Slide 1

หน่ วยที่ 5
เมทริกซ์ และดีเทอร์ มินันต์
• เมทริกซ์ และการดาเนินการ
ของเมทริกซ์

• ดีเทอร์ มินันต์
• เมทริกซ์ และระบบสมการ
เชิงเส้ น


Slide 2

เมทริกซ์
กลุ่มของจานวนซึ่งนามาเขียนเรี ยงกัน
ในกรอบสี่เหลี่ยม เป็ นแนวนอนอย่ าง
มีระเบียบ โดยที่แต่ ละแถวนอนมี
จานวนอยู่เป็ นจานวนเท่ ากัน เรี ยกว่ า
เมทริกซ์ และเรี ยกแต่ ละจานวนว่ า
สมาชิกของเมทริกซ์


Slide 3

A=

1
0
5


  3 7 2 

แถวตัง้ ที่ 1

แถวนอนที่ 1
แถวนอนที่ 2

แถวตัง้ ที่ 3

แถวตัง้ ที่ 2

A เป็ นเมทริกซ์ ซ่ งึ มี 2 แถวนอน 3 แถวตัง้


Slide 4

B=

4  2
0
8


3
6

แถวตัง้ ที่ 1

แถวนอนที่ 1
แถวนอนที่ 2
แถวนอนที่ 2

แถวตัง้ ที่ 2

B เป็ นเมทริกซ์ ซ่ งึ มี 3 แถวนอน 2 แถวตัง้


Slide 5

พิจารณาสมาชิกของเมทริกซ์ A

A=

 1 0 5
  3 7 2 

สมาชิกในแถวนอนที่ 1 และแถวตัง้ ที่ 2 คือ 0
สมาชิกในแถวนอนที่ 2 และแถวตัง้ ที่ 1 คือ -3
สมาชิกในแถวนอนที่ 2 และแถวตัง้ ที่ 3 คือ 2


Slide 6

พิจารณาการเขียนเมทริกซ์ A อีกรูปแบบหนึ่ง

A=

 a 11
 a 21
 a 31
.
.
.
a m1


a 12 a 13
a 22 a 23
a 32 a 33
.
.
.
.
.
.
am2 am3

...
...
...
.
.
.
...

a1n
a2n
a3n
.
.
.
a mn










เขียนย่ อๆ เป็ น A = [aij]mn


Slide 7

ตัวเลขที่บอกจานวนแถวนอน และ
จานวนแถวตัง้ ของเมทริกซ์ ว่า
ขนาดของเมทริกซ์
A เป็ นเมทริกซ์ ซ่ งึ มี m แถวนอน n แถวตัง้
กล่ าวว่ า A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด mn


Slide 8

จงหาขนาดของเมทริกซ์ ต่อไปนี ้

A=

 1 0 5  A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 23
  3 7 2 

B=

4  2
0
8


6
3



C=

 3 1 0 
 1 2 4 



5
0

2



B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 32
C เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 33


Slide 9

E = [1 2 -3 0] E เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 14
F=

G=

 0 
 3 
  2 

F เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 31

3 1 0  2 
 5  1 7  3 

G เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 24


Slide 10

A=

 3 1 0 
 1 2 4 


 5 0  2

B=

2 5
 0 1 

A และ B เป็ นเมทริกซ์ ซ่ งึ มีจานวนแถวนอน
และจานวนแถวตัง้ เท่ ากัน เรี ยกว่ า
เมทริกซ์ จัตุรัส


Slide 11

A=

0 0 0 
0 0 0 
 0 0 0 

B=

0
0

0
 0

0
0
0
0 

A และ B เป็ นเมทริกซ์ ซ่ งึ มีสมาชิกทุกตัว
เป็ นศูนย์ เรี ยกว่ า เมทริกซ์ ศูนย์
แทนด้ วย O


Slide 12

เมทริกซ์ จัตุรัสที่มีสมาชิก
aij = 1 ถ้ า i = j และ aij = 0 ถ้ า i  j
เรี ยกว่ า เมทริกซ์ เอกลักษณ์
เขียนแทนด้ วย 


Slide 13

1 0 
 0 1 

เป็ นเมทริกซ์ เอกลักษณ์ ขนาด 22

1 0 0 
0 1 0 
 0 0 1 

เป็ นเมทริกซ์ เอกลักษณ์ ขนาด 33

1
0
0
0


0
0
0
1

0
1
0
0

0
0
1
0

เป็ นเมทริกซ์ เอกลักษณ์ ขนาด 44


Slide 14

ถ้ า A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด m  n แล้ ว
t
ทรานสโพสของ A แทนด้ วย A
เป็ นเมทริกซ์ ขนาด n  m โดยที่
t
a ij = aji ทุกค่ า i, j
A=

