייצור תק"ל
בחר נקודת ייצור כלשהיא
התוצר גדל לאורך קרן
z2
) F(tz) = tF(z
הכפלת התשומות
בדיוק מכפילה את
התוצר
0
פונקצייה תק"ל -תכונות
נזכור כי פונקציה היא הומוגנית מדרגה r
אם ) f (X 1 ,..., X n ) r f ( X 1 ,..., X n
פונקצית ייצור תק"ל היא לכן פונקציה הומוגנית
מדרגה 1או הומוגנית ליניארית (. )r=1
בפונקציה תק"ל של שני גורמי ייצור התפוקה
K
.
השולית של גורם ייצור תלויה רק ביחס
L
לכן ה TRS -קבוע לאורך קרן היוצאת מראשית
הצירים.
34
"הוכחה ל "בית
הוכחת הטענה עבור תפוקות שוליות
f ( K , L) f (
K L
, ) לפי הגדרת תק"ל
, f ( K , L) Lf (
K L
K
, ) Lg ( ) :לכן
L L
L
K/L היא פונקציה של היחסg( ) כאשר
:K נגזור לפי
f
K 1
K
f K Lg ( ) g ( )
K
L L
L
f
K
K K
f L g Lg 2
L
L
LL
K
K K
g g
L
LL
35
L נגזור לפי
פונקציות הומוגניות – תכונות והשלכות
כלכליות
טענה
הנגזרות החלקיות של פונקציה הומוגנית מדרגה r
הנן הומוגניות מדרגה .r-1
משפט אוילר:
אם הפונקציה fהומוגנית מדרגה rאזי:
) zi f i rf ( z1 ,..., z n
הוכחה :בפונקציה הומוגנית מדרגה rמתקיים:
) f (z1,..., zm ) r f ( z1,..., zm
נגזור את
שני האגפים לפי ונעריך א הנגזרת בנקודה .1=
השלכות כלכליות
כאשר פונקצית היצור היא תק"ל ,אם נשלם לכל
גורם ייצור את התפוקה השולית שלו כשכר (עבודה)
או רנטה (הון) ,התפוקה תספיק בדיוק לכיסוי
התשלום.
הערה התפוקה לא תספיק לתשלום כזה במקרה של
תע"ל (למשל )Y=KLותשאיר עודף במקרה של תי"ל
(למשל L0.25
0.25
.) Q K
36
תרגיל נוסף
עבור פונקציית תק"ל ,התפוקה הממוצעת של K
עולה אם ורק אם התפוקה השולית של L
שלילית.
הוכחה:
אם התפוקה הממוצעת עולה ב Kאזי
) ( f / K
0
K
נגזרת זו הינה:
) ( F / K ) FK K F KFK ( Kf K Lf L
2
K
K
K2
0
Lf L
2
K
ולכן אם נגזרת זו חיובית חייב להתקיים כי
. fL < 0
37
גורם ייצור משתנה יחיד – TP AP MP
•
•
•
•
•
נניח שיש גורם ייצור משתנה יחיד ()L
התפוקה הכוללת מסומנת ב – TPוניתנת על ידי
.F
התפוקה השולית מסומנת ב – MPוניתנת על ידי
הנגזרת החלקית של Fלפי גורם ייצור זה (.)FL
התפוקה הממוצעת מסומנת ב – APוניתנת על
ידי .F/L
כיצד נייצג גדלים אלו גראפית ומה היחסים
ביניהם?
38
)L( ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד
Marginal
Product
Average
Product
Total
Amount
Output (Q) of Capital (K)
Amount
of Labor (L)
---
---
0
10
0
10
10
10
10
1
20
15
30
10
2
30
20
60
10
3
20
20
80
10
4
15
19
95
10
5
13
18
108
10
6
4
16
112
10
7
0
14
112
10
8
-4
12
108
10
9
-8
10
100
10
10
ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד ()L
כשנוספים עובדים
התפוקה ) (TPגדלה ,מגיעה למקסימום ומתחילה לרדת.
התפוקה הממוצעת ) (AP=Q/Lבתחילה גדלה ולאחר מכן יורדת.
התפוקה השולית ) (MP=FLעולה בתחילה ולאחר מכן יורדת ואף
נעשית שלילית.
)L( ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד
תפוקה
D
112
Total Product
C
60
A: slope of tangent = MP (20)
B: slope of OB = AP (20)
C: slope of OC= MP & AP
B
A
0 1
2 3
4
5 6
7 8
9
10 עבודה
ייצור עם גורם ייצור משתנה יחיד ()L
תפוקה
שימו לב:
משמאל ל MP>AP E -ו APעולה.
מימין ל – MP<AP Eו APיורד.
ב MP=AP Eו APמגיע לשיאו.
כאשר TP ,MP=0מגיע לשיאו.
30
Marginal Product
E
Average Product
20
10
עבודה 10
9
7 8
5 6
4
2 3
0 1
בעיית מקסימום תפוקה
•
•
•
•
המגבלות – תקציב לשכירת תשומות
המטרות – מקסימום תפוקה
דרך הפעולה – שכירת צירוף תשומות (גורמי ייצור) הממקסם את
התפוקה בהינתן מחיריהם ,התקציב ופונקציית הייצור.
נתונים
– תקציב ומחירי גורמי הייצור
– טכנולוגיה (בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור)
• תוצאות
– צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ותפוקה מקסימאלית
• למעשה שקול לבעיית צרכן.
43