Transcript ครั้งที่ 4

887110
Introduction to Discrete Structures
ความสั มพันธ ์
(Relations)
1
คูอั
่ นดับ
• คูอั
ก 2 ตัว เขียนแทน
่ นดับประกอบดวยสมาชิ
้
ในรูป (a,b)
– โดยที่ a เป็ นสมาชิกตัวหน้า
– และ b เป็ นสมาชิกตัวหลัง
• ลาดับของคูอั
่ นดับมีความสาคัญ
– การสลับทีก
่ น
ั ระหวางสมาชิ
กทัง้ 2 ของคูอั
่
่ นดับ
อาจทาให้ความหมายเปลีย
่ นไป
• สมบัตข
ิ องคูอั
่ นดับ
1. (a , b) = (b, a) ก็ตอเมื
่ a=b
่ อ
2
2. ถา้ (a , b) = (c , d) แลวจะได
ว
า
a
=
c
และ
b
้
้ ่
ผลคูณคารที
์ เชียน
• นิยาม
ผลคูณคารที
์ เชียนของเซต A และ
เซต B คือ เซตใหมที
่ ส
ี มาชิกเป็ นคูอั
่ ม
่ นดับ
(x, y) อันเกิดจากการการจับคูทุ
่ กกรณีทเี่ ป็ นไป
ได้ จากสมาชิก x ของเซต A และสมาชิก y
ของเซต B
• ผลคูณคารที
์ เชียนของเซต A กับ เซต B
เขียนเป็ นสั ญลักษณคื
า่ “A
์ อ A x B (อานว
่
cross B”)
• สามารถเขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
์ ้ ดังนี้
A x B = { (x , y) | x  A ^ y  B}
3
ตัวอยาง
่
โจทย ์ กาหนดให้ A = {a, b, c} และ B = {m,
n} จงหา A x B และ B x A
BxA
AxB
วิธท
ี า จากโจทย
สามารถเขี
ย
นเป็
นแผนภาพได
์
้
m
ดังนีa้
m
a
b
c
n
n
b
c
A
B
B
A
จากแผนภาพ เซต A จับคูทุ
ั เซต B
่ กกรณีกบ
ไดผลลั
พธ ์ ดังนี้
้
4
สมบัตข
ิ องผลคูณคารที
์ เชียน
• กาหนด A , B และ C เป็ นเซตใดๆ แลว
้
1. A x B ไมจ
ากั
่ าเป็ นตองเท
้
่ บ BxA
•
A x B = B x A ก็ตอเมื
่ A = B หรือ A =
่ อ
=
หรือ B
2. A x = x A = 
3. A x ( B  C) = (A x B)  (A x C)
(A  B) x C = (A x C)  ( B x C)
4. A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
(A  B) x C = (A x C)  ( B x C)
5
สมบัตข
ิ องผลคูณคารที
่
์ เชียน (ตอ)
• กาหนด A , B และ C เป็ นเซตใดๆ แลว
้
5. A x (B - C) = (A x B) - (A x C)
(A - B) x C = (A x C) - ( B x C)
6. ถา้ A  B แลว
้ AxCBxC
7. ถา้ A และ B เป็ นเซตจากัดแลว
้
n(A x B) = n(A) . n(B)
n(B x A) = n(B) . n(A)
n(A x B) = n(B x A)
8. ถา้ A เป็ นเซตอนันต ์ และ B เป็ นเซตจากัด
ซึง่ B   แลว
้ A x B เป็ นเซตอนันต ์
6
ความสั มพันธ ์
(RELATION)
7
ความสั มพันธทวิ
์ ภาค (Binary
Relations)
• ความสั มพันธที
์ เ่ ราพบเห็ นทัว่ ไป เช่น
เป็ นพอของ
เป็ นแมของ
่
่
มากกวา่
น้อยกวา่
เป็ นสมาชิกของ เป็ นสั บเซตของ
ลวนแต
เป็
าง
2 สิ่ ง เราจะ
้
่ นความสั มพันธระหว
่
์
เรียกวา่ ความสั มพันธทวิ
์ ภาค
• นิยาม กาหนด A และ B เป็ นเซตใดๆแลว
้
R เป็ นความสั มพันธจากเซต
A ไปเซต B ก็
์
ตอเมื
