Transcript หน่ วยที่ 6 เวกเตอร์ และการประยุกต์ • เวกเตอร์ เชิงเรขาคณิตและ การดาเนินการเบือ้ งต้ น • เวกเตอร์ ในระบบพิกดั ฉาก • การคูณเชิงเวกเตอร์

หน่ วยที่ 6
เวกเตอร์ และการประยุกต์
• เวกเตอร์ เชิงเรขาคณิตและ
การดาเนินการเบือ้ งต้ น
• เวกเตอร์ ในระบบพิกดั ฉาก
• การคูณเชิงเวกเตอร์
เวกเตอร์
ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์
ปริมาณทางกายภาพที่สามารถระบุขนาด
หรือจานวนหน่ วยของปริมาณด้ วย
จานวนจริงจานวนหนึ่ง เรียกว่ า
ปริมาณสเกลาร์
สาหรับปริมาณทางกายภาพอีกประเภท
หนึ่งที่เกี่ยวข้ องกับทัง้ ขนาดและทิศทาง
เรียกว่ า ปริมาณเวกเตอร์
ในเชิงเรขาคณิตแทนปริมาณเวกเตอร์ ด้วย
สัญลักษณ์ ท่ เี ป็ นส่ วนของเส้ นตรงที่มี
หัวลูกศร
โดยใช้ ความยาวของส่ วนของเส้ นตรง ซึ่งมี
ความยาวจากัดแทนขนาด
ใช้ หวั ลูกศรชีบ้ อกทิศทาง เรียกสัญลักษณ์
ดังกล่ าวว่ า เวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
เพื่อให้ การกล่ าวถึงเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
มีความชัดเจน จะระบุจุดสองจุด
จุดหนึ่งเป็ นจุดเริ่มต้ น
อีกจุดหนึ่งเป็ นจุดปลาย
เช่ น A เป็ นจุดเริ่มต้ น
B เป็ นจุดปลายของเวกเตอร์
B
A
เวกเตอร์ AB แทนด้ วย

ความยาวของ  แทนขนาดของ 
ด้ วย 
A
B
การเท่ ากันของเวกเตอร์
บทนิยาม
เวกเตอร์ เชิงเรขาคณิตสองเวกเตอร์
เท่ ากัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ ทัง้ สองมี
ขนาดเท่ ากัน และมีทศิ ทางเดียวกัน
B D
R
F
Q
P
A C E S
=
CD
มีขนาดเท่ ากันและทิศทางเดียวกัน
 
EF
มีทศิ ทางเดียวกัน แต่ ขนาดไม่ เท่ ากัน
AB  SR
AB  PQ
มีขนาดเท่ ากันแต่ ทศิ ทางตรงข้ ามกัน

A
C
มีขนาดและทิศทางต่ างกัน
B
E
D F
S
R
P
Q
เวกเตอร์ ศูนย์
บทนิยาม
เวกเตอร์ ท่ มี ีจุดเริ่มต้ น และจุดปลายเป็ น
จุดเดียวกัน เรี ยกว่ าเวกเตอร์ ศูนย์

แทนด้ วย O
O เป็ นเวกเตอร์ ท่ มี ีขนาด 0 โดยทั่วไป
จะไม่ กล่ าวถึงทิศทางของ O
ถ้ าจะกล่ าวถึงให้ ถือว่ ามีทศิ ทางใดก็ได้
O
O
การขนานกันของเวกเตอร์
เวกเตอร์ สองเวกเตอร์ ขนานกัน
ก็ต่อเมื่อมีทศิ ทางเดียวกัน หรื อ
มีทศิ ทางตรงข้ ามกัน
B
R
D F
A
P
E
S
C
Q
// EF และ  // SR ,
 และ SR มีขนาดเท่ ากัน แต่ มี
ทิศทางตรงข้ ามกัน ใช้ สัญลักษณ์
RS  AB
B
R
D F
A
E S
C

// CD ,

ถ้ า  เป็ นเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
ใดๆ จะแทนเวกเตอร์ ท่ มี ีขนาด
เท่ ากันกับ AB แต่ มีทศิ ทางตรงข้ าม
กับ AB ด้ วย  AB
B B
AB
A
A
 AB
ถ้ าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด
B เป็ นระยะทาง 40 เมตร
A
40 เมตร
B
ถ้ าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด
B เป็ นระยะทาง 40 เมตร แล้ วเคลื่อนที่
จากจุด B ไปจุด C ในแนวตัง้ ฉากกับ
AB เป็ นระยะทาง 30 เมตร
C
30 เมตร
A
40 เมตร
B
A
30 เมตร
ถ้ าวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด
B เป็ นระยะทาง 40 เมตร แล้ วเคลื่อนที่
จากจุด B ไปจุด C ในแนวตัง้ ฉากกับ
AB เป็ นระยะทาง 30 เมตร ผลลัพธ์ จาก
การเคลื่อนที่ทงั ้ สองครั ง้ นีเ้ ท่ ากับการที่
วัตถุเคลื่อนที่จากจุด A ไปถึงจุด C เป็ น
C
ระยะทาง 50 เมตร
40 เมตร
B
30 เมตร
การเคลื่อนที่ของวัตถุนีเ้ ป็ นเป็ นปริมาณที่
สามารถใช้ เวกเตอร์ เชิงเรขาคณิตแทนได้
ให้ AB , BC และ AC
แทนการเคลื่อนที่จากจุด A
ไปถึงจุด B จากจุด B ไปถึง
C
จุด C และจากจุด A ไปถึง
จุด C ตามลาดับ
A
B
40 เมตร
เรียก AC ว่ า ผลรวม หรือผลบวกของ
AB และ BC ใช้ สัญลักษณ์ AC = AB + BC
C

