Transcript Document
טכנולוגיה – המשך פונקציית ההוצאות 1 פונקציית ייצור קוב-דוגלאס פונקציית ייצור קוב דוגלאס – F(K,L)=AKL כאשר ו -חיוביים וקטנים מאחד ,הפונקציה מקיימת תפוקה שולית פוחתת. הינה גמישות התפוקה ביחס ל – .K הינה גמישות התפוקה ביחס ל – .L דרגת ההומוגניות של הפונקציה ניתנת על ידי .+ פונקציית ייצור זו הינה הומוטתית. פונקציית ייצור זו מקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל כאשר (+<1) +>1 פונקציית ייצור זו מקיימת תשואה קבועה לגודל כאשר +=1 משפט אוילר גורר שעבור פונקציית תק"ל )K MPK+L MPL=F(K,L (לחילופין ))KFK+LFL=F(K,L בפונקציית תק"ל קוב דוגלאס מייצג את אחוז התוצר המשולם להון (חלק ההון בתוצר) ו -את אחוז התוצר המשולם לעבודה (חלק העבודה בתוצר) 2 Paul H. Douglas, 1892-1976 3 טכנולוגיית תק"ל -הערות תהי ) F(K,Lפונקציית ייצור תק"ל. אם לשני גורמי הייצור תפוקה שולית חיובית אזי התפוקה הממוצעת של כל גורם ייצור יורדת כשכמותו עולה. מתוך )K MPK+L MPL=F(K,L מתקבל (K/L)MPK+MPL=APL מכיוון ש – MPKחיובי מתקבל כי MPL<APL ולכן התפוקה הממוצעת יורדת. גורמי ייצור יקראו מסייעים אם FKL>0 גורמי ייצור יקראו מתחרים אם FKL<0 אם לשני גורמי הייצור תפוקה שולית פוחתת אזי הם מסייעים. גזירה של ) K FK+L FL=F(K,Lלפי Lגוררת כי: K FKL+FL+L FLL=FL ומכאן FKL>0 4 שינויים טכנולוגיים שינויים טכנולוגיים הינם שינויים בפונקציית הייצור. נניח כי פונקציית הייצור בתקופה )Qt=AtF(Kt,Lt tניתנת על ידי: השינויים בתפוקה מתקופה לתקופה יכולים לנבוע משינויים בתשומות ושינוי ב – .A שינוי ב – Aנקרא שינוי בפריון הכולל במשק. כיצד אומדים את השינוי ב – ( Aנקרא )TFP נשים לב כי: Q Q Q dA dK dL A K L dQ וחלוקה ב – Qגוררת כי dQ Q A dA Q K dK Q L dL Q A Q A K Q K L Q L או dQ dA dK dL 1 QK QL Q A K L במקרה של קוב דוגלאס הגמישויות הינם המעריכים שאותם ניתן לאמוד לפי סך התשלומים לכל גורם ייצור .כל השינויים למעט השינוי ב – Aנצפים וכך ניתן לאמוד את השינוי ב – .A 5 בעיית מינימום ההוצאות • • • • המגבלות – עקומה שוות תפוקה המטרות – מינימום הוצאות דרך הפעולה – ייצור התפוקה המבוקשת באמצעות צירוף גורמי הייצור הזול ביותר בהינתן מחיריהם והתפוקה המבוקשת. נתונים – רמת תפוקה מבוקשת ומחירי גורמי הייצור – טכנולוגיה (בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור) • תוצאות • צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ורמת הוצאות מינימאלית 6 מינימום הוצאות • נתונה רמת תפוקה מבוקשת q • מחירי התשומות נתונים על ידי w1,…,wm • אנו רוצים להביא למינימום הוצאות m S wi