่ R เป็ นสั บเซตของ A x B เขียนแทน
่ อ
ดวย
RAxB
้
8
ตัวอยาง
่
ตัวอยาง
่ กาหนดให้ A = {a, b} และ B = {c} จงแสดง
ความสั มพันธจาก
A ไป B
์
วิธท
ี า จากขอก
A
้ าหนดทีว่ า่ r เป็ นความสั มพันธจาก
์
ไป B ก็ตอเมื
่ rAxB
่ อ
หมายความวา่ เซตอะไรทีเ่ ป็ นสั บเซตของ A x B ถือ
เป็ นความสั มพันธทั
์ ง้ สิ้ น
ดังนั้น เราสามารถเขียนความสั มพันธจาก
A ไป B
์
แบบแจกแจงได้ ดังนี้
r1 =  เพราะ
เป็ นสั บเซตของทุกเซต ดังนั้น
A x B แน่ๆ
r2 = {(a , c)}
9
r = {b , c}
สั ญลักษณในเรื
อ
่ งความสั มพันธ ์
์
ทวิภาค
• ถา้ R  A x B เรียกวา่ R เป็ นความสั มพันธ ์
จาก A ไป B
• ถา้ (a,b)  R จะหมายถึง a สั มพันธกั
์ บ b
ดวยความสั
มพันธ ์ R สามารถเขียนแทนดวย
้
้
aRb
• ถา้ (a,b)  R จะหมายถึง a ไมสั
่ มพันธกั
์ บ b
ดวยความสั
มพันธ ์ R สามารถเขียนแทนดวย
้
้
aRb
10
ส่วนเติมเต็มของความสั มพันธ ์
(Complementary Relations)
• ส่วนเติมเต็มของความสั มพันธ ์ แทนดวย
้
สั ญลักษณ ์
หรือ R
• นิยามของ
เป็ น ดังนี้
= {(a,b) | (a,b)  R} = (A x B) – R
• ตัวอยาง
กาหนดให้ A = {1,2,3} และ R =
่
{(1,1) , (2,2) , (3,3) , (1,2) , (1,3) , (2,3) จง
หาส่วนเติมเต็มของ R
วิธท
ี า AxB=
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)
12
,(3,3)}
อินเวอรสของความสั
มพันธ ์
์
(Inverse Relations)
• ให้ R เป็ นความสั มพันธจาก
A ไป B อิน
์
-1
เวอรส
(Inverse)
ของ
R
เขี
ย
นแทนด
วย
R
์
้
• R-1 คือ ความสั มพันธจาก
B ไป A
์
• R-1 จะมีสมาชิกเป็ นคูอั
่ นดับ (y , x) โดยที่ (x ,
y) R
-1 =
• R-1 เขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
เป็
น
R
์ ้
{(y , x) | (x , y)  R}
13
ตัวอยาง
่
• ตัวอยางที
่ 1 กาหนดให้ R = {(1,2) , (3,4) ,
่
(5,6) } จงหาอินเวอรของความสั
มพันธนี
์
์ ้
วิธท
ี า R-1 = {(2,1) , (4,3) , (6,5)}
x3  R x
• ตัวอยางที
่ 2 กาหนดให้ R = {(x,y)
่
R|y=
} จงหา R-1
วิธท
ี า ในส่วนเงือ
่ นไขใหy ้เปลี
่ น x เป็ น
y
3 ย
เปลีย
่ น y เป็ น x
จะได้ R-1 = {(x,y)  R x R | x =
}
R-1 = {(x,y)  R x R | x2 = y – 3, x  0 14}
การแทนความสั มพันธ ์
15
การแทนความสั มพันธ ์
นอกเหนือจากการแทนความสั มพันธระหว
าง
์
่
เซต 2 เซตดวยเซตของคู
อั
้
่ นดับแลว
้ เรายัง
สามารถแทนความสั มพันธในรู
ปแบบอืน
่ ๆ ดังนี้
์
1. แทนดวยกราฟระบุ
ทศ
ิ ทาง (directed graph)
้
2. แทนดวยเมทริ
กซ ์ (matrix)
้
16
การแทนความสั มพันธด
้
์ วยกราฟระบุ
ทิศทาง
(directed graph)
• จะใช้การลากเส้นความสั มพันธจากสมาชิ
กของ
์
เซตหนึ่งไปยังสมาชิกของอีกเซตหนึ่ง