30 เมตร
A
40 เมตร
B
= ( 40) 2  ( 30) 2 = 50 เมตร
ชายสองคนต้ องการเคลื่อนที่เรื อ (Q) ใน
คลองที่ตนื ้ เขิน ทัง้ สองคนอยู่บนฝั่ ง
เดียวกัน คนหนึ่ง (R) ลากจูงเรื อด้ วยการ
ดึงเชือกแล้ วเดินไปข้ างหน้ า อีกคน (P)
ใช้ ไม้ ถ่อคา้ เรือให้ เดินหน้ า และไม่ ให้ เรื อ
เข้ ามากระทบฝั่ ง ผลของการใช้ แรง
กระทากับเรื อของทัง้ สองคนทาให้ เรื อ
แล่ นไปข้ างหน้ าตามลาคลอง
Q
S
R
P
PQ แทน แรงที่ชายคนหนึ่งผลักดันเรื อ
QR แทน แรงที่ชายอีกคนหนึ่งฉุดดึงเรื อ
QS แทน แรงที่เป็ นผลรวมของแรงที่ทาให้ เรื อ
แล่ นไปข้ างหน้ า
เขียนแผนภาพใหม่ โดยให้ แรงที่กระทา
กับเรื อมีจุดเริ่มต้ นที่เดียวกัน A
Q
S
C
O
R
P
B
QR
OB
กล่ าวคือ ให้ OA = PQ ,
=
และ OC = QS
จะได้ ว่า OACB เป็ นรู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนาน
โดยมีส่วนของเส้ นตรง OC เป็ นเส้ นทะแยงมุม
A
จะได้ OC = OA + OB
ผลบวกนีเ้ ป็ นไปตาม
C
O
กฎสี่เหลี่ยมด้ านขนาน
ดังนัน้ AC = OB จะได้
OC
=
OA
+ AC
B
กฏสี่เหลี่ยมด้ านขนานของการบวกเวกเตอร์
ถ้ า OA และ OB เป็ นเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
ที่มีจุดเริ่มต้ นเป็ นจุดเดียวกัน คือที่จุด O
สร้ างรู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนาน OACB โดยมี
ส่ วนของเส้ นตรง OC เป็ นเส้ นทะแยงมุม
A
O
C
B
A
O
C
B
ผลบวกของ OA และ OB เท่ ากับเวกเตอร์
ผลลัพธ์ OC เขียนแทนด้ วย
OA + OB = OC
ผลบวกนีเ้ ป็ นไปตามกฏสี่เหลี่ยมด้ านขนาน
A
O
C
B
ด้ านตรงข้ ามของรู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนานมี
ความยาวเท่ ากัน และขนานกัน
ดังนัน้ OB = AC จะได้ OA + AC = OC
จะเห็นว่ า AC มีจุดเริ่มต้ นที่จุดปลายของ OA
เวกเตอร์ ผลลัพธ์ OC มีจุดเริ่มต้ นเดียวกัน
กับ OA และมีจุดปลายเดียวกันกับ AC
การบวกเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้ า AB และ CD เป็ นเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
ใดๆ
ผลบวกของ AB และ CD เขียนแทนด้ วย
ี ีจุดเริ่มต้ นที่จุด
AB  CD เป็ นเวกเตอร์ ท่ ม
A และมีจุดปลายที่จุด E โดยมีการสร้ าง
D
BE  CD ดังรู ปต่ อไป
A
B C
E
A
D
B C
เมื่อสร้ าง BE = CD
จะได้
AB
+ BE = AB + CD
= AE
จากรู ปที่กาหนดให้
F
E
A
B
D
C
จงหาผลบวกของ AB , CD และ EF
หรือหา AB + CD + EF
1. ที่จุด B บน AB สร้ าง
F
= CD
Q
E
A
BP
B
P
D
C
2. ที่จุด P บน BP สร้ าง PQ = EF
จะได้ AB + CD + EF = AB + BP + PQ
= AQ
เป็ นเวกเตอร์ ผลลัพธ์
จากรู ปที่กาหนดให้
C
D
จงหา AB + CD
C
C
AB
+ CD
D
D
จากรู ปที่กาหนดให้
จงหา
CD + AB
C
D
AB
CD
+
C
D
การคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้ า A เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ
และ
n
เป็
นสเกลาร์