 1 0 5
  3 7 2 

t
A

=

1  3 
0
7


5
2




Slide 15

ให้ A = [aij]mn และ B = [bij]mn แล้ ว
A = B ก็ต่อเมื่อ aij = bij ทุกค่ า i, j

เช่ น A =

a b
 c d 

B=

2 0
 1 5 

A = B ก็ต่อเมื่อ a = 2, b = 0, c = 1
และ d = 5


Slide 16

การบวกเมทริกซ์
ถ้ า A และ B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด m  n
แล้ วเมทริกซ์ ผลบวก A + B จะเป็ น
เมทริกซ์ C ขนาด m  n
โดยที่ cij = aij+bij ทุกค่ า i, j


Slide 17

ให้ A =

 1 1  1
 0 2 3 

C=

2  1 0
 1  1 1 

B=

1  1
6 0 
 3 2 

จงหาเมทริกซ์ ต่อไปนี ้ ถ้ าหาไม่ ได้
ให้ บอกเหตุผล A + B, A + C และ
t
A+B


Slide 18

ให้ A =

 1 1  1
 0 2 3 

C=

2  1 0
 1  1 1 

B=

1  1
6 0 
 3 2 

A + B หาไม่ ได้ เนื่องจากขนาดของ
A ไม่ เท่ ากับขนาดของ B


Slide 19

ให้ A =

 1 1  1
 0 2 3 

C=

2  1 0
 1  1 1 

B=

1  1
6 0 
 3 2 

มี A + C หรือไม่
มี A + C เพราะ A และ C มีขนาด
เท่ ากัน คือ 23


Slide 20

A+C=

 1 1  1
 0 2 3 

+

2  1 0
 1  1 1 

1  2 1  (  1 )  1  0 
 0  1 2  (  1 ) 3  1 

=

 3 0  1
 1 1 4 


Slide 21

A+

t
B

=

1 1  1 
 0 2 3 

=

1  6  1  3
 11
 0  (  1 ) 2  0 3  2 

=

 2 7 2 
  1 2 5 

+

 1 6 3 
  1 0 2 


Slide 22

ให้ A =

1 4  1
 5 2 3 

A+A=

 1 4  1   1 4  1 
 5 2 3   5 2 3 

=

2 8  2
10 4 6 

A + A = 2A =

 2 (1 ) 2 ( 4 ) 2 (  1 ) 
 2 ( 5 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 ) 


Slide 23

ให้ A =
5A =
=

1 4  1
 5 2 3 
 5 (1 )
 5 ( 5 )

5
 25

5( 4 )
5( 2 )

20
10

(-1)A = -A
2

(-2)A =   10

5(  1)
5 ( 3 ) 

 5
15 
8
4

2 
 6 


Slide 24

บทนิยาม
ถ้ า A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด mn และ
k เป็ นจานวนจริง แล้ ว C = kA
เป็ นเมทริกซ์ ขนาดเดียวกับ A ซึ่งได้
จากการคูณทุกสมาชิกของ A
ด้ วยสเกลาร์ k นั่นคือ C = [cij]mn
โดยที่ cij = kaij ทุกค่ า i, j


Slide 25

จงหาเมทริกซ์ -3A เมื่อ A =
-3A =
=

 2  2 1
1  4 0 


3
(
2
)

3
(

2
)

3
(
1
)


  3 (1 )  3 (  4 )  3 ( 0 ) 
 6 6  3
  3 12 0 


Slide 26

การคูณเมทริกซ์ ด้วยเมทริกซ์
ถ้ า A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด mn
และ B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด np แล้ ว
เมทริกซ์ C = AB จะเป็ นเมทริกซ์
ขนาด mp โดยที่
c = ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+…+ ainbnj
สาหรับ i = 1, 2,…, m และ j = 1, 2,…, p


Slide 27

ให้ A เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 4  2
B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 3  2
C เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 2  1
D เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 3  4
อยากทราบว่ าเมทริกซ์ ค่ ูใดคูณกันได้
บ้ าง ถ้ าได้ จะเป็ นเมทริกซ์ ขนาดเท่ าใด


Slide 28

A มี ขนาด 42 B มีขนาด 32
C มีขนาด 21 D มีขนาด 34

เมทริกซ์ ผลคูณ AC, BC และ DA
AC เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 4  1
BC เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 3  1
DA เป็ นเมทริกซ์ ขนาด 3  2


Slide 29

ให้ A =

3

2

5
6

1

0

และ B =

 1
 2
  1 

มี AB หรื อไม่ ถ้ ามี จงหา AB
A มีขนาด 23 และ B มีขนาด 31
ดังนัน้ มีผลคูณ AB และมีขนาด 21


