Transcript Chapter 2
บทที่ 2 เวกเตอร์แรง
1
จุดประสงค์
แสดงการบวกแรง และการคานวณองค์ประกอบแรงโดยใช้
Parallelogram Law
แสดง แรงในลักษณะเวกเตอร์ การหาขนาดและทิศของแรง
แสดงการ คูณแบบจุด เพื่อหามุมระหว่างสองเวกเตอร์
2
ปริมาณสเกลาร์ และปริมาณเวกเตอร์
ปริมาณสเกลาร์ คือปริมาณที่เกี่ยวข้ องเฉพาะขนาด เช่น มวล ปริมาตร ความยาว
โดยจะแสดงตัวแปรเป็ นตัวเอียง เช่น A
ปริมาณเวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทงขนาดและทิ
ั้
ศ เช่น แรง โมเมนต์ การขจัด
ความเร็ว ความเร่ง แสดงเป็ นตัวหนา หรือมีลกู ศรด้ านบน เช่น A, A เป็ นเวกเตอร์ ที่มี
ขนาดเท่ากับ A และสามารถแสดงเป็ นรูปได้ ความยาวของลูกศร แสดงขนาด ทิศแสดง
ด้ วยทิศของหัวลูกศร
A
20o
3
สเกลาร์ (Scalar)
สเกลาร์ (Scalar) คือ ปริ มาณที่เกี่ยวข้ องเฉพาะขนาด ได้ แก่
เวลา (t)
ปริมาตร (V)
second
cubic meter
liter
ความหนาแน่น () kilograms per cubic meter
อัตราเร็ว (V)
meter per second
พลังงาน (E)
joule
มวล (m)
kilograms
pound
s
m3
l
kg/ m3
m/s
J
kg
lb
เวกเตอร์ (Vector)
เวกเตอร์ (Vector) คือปริ มาณที่เกี่ยวข้ องกับขนาดและทิศทาง
ได้ แก่ การขจัด (m), ความเร็ว (m/s), ความเร่ง (m/s2), แรง (N), โมเมนต์ (Nm) และ
โมเมนตัม (kgm/s)
ในทางฟิ สิกส์นนเวกเตอร์
ั้
แบ่งออกเป็ น 3 แบบ คือ
เวกเตอร์ อิสระ (Free vector)
เวกเตอร์ เลื่อน (Sliding vector)
เวกเตอร์ คงที่ (Fixed vector)
เวกเตอร์ อสิ ระ (Free Vector)
เป็ นเวกเตอร์ ที่มีตาแหน่งไม่แน่นอน ดังนันจึ
้ งเขียนได้ เฉพาะขนาดและทิศทาง
เท่านัน้ เช่น เวกเตอร์ ของการขจัดของจุดทุกจุดบนวัตถุใด ๆ ซึง่ เคลื่อนที่โดย
ปราศจากการหมุน และเวกเตอร์ ของแรงคูค่ วบ
เวกเตอร์ เลื่อน (Sliding Vector)
เป็ นเวกเตอร์ ที่มีแนวแน่นอนตามแนวเส้ นตรงหนึง่ ในระวางที่ เช่น เวกเตอร์ ของ
แรงภายนอกที่กระทากับวัตถุเกร็ง
เวกเตอร์ คงที่ (Fixed Vector)
เป็ นเวกเตอร์ ที่มีแนวและตาแหน่งแน่นอน โดยมีจดุ ที่แสดงตาแหน่งเวกเตอร์
เช่น เวกเตอร์ ของแรงที่กระทากับวัตถุแปรรูป ทังนี
้ ้ถ้ าเวกเตอร์ เปลี่ยนตาแหน่ง
จะมีผลต่อการแปรรูปของวัตถุ ดังนันจึ
้ งต้ องกาหนดตาแหน่งของเวกเตอร์ ให้
คงที่แน่นอน
การคูณและหารเวกเตอร์ ด้วยปริมาณสเกลาร์
ผลคูณของเวกเตอร์ A กับปริ มาณสเกลาร์ a จะมีขนาดเท่ากับ
|aA| = |a| |A|
ถ้ า a เป็ นบวก เวกเตอร์ ผลคูณจะมีทิศเดียวกับ A
ถ้ า a เป็ นลบ เวกเตอร์ ผลคูณจะมีทิศตรงข้ ามกับ A
A
9
2A
0.5A
-1.5A
การบวกเวกเตอร์
เวกเตอร A สามารถบวกกับเวกเตอร์ B ได้ เป็ นเวกเตอร์ ลพั ธ์ R
R = A + B ได้ โดยใช้ กฏการขนานกันของเวกเตอร์
A
A
B
R=A+B
B
A
B
R=A+B
