Transcript ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์

เมทริ กซ์ประชิด
ค33212 คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ 6
บทนิยาม ให้ A เป็ น n  n เมทริกซ์
A เป็ นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมื่อ det(A) = 0
A เป็ นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix)
เมื่อ det(A)  0
บทนิยาม ให้ A เป็ น n  n เมทริกซ์ เมื่อ n > 2
เมทริกซ์ผกู พัน (adjoint matrix) ของ A คือ เมทริกซ์
t
[Cij(A)] เขียนแทนเมทริกซ์ผกู พันของ A ด้ วย adj(A)
ตัวอย่ าง จงหา det(A) , adj(A) , Aadj(A) , adj(A)A
 1 2
3


เมื่อกาหนด A    2 3  1
 3 1

2


3 1 2 1  2 3
วิธีทา det( A)  1 1 2  2  3 2  3  3 1
= (6+1) - 2(- 4 - 3) + 3(- 2 + 9)
= 7 + 14 + 21
= 42
C11 ( A)

adj( A)  C 21 ( A)
C 31 ( A)

C12 ( A)
C 22 ( A)
C 32 ( A)
 3 1
1
2

 2 3
 
1 2
2
3

 3 1

2
1
3
1
2


C13 ( A) 

C 23 ( A) 
C 33 ( A) 

3
3
1
2
2
1
3
t
3 t
3 1 

2
1

3 1

2 
1
2 3 

2
 7

adj( A)    1
  11

7
11
5
 1

 A  adj( A)    2
 3

 42

0
0

7 

 7
7 

2
3
1
0
42
0
t
7

 7
7

3  7

 1  7
7
2 

1
11
7
1
11
7
0

0   det( A) I 3
42

 11

5 
7 

 11

5 
7 

7

 adj( A)  A  7
7

 42

0
0

1
11
7
0
42
0
 11  1

 5   2
7    3
2
3
1
0

0   det( A) I 3
42
3

 1
2 
จากตัวอย่าง จะเห็นว่า Aadj(A) = adj(A)A=det(A)I3
ดังนัน้ ถ้ า A เป็ น n  n เมทริกซ์ แล้ ว
Aadj(A) = adj(A)A=det(A)In
ทฤษฎีบท ให้ A เป็ น n  n เมทริกซ์ เมื่อ n > 2
ดังนัน้ จะได้ วา่
1. Aadj(A) = adj(A)A=det(A)In
2. A มีตวั ผกผันการคูณก็ตอ่ เมื่อ A เป็ นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน
1

1
ในกรณี det(A) 0 ได้ วา่ A 
adj( A)
det( A)
ทฤษฎีบท ให้ A และ B เป็ น n  n เมทริกซ์ ดังนัน้
det(AB) = det(A)det(B)
ถ้ า A = [aij]n x n , B = [bij]n x n และ AB = In แล้ ว
det(AB) = det(In) = 1 จาก AB = In และ det(A)  0
ทาให้ ได้ วา่ A มีตวั ผกผันการคูณ ดังนัน้
AB = In
-1
-1
A AB = A In
-1
B=A
นัน่ คือ

1
det( B )  det( A ) 
1
det( A)
ตัวอย่ างที่ 1 จงหา det(A) และ det(A-1) เมื่อกาหนด
4  1
1 3
1 5
5 1

A 
9 10 
2 6
 1  3  4 4 


1
3
4 1
วิธีทา
det( A) 
1
5
5
1
2
6
9
10
1  3  4
4
นาแถวที่ 1 ไปบวกกับแถวที่ 4 จะได้
det( A) 
1
3
4
1
1
5
5
1
2
6
9
10
0
0
0
3
คูณแถวที่ 1 ด้ วย – 2 แล้ วนาไปบวกกับแถวที่ 3 จะได้
det( A) 
1
3
4
1
1
5
5
1
0
0
1
12
0
0
0
3
คูณแถวที่ 1 ด้ วย – 1 แล้ วนาไปบวกกับแถวที่ 2 จะได้
det( A) 
1
3
4
1
0
2
1
2
0
0
1
12
0
0
0
3
= (1)(2)(1)(3)
=6
จาก
จะได้
1
det( A)
1

1
det( A ) 
6

1
det( A ) 
ตัวอย่ างที่ 2 จงหา
วิธีทา เนื่องจาก
1 2 4


-1
A เมื่อกาหนดA   3 8 0 
 1 2  1


32 0
1 2 4 1
det( A)   3 8 0  3
1 2 1 1
-8 0
6
2
8
2
-24
 det(A) = (-8 + 0 – 24) – (32 + 0 + 6) = - 70  0
ดังนัน้ A มีตวั ผกผัน
1

1
จาก A 
adj( A)
det( A)
 8
 2

1  2



 70 2
 2

 8

1 2 4


A   3 8 0 
 1 2  1


 3 8 t

t
1
1 1 1 2 
  8  3  14

4
1 4
1 2
1 


10  5
0 


1
1 1
1 2   70
  32  12 14 



4
1 4
1 2

0
 3 0  3 8 
0
3
0
 8
1

1
 A   3
70
  14

10
5
0
 32

 12
14 
ถ้ า A เป็ น n  n เมทริกซ์ เมื่อ n > 2 และ det(A)  0
n
–
1
แล้ ว det(adj(A)) = (det(A))
ตัวอย่ างที่ 3 กาหนด A , B และ C เป็ น n  n เมทริกซ์
เมื่อ n > 2และdet(A) = 3 , det(B) = 2 และ det(C) = - 3
จงหา det(A2BCtB-1) และ det(BC-1AB-1C-1)
2
t
-1
2
t
-1
วิธีทา det(A BC B ) = det(A )det(B)det(C )det(B )
1
2

 ( 3 )( 2 )( 3 )    27
2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
det(BC AB C ) = det(B)det(C )det(A)det(B )det(C )
1   1  1 
1

 ( 2 )   ( 3 )    
  3   2   3 
3