• ใช้ลูกศรเป็ นตัวกาหนดทิศทางของความสั มพันธ ์
• ตัวอยาง
กาหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R
่
= {(1,1) , (1,2) ,(1,3) ,(1,4)}
1
3
2
4
17
การแทนความสั มพันธด
กซ ์
้
์ วยเมทริ
(matrix)
• กาหนดให้เซต A = {a1,a2,a3,…am} และ B
= {b1,b2,b3,…,bn} เราสามารถแทน
ความสั มพันธ ์ R ระหวาง
2 เซตนี้ดวยเมท
่
้
ริกซเชิ
์ งตรรก (logical matrix) ขนาด m x n
เมือ
่ m คือ จานวนสมาชิกของเซต A และ n
คือ จานวนสมาชิกของเซต B
• โดยแตละต
าแหน่งของ matrix (Mij) จะถูก
่
แทนดวย
0 ถา้ (ai,bj)  R และแทนดวย
1
้
้
ถา้ (ai,bj)  R
18
ตัวอยาง
่
• กาหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1) ,
(1,2) ,(1,3) ,(1,4)} สามารถแทนความสั มพันธ ์
ดวยเมทริ
กซ ์ ดังนี้
้
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
3
1
0
0
0
4
1
0
0
0
19
ความสั มพันธบนเซต
์
20
ความสั มพันธเอกลั
กษณ ์ (identity
์
relation)
• ความสั มพันธจากเซต
A ไปยังตัวมันเอง
์
เรียกวา่ ความสั มพันธบนเซต
A
์
• ความสั มพันธเอกลั
กษณ ์ (identity relation) IA
์
บนเซต A แสดง ดังนี้
IA = {(a,a) | a  A}
• ตัวอยาง
กาหนดให้ A = {1,2,3,4} จงหาคู่
่
อันดับในความสั มพันธ ์ R = {(a,b) | a < b}
วิธท
ี า จะไดว
้ า่ R =
{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
21
ความสั มพันธสะท
อน
(reflexive)
้
์
• ความสั มพันธบนเซต
A ใดๆ จะมีคุณสมบัต ิ
์
สะทอน
(reflexive) ก็ตอเมื
่ ทุก x  A ,
้
่ อ
xRx
• ตัวอยาง
กาหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณา
่
วาความสั
มพันธต
้เป็ น reflexive หรือไม่
่
์ อไปนี
่
– R = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}
เป็ น
– R = {(1,1),(2,2),(3,3)}
ไมเป็
่ น เพราะไม่
มี (4,4)
• ความสั มพันธบนเซต
A เป็ นความสั มพันธไม
์
์ ่
สะทอน
(irreflexive) ถา้ (a,a) R สาหรับ
้
22
ความสั มพันธสะท
(reflexive)
อน
้
์
ตอ
่
• ถา้ R เป็ นความสั มพันธสะท
อน
์
้
– จุดทุกจุดในกราฟระบุทศ
ิ ทางของ R จะมีลก
ู ศรวน
เขาหาตั
ว
้
– สมาชิกในแนวทะแยงมุมของเมทริ
์ 4 R จะมี
1 2 ก3ซของ
คาเป็
่ น 1 ทัง้ หมด
1 1 0 0 0
.1
.3
2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
.4
.2
4 0 0 0 1
23
ความสั มพันธสมมาตร
์
(Symmetric)
• ความสั มพันธบนเซต
A ใดๆ จะมีคุณสมบัต ิ
์
สมมาตร (symmetric) ก็ตอเมื
่ ทุก x,y  A
่ อ
-1 )
ถา้ xRy แลว
yRx
(หรื
อ
R
=
R
้
• ตัวอยาง
กาหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณา
่
วาความสั
มพันธต