10
การบวกเวกเตอร์
ถ้ าเวกเตอร์ ทงสองอยู
ั้
บ่ นแนวเส้ นตรงเดียวกัน เวกเตอร์ ลพั ธ์จะเท่ากับการบวกกันแบบสเก
ลาร์
A
B
R=A+B
11
การแตกเวกเตอร์ ลัพธ์
การแตกเวกเตอร์ ลัพธ์ ออกเป็ นองค์ประกอบของเวกเตอร์ เข้ าแกน
อ้ างอิงใดๆ
ทาได้ โดยใช้ กฎการขนานกันของเวกเตอร์
a
a
R
A
b
12
R
B
b
การหาแรงลัพธ์
แรงเป็ นปริ มาณเวกเตอร์ มีทงขนาดและทิ
ั้
ศทาง
เราสามารถรวมเวกเตอร์ หรื อแตกเป็ นองค์ประกอบเวกเตอร์ ได้ โดยใช้ หลักการคานวณ
แบบเวกเตอร์
ปั ญหาในวิชา statics หลักๆคือ การหาแรงลัพธ์ เมื่อทราบองค์ประกอบของแรง หรื อ
การแตกแรงลัพธ์ที่ทราบค่าออกเป็ นองค์ประกอบของแรง
การหาขนาดของแรง สามารถใช้ กฏของโคไซน์
C
2
A B
2
2 A B co s c
ส่วนการหาทิศของแรง ใช้ กฏของไซน์
A
sin a
B
sin b
C
sin c
A
b
c
C
13
B
a
Example
จงหาแรงลัพธ์
ขันตอนที
้
่1
150N
10o
F2 = 150N
10o
FR
q
F1 = 100N
15o
100N
15o
ขันตอนที
้
่2
หาขนาดของเวกเตอร์ ลพั ธ์
FR
2
2
(1 0 0N) (1 5 0N) 2(1 0 0N)(1 5 0N) co s 1 1 5
o
FR 212.6 N
150
sin q
14
2 1 2 .6 N
sin 1 1 5
o
, q 3 9 .8
o
หาทิศของเวกเตอร์ ลพั ธ์
FR ทามุม 39.5o+15o=54.8o กับแกนนอน
การบวกเวกเตอร์ ใน 2 มิติ
เราสามารถแตกแรงในระนาบออกเป็ นสองแรงที่ตงฉากกั
ั้
น (แกน x, แกน y) โดยแสดง
ในลักษณะที่แยกเป็ น
ส่วนที่เป็ นสเกลาร์ (Fx, Fy)
ส่วนที่เป็ นเวกเตอร์ หนึง่ หน่วย i, j
ทาให้ การบวก ลบ เวกเตอร์ ทาได้ ง่ายขึ ้น เช่Fน = Fx i + Fy j
F1 = F1x i + F1y j
F2 = F2x i + F2y j
F3 = F3x i + F3y j
15
FR = F1 + F2 + F3
= (F1x+F2x+F3x)i + (F1y+F2y+F3y) j
= (FRx) i + (FRy) j
การบวกเวกเตอร์ ใน 2 มิติ
Fx
Fy
F Rx
F Ry
FR F R
q ta n
16
1
2
2
FRx FRy
FRy
F Rx
Example
จงหาแรงลัพธ์
y
ขันตอนที
้
่1
F1 = 600N
F2 = 400N
F2 = 400N
45o
45o
F1 = 600N
30o
30o
x
ขันตอนที
้
่2
+ F RX F x ;
FRx = 600 cos 30oN – 400 sin 45oN
= 236.8 N
+
FRy
Fy ;
FRy = 600 sin 30oN + 400 cos 45oN
= 582.8 N
17
Example
ขนาดของเวกเตอร์ ลพั ธ์
FR
2
(2 3 6 .8 N) (5 8 2 .8 N)
2
629 N
ทิศของเวกเตอร์ ลพั ธ์
q ta n
1
5 8 2 .8 N
2 3 6 .8 N
6 7 .9
o
หรื อแสดงในรูป
FR = F1 + F2
= (600 cos30oN – 400 sin45oN) i + (600 sin30oN + 400 cos45oN) j
= {(236.8) i + (582.8) j} N
18
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ
ระบบแกนในสามมิติ (cartesian coordinate system) จะเป็ นไปตามกฏมือขวา
A Ax i Ay j Az k
z
Az k
A
co s
x
Ax i
co s
Ay j
co s
y
19
2
A A
2
2
2
Ax Ay Az
Ax
A
Ay
A
Az
A
2
2
co s co s co s 1
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ
เวกเตอร์ หนึง่ หนวยของ A คือ
uA
A
A
Ax
A
i
Ay
A
j
Az
A
k
การบวกเวกเตอร์ ใน3มิติ
FR
20
F Fx i Fy j Fzk
Example
z
F2 = {50i -100j+100k} kN
F1 = {60j+80k} kN
y
x
FR = F1 + F2
= {60j+80k} kN + {50i -100j+100k} kN
= {50i-40j+180k} kN
21
Example
FR
50
2
2
40 180
cos = 0.2617
cos = -0.2094
cos = 0.9422
2
191.0
191 N
uR
FR
FR
50
i
40
j
180
k
1 9 1 .0
1 9 1 .0
1 9 1 .0
0 .2 6 1 7 i 0 .2 0 9 4 j 0 .9 4 2 2 k
22
= 74.8o
= 102o
= 19.6o
เวกเตอร์ บอกตาแหน่ ง
เป็ นเวกเตอร์ ที่ใช้ บอกตำแหน่งของจุดใดๆใน space ที่สมั พันธ์กบั จุดอื่น
หรื อจุดอ้ ำงอิง เช่น ในระบบพิกดั ที่มีจดุ กำเนิด O มีตำแหน่ง P(x,y,z) ใน
space จะสำมำรถบอกได้ ด้วยเวกเตอร์ บอกตำแหน่ง r = xi + yj + zk
ในกรณีทวั่ ไป เวกเตอร์ บอกตำแหน่ง สำมำรถบอกตำแหน่งจำกจุด A ไป
ยังจุด B ได้ โดย
rAB = rB – rA
เมื่อ rA และ rB คือเวกเตอร์ บอกตำแหน่ง ของจุด A และ จุด B เมื่อเทียบ
กับจุดกำเนิด
rA = xA i + yA j + zA k rB = xB i + yB j + zB k
rAB = (xB - xA) i + (yB - yA ) j + (zB - zA) k
23
การคูณแบบจุด (dot product)
A B A x B x A y B y A z B z AB cos q
1 A B
q cos
AB
เมื่อ q เป็ นมุมระหว่ำง A กับ B
24
การดอตเวกเตอร์ (Dot product)
Dot product of Cartesian unit vectors
ยกตัวอย่างเช่น ii = (1)(1)cos(0o) = 1
ij = (1)(1)cos(90o) = 0
จึงสรุปได้ว่า
ii = jj = kk = 1
ij = ik = jk = 0
Dot product of 2 vectors A and B
AB = (Axi + Ayj + Azk)·(Bxi + Byj + Bzk)
= AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k)
+ AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k)
= AxBx + AyBy + AzBz
ตัวอย่าง
กาหนดให้ A = -i - 2j + 3k และ B = 4i - 5j + 6k
จงหา AB และ มุมระหว่าง A และ B
AB = (-i - 2j + 3k)(4i - 5j + 6k)
= (-1)(4) + (-2)(-5) + (3)(6) = -4 + 10 + 18
= 24
Ans
2
2
A =
(-1 ) + (-2 ) + (3 )
B =
(4 ) + (-5 ) + (6 )
จาก
2
2
2
2
= 3 .7 4
= 8 .7 7
AB = AB cosq
24 = (3.74)(8.77)cosq
q = cos-1(0.73) = 43.11o
Ans
แบบฝึ กหัด
จงหามุมระหว่างสองเวกเตอร์
27
ตัวอย่าง
จงหาองค์ประกอบของ FAB ในแนว AC
วิธีทา
FAC = FAB uC
FA B
uB
uB
F AB uB
( - 1 .5 i - 3 j 1k )
2
2
( 1 .5 ) ( 3 ) (1)
2
( - 1 .5 i - 3 j 1k )
FA B 5 6 0
3 .5
( - 1 .5 i - 3 j 1k )
3 .5
FA B 2 4 0 i - 4 8 0 j 1 6 0 k N
28
uC
uC
(1 .5 i - 3 j 3 k )
2
2
(1 .5 ) ( 3 ) (3 )
2
(1 .5 i - 3 j 3 k )
4 .5
FAC = FAB uC
2 4 0i - 4 8 0 j 1 6 0k
2 4 0(1 .5 )
4 .5
347 N
29
4 8 0( 3 )
4 .5
(1 .5 i - 3 j 3 k )
4 .5
1 6 0(3 )
4 .5