zi i=1 7 עקומות שוות הוצאה • • • • בהינתן מחירים w עקום שווה הוצאה הינו אוסף הנקודות zבמרחב התשומות שעולות אותו דבר במחירים אלו אוסף זה מהווה קו ישר 8 קווים שווי הוצאה שרטטו אוסף נקודות שעולה סכום קבוע. z2 חזרו על הפעולה עם סכום גבוה יותר הוסיפו חץ לשרטוט "w1z1 + w2z2 = c 'w1z1 + w2z2 = c w1z1 + w2z2 = c השתמשו בזאת כדי למצוא אופטימום z1 9 מינימום הוצאות היצרן מביא למינימום הוצאות תחת מגבלת תפוקה q z2 פתרון הבעיה minimise m S wizi i=1 subject to F(z) q *z מה קורה במקרים אחרים? z1 10 Zמתנהגת יפה אבל לא ממש z2 כל zבקבוצה זו מביא למינימום את ההוצאות רצף של פתרונות z1 11 פתרון פינתי z2 כאן RTS21>w1/w2 תשומה 2יקרה מדי ולכן לוקחים אפס ממנה. z1 *z 12 Zשלא מתנהגת יפה z2 יש מספר פתרונות שימו לב שאין פתרון בין שני הפתרונות. *z **z z1 13 Zלא חלקה z2 ה RTSלא מוגדר בנקודה *z z*הוא הפתרון היחיד לכל יחס מחירים. *z z1 14 מינימום הוצאות – פתרון אלגברי • המסקנה מהשרטוטים היא שיש לשכור גורמי ייצור כך שיחס התפוקות השוליות של כל שני גורמי ייצור שווה ליחס מחיריהם ( )m-1תנאי השקה ,ולהיות על העקומה שוות תפוקה של ( qמשוואה .)m • מפתרון מערכת משוואות זו מתקבלים ביקושים לגורמי ייצור שנקראים ביקושים מותנים ,המתארים מה הכמות המבוקשת מכל גורם ייצור כפונקצייה של מחירי גורמי הייצור והתפוקה המבוקשת. • פונקציית ההוצאות מתקבלת מהצבת ביקושים אלו לתוך פונקציית המטרה. 15 דוגמה מספרית הטכנולוגיה של הפירמה נתונה על ידיF=z10.5z20.3 : בעיית מינימום ההוצאות הינה: Min w1z1+w2z2 S.T. z10.5z20.3≥q z1,z2≥0 )L= w1z1+w2z2+(q- z10.5z20.3 התנאים מסדר ראשון מתקבלים מגזירת הלאגראנג'יאן לפי כל משתני ההחלטה והכופלים והשוואה לאפס. בצורה זו מתקבלים כל הפתרונות הפנימיים. כאן אין פתרונות פינתיים אך במידה והיו ,היינו מקבלים כי בדרך זו אחת התשומות יוצאת שלילית. במקרה זה נניח כי תשומה זו מתאפסת באופטימום ונפתור מחדש (גראפית או אלגברית). 16 דוגמה מספרית 1 - התנאים מסדר ראשון: L 0 .3 w1 0.5z1 0.5 z 2 0 z1 L 0 .7 w2 0.3z10.5 z 2 0 z2 L 0 .3 q z10.5 z 2 0 חלוקת המשוואה הראשונה בשנייה גוררת: w1 5 z2 w2 3 z1 (זהו תנאי ההשקה המשווה את יחס התפוקות השוליות ליחס מחיריהן) מכאן נחלץ את :z2 3w1 z1 5w2 z2 נציב לאילוץ התפוקה ונקבל את המשוואה: 17 דוגמה מספרית 2 - 0.5 3w1z1 0.3 ( z1 ) q 5w2 z1 0.6 0.375 q1.25w1 0.375w20.375 ומכאן: z2 0.60.625 q1.25 w10.625w2 0.625 C 1.938 q1.25 w10.625w20.375 כלומר: z1 ( w1, w2 , q) 1.211q1.25w1 0.375w20.375 z2 ( w1, w2 , q) 0.727 q1.25w10.625w2 0.625 C ( w1, w2 , q) 1.938 q1.25w10.625w20.375 z1ו – z2הינם הביקושים המותנים. Cהינה פונקציית ההוצאות. 