เนื้อหา matrix-ppt
Download
Report
Transcript เนื้อหา matrix-ppt
1. นิ ยามของเมทริกซ ์
นิ ยามที่ 1 เมทริกซ ์คือ กลุ่มของจานวนจ
่
่
จานวนเชิงซ ้อน มาจัดเรียงเป็ นรู ปสีเหลี
ย
แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แน
่ แถวตามแนวนอนเรียกว่า แถว (Row
ซึงมี
้ั ยกว่า หลัก (Column)
แนวตงเรี
่
้
โดยทัวไปนิ
ยมใช้ในรู ปต่อไปนี แทน
a11 a12 a1n
a
a22 a2n
21
A
am1 am 2 amn
aijน
A เป็
ใช้สญ
ั ลักษณ์
mn
หรือ
Amn
่ 1 แถวและ n หลัก เรียก เม
เมทริกซ ์ทีมี
5 3 8
แถว เช่น
่ m แถวและ 1 สดมภ ์ เรียก
เมทริกซ ์ทีมี
หลัก เช่น
5
3
8
เมทริกซ ์จัตรุ ัส (Square Matrix) คือ
จานวนแถวเท่ากับจานวนหลัก (m=n) ห
่
เมทริกซ ์อ ันดับ n มีรูปทัวไปคื
อ
a11 a12 a1n
a
a
a
2n
21 22
A
an1 an 2 ann
่ ่ในตาแหน่ ง i=j เรียก เส้น
สมาชิกทีอยู
เมทริกซ ์ศู นย ์ (Zero Matrix หรือ Nu
่ สมาชิกทุกต ัวเป็ นศู นย ์หม
คือ เมทริกซ ์ทีมี
0
O=
0
0
0
0
0
0 0
หรื
0 อ0
0 0
0
0
0
เมทริกซ ์ทแยงมุม(Diagonal Matrix
่ สมาชิกทุกต ัวทีไม่
่ ได้อยู ่บนเส้นท
จัตร
ุ ัสทีมี
้
มีคา
่ เป็ นศู นย ์ทังหมด
เช่น
2
0
0
0
3
0
0
0หรือ
4
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
เมทริกซ ์เชิงสเกล่าร ์(Scalar Matrix
่ สมาชิกทุกต ัวบนเส้นทแยงม
ทแยงมุมทีมี
้
ทังหมด
เช่น
4
0
0
0
4
0
0
0หรือ
4
5
0
0
0
0
5
0
0
0
0
5
0
0
0
0
5
เมทริกซ ์เอกลักษณ์ (Identity Matr
่ ส
Unit Matrix) คือ เมทริกซ ์ทแยงมุมทีมี
้
เส้นทแยงมุมหลักมีคา
่ เท่าก ับ 1 ทังหมด
ใ
I หรือ In แทนเอกลักษณ์เมทริกซ ์อ ันดับ n
1
I3 = 0
0
0
1
0
0
0
1
1 0
0 1
หรือ I4 =
0 0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
1
Ex.
A=
3
7
2
1
0
6
1
4
2
เป็ นเมทริกซ ์ขนาด
_________ แถว
4_________ หลัก
เขียนด้วยสัญลักษณ์ _____________
A24
Ex. จงบอกประเภทและอ ันดับของเมทริกซล
พิเศษต่อไปนี ้
1.
0
O=
0
0
0
0
เมทริกซ ์ศู นย2
์ 3
0
อ ันด ับ
2.
1
A=
8
21
เมทริกซ ์หลักอ ันดับ
Ex. จงบอกประเภทและอ ันด ับของเมทริกซล
พิเศษต่อไปนี ้
เมทริกซ ์
8
0 1 5
แถว อ ันดับ
B =
2
4
6
2
0
4. C =
0
0
3
0
0
3 ม
0 เมทริกซ ์ทแยงมุ
4 อ ันด ับ
3.
2. พีชคณิ ตของเมทริกซ ์
2.1 การเท่ากันของเมทริกซ ์ (Equal Ma
ถ้า A aij
mn
จะได้ A = B
และ
n=q
และ
aij = bij
j
B bij และ
pq
่ m=p
ก็ตอ
่ เมือ
ทุกค่าของ
i และ
Ex.
0
0 0.5
A
, B
1.5 6
1 0.5
้ A B
ด ังนัน
Ex.