1. ถ้ า n0 และ A  O แล้ ว n A มีทศิ ทาง
เดียวกันกับ A 
2. ถ้ า n0 และ A  O แล้ ว n A มีทศิ ทาง
ตรงข้ ามกับ A

3. ถ้ า n = 0 แล้ ว n A  O
4. ขนาดของ n A เท่ ากับ
ค่ าสัมบูรณ์ ของ n
nA
เมื่อ n คือ
กาหนด A ดังรู ป จงหาเวกเตอร์
A
3A
 3A
3A และ 3A
สมบัตเิ บือ้ งต้ นของการคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์
ถ้ า A และ B เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ
m และ n เป็ นสเกลาร์
1. (0)A = O
2. (1)A = A
3. m(n A ) = (mn)A
4. (m + n) A = m A + n A
5. m( A + B ) = m A + m B
การขนานกันของเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้ า A และ B เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ที่ไม่ เป็ น
เวกเตอร์ ศูนย์ A ขนานกับ B เขียนแทนด้ วย
A // B ก็ต่อเมื่อ มีสเกลาร์ m  0 ที่ทาให้

A  mB
A
3A
B
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
บทนิยาม
เวกเตอร์ ท่ มี ีขนาดหนึ่งหน่ วย เรียกว่ า
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
ถ้ า A เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ที่ไมเป็ นศูนย์ จะ
1
ได้ ว่า A A เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย ที่มี
ทิศทางเดียวกับ A
A
1
A
A
1
A
A เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มี
ทิศทางเดียวกับ A
ผลต่ างของเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้ า A และ B เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ผลต่ างของ A
กับ B เขียนแทนด้ วย A - B หมายถึง
A + (B)
A
B
B
A
B
A + (B) = A - B
เราอาจหาเวกเตอร์ ผลต่ าง A  B และ B  A
ได้ ง่ายๆ โดยใช้ แผนภาพที่มีจุดเริ่ มต้ น
ของเวกเตอร์ ทงั ้ สองเป็ นจุดเดียวกัน
A
AB
B
B
B A
  
BA  A B
BA
B A
A
  
A  B  BA
สมบัตเิ บือ้ งต้ นของการบวกเวกเตอร์
ถ้ า A , B และ C เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ
m และ n เป็ นสเกลาร์
1. A  B  B  A
สมบัตกิ ารสลับที่
2. A  (B  C)  (A  B)  C
สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุ่ม
3. m(A  B)  mA  mB
สมบัตกิ ารแจกแจง
4. A  O  A
สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์ ของการบวก
5. A  ( A)  O
สมบัตกิ ารมีอินเวอร์ สของการบวก
การคูณเชิงสเกลาร์ ของเวกเตอร์
บทนิยาม
ผลคูณสเกลาร์ (scalar product หรือ
dot product) ของเวกเตอร์ A และ B
เขียนแทนด้ วย A  B
  
กาหนดดังนี ้ A  B  A B cos θ
A
B
เมื่อ  เป็ นมุมระหว่ าง A และ B โดยที่


0    180
พิจารณารู ปสามเหลีย่ มมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุม 

ด้านประชิดมุม 
ด้านประชิ ดมุมθ
cosθ 
ด้านตรงข้ามมุมฉาก
cos

0=
1
cos

90 =
0
กาหนดจุด M(8, 6) และ N(11, 0) บน
ระนาบในระบบพิกัดฉาก จงหา OM ON
y
M(8, 6)
O

N(11, 0)
X
Y
จากรู ป จะได้
OM  8 2  6 2
 10
M(8, 6)
ON  11
O
6 หน่ วย
8
cosθ 
10
OM  ON  OM ON cos θ
8
 (10)(11)
10
 88

