Transcript ง 30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต ความหมายของเมทริกซ ์  บทนิยาม 6.1 การนาจานวนจริงมาเขียนเรียงกันให้อยูในรู ปสี่ เหลีย ่ มมุม ่ ฉากเป็ น 2 มิต ิ โดยอยูในแนวนอนที เ่ รียกวา่ แถว และ ่ ในแนวตัง้ ทีเ่ รียกวา่ หลัก ถา้ A.

ง 30301 คณิตศาสตร์ดิสครีต
ความหมายของเมทริกซ ์
 บทนิยาม 6.1
การนาจานวนจริงมาเขียนเรียงกันให้อยูในรู
ปสี่ เหลีย
่ มมุม
่
ฉากเป็ น 2 มิต ิ โดยอยูในแนวนอนที
เ่ รียกวา่ แถว และ
่
ในแนวตัง้ ทีเ่ รียกวา่ หลัก
ถา้ A เป็ นเมทริกซ ์ เราจะเขียนแทนดวย
A ดวย
[aij]
้
้
เมือ
่ aij เป็ นจานวนจริงใดๆ ในแถวที่ i และหลักที่ j
ของ A
จะกลาวว
า่ A เป็ นเมทริกซขนาด
m x n ถา้ A เป็ นเมท
่
์
ริกซทีม
่ ี m แถวและ n หลัก เขียนแทนขนาดของ A
ตัวอย่าง
1 2 
Α  0 8 
7 5
เป็ นเมทริกซ์
ขนาด 3x2
A
 a12 = 2
5  4 1 0 
B

3
7
10

2


 a32 = 5
เป็ นเมทริกซ์
ขนาด ?
B
 กรณีทว
่ ั ไป ถา้ A เป็ นเมทริกซขนาด
mxn
์
เขียนแทน A ดวย
[a
1 iji]mxn
m
1 j  n
้
เมือ
่ aij
เป็ นจานวนจริง โดยที่
และ
นั่นคือ
 a11
a
 21
A 

 
am1
a12
a22
am 2
  a1n 
  a2 n 



  amn 
บทนิยาม 6.2
เรียกเมทริกซที
่ แ
ี ถวเดียววา่
์ ม
หรือ
เมทริกซ์แถว
เวกเตอร์แถว และ
2
ิ
เรียกเมทริ
ก
ซ
ที
ม
่
ห
ี
ลั
ก
เดี
ย
วว
า
เมทร
กซ์หลัก
์
่


A    1
B   3 7 11  5
หรือ เวกเตอร์หลัก
 0 
 บทนิยาม 6.3
เมทริกซที
่ จ
ี านวนแถวเทากั
่ บจานวนหลัก เรียกวา่
์ ม
เมทริกซ์จตั รุ สั และ
เรียกเมทริกซที
่ ก
ุ จานวนมีคาเป็
่ น 0 วา่
์ ท
ศูนย์ เขียนแทนดวย
[0] หรือ 0
้
0 0
C

0
0


ตัวอย่าง
1 0 0 
D  0 1 0
0 0 1
เมทริกซ์
3 0 4
E   10 1 8 
 3 4  5
 บทนิยาม 6.4
ให้ A = [aij] และ B = [bij] จะกลาวว
า่ A และ B เป็ น
่
เมทริกซ์ที่เท่ากัน
เขียนแทนดวย
A = B ก็ตอเมื
่ เมทริกซทั
้
่ อ
์ ง้ สองมีขนาด
เทากั
านวนในตาแหน่งทีต
่ รงกันเทากั
น นั่นคือ aij
่ 1นและจ
่
0 0
1 0 0 
1 0 0
= bijทุกคา่ i และ j 