2 9
2 3
A
, B
5
4 5
4
้ A B
ด ังนัน
0.25
3 2
2.2 การบวกลบเมทริกซ ์ (Matrix
Addition
or
Subtraction)
ให้A a
B b และ
mn
ij
ij
pq
แล้ว A + B = C
่
โดยที
C c
a b
ij
mn
ij
ij
mn
-1
Ex. A =
3
2
-6
4
4
และB =
10
1
จงหา C = A + B
วิธ ี
1 4
ทา C
3 1
22
43
6 7 10 9
และ
2
7
9
D = A
3 4 1
4
1
19
1 4 2 2 4 (3) 5 0 7
D
3
1
6
7
10
9
2
13
1
2.3 การคู ณเมทริกซ ์
การคู ณเมทริกซ ์ด้วยสเกล่าร ์
(Scalar Multiplication)
ให้A aij mn
และ k เป็ นสเกลาร ์ ด
kA kaij
mn
นั่นคือ เป็ นการนา k คู ณกับสมาชิกทุกตัว
เช่น a b
ka kb
k c d = kc
kd
1 -5
Ex. A =
4 1
จงคานวณหา
วิธ ี
ทา
3
0
4A , -3A
4(1) 4(5) 4(3) 4 20 12
4A
4
(
4
)
4
(
1
)
4
(
0
)
16
4
0
3(1) 3(5) 3(3)
3A
3
(
4
)
3
(
1
)
3
(
0
)
3 15 9
12
3
0
่
Ex. จงหาผลคู ณของเมตริกซ ์ AB เมือ
3
1 2
2 0
A 0 1 1 , B 4 1
5 2 3
7 3
วิธ ี
(1)( 2) (2)( 4) (3)(7)
ทา
(1)(0) (2)(1) (3)(3)
AB (0)( 2) (1)( 4) (1)(7) (0)(0) (1)(1) (1)(3)
(5)( 2) (2)( 4) (3)(7) (5)(0) (2)(1) (3)(3)
31 11
3
2
3 7
3. ชนิ ดของเมทริกซ ์
่ (Transposed M
3.1 เมทริกซ ์สลับเปลียน
ถ้าA aij mn
คืAอ aij nm
แล้ว เมทริกซ ์สลับเปล
และใช้สญ
ั ลักษณ์
่
แทนเมทริกซ ์สลับเปลียนของ
A
เช่น
A=
AT
a11
a21
a31
a41
a11
a
= 21
a31
a12 a13
a22 a23
a32 a33
a42 4x3
a43
a12
a22
a32
a13
a14
a23
a24
a333x4 a34
่
Ex. จงหาเมทริกซ ์สลับเปลียนของเมทริ
กซ
1 2
1 3 4
T =
A
A= 3 0
2
0
7
-4 7
4 2 7
4
4
-1
4 3
T
2
B= 2
3
-4B =
1 4 3
-7
2
3
2
T = 2 8 2
C
C= 8
2
่ (Triangular Ma
3.4 เมทริกซ ์สามเหลียม
่
เมทริกซ ์สามเหลียมบน
(Lower Triangula
่ สมาชิกทุกต ัวทีอยู
่ ่เห
เมทริกซ ์จัตร
ุ ัสใดๆ ทีมี
เป็ นศู นย ์หมด
่
เมทริกซ ์สามเหลียมล่
าง (Upper Triangul
่ สมาชิกทุกต ัวทีอยู
่ ่ใต
เมทริกซ ์จัตร
ุ ัสใดๆ ทีมี
เป็ นศู นย ์หมด
เช่น
2 7 5
0 1 3
0 0 1
เป็ นเมทริกซ ์
่
สามเหลียมบน
4 0 0
2 1 0
0 3 6
เป็ นเมทริกซ ์
่
สามเหลียมล่
าง
ดีเทอร์มแ
ิ นนต์ของเมทริกซ ์
A
ดีเทอร ์มิแนนต ์ของเมทริกซ ์ det(A)
หรือ
มี
ความสาคัญในการ
คานวณทางคณิ ตศาสตร ์ วิธค
ี านวณหาดีเทอร ์
มิแนนต ์มีหลายวิธด
ี งั นี ้
กซ ์ขนาด 2x2
(หาดี
เองเมทริ
ทอร ์มิแกนนต
์ได ้ในกรณี ของเมทร
1. เมทริ
การหาโดยตรง
(ในกรณี
ข
ซ
์ขนาด
เล็ก) เช่น