8 หน่ วย
P
N(11, 0)
X
สมบัตเิ บือ้ งต้ นของผลคูณเชิงสเกลาร์
ถ้ า A , B และ C เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ m และ n
เป็ นสเกลาร์
1. A  B  B  A สมบัตกิ ารสลับที่
2. A  (B  C)  A  B  A C สมบัตกิ ารแจกแจง
3. m(A)  B  A  (mB)  m(A  B) สมบัตกิ ารเปลี่ยนกลุ่ม
2
4. A  A  A กาลังสองของขนาดของเวกเตอร์
5. A  B  A B อสมการของโคชี-ชวาร์ ช
6. A  B  A  B อสมการสามเหลี่ยม
การตัง้ ฉากกันของเวกเตอร์
บทนิยาม
ถ้ า A และ B ตัง้ ฉากกันก็ต่อเมื่อ มุมระหว่ าง
เวกเตอร์ ทงั ้ สองมีขนาดเท่ ากับหนึ่งมุมฉาก
หรือ 90 องศา
ถ้ า A และ B เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ที่ไม่ ใช่
เวกเตอร์ ศูนย์ A ตัง้ ฉากกับ B ก็ต่อเมื่อ
AB 0
เวกเตอร์ ในระบบพิกัดฉาก
เวกเตอร์ ในระบบพิกัดฉากสองมิติ
บทนิยาม
เวกเตอร์ A คือคู่อันดับ (a, b) เขียนแทน
ด้ วย A  (a, b) เมื่อ a และ b เป็ นจานวนจริ ง
เรียก a ว่ าองค์ ประกอบที่หนึ่ง และเรี ยก b
ว่ าองค์ ประกอบที่สอง
ในเชิงเรขาคณิต สามารถแทนเวกเตอร์ ซ่ งึ มี
จุดเริ่มต้ นที่จุด O(0, 0) และมีจุดปลายที่
A(a, b) ด้ วย A  (a, b)
Y
A(a, b)
b
A
O
a
X
สาหรั บเวกเตอร์ ศูนย์ ใน R2 เป็ นเวกเตอร์ ท่ ที ัง้ สอง
องค์ ประกอบเป็ น 0 กล่ าวคือ O  (0,0)
ขนาดของเวกเตอร์
บทนิยาม
2
เมื่อ A  (a, b) เป็ นเวกเตอร์ ใน R
2
2
A

a

b
ขนาดของ A กาหนดดังนี ้
กาหนด A  (2,5) จงหา
A
A  ( 2 ) 2  52  29
การเท่ ากันของเวกเตอร์
บทนิยาม
เมื่อ A  (a1 , b1 ) และ B  (a 2 , b 2 ) เป็ น
2
เวกเตอร์ ใน R กล่ าวว่ า A  B
ก็ต่อเมื่อ a1= a2 และ b1= b2
การคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์
บทนิยาม
2
A

(
a
,
b
)
เมื่อ
เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ใน R
และ m เป็ นสเกลาร์ ผลคูณของ m กับ A
เขียนแทนด้ วย m A กาหนดดังนี ้
m A = (ma, mb)
A
ผลบวกและผลต่ าง
บทนิยาม
เมื่อ A  (a1 , b1 ) และ B  (a 2 , b 2 ) เป็ นเวกเตอร์
ใดๆ ใน R2 ผลบวกและผลต่ างของเวกเตอร์
กาหนดดังนี ้ A  B = (a1+ a2, b1+ b2)
A  B = (a1- a2, b1- b2)
A
พิจารณา B  A จากรู ป
y
A
(a2- a1, b2 - b1)
B
BA
A
(a2,b2)
BA
(a1,b1)
x
O
จะเห็นว่ าเวกเตอร์ B  A มีจุดเริ่มต้ นที่จุด O และจุดปลาย
ที่ (a2 – a1, b2 – b1) ซึ่งเท่ ากับเวกเตอร์ ท่ มี ีจุดเริ่ มต้ นที่
(a1, b1) และมีจุดปลายที่ (a2, b2)
เมื่อ A(a1, b1) และ B(a2, b2) เป็ นจุดใน
2
R จะได้ เวกเตอร์ ซ่ งึ มีจุดเริ่มต้ นที่ A
และจุดปลายที่ B
AB = (a2- a1, b2- b1)
จะเห็นว่ า
2
2
B  A  (a 2  a1 )  ( b 2  b1 )
ให้ A(-1, 2) และ B(3, 5) เป็ นจุดใน
2
R จงหา AB
AB = (3 - (-1), 5 - 2) = (4, 3)
ให้ A (-4, 1) และ B (2, 5) จงหา
A  B, 2 A  3B, A  B และ A  B
A  B = (-4, 1) + (2, 5)
= (-4 + 2, 1 + 5)
= (-2, 6)
ให้ A (-4, 1) และ B (2, 5)
=
2(-4,
1)
+
3(2,
5)
2A  3B
= (-8, 2) + (6, 15)
= (-2, 17)
ให้ A (-4, 1) และ B (2, 5)
A  B = (-4, 1) - (2, 5)
= (-4 - 2, 1 - 5)
= (-6, -4)
ให้ A (-4, 1) และ B (2, 5)
เมื่อ A  B  ( 6,4 )
A  B  ( 4  2 ) 2  (1  5) 2
 ( 6) 2  ( 4 ) 2
 36 16
 52
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
บทนิยาม
2
ถ้ า A = (a, b) เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ใน R
ที่ไม่ ใช่ เวกเตอร์ ศูนย์ แล้ ว
1
1
A 
 (a, b )
A
a2  b2
เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มีทศิ ทาง
เดียวกันกับ A
ให้ A (12, -5) จงหาเวกเตอร์ หนึ่ง
หน่ วยที่มีทศิ ทางเดียวกันกับ A
เนื่องจาก A  (12) 2  ( 5) 2  169  13
จะได้
1 1
12 5 