A  0  1 2 
0 3 4
B  0 1  2 
0 3 4 
1 0 
D  0  1
0 3 
 0 0
E   1 2
 3 4
C  0  1 2 
0 3 4
เมทริกซใดที
่
์
เทากั
่ นบาง?
้
A=C
การดาเนินการบนเมทริกซ์
 บทนิยาม 6.5
ให้ A = [aij] และ B = [bij] เป็ นเมทริกซขนาด
mxn
์
ของ A และ B เขียนแทนดวย
A + B มีคา่
้
ผลบวก
เทากั
่ บ [aij + bij]
และ A + B มีขนาดเป็ น m x n
 บทนิยาม 6.6
กาหนด A = [aij] เป็ นเมทริกซขนาด
mxn
์
ของสเกลาร์ k ของ
ผลคูณ
A เขียนแทนดวย kA หรือ Ak
ตัวอย่าง
กาหนด
จงหา A
1 0 0
A  0  1 2
+ B0 3 4
2
 3 1
 1 3 1 
B และ


 4  2  4
วิธท
ี า
เนื่องจาก A และ B เป็ นเมทริกซที
่ ข
ี นาด 3 x 3 จะ
์ ม
ไดว
กซทีม
่ ข
ี นาด
3x3
้ า่ A1+ B0 เป็ 0นเมทริ
2
  3 ์ 1


 
A + B = 0  1 2    1  3 1 
0
=
3
4
 4
 2  4
0 1
02 
1  (3)
 0  1  1  (3)

2

1


 0  4
3  (2) 4  (4)
 2 1 2
=  1  4 3
 4
1 0
ตัวอย่าง
กาหนด
1 0 0
A  0  1 2
0 3 4
จะไดว
้ า่
0
 1 0
k1 A   0
1  2
 0  3  4
0 0 0 
k 2 A  0 0 0  [0]
0 0 0
และ k1 = -1, k2 = 0
ทฤษฎีบท 6.1
 ให้ A, B และ C เป็ นเมทริกซ์ขนาด m x n
และ k1 และ k2 เป็ นสเกลาร์ จะได้ว่า
 k1(A + B) = k1A +
k 1B
 (A + B) + C = A + (B + C)
A+B=B+A
 (k1 + k2)A = k1A +
k 2A
 A + (-A) = 0 = (-A) + A (k1k2)A = k1 (k2A)
 1A = A
A+0=A=0+A
 บทนิยาม 6.7
ให้ A = [aij] เป็ นเมทริกซขนาด
m x k และ B = [bij] เป็ น
์
เมทริกซขนาด
kxn
์
ผลคูณของ
A และ B เขียนแทนดวย
AB มีคาเท
้
่ ากั
่ บ [cij]
ซึง่ เป็ นเมทริกซขนด
m x n โดยที่ มีคาเท
่ ากั
่ บผลบวกของผล
์
คูณของจานวนในแถวที่ i ของ A และหลักที่ j ของ B
1 i  m
1 j  n
โดยที่ cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aikbkj
เมื่อ
และ
ศึ กษาเพิม
่ เติม
 http://demonstrations.wolfram.com/MatrixMultiplicatio
n/ (recommended)
 http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multi
ply-matrix.php
 http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)
 Matrix chain multiplication
 1 0 4
A   10 1 1 
 2 4  1
1 2
B  3 0
5 0
C  2 0 1
จงพิจารณาวา่ เราสามารถหาผลคูณของเมท
ริกซที
่ าหนดให้ ไดหรื
์ ก
้ อไม่

AB =
?

BA =

AC =
?

CA =

BC =
?