Slide 30

AB =

3

2

5
6

1   1
  2
0
  1 

=

 a 11 
 a 21 

=

 12 
 14 

เมื่อ a11= 3(1) + 5(2) + 1(-1) = 12
และ a21 = 2(1) +6(2) + 0(-1) = 14


Slide 31

AB =

3

2

5
6

1   1
  2
0
 1





=

 a 11 
 a 21 

=

 12 
 14 

เมื่อ a11= 3(1) + 5(2) + 1(-1) = 12
และ a21 = 2(1) +6(2) + 0(-1) = 14


Slide 32

ให้ A =

 3
1
 2  1 
 4  2 

B=

1
 3
  2  1
0 
 4

7
2
 0  4 

C=
จงหา AB และ AC (ถ้ ามี)
A มีขนาด 32
C มีขนาด 22

B มีขนาด 32


Slide 33

A=

 3
 2

 4

1
1
 2


A มีขนาด 32

B=

1
 3
  2  1
0 
 4

C

B มีขนาด 32

2
7

= 0  4 



C มีขนาด 22

ไม่ มี AB เพราะจานวนแถวนอนของ B
คือ 3 ไม่ เท่ ากับจานวนแถวตัง้ ของ A
คือ 2 มี AC


Slide 34

AC =

 3
1 2
7

 2  1  0  4




4

2



=

 3 ( 2 )  1( 0 )

3 ( 7 )  1(  4 )
  2 ( 2 )  (  1 )( 0 ) (  2 )( 7 )  (  1 )(  4 ) 
4 ( 7 )  (  2 )(  4 ) 
 4 ( 2 )  (  2 )( 0 )

=

 6
17 
  4  10 
36 
 8


Slide 35

ดีเทอร์ มินันท์
บทนิยาม
สาหรั บเมทริกซ์ จัตุรัส A ขนาด nn
โดยที่ n  1 จะมีจานวนจริงจานวน
หนึ่งและจานวนเดียวเท่ านัน้ ที่จับคู่
กับ A เรี ยกว่ า ดีเทอร์ มินันต์ ของ A
เขียนแทนด้ วย A


Slide 36

1. ถ้ า A = [aij]11
แล้ ว A = aij= a11
เช่ น A = [5]
A = 5  = 5


Slide 37

2. ถ้ า A = [aij]22
แล้ ว A= a11a22 - a12a21
A=

 a 11
 a 21

a 12 
a 22 

A =

a 11
a 21

a 12
a 22

= a11a22 – a21a12


Slide 38

ให้ A =

1 2 
 3 4 

จงหา A

A = (1)(4) – (2)(3)
=4–6
= -2


Slide 39

3. ถ้ า A = [aij]nn โดยที่ n  3 แล้ ว
A= ai1Ci1+ai2Ci2+ai3Ci3+…+ainCin
สาหรั บ i = 1,2,…,n


Slide 40

i+j
(-1) M

เมื่อ Cij =
ทุ
ก
ค่
า
i,
j
ij
โดยที่ Mij คือดีเทอร์ มินันต์ ของเมทริซ์
ซึ่งได้ จาก A โดยเอาแถวนอน i และ
แถวตัง้ j ออก
เรี ยก Cij ว่ าโคแฟคเตอร์ ของ aij และ
เรี ยก Mij ว่ าไมเนอร์ ของ aij


Slide 41

A= ai1Ci1+ai2Ci2+ai3Ci3+…+ainCin
สาหรับ i = 1,2,…,n
เนื่องจาก Cij =

A=

i+j
(-1) M

ij

ทุกค่ า i, j จะได้

i+1
i+2
(-1) ai1Mi1+ (-1) ai2Mi2+
i+n
… +(-1) ainMin

สาหรับ i = 1, 2, …, n

i+3
(-1) a

i3Mi3+


Slide 42

ให้ A =

 3 1 0 
 1 2 4 


 5 0  2

จงหา A 

A= (-1)i+1ai1Mi1+ (-1)i+2ai2Mi2+ (-1)i+3ai3Mi3+…+(-1)i+nainMin
สาหรับ i = 1,2,…,n

A=
= 3M11- M12
2 4
= 3 0  2 - 1 5 4 2
= 3(-4) –(-2 + 20)
= -12 – 18 = -30
1+1
(-1) (3)M11+

1+2
(-1) (1)M12+

1+3
(-1) (0)M13


Slide 43

การหาค่ าดีเทอร์ มินันต์ ของ
เมทริกซ์ จัตุรัสขนาด 33
นาสมาชิกของแถวตัง้ ที่ 1 และแถว
ตัง้ ที่ 2 ของเมทริกซ์ มาเขียนต่ อ
ทางขวาของเมทริกซ์ เป็ นแถวตัง้ ที่ 4
และแถวตัง้ ที่ 5 ตามลาดับ
แล้ วคูณทแยง ดังแผนภาพ