A  (12,5)   , 
A
13
 13 13 
เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มีทศิ ทาง
เดียวกันกับ A
a
i

b
j
ผลบวกและผลต่
า
ง
Y
(1, 0)
j
O
A
(1,
0)
i
X
ให้ i = (1, 0) เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยตามแกน x
j = (0, 1) เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยตามแกน y
ให้ i = (1, 0) เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยตามแกน x
j = (0, 1) เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยตามแกน y
A = (a, b) เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ ใน
จะเห็นว่ า A = (a, b)
= (a, 0) + (0, b)
= a(1, 0) + b(0, 1)
= ai + b j
A
2
R

จงเขียนเวกเตอร์ A (2, -1) และ
 

B (-3, 5) ให้ อยู่ในรูป a i  b j

A  ( 2,1)
2 i  j

B  ( 3,5) 
 3 i  5 j
ให้ A  4 i  3 j, B  2 i  4 j และ C  2 j
จงหา A  B, A  C, B  2C และ B  2C
A  B  (4i  3 j)  (2i  4 j)
 6i  j
ให้ A  4 i  3 j, B  2 i  4 j และ C  2 j
A  C  (4 i  3 j)  (2 j)
 4i  3 j  2 j
 4i  j
ให้ A  4 i  3 j, B  2 i  4 j และ C  2 j
B  2C  (2i  4 j)  2(2 j)
 (2i  4 j)  (4 j)
 2i
ให้ A  4 i  3 j, B  2 i  4 j และ C  2 j
เนื่องจาก B  2C  2 i
ดังนัน้ B  2C  2 2
 4
2
จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ ของเวกเตอร์
 
i  i, i  j, i  j และ j j
Y


i

i
cos
0
i i
 (1)(1)(1)
1
j
i
X
จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ ของเวกเตอร์
 
i  i, i  j, i  j และ j j
Y


i

j
cos
90
i j
 (1)(1)( 0 )
0
j
i
X
จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ ของเวกเตอร์
 
i  i, i  j, i  j และ j j
Y


j

i
cos
90
j i
 (1)(1)( 0 )
0
j
i
X
จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ ของเวกเตอร์
 
i  i, i  j, i  j และ j j

j j  j  j cos 0
 (1)(1)(1)
1
Y
j
i
X
ผลคูณเชิงสเกลาร์
บทนิยาม
ถ้ า A  (a1 , b1 ) และ B  (a 2 , b 2 ) เป็ น
2
เวกเตอร์ ใน R ผลคูณเชิงสเกลาร์ ของ
A และ B
กาหนดดังนี ้ A  B = a1a2 + b1b2
A
ให้ A  2 i  3 j, B  4 i  j, และ C  2 j  8 j
จงหา A  B และ B  C
=
(2)(4)
+
(-3)(1)
AB
=5
=
(4)(2)
+
(1)(-8)
B C
=0
มุมระหว่ างเวกเตอร์
ถ้ า A และ B เป็ นเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
ใดๆ ที่ A และ B ตัง้ ฉากกัน ก็ต่อเมื่อ
A
AB 0
จากบทนิยามของการคูณสเกลาร์ กับ
เวกเตอร์ A  B  A B cosθ
จะได้
AB
cosθ 
AB
A
เมื่อ  เป็ นมุมระหว่ าง A และ
และ 0  180
B
ระบบพิกัดฉากสามมิติ R3
Z
X
Y
O
X
Z
Y
Z
Z
หรื อ
O
X
xy
Y
xy
O yz
Y
X
แกน x และแกน y กาหนดระนาบอ้ างอิง เรี ยกว่ า ระนาบ xy
แกน y และแกน z กาหนดระนาบอ้ างอิง เรี ยกว่ า ระนาบ yz
แกน x และแกน z กาหนดระนาบอ้ างอิง เรี ยกว่ า ระนาบ xy
3
R
เมื่อกาหนดจุด P ใดๆ ใน การระบุ
ตาแหน่ งหรื อพิกัดของจุด P จะใช้ จานวน
จริงสามจานวนเรียงกันตามลาดับ เรี ยกว่ า
ไตรอันดับ ในรู ป (a, b, c) เมื่อ a, b, c เป็ น
ระยะที่มีทศิ ทางตามแกน x, y, z ตามลาดับ
เรียก (a, b, c) ว่ าพิกัดของจุด P
บางครัง้ เขียนเป็ น P(a, b, c)
Z
c
P(a, b, c)
X
a
O
b
Y
ระยะทางระหว่ างจุดสองจุด
การหาระยะทางระหว่ างจุดสองจุดใดๆ ใน R3
อาศัยทฤษฎีบทปี ทาโกรัสและความรู้เรื่ อง
ระยะทางระหว่ างจุดบนระนาบ จะได้ สูตรดังนี ้
ระยะทางระหว่ างจุด P(x1, y1, z1) Q(x2, y2, z2)
หรือ ระยะ PQ เท่ ากับ
x 2  x1   y 2  y1   z 2  z1 
2
2
2
จงหาระยะทางระหว่ างจุด A (1, 2, -4) และ
B (3, -1, 2)
ระยะ AB  3  1   1  2  2   4
2
2
2
2
2
  2     3   2  4 
 4  9  36
 49
= 7 หน่ วย
2
3
R
เวกเตอร์ A ใน คือสามสิ่งอันดับ
(a, b, c) เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริง
เรี ยก a, b, c ว่ าองค์ ประกอบที่หนึ่ง
ที่สอง และที่สามของ A ตามลาดับ
Z
c
(a, b, c)
A
a
X
0
b
Y
ขนาดของเวกเตอร์
ให้ A = (a, b, c) เป็ นเวกเตอร์ ใน
นิยามขนาดของ A
A
เขียนแทนด้ วย
ดังนี ้
A  a b c
2
2
2
3
R
เป็ นระยะทางจากจุดกาเนิดถึงจุดปลาย
(a, b, c) นั่นเอง
A
เห็นได้ จากบทนิยามของขนาดว่ า
ก็ต่อเมื่อ A  O
A 0
การเท่ ากันของเวกเตอร์
ให้ A = (a1, b1, c1) และ B = (a2, b2, c2)
3
เป็ นเวกเตอร์ ใน R จะกล่ าวว่ าเวกเตอร์
และ A เท่ ากับ B
ก็ต่อเมื่อ a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2 และ
จะเขียนแทนด้ วย A  B
การคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์
ให้ = (a, b, c) เป็ นเวกเตอร์ ใน
และ m เป็ นสเกลาร์ ผลคูณของ A
3
m
A
กับ m คือเวกเตอร์
ใน R
นิยามดังนี ้ mA  ma, mb, mc
A
3
R
พิจารณาเวกเตอร์ เชิงเรขาคณิต
mA = m(a, b, c) = (ma, mb, mc) เป็ น
เวกเตอร์ ท่ ขี นานกับ A ถ้ า m > 0 จะได้
mA มีทศ
ิ ทางเดียวกับ A และ
ถ้ า m < 0 จะได้ mA มีทศิ ทาง
ตรงข้ ามกับ A
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วย
ถ้ า A = (a, b, c) เป็ นเวกเตอร์ ใดๆ
3
ใน R ที่ไม่ ใช่ เวกเตอร์ ศูนย์ แล้ ว
1
A
A
1
a b c
2
2
2
A
เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มีทศิ ทาง
เดียวกันกับ A
ให้ A = (4, -1, 3) จงหาเวกเตอร์ หนึ่ง
หน่ วยที่มีทศิ ทางเดียวกันกับ A
2
2
2
A   4    1  (3)
 16  1  9
 26
ให้ A = (4, -1, 3) จงหาเวกเตอร์ หนึ่ง
หน่ วยที่มีทศิ ทางเดียวกันกับ A
1 
1
A