้เป็ น symmetric
่
์ อไปนี
่
หรือไม่
– R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}
เป็ น
– R = {(1,3),(3,2),(2,1)}
ไมเป็
่ น
24
ความสั มพันธสมมาตร
์
(Symmetric) ตอ
่
• ถา้ R เป็ นความสั มพันธสมมาตรระหว
าง
2
์
่
เซตใดๆ
– กราฟระบุทศ
ิ ทางของ R จะมีลก
ู ศรเชือ
่ มระหวางคู
่
่
อันดับนั้น 2 ทิศทาง
1 2 3 4
– เมทริกซของ
R จะมีสมมาตรเที
ยบกั
บแนวทะแยง
์
1
0
1
0
0
.1
.3
มุม
2 1 0 1 0
.2
.4
3
4
0 1
0 0
0
1
1
0
25
ความสั มพันธปฏิ
์ สมมาตร
(Antisymmetric)
• ความสั มพันธบนเซต
A ใดๆ จะมีคุณสมบัต ิ
์
ปฏิสมมาตร (symmetric) ก็ตอเมื
่ ab , ถา้
่ อ
(a,b)R แลว
้ (b,a)  R
• หมายความวา่ ทุกๆคูที
่ ่ a กับ b ไมเท
่ ากั
่ น
ถา้ (a,b) เป็ นสมาชิกของ R แลว
้ (b,a) ตอง
้
ไมเป็
่ นสมาชิกของ R
• ตัวอยาง
กาหนด A = {1,2,3,4} R ทีม
่ ี
่
คุณสมบัตป
ิ ฏิสมมาตร เช่น
– R = {(1,1)}
เพราะความสั มพันธนี
่ a ที่
์ ้ไมมี
26
ไมเท
่ ากั
่ บ b นับวาเป็
่ นไดเลย
้
ความสั มพันธไม
่
์ สมมาตร
(asymmetric)
• ความสั มพันธบนเซต
A ใดๆ จะมีคุณสมบัตไิ ม่
์
สมมาตร (symmetric) ก็ตอเมื
่ a,b  A ,
่ อ
ถา้ (a,b)R แลว
้ (b,a)  R
• หมายความวา่ ทุกๆคู่ (a,b) ทีเ่ ป็ นสมาชิกของ
R จะตองไม
มี
ู่ นดับ (b,a) ทีเ่ ป็ นสมาชิกของ
้
่ คอั
R
• ตัวอยาง
กาหนด A = {1,2,3,4} R ใดบางที
่
่
้
มีคุณสมบัตไิ มสมมาตร
่
– R = {(1,3),(3,2),(2,1)} มี
27
– R = {(4,4), (3,3) ,(1,4)} ไมมี
เพราะมี
2
คู
ที
่
่
่
ความสั มพันธถ
(transitive)
่
์ ายทอด
• ความสั มพันธบนเซต
A ใดๆ จะมีคุณสมบัต ิ
์
ถายทอด
(transitive) ก็ตอเมื
่ ทุก x,y,z A ,
่
่ อ
ถา้ xRy และ yRz แลว
้ xRz
• ตัวอยาง
กาหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณา
่
วา่ R ตอไปนี
้มค
ี ุณสมบัตถ
ิ ายทอดหรื
อไม่
่
่
– R = {(1,1) ,(1,2) ,(2,2) ,(2,1), (3,3)} เป็ น
– R = {(1,3) ,(3,2) ,(2,1)}
ไมเป็
่ น ดวย
้
เหตุผลทีว่ า่
• มี (1,3) , (3,2) แตไม
่ มี
่ (1,2)
• มี (3,2) , (2,1) แตไม
่ มี
่ (3,1)
28
ความสั มพันธถ
(transitive)
่
์ ายทอด
ตอ
่
• ความสั มพันธถ
สามารถสั
งเกตจาก
์ ายทอดไม
่
่
กราฟระบุทศ
ิ ทางหรือเมทริกซได
ก
์ ง้ ายนั
่
• ตัวอยางกราฟระบุ
ทศ
ิ ทางของความสั มพันธ ์
่
ถายทอดแสดงได
่
้ ดังนี้
.1
.3
.2
.4
.1
.3
.1
.3
.2
.4
.2
.4
29
ความสั มพันธสมมู
ล
์
(EQUIVALENCE
RELATION)
30
ความสั มพันธสมมู
ล (Equivalence
์
Relations)
• ถาความสั
มพันธ ์ R มีคุณสมบัตส
ิ ะทอน
้
้
(reflexive) สมมาตร(symmetric) และ
ถายทอด(transitive)
เราจะกลาวว
า่ R เป็ น