Slide 44

A=

 a 11
 a 21
 a 31

จะได้ A =

a 12
a 22
a 32

a 13 
a 23 
a 33 

aa1111 aa1212 aa1313 a 11
aa2121 aa2222 aa2323 a 21
aa3131 aa3232 aa3333 a 31

a 12
a 22
a 32

= a11a22a23 + a12a23a31 + a13a21a32
– a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12


Slide 45

ให้ A =
A =

3
0 2
2  1 0 
2 6 
 0

จงหา A 

3 0 23 0
2 1 0 21
0 2 60 2

= -18 + 0 + 8 – 0 – 0 - 0
= -10


Slide 46

เมทริ กซ์ของระบบสมการเชิงเส้ น

พิจารณาสมการเชิงเส้ น 2 สมการ
ต่ อไปนี ้
3x1 + 2x2 – x3 = 4
4x1 – 3x2 + 6x3 = 5
เขียนในรู ปของเมทริกซ์ ได้ ดงั นี ้


Slide 47

3x1 + 2x2 – x3 = 4
4x1 – 3x2 + 6x3 = 5
 x1 
2 1
3
x 2 
4

3
6

  
x
 3

4 
= 5
 

AX = B


Slide 48

ถ้ ามีสมการเชิงเส้ น 3 สมการ
2x1 + x2 + x3 = 1
x1 -2x2 - 3x3 = 2
3x1 –x2 + x3 = 3
เขียนเป็ นเมทริกซ์ ได้ ดังนี ้


Slide 49

2x1 + x2 + x3 = 1
x1 – 2x2 – 3x3 = 2
3x1 – x2 + x3 = 3
1
1   x 1  1 
2
1  2  3 x 2   2 
1   x 3   3 
 3  1
 

AX = B


Slide 50

กฎของคราเมอร์

สาหรั บระบบสมการ AX = B ที่มี A
เป็ นเมทริกซ์ จัตุรัส นั่นคือ จานวน
สมการเท่ ากับจานวนตัวแปร
การหาคาตอบอาจใช้ ดีเทอร์ มินันต์
ตามกฎของคราเมอร์ ต่อไปนี ้


Slide 51

1. หาค่ าดีเทอร์ มินันต์ A หรื อ A
 x1 
x 2 
  
 x n 

2. ถ้ า A 0 แล้ ว จะหา X =
ได้
D
โดยที่ xi = A
เมื่อ Di คือเมทริกซ์
ที่ได้ จาก A โดยการแทนที่แถวตัง้ i ด้ วย
B เมื่อ i = 1, 2, …, n
i


Slide 52

3. ถ้ า A = 0 โดยมี Di 0
อย่ างน้ อยหนึ่งค่ าแล้ วจะได้ ว่า
ระบบสมการ AX = B
ไม่ มีคาตอบ


Slide 53

4. ถ้ า A = 0 โดยที่ Di = 0
ทุกค่ า i = 1, 2,…,n แล้ วจะได้ ว่า
ระบบสมการ AX = B
มีหลายคาตอบ


Slide 54

จงหาคาตอบ (ถ้ ามี) ของระบบสมการ
ต่ อไปนี ้ 3x1 + 2x3 = -2
2x1 – x2 = 0
2x2 + 6x3 = -1

ในที่นี ้ A =

3
0 2
2  1 0 
2 6 
 0

และ B =

 2
 0
 
  1


Slide 55

A=

3
0 2
2  1 0 
2 6 
 0

D1=

 2
0 2
 0  1 0
2 6 
  1

D2=

3  2 2 
0 0
2
 0  1 6 

B=

 2
 0
 
  1

D3=

3
0  2
0
2  1
2  1 
 0


Slide 56

เมื่อหาค่ าดีเทอร์ มินันต์ ของ A, D1, D2
และ D3 จะได้

A =

3 0 23 0
2 1 0 21
0 2 60 2

= -18 + 0 + 8 – 0 – 0 - 0
= -10


Slide 57

D1 =

2 0 22 0
0 1 0 0 1
1 2 6 1 2

= 12 + 0 + 0 - 2 + 0 - 0
= 10


Slide 58

D2 =

3  2 2 3 2
2 0 02 0
0 1 6 0 1

= 0 + 0 + -4 - 0 + 0 + 24
= 20


Slide 59

D3 =

3 0 2 3 0
2 1 0 21
0 2 1 0 2

= 3 + 0 + -8 - 0 + 0 + 0
= -5


Slide 60

A = -10, D1= 10, D2= 20, D3= -5

X1 =

D1

X2 =

D2

X3 =

D3

A

A

A

=
=

10
 10

20
 10
5

= -1
= -2

=  10 =

1
2