4
,

1
,
3
A
26
4 1 3 


,
,

 26 26 26 
เป็ นเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยที่มีทศิ ทาง
เดียวกันกับ A ที่ต้องการ
ถ้ า A  O , B  O จงหาเงื่อนไขที่
ทาให้ A และ B ขนานกัน
ให้ A = (a1, b1, c1) และ B = (a2, b2, c2)
ถ้ า A และ B ขนานกัน
ดังนัน้ มีสเกลาร์ m ซึ่ง A  mB นั่นคือ
(a1, b1, c1) = m(a2, b2, c2) = (ma2, mb2, mc2)
ดังนัน้ a1 = ma2, b1 = mb2, c1 = mc2
จะได้
a1 b1 c1

 m
a 2 b2 c2
ดังนัน้ A และ B ขนานกัน ถ้ าผลหาร
ของแต่ ละองค์ ประกอบของเวกเตอร์ ทงั ้
สองมีค่าเท่ ากัน


กาหนดให้ A = (6, -2, 4) และ B =(-3,1,-2)


จงตรวจสอบว่ า A และ B ขนานกันหรือไม่
พิจารณา
6 2 4
   2
2 1 2


จะเห็นว่ า A = -2 B


ดังนัน้ A และ B ขนานกัน
ผลบวกและผลต่ าง
ให้ A = (a1, b1, c1) และ B = (a2, b2, c2)
3
เป็ นเวกเตอร์ ใน R นิยามผลบวกและ
ผลต่ างของ A และ B
เขียนแทนด้ วย A  B และ A  B ดังนี ้
A  B = (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)
A  B = (a1 - a2, b1 - b2, c1 - c2)
พิจารณา B  A จากรู ป
Z
(a2, b2, c2)
BA
(a2-a1, b2-b1, c2-c1)
BA
B
A
0
X
(a1, b1, c1)
Y
เมื่อ A(a1, b1, c1) และ B(a2, b2, c2)
3
เป็ นจุดใน R จะได้ เวกเตอร์ ซ่ งึ มี
จุดเริ่มต้ นที่ Aและจุดปลายที่ B
AB = (a2- a1, b2- b1, c2- c1)
สมบัตทิ ่ สี าคัญเกี่ยวกับการบวก
และการคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์
ถ้ า A , B , C เป็ นเวกเตอร์ ใน
และ m, n เป็ นสเกลาร์ แล้ ว
1. A  B  B  A
2. A  B  C  A  B C
3
R