18 דוגמה מספרית נוספת F=K0.5+L0.5 תשובות סופיות ביקושים מותנים ופונקציית הוצאות PL q K (q, PK , PL ) PK PL 2 2 PK q L(q, PK , PL ) PK PL PK PL 2 C (q, PK , PL ) q PK PL 19 קו ההתרחבות • • • • קו התרחבות מוגדר כאוסף הצירופים של גורמי הייצור הנבחרים עבור רמות תפוקה שונות ,כשמחירי גורמי הייצור קבועים. קו ההתרחבות הינו ההשלכה של מערכת הביקוש המותנית על מישור התשומות. בשתי הדוגמאות הקודמות קו ההתרחבות יצא קו ישר .זה אינו מקרי מאחר וקווי ההתרחבות הינם קווים ישרים עבור טכנולוגיות הומוטתיות. גורם ייצור יקרא נחות אם הביקוש המותנה לגורם הייצור יורד כשהתפוקה עולה( .כלומר לקו ההתרחבות יש שיפוע שלילי) 20 הוצאה כוללת ,ממוצעת ,שולית • • • • • • ההוצאה הכוללת מסומנת ב ).TC(q ההוצאה הממוצעת הכוללת מסומנת ב – ) ,ATC(qוניתנת על ידי .TC(q)/q ההוצאה השולית מסומנת ב – ) ,MC(qוניתנת על ידי .dTC(q)/dq בשלב זה מניחים שיש שני גורמי ייצור משתנים ואין הוצאות קבועות. הקשרים בין AC , TCו – MCהינם הקשרים המקובלים בין כולל ,ממוצע ושולי. התחום בו ACיורד הינו תחום של יתרונות לגודל והתחום בו הוא עולה הינו תחום של חסרונות לגודל. 21 ATCו MC - חסרונות לגודל עקומת ההוצאות הממוצעות. יתרונות לגודל ה MCחותך את ה – ATCבנקודת המינימום שלה. MC ATC q q p היחס בין MC , ACו AVC - 21.02 23 השטח מתחת ל MCמהווה את ההוצאה המשתנה 21.03 24 c(y) = y2 + 1דוגמה – 1( :הוצאה קבועה) 1. AC = y + 1/y 2. AV C = y 3. MC = 2y שרטוט בשקף הבא 25 21.04 26 תשואה לגודל ומבנה פונקציית ההוצאות • • • • נניח כי פונקציית הייצור הינה הומוגנית מדרגה .r ההוצאה הכוללת במקרה זה (עבור מחירי גורמי ייצור קבועים) ניתנת על ידי .TC(q)=Bq1/r לכן כאשר ( r>1תשואה עולה לגודל) ההוצאה הממוצעת והשולית פוחתות. כאשר ( r<1תשואה יורדת לגודל) ההוצאה הממוצעת והשולית עולות. כאשר ( r=1תשואה קבועה לגודל) ההוצאה הממוצעת שווה להוצאה השולית וקבועה. 27 יצרן רב -מפעלי נניח כי פירמה המייצרת את המוצר qיכולה לבחור אם לייצר אותו במפעל אחד או בשני מפעלים. פונקציית ההוצאות של כל מפעל ניתנת על ידי: C(q)=q2+A q>0ואפס אחרת. (פונקציה זו "ככל הנראה" התקבלה כתוצאה ממינימיזציה של הוצאות בהינתן מחירים (קבועים) של גורמי ייצור ופונקציית הייצור של מפעל בודד .ניתן לחשוב על A כעלות להפעלת מפעל ,למשל רישיון שצריך לשלם במידה ומייצרים כמות חיובית במפעל. מהי פונקציית ההוצאות של הפירמה ,וכיצד מחליטה הפירמה על מספר המפעלים המייצרים וחלוקת התפוקה ביניהם? 