a b
A
, det( A) ad cb
c d
เมทริกซ ์ขนาด 3x3
-
a1 b1 c1 a1 b1
A a 2 b2 c2 a 2 b2
a3 b3 c3 a3 b3
+
-
-
+
+
det( A) a1b2 c3 b1c2 a3 c1a2b3
a3b2 c1 b3c2 a1 c3a2b1
่ ขนาดมากกว่านี จะท
้ าแบบนี ไม่
้ ได ้ ต ้องใช ้วิธก
เมทริกซ ์ทีมี
ี ระจา
การหา Determinant โดยใช้วธ
ิ ก
ี ารกระจาย
Cofactor
Cofactor (Cij ) หาได ้จาก Matrix A ถูกตัดแถวที่
i และ หลัก ที่ j
่ อ (จะ
ออกไปแล ้วหาดีเทอร ์มิแนนต ์ของเมทริกซ ์ทีเหลื
่ 1. จงหาค่าของ C12 และ
ต
ัวอย่
า
งที
มีขนาดเล็กลง
C
2
1
0
23
เสมอ) แล ้วนา cofactor
มาหาค่าดีเทอร ์มิแนนท ์
A 9 4 6
5 3 8
หาค่า C12 ต ้องตัดแถวที่ 1 และ Column ที่ 2 ออก จะได ้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
9 6
5 8
คูณข ้างหน้าด ้วย (-1)(1+2) จะได ้
A12 1
(1 2)
9 6
5 8
42
ตัวอย่างที่ 1. (ต่อ)
หาค่า C23 ต ้องตัดแถวที่ 2 และ หลัก ที่ 3 ออก จะได ้
2 1 0
9 4 6
5 3 8
2 1
5 3
คูณข ้างหน้าด ้วย (-1)(2+3) จะได ้
A23 1
(2 3)
2 1
5 3
1
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลือกว่าจะใช ้แถวหรือ
หลัก ใดก็ได ้
้ ้าเราเลือกแถวหรือ หลัก ทีมี
่
แต่การคานวณจะง่ายขึนถ
สมาชิกเป็ น 0 อยู่มาก
การหาค
าตอบของระบบสมการเชิ
งเส ้นด ้วยเมทริ
วิธก
ี ารหาค
าตอบของระบบสมการเชิ
งเส ้นมีกซ3 ์ วิธค
ี อื
่ สมการจานวน
1 ใช ้ Inverse matrix เหมาะกับระบบทีมี
ไม่มาก (2-3 สมการ)
่ สมการจานวน
2 ใช ้ Cramer’s rule เหมาะกับระบบทีมี
ไม่มาก
่
3
ใช
้วิ
ธ
ก
ี
ารของ
Gauss-Elimination
ซึ
งเหมาะกั
่
ต ัวอย่างที 5. จงหาคาตอบของระบบสมการโดยใชบ้
่ สมการจานวนมาก
ระบบที
มี
Cramer’s rule
x y 3z 0
y 4z 0
x yz 5
วิธท
ี า 1. เขียนโจทย ์ให ้อยู่ในรูป Matrix
1 1 3 x 0
0 1 4 y 0
1 1 1 z 5
เมทริกซ ์
ของ
สัมประสิท
ธิ ์
เว็คเตอร ์
ไม่ทราบ
ค่า
เว็คเตอร ์
ทราบค่า
2. หา Determinant ของ A
1
1
3
det( A) 0
1
4 6
1 1 1
3. หาค่า x โดย
x
0
1
3
0
1
4
5 1 1
det( A)
5
6
เว็คเตอร ์ทราบ
ค่าแทน สปส
ของ x
4. หาค่า y โดย
เว็คเตอร ์ทราบ
ค่าแทน สปส
ของ y
1 0 3
0 0 4
y
1 5 1
det( A)
10
3
5. หาค่า z โดย
z
1
1
0
0
1
0
1 1 5
det( A)
เว็คเตอร ์ทราบ
ค่าแทน สปส
ของ z
5
6
จะเห็นวิธข
ี อง Crammer rule ต ้องหาดีเทอร ์มิแนนท ์หลาย
่ หลายตัวแปร (มากกว่า 3)
ระบบสมการเชิงเส ้นทีมี