3. m A  B  mA  mB
4. m  nA  mA  nA
5. A  O  A
 
6. A   A  O
  
การเขียนเวกเตอร์ ในรู ป a i  b j  ck

ให้ i = (1, 0, 0)
Z
j = (0, 1, 0)


k = (0, 0, 1) i k
Y
O
X
j

3
สาหรั บ A = (a, b, c) ใดๆ ใน R
จะได้

A = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c)
= a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
  
=ai +b j+ck


กาหนดให้ A = (5, -3, 2), B = (4, 0, -4)

และ C = (0, -6, 3)   
จงเขียน ให้ อยู่ในรู ป a i  b j  ck
 5i  3j  2 k
A   
B 4 i 4k
 

C   6 j  3k
   
จงเขียนเวกเตอร์ A  2 i  j  3 k
   
และ B  i  3 j  5 k
ให้ อยู่ในรู ป (a, b, c)

A  ( 2,1,3)

B  (1,3,5)
การคูณสเกลาร์ กับเวกเตอร์ การบวก
และการลบเวกเตอร์ มีสูตรดังนี ้
ถ้ า A  a1i  b1 j  c1 k ,
B  a 2 i  b2 j  c2 k
และ m เป็ นสเกลาร์ แล้ ว
mA  ma1i  mb1 j  mc1 k
ถ้ า A  a1i  b1 j  c1 k ,
B  a 2 i  b2 j  c2 k
A  B  a1  a 2 i  b1  b2 j  c1c2 k
A  B  a1  a 2 i  b1  b2 j  c1c2 k
จงหาเวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยในทิศทาง
เดียวกับ A  4i  j  3k
หาขนาดของเวกเตอร์ A ได้ ดังนี ้
A  4   1   3  26
2
2
2
เวกเตอร์ หนึ่งหน่ วยในทิศทางเดียวกับ A
1  1 4i  j  3k 
คือ
A 26
A
4
1
3

i
j
k
26
26
26
ผลคูณเชิงสเกลาร์
ให้ A  a1 i  b1 j  c1 k และ B  a i  b j  c k
3
เป็ นเวกเตอร์ ใน R
นิยามผลคูณเชิงสเกลาร์ ของ A และ B
เขียนแทนด้ วย A  B ดังนี ้
2
เมื่อ
AB
2
= a1a2 + b1b2 + c1c2
2
กาหนดให้ A  2i  j  3k และ B  i  j  k
จงหาผลคูณเชิงสเกลาร์ ของ A และ B
 
A  B  a1a 2  b1b 2  c1c 2
จากบทนิยาม จะได้
A  B = (2)(1) + (-1)(1) + (3)(-1)
= 2 -1 - 3
= -2
3
R
บทนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ ใน สามารถ
แสดงได้ ว่ามีความสอดคล้ องกับข้ อความต่ อไปนี ้
ให้ A  a1i  b1 j  c1 k และ
เป็ นเวกเตอร์ ใน R3 แล้ ว
B  a 2 i  b2 j  c2 k
A  B  A B cos
เมื่อ  เป็ นมุมระหว่ างเวกเตอร์
และ 0   180
A
และ B
Z
(a1, b1, c1)
(a2, b2, c2)
A

0
X
B
Y
การตัง้ ฉากกันของเวกเตอร์
เวกเตอร์ A และ B ใน R3 ตัง้ ฉากกัน
ก็ต่อเมื่อมุมระหว่ าง A และ B เท่ ากับ 90
เงื่อนไขที่เพียงพอและจาเป็ นสาหรั บการตัง้
ฉากกันคือ A  B  0 เมื่อ A และ B ไม่ ใช่
เวกเตอร์ ศูนย์
จงตรวจสอบว่ าเวกเตอร์ แต่ ละคู่ในข้ อ
ต่ อไปนีต้ งั ้ ฉากกันหรื อไม่
(1)
A  2i  3 j  k
และ
B  i  2k
(2)
C  i  j  2k
และ
D  2i  2 j  k
(1) เนื่องจาก
ดังนัน้
A
AB
= (2)(1)+(3)(0)+(-1)(2) = 0
และ B ตัง้ ฉากกัน
การคูณเชิงเวกเตอร์
ถ้ า A  a1i  b1 j  c1 k และ B  a 2 i  b2 j เป็c2นk
3
เวกเตอร์ ใน R ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ของ A
และ B เขียนแทนด้ วย A B
(อ่ านว่ า A ครอส B) เป็ นเวกเตอร์ ซ่ งึ กาหนด
ดังนี ้
i
j k
A B  a1 b1 c1
a 2 b2 c2