CB =
ทฤษฎีบท 6.2
 กาหนด A, B และ C เป็ นเมทริกซ์ซึ่งสามารถ
หาผลบวกและผลคูณได้ และ k เป็ นสเกลาร์
จะได้ A(BC) = (AB)C
 A(B + C) = AB + AC
 (A + B)C = AC + BC
 k(AB) = (kA)B = A(kB)
โจทย ์ Programming
1. จงเขียนโปรแกรมหาผลคูณของเมทริกซ ์ A และ B ซึง่
เป็ นเมทริกซขนาด
2x2
์
2. จงเขียนโปรแกรมหาผลคูณของเมทริกซ ์ A และ B ซึง่
เป็ นเมทริกซขนาด
M x N โดยที่ M และ N เป็ น
์
จานวนเต็มทีม
่ ค
ี าตั
่ ง้ แต่ 1 ถึง 4 หากไมสามารถหาผล
่
คูณไดให
“ERROR” ออกทางจอภาพดวย
้ ้แสดงขอความ
้
้
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
(Transposes of Matrices)
 บทนิยาม 6.8
ให้ A = [a ] เป็ นเมทริกซขนาด
m x n เมทริกซ์สลับ
์
เปลี่ยนของ A เขียนแทนดวย
A คือเมทริกซ ์ [a ]
้
ij
T
1 i  m
1 j  n
ji
ขนาด n x m ทีไ่ ดจากการสลั
บแถวและหลักของ A
้
นั่นคือ ถา้ A = [aij] และ AT = [bij] แลว
[bij] =
้
[aji]
เมือ
่
และ
ตัวอย่าง
กาหนด
1 2
A  3 4
5 6
จงหา AT
เนื่องจาก A เป็ นเมทริกซที
่ ข
ี นาด 3 x 2 ดังนั้น
์ ม
มีขนาด 2 x 3 และ
1 3 5
A 

2 4 6
T
AT
กาหนด
 1 0 4
A   10 1 1 
 2 4  1
จงหา AT
1 2
B  3 0
5 0
, BT และ CT
C  2 0 1
ทฤษฎีบท 6.3
 กาหนด A, B และ C เป็ นเมทริกซ์ซึ่งสามารถ
หาผลบวกและผลคูณได้ และ k เป็ นสเกลาร์
จะได้ (A + B)T = AT + BT
 (AB)T = BTAT
 (kA)T = kAT
 (AT)T = A
บทนิยาม 6.9
เมทริกซจั
ั A เป็ นเมทริกซ์สมมาตร ก็
์ ตุรส
T
ตอเมื
อ
่
A
=
A
่
นเมทริกซสมมาตร
จงพิจารณาวา่ เมทริกซใดเป็
์
์
?
1 0
A

0
1



0 2 4
B  2 1 3
4 3 0

1 2 3 
C  0 3 2
3 0 1 

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity
matrix of order n)
 บทนิยาม 6.10
I   
เมทริกซ์เอกลักษณ์อนั ดับ n เขียนแทนดวย
้
n
ij
คือเมทริ
n x n ทีม
่ ี
i ขนาด
1ก,ซ
์ j
 ij  
1 0   0
0
,
i

j

0 1   0 


A  




 
นั่นคือ

0 0   1
เมทริกซใดไม
ใช
กษณ?
์
่ ่ เมทริกซเอกลั
์
์

0 1 
1 0 


1 0 0 
0 1 0 


0 0 1 
1 0 
0 1 


1
0

0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0

1
กาหนด
1 2


A  3 4 
5 6
จงหา AI2 และ
I3A
ทฤษฎีบท 6.4
ถ้า A เป็ นเมทริกซ์ขนาด m x n
แล้ว
AIn = ImA = A
เมทริกซ์ผกผัน
 บทนิยาม 6.10
ถา้ A และ B เป็ นเมทริกซขนาด
n x n ซึง่ AB =
์
BA = In
จะเรียก B วา่
-1
ดวย
A
้
เมทริกซ์ผกผันของ
A เขียนแทน
และเรียก A วา่ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน (Nonsingular
Matrix)
ดีเทอร์มิแนนต์
 บทนิยาม 6.12
ถา้ A เป็ นเมทริกซขนาด
n x n ดีเทอรมิ
์
์ แนนตของ
์
A เขียนแทนดวย
det(A) หรือ |A|
้
นิยามโดย
1) ถา้ A a= [aa11]
แลว
det(A)
= | a11 | =
้
a
a
11
12
11
12
A