่
่
ความสั มพันธสมมู
ล
์
• ตัวอยาง
่ กาหนด A = {1,2,3,4} และ R =
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)} จงตรวจสอบวา่
R เป็ นความสั มพันธสมมู
ลหรือไม่
์
วิธท
ี า
เราตองท
าการตรวจสอบคุณสมบัตท
ิ ง้ั
้
3 ดาน
ดังนี้
้
- reflexive
มี เพราะ (1,1) , (2,2) ,(3,3) , 31
ชัน
้ สมมูล (Equivalence
Classes)
• ถา้ R เป็ นความสั มพันธสมมู
ลบนเซต A แลว
์
้
ชัน
้ สมมูลของ R คือ เซตทีป
่ ระกอบไปดวย
้
ทุกๆสมาชิก x  A โดยที่ x สั มพันธกั
์ บ a
ดวยความสั
มพันธ ์ R
้
• เขียนแทนดวย
้
[a] = {xA | x R a} หรือ x  A , x [a] <>xRa
32
ชัน
้ สมมูล (Equivalence
Classes) ตอ
่
• ตัวอยาง
กาหนดให้ A = {0,1,2,3,4} และ
่
กาหนดความสั มพันธ ์ R บนเซต A ดังนี้ R =
{(0,0),(0,4),(1,1),(1,3),(2,2),(4,0),(3,3),(3,1)
,(4,4)} จงหาชัน
้ สมมูลของ R
• วิธท
ี า
[0] = {x  A | xR0} = {0,4} (มีคู่
อันดับ (0,0) , (4,0))
[1] = {x  A | xR1} = {1,3} (มีคอั
ู่ นดับ
(1,1) , (3,1))
[2] = {x  A | xR2} = {2} (มีคอั
ู่ นดับ
33
(2,2))
ผลแบงกั
้ (Partition)
่ น
• ผลแบงกั
้ ของเซต S คือกลุมของเซตย
อย
ที่
่ น
่
่
มีคุณสมบัตต
ิ อไปนี
้
่
– ไมใช
่ ่ เซตวาง
่
– แตละเซตย
อยมี
สมาชิกตางกั
น
่
่
่
– เมือ
่ นาเซตยอยทั
ง้ มารวมกัน (Union) จะเทากั
่
่ บ
เซต S
• กาหนด S = {1,2,3} ผลแบงกั
น
้ แตละแบบเป็
น
่
่
2
2
การแบงเซต
S ออกเป็ นส่วนยอย
(สั บเซต)
่
่
1
1
3
ดังภาพ 3
34
ตัวอยาง
่
• กาหนดให้ S = {1,2,3} จงหาผลแบงกั
้
่ น
ทัง้ หมดของ S
วิธท
ี า ผลแบงกั
้ ทัง้ หมดของ S มีดงั นี้
่ น
แบง่ 1 ส่วน s1 = {{1,2,3}}
แบง่ 2 ส่วน s2 = {{1,2} , {3}} , s3 = {{1,3} ,
{2}} , s4 = {{1} , {2,3}}
แบง่ 3 ส่วน s5 = {{1} , {2} , {3}}
35
ความสั มพันธประกอบ
์
(Composite Relation)
• เป็ นผลของการสรางความสั
มพันธใหม
จาก
้
์
่
ความสั มพันธที
่ อ
ี ยูเดิ
์ ม
่ ม
• กาหนดให้ A,B,C เป็ นเซต R A x B และ
Q B x C แลว
้ Q R เป็ นความสั มพันธ ์
ประกอบจาก A ไป C
• Q R = {(x,z) | x  A, zC และมี y  B ซึง่
xRy และ yRz}
• เราอาจมองความสั มพันธประกอบ
Q R วา่
์
เป็ นความสั มพันธระหว
างสมาชิ
กของเซต A
์
่
และ C โดยมีสมาชิกของเซต B เป็ นตัวเชือ
่ ม36
ตัวอยาง
่
• กาหนดให้ A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4} และ
C = {1,2} โดย R = {(1,1),(1,3),(2,1),(3,4)}
และ Q = {(1,1),(3,1),(3,2)} จงหา Q R
วิธท
ี า
เราอาจใช้การวาดกราฟระบุทศ
ิ ทาง
เพือ
่ ช่วยดูเส้นความสั มพันธ ์
1. .1
1.
2. .2
2. .1
3. .3
3. .2
.4
4.
37
38