b1 c1
b2 c2
i
a1 c1
a 2 c2
j
a1 b1
a 2 b2
k
 b1c 2  b 2 c1 i  a 2 c1  a1c 2 j  a1b 2  a 2 b1 k
i
j
A B  a1 b1
a 2 b2

k i
c a1
c a2
1
2

j
b1
b2






 b1c 2 i  c1a 2 j  a1b2 k  a 2 b1 k  b2 c1 i  c 2a1 j
 b1c 2  b 2 c1 i  a 2 c1  a1c 2 j  a1b 2  a 2 b1 k
ให้ A  i  2 j  3k และ B  2i  j  4k
จงหา A B และ A  B
i j k
2 3 1 3 1 2
i
j
k
A B  1 2 3 
1 4 2 4 2 1
2 1 4
 8   3i  4  6j  1 4k
 11i  2 j  5k
A B  11i  2 j  5k
AB 
11
2
 2   5
2
2
 121 4  25
 150
5 6
25 6  25  6
สมบัตขิ องการคูณเชิงเวกเตอร์
ถ้ า A , B , C เป็ นเวกเตอร์ ใน R3 และ m
เป็ นสเกลาร์ จะได้ ว่า
 
A  B  C  A  B A  C
mA  B  mA B  A  mB
1. A  B   B A
2.
3.
 
B  A  B  O
4. A  A  B  O
5.
6. A  B  A B A  B
2
2
2
2
7. A  B  A  B sin  เมื่อ  เป็ นมุม
ระหว่ าง A และ B และ 0180
ให้ A  2i  j  3k และ B  i  4 j  2k
จงหา A B และ B A

i j
k i
A  B  2 1 3 2
1 4 2 1

j
1
4

 
 2i  3 j 12k  k 12 i  4 j
 10i  7 j  9k
ให้ A  2i  j  3k และ B  i  4 j  2k
จงหา A B และ B A

i j
k i
B A  1 4  2 1
2 1 3 2

j
4
1
 

12i  4 j  k  8 k  2 i 12 j
10i  7 j  9k
จงหาขนาดของ
A B  10i  7 j  9k
2
A  B   10  ( 7) 2  92
 100  49  81
 230
จงแสดงว่ า A  A  O สาหรั บทุก A
ให้
A  xi  y j  zk
A A
i j ki j
x y zx y
x y zx y
 0i  0 j  0k
O
ใน
3
R
A  B  A B sin 
เมื่อ  เป็ นมุมระหว่ าง A และ B และ


0  180
จะได้ ว่า A  B  A B ก็ต่อเมื่อ A และ B
ตัง้ ฉากกัน เนื่องจาก sin  = 1

ดังนัน้
 = 90
ขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์
พิจารณารู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนานซึ่งมีจุดยอด
อยู่ท่ จี ุด P, Q, R และ S มี  เป็ นมุม
ระหว่ างด้ าน PQ และด้ าน PS, ST เป็ น
ส่ วนสูงของ □PQRS
S
R
S
P
B sin 
B sin 
B

R
T
Q
T
B

P
Q
ให้ A  PQ และ B  PS
พิจารณารู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก SPT
S
เนื่องจาก sin  
ST
B
P
ดังนัน้
B sin 
B
ST  B sin 

T
A  PQ
Q
R
พืน้ ที่ของรู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนาน PQRS
S
= ฐาน สูง
 A B sin 
 AB
B sin 
B
P

R
T
A  PQ
A  B  A B sin 
Q
ขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ A B
หรื อ A B คือ
พืน้ ที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้ านขนานที่มี
A และ B เป็ นด้ านประชิดสองด้ าน
ของรูปสี่เหลี่ยมด้ านขนานนัน้
รู ปสามเหลี่ยมที่มีฐานและส่ วนสูง
เท่ ากับฐานและส่ วนฐานของ
รู ปสี่เหลี่ยมด้ านขนาน จะมีพนื ้ ที่เป็ น
ครึ่งหนึ่งของพืน้ ที่ของรู ปสี่เหลี่ยมด้ าน
S
R
ขนาน
P
Q
S
R
จากรู ป
P
Q
พืน้ ที่รูปสี่เหลี่ยมด้ านขนาน PQRS
 PQ PS
พืน้ ที่รูปสามเหลี่ยม
1
PQS  PQ  PS
2
3
R
ใน กาหนดจุด P(2, 0, 1), Q(1, -2, 2)
และ S(2, 1, -3) จงหาพืน้ ที่ของ
รู ปสามเหลี่ยม PQS
PQ  (1  2)i   2  0j  2 1k
 i  2 j  k
PS  (2  2)i  1 0j   3 1k
 j 4k
PQ  i  2 j  k
PQ PS
PS  j 4k
i
j
k i
j
 1  2 1 1  2
0
1 4 0 1
   
8 i  k  i 4 j
  
7 i 4 j  k
PQ PS
 7i  4 j  k
 7   4   1
2
2
2
 66
1
พืน้ ที่ของ PQS  PQ  PS
2
1
 66 ตารางหน่ วย
2