a11a22  a12 a21
a11
a

a
a
a

2) ถา้
=
21
22

21
22
แลว
้ det(A) =
ดีเทอร์มิแนนต์
 บทนิยาม 6.12(ต่อ)
3)
 a11
A  a21
ถา้
a31
a12
a22
a32
a11
a12
a13
det(A)  a21
a22
a23
a31
a32
a33
a13 
a23 
a33 
แลว
้
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a32 a21  a13a22 a31  a12 a21a33  a11a32 a23
ดีเทอร์มิแนนต์
det(A)  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a32 a21  a13a22 a31  a12 a21a33  a11a32 a23
ทฤษฎีบท 6.5
ถ้า A และ B เป็ นเมทริกซ์ขนาด
n x n แล้ว
det(AB) =
det(A)det(B)
ทฤษฎีบท 6.6
 เมทริกซ์ A ขนาด 2 x 2 จะมีเมทริกซ์ผกผันก็
ต่อเมื่อ det(A) ≠ 0 และ
ถ้า
a b 
A

c
d


1  d  b
A 
det(A)  c a 
1
แล้ว
ตัวอย่าง
1 2
A

3
4


กาหนด
A
จงหาเมทริกซผกผั
นของ
์
เพราะวdet(
า่ A)  (1 4)  (2  3)  4  6  2  0
A-1 ได้ และ
แสดงวาหา
่
1 
1  4  2  2
A 




 2  3 1  1.5  0.5
1
ทาแบบฝึ กหัดบทที่ 6
ขอ
1
10
้
ศึ กษาเพิม
่ เติม
 http://demonstrations.wolfram.com/33DeterminantsB
yExpansion/
 http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickm
ath/matrices/determinant/basic.jsp
 http://www.purplemath.com/modules/determs.htm
 http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant
เมทริกซ์กบั ความสัมพันธ์
 การแทนความสัมพันธ์ที่กาหนดในรูป
เมทริกซ์ 0 – 1
สมมติให้ A = {a1, a2, … , am} และ B = {b1,
b2, … , bn}
1, (ai , b j )  r
เมทริกซ์ 0m–ij1ของความสั
มพันธ์ r เขียนแทน

0
,
(
a
,
b
)

r
i
j

ด้วย Mr = [mij]mxn
ตัวอย่าง
 ให้ A = {1, 2, 3} และ B={1, 2} และ r เป็ น
r  {(a, b)  A  B | a  b}
ความสัมพันธ์จาก A ไป B สมมติให้
วิธีทา เนื่องจาก
= {(1, r1),
2), (2,
ิ กซ์2)}
จงเขียrนแทน
ด้ว(1,
ยเมทร
0 –จะได
1 Mเมท
้r
ริกซ ์ 0 – 1 Mr คือ
1 1


M r  0 1 
0 0
1, (ai , b j )  r
mij  
0
,
(
a
,
b
)

r
i
j

ตัวอย่าง
 ให้ A = {2, 4, 6} และ B={1, 2} และ r เป็ น
r  {(a, b)  A  B | a  b}
ความสัมพันธ์จาก A ไป B สมมติให้
วิธีทา เนื่องจาก
= {(2, r1),
1), (4,
1),r
ิ กซ์2),
จงเขียrนแทน
ด้ว(4,
ยเมทร
0 –(6,
1M
(6, 2)}
จะไดเมทริ
กซ ์ 0 – 1 Mr คือ
้
1 0 


