Transcript ppt

ตัวผกผันการคูณของเมทริ กซ์
ค33212 คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ 6
บทนิยาม ให้ A = [a]1 x 1 เรี ยก a ว่าเป็ นดีเทอร์ มิแนนต์
ของ A
a b 
บทนิยาม ถ้ า A   c d  เมื่อ a, b, c, d  R แล้ ว


ดีเทอร์ มิแนนต์ของ A คือ ad – bc เขียนแทนด้ วย det(A)
a b
หรื อ
c d
1 2
A 

3
4


  1  2
B


3

2


เช่น
แล้ ว det(A) = (1)(4) – (2)(3) = –2
แล้ ว det(A) = (-1)(-2) – (-2)(-3) = – 4
บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ไมเนอร์ ของ aij คือ
ดีเทอร์ มิแนนต์ของเมทริ กซ์ที่ได้ จากการตัดแถวที่ i และ
หลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนไมเนอร์ ของ aij คือ Mij(A)
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้ A = [aij]2 x 2 จงหาไมเนอร์ ของ
สมาชิกทุกตัวของ A
a 
a
วิธีทา เนื่องจาก A  a a 

11
12
21
22 
ดังนัน้ จาก
 a11 a12 
A 

a 21 a 22 
จะได้ M11(A) = a22
 a11 a12 
A 

a
a
 21
22 
จะได้ M12(A) = a21
 a11 a12 
A 

a 21 a 22 
จะได้ M21(A) = a12
 a11 a12 
A 

a
a
 21
22 
จะได้ M22(A) = a11
จาก
จาก
จาก
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนดให้
1 2 0
A   2 1 1


3 0 3
จงหาไมเนอร์ ของ a13 และ a32
วิธีทา เนื่องจาก
1 2 0


A 2 1 1


3 0 3
2
M 13 ( A) 
3
1
M 32 ( A) 
2
จะได้
1
 0  3  3
0
0
10 1
1
บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
(cofactor) ของ aij คือผลคูณของ (– 1)i+j และ Mij(A) เขียน
แทนตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ aij ด้ วย Cij(A)
i+j
นัน่ คือ Cij(A) = (– 1) Mij(A)
1

A 2

3
1 1 1
C11 ( A)  ( 1)
0
3 2 1
C 32 ( A)  ( 1)
2
ตัวอย่ าง กาหนด
วิธีทา
2
1
0
1
3
0
1
0

1

3
จงหา C11(A) , C32(A)
 (1)(3  0)  3
 ( 1)(1  0)  1
บทนิยาม ให้ A = [aij]n x n เมื่อ n > 2 ดีเทอร์ มิแนนต์ของ A
คือ a11C11(A) + a12C12(A) + ... + a1nC1n(A) เขียนแทน
a11 a12 ... a1n
ดีเทอร์ มิแนนต์ของ A ด้ วย det(A) หรื อ a21 a22 ... a2n
ตัวอย่ าง กาหนด
1 4 7 
A   2 5 8


3 6 9




a n1
a n2
...
a nn
จงหา det(A)
วิธีทา det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)
1 1 5
 (1)(1)
8
1 2 2 8
1 3 2 5
 (4)(1)
 (7)(1)
6 9
3 9
3 6
= (45 – 48) – 4(18 – 24) + 7(12 – 15)
= –3 + 24 – 21 = 0
วิธีท่ ี 2 วิธีลดั นาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อหลัก
ที่ 3 และหาดีเทอร์ มิแนนต์ของ A ได้ เท่ากับวิธีข้างต้ น
105 48 72
1 4 7  1 4
 2 5 8 2 5