28 יצרן רב מפעלי 1 - עבור כל רמת תפוקה צריכה הפירמה להחליט האם להשתמש במפעל אחד או שניים. במידה ומשתמשים במפעל אחד פונקציית ההוצאות ניתנת על ידיC(q)=q2+A : במידה ומשתמשים בשני מפעלים ,פונקציית ההוצאות מתקבלת מפתרון הבעיה: )Min C(q1)+C(q2 S.T. q1+q2=q מבעיה זו (אם באמצעות לאגראנג'יאן ,או הצבה פשוטה) מתקבל כי יש לחלק את התפוקה בין שני המפעלים באופן שהעלות השולית תהיה זהה בשני המפעלים. מכיוון שהמפעלים זהים יש לכן לייצר כמות שווה בכל מפעל כלומר .q1=q2=q/2 פונקציית ההוצאות הינה לכן: (q/2)2+A+(q/2)2+A=q2/2+2A ההחלטה האם להפעיל מפעל אחד או שניים נקבעת על ידי השוואת העלויות בין שני המקרים .כלומר עבור אותן רמות qהמקיימות q2/2+2A>q2+Aנפעיל מפעל אחד בעוד שעבור רמות qהמקיימות את אי השיוויון ההפוך נפעיל שני מפעלים. 29 יצרן רב מפעלי 2 - q (2 A)0.5 q (2 A)0.5 q (2 A)0.5 q (2 A)0.5 2 q A C (q) 2 q / 2 2 A q A / q AC (q ) q / 2 2 A / q q (2 A)0.5 q (2 A)0.5 2q MC (q ) q עקומות ההוצאות וההוצאות הממוצעות אינן "קופצות" ומהוות מעטפת תחתונה לעקומות עבור מפעל אחד ועבור שני מפעלים .עקומת ההוצאות השוליות "קופצת". ההצגה הגראפית עבור מקרה זה הינה ... 30 הצגה גראפית של מספר מפעלים – ACבטווח הקצר והארוך 21.08 31 הצגה גראפית של מספר מפעלים – MCבטווח הקצר והארוך 21.09 32 יצרן רב מפעלי 3 - נניח כעת שהיצרן הרב מפעלי יכול להקים כל מספר מפעלים שירצה .נניח שהמפעלים זהים עם פונקציית הוצאות ) C(qלמפעל ועלות ההקמה של מפעל הינה .Aנפתור את הבעיה ראשית תוך התעלמות ממגבלת השלמים. נשים לב שאם על מנת לייצר רמת תפוקה qמקימים nמפעלים ,פונקציית ההוצאות ניתנת על ידי: nC(q/n)+nA זאת מאחר שאם יש nמפעלים זהים נייצר כמות זהה בכל אחד מהם. על מנת לייצר במינימום עלות כל רמת תפוקה יש לפתור לכן את הבעיה הבאה: Min nC(q/n)+nA n פתרונה ייתן את מספר המפעלים שיש להקים ואת העלות. תנאי הסדר הראשון מתקבל על ידי גזירה לפי n והינו: C(q/n)-(q/n)C'(q/n)+A=0 תנאי זה גורר שהכמות המיוצרת בכל מפעל ()q/n הינה הכמות בה ההוצאה הממוצעת למפעל שווה להוצאה השולית ,כלומר נקים מספר מפעלים כזה שכל מפעל יפעל במינימום ACשלו. במידה ומגבלת השלמים מופרת יש לבצע השוואה בדידה בין שני השלמים (הנמוך והגבוה). 33 יצרן רב מפעלי 4 - נניח כי C(q)=q2וכי העלות להקמת מפעל הינה .A Min ACמושג בכמות ,A0.5העלות בנקודה זו הינה .2A לאור זאת העלות הכוללת לייצור qכשניתן לבחור את מספר המפעלים האופטימלי הינה: 2qA0.5 היא מושגת על ידי הקמת q/A0.5מפעלים וייצור כמות של A0.5בכל מפעל. וודאו כי פתרון ישיר מביא לתוצאה דומה. 34