M r  1 1 
1 1 
ตัวอย่าง
 ให้ A = {a1, a2, a3} และ B={b1, b2, b3, b4, b5}
จงหาความสัมพันธ์0 r เมื
0 ่อ0
1 0
M r  1 0 1 0 0
0 1 0 1 1
r  {(a1, b4), (a2, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a3, b4), (a3, b5)}
ความสัมพันธ์ ช่วยพิจารณาสมบัติ
สะท้อน และสมบัติสมมาตร
(aต
aiเมื
) ่อr
 r มีสมบัติสะท้อน ก็
i ,่ อ
ทุก
i = 1,2,3,.., n
นัน่ คือ ถ้าพิจารณาจากสมาชิกของเมทริกซ์ 0
1


– 1 Mr จะได้ว่า 

1


M

r มีสมบัติสะท้อน ก็ต่อ
เมื่อ m
 ii = 1 ทุก i =
r
1,2,3,…,n



1
ความสัมพันธ์ ช่วยพิจารณาสมบัติ
สะท้อน และสมบัติสมมาตร
 r มีสมบัติสะท้อน ก็ตอเมื
่ สมาชิกใน
่ อ
แนวเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ ์ 0 – 1
Mr เป็ น 1
 r มีสมบัติสมมาตร ก็ตอเมื
่ เมทริกซ ์ 0
่ อ
– 1 Mr เป็ นเมทริกซสมมาตร
์
ตัวอย่าง
 ให้ความสัมพันธ์ r แทนด้วยเมทริกซ์
1 1 0 
M r  1 1 0
0 0 1
พิจารณาว่า r มีสมบัติสะท้อนและสมบัติสมมาตร
หรือไม่
การดาเนินการบูลีน และ
1, a  b  1
a b  
0,
อื่น
ๆ
1, a  1  b  1
ab  
0, อื่น
ๆ

ตัวอย่าง
กาหนด
1 0 1
A

0
1
1


0 1 0
Bและ


1
1
0


จงหา A  B และ A  B
AB =
1  0 0  1 1  0
0  1 1  1 1  0


AB =
1  0 0  1 1  0
0  1 1  1 1  0


=
1 1 1
1 1 1


=
0 0 0 
0 1 0 


ตัวอย่าง
1 0 0 
กาหนดA  0 1 0
1 0 1
จงหา A  B และ A  B
1 1 1 
Bและ
 0 1 0
0 0 1
การหาผลคูณบูลีนของเมทริกซ์
0 – 1 (AB)
 การหาผลคูณบูลีนของเมทริกซ์ 0 – 1
ของ A กับ B หรือ AB จะเหมือนกับ
การหาผลคูณของเมทริกซ์ธรรมดา
 แทนเครื่องหมายบวก ด้วย 
 แทนเครื่องหมายคูณ ด้วย 
ตัวอย่าง
กาหนด A  1 0 1
จงหา A  B
1 1 1 


และ
B  0 1 0 
0 0 1
ยูเนี ยนและอินเตอร์เซกชันของ
ความสัมพันธ์ 2 ความสัมพันธ์
 บทนิยาม 6.17
ให้ r และ s เป็ นความสั มพันธจากเซต
A ไป
์
เซต MBr s  M r  M s
M r s  M r  M s
นิยาม
และ
 บทนิยาม 6.18
ให้ r เป็ นความสั มพันธจากเซต
A ไปเซต B
์
และ
M sr  M r  M s
s เป็ นความสั มพันธจากเซต
B ไปเซต C
์
ตัวอย่าง
ให้ r และ s เป็ นความสั มพันธบนเซต
A ซึง่ แทน
์
ดวยเมทริ
ก
ซ
0
–
1
คื
อ
้
์
1 1 1 
1 0 0 
และ M  0 1 0
M  0 1 0 
r


1 0 1
s


0 0 1
จงหาเมทริกซ ์ 0 – 1 ทีแ
่ ทนความสั มพันธ ์ rs และ
rs
วิธีทา จากบทนิยาม 6.17 จะได้
M r s  M r  M s
M r s  M r  M s
ทาต่อ
ทาแบบฝึ กหัดบทที่ 6
ขอ
16
19
้