3 6 9 3 6
4 9 8
5 6 4
 det(A) = (45 + 96 + 84) – (105 + 48 + 72) = 0
กาหนดเมทริกซ์ A = [aij]n x n ใด ๆ เมื่อ n > 2
1. det (A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + ... + ainCin(A) ทุก i = 1,2,...,n
ถ้ าหา det (A) โดยสมการนี ้ จะกล่าวว่าหา det (A) โดยการ
กระจายตามแถวที่ i
2. det (A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A) ทุก j = 1,2,...,n
ถ้ าหา det (A) โดยสมการนี ้ จะกล่าวว่าหา det (A) โดยการ
กระจายตามหลักที่ j
3. ถ้ า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึง่ หรื อหลักใดหลักหนึง่ เป็ น 0
ทุกตัวแล้ ว det (A) = 0 (เป็ นผลของสมบัติข้อ 1 และ 2)
4. ถ้ า B ได้ จากการสลับแถวสองแถวหรื อสลับหลักสองหลักของ
A แล้ ว det (B) = - det (A)
5. ถ้ า A มีแถวสองแถวเหมือนกันหรื อหลักสองหลักเหมือนกัน
แล้ ว det (A) = 0 (เป็ นผลของสมบัติข้อ 4)
6. det (At) = det (A)
7. ถ้ าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึง่ หรื อหลักใดหลักหนึง่
ของ A ด้ วยค่าคงตัว c แล้ ว ดีเทอร์ มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้ คือ
c det (A)
8. ถ้ า B ได้ จาก A โดยสมาชิกแถวที่ i ของ B ได้ มาจากการคูณ
แถวที่ i ของ A ด้ วยค่าคงตัว c และนาไปบวกกับแถวที่ j ของ A
เมื่อ i  j แล้ ว det (B) = det (A) สมบัตินี ้เป็ นจริงเมื่อเปลี่ยนจาก
แถวเป็ นหลัก
จากสมบัติข้อ 7 ทาให้ ได้ วา่ det (cA) = cn det (A)
เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว
x y z
p q r  1
s t u
t u
ตัวอย่ าง ถ้ า
s
1. p q
x y
จะได้
r  ( 1)  1
z
p q r
2. 3 s 3t 3u  3( 1)  3
x y z
2s
2t
2u
3. 3 p  x 3q  y 3r  z  (2)( 1)  2
p
q
r
ตัวอย่ าง จงหา det (A) เมื่อกาหนด
วิธีทา
 1
 2
A 
 1

 1
1
2
det( A) 
1

1
0
1
0
2
2

8
0

2  1
5
2
1
2
3
8
3
1
5
1
0
1
1
2 1
1 1
5
2
0
2 9 2
1  3
1
1
8
0
2
1
คูณแถวที่ 1 ด้ วย – 2 แล้ ว
นาไปบวกกับแถวที่ 2

1 1
5
2
0
2 9 2
0 4
1

1
13
2
2
1
1 1
5
2
0
2 9 2
0 4
0
13
2
นาแถวที่ 1ไปบวกกับแถวที่ 3
คูณแถวที่ 1 ด้ วย -1 แล้ วนาไป
บวกกับแถวที่ 4
2 3 3
2 9 2
  4 13
2
2 3 3
กระจายตามแถวที่ 1
1 9 2
 2  2 13
2
1 3 3
สมบัติข้อ 7
1 9 2
 20  5  2
1 3 3
คูณแถวที่ 1 ด้ วย 2 แล้ วนาไป
บวกกับแถวที่ 2
1 9 2
 20  5  2
0
6 1
คูณแถวที่ 1 ด้ วย - 1 แล้ วนาไป
บวกกับแถวที่ 3
5 2
2
6 1
กระจายตามหลักที่ 1
 2(5  12)
 34
บทนิยาม ให้ A เป็ น n  n เมทริกซ์
A เป็ นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมื่อ det(A) = 0
A เป็ นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix)
เมื่อ det(A)  0
บทนิยาม ให้ A เป็ น n  n เมทริกซ์ เมื่อ n > 2
เมทริกซ์ผกู พัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ์
t
[Cij(A)] เขียนแทนเมทริกซ์ผกู พันของ A ด้ วย adj(A)