Transcript ครั้งที่ 3

887110
Introduction to Discrete Structures
เซต
ความหมายของเซต
เซต หมายถึง กลุมของสิ
่ งตางๆ
ไม่
่
่
วาจะเป็
น คน สั ตว ์
่
สิ่ งของ ซึง่ เราจะเรียกสมาชิกในกลุม
่
วา่ “สมาชิกของเซต”
2
ตัวอยางของเซต
่
เซต
เซตของเดือนใน
1 ปี
เซตของวันใน 1
สั ปดาห ์
เซตของสี
เซตของสั ตว ์
สมาชิกของเซต
{มกราคม, กุมภาพันธ,์ มีนาคม,
เมษายน, ... , ธันวาคม}
{จันทร,์ อังคาร, พุธ, พฤหัส, ศุกร,์
เสาร,์ อาทิตย}์
{มวง,
ส้ม, แดง, เหลือง, เขียว, ...}
่
{เสื อ, สุนข
ั , แมว, ช้าง, มา,
้ กระตาย,
่
... }
3
การเขียนอธิบายเซต
• นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพใหญ
เขี
่
์
่ ยนแทนชือ
เซต เช่น A, B
• วิธก
ี ารเขียนอธิบายเซต สามารถเขียนได้ 2
วิธ ี ดังนี้
1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก มีหลักการในการ
เขียน ดังนี้
•
•
•
•
เขียนสมาชิกทัง้ หมดของเซตไวภายในวงเล็
บปี กกา
้
คัน
่ สมาชิกแตละตั
วดวยเครื
อ
่ งหมาย “,”
่
้
สมาชิกทีซ
่ า้ กันให้เขียนเพียงตัวเดียว
กรณีสมาชิกของเซตมีจานวนมากเขียนเฉพาะ 3 ตัว
แรกและใช้จุด 3 จุดเพือ
่ แทนวายั
่ ๆ
่ งมีสมาชิกตัวอืน
อีก
4
แบบฝึ กหัดที่ 1
• จงเขียนเซตตอไปนี
้แบบแจกแจงสมาชิก
่
1. เซตของชือ
่ จังหวัดในประเทศไทยทีข
่ น
ึ้ ตนด
้ วย
้
พยัญชนะ “ข”
{ขอนแกน}
่
2. เซตของสระในภาษาอังกฤษ
{a, e, i, o, u}
3. เซตของจานวนคูบวกที
น
่ ้ อยกวา่ 10
่
{2, 4, 6, 8}
4. เซตจานวนคีบ
่ วกทีน
่ ้ อยกวา่ 10
{1, 3, 5, 7, 9}
5
การเขียนอธิบายเซต (ตอ)
่
2. การเขียนแบบบอกเงือ
่ นไข มีหลักการ ดังนี้
•
•
•
เขียนภายใตวงเล็
บปี กกา { }
้
กาหนดตัวแปรแทนสมาชิกทัง้ หมดตามดวยเครื
อ
่ งหมาย
้
| (| อานว
า่ "โดยที")่่ แลวตามด
วยเงื
อ
่ นไขของตัว
่
้
้
แปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงือ
่ นไขของ x}
ตัวอยางเช
่
่น
– A = { x | x เป็ นจานวนเต็มบวกทีม
่ ค
ี าไม
เกิ
่
่ น 5}
» อานว
า่ x เป็ นสมาชิกของเซต A โดยที่ x เป็ น
่
จานวนเต็มบวกทีม
่ ค
ี าไม
เกิ
่
่ น 5
– B = {x | x เป็ นจานวนเต็ม}
6
สั ญลักษณที
์ ใ่ ช้แทนเซตของจานวน
ตางๆ
่
•
•
•
•
•
•
I
II+
N
Q
R
แทนเซตของจานวนเต็ม
แทนเซตของจานวนเต็มลบ
แทนเซตของจานวนเต็มบวก
แทนเซตของจานวนนับ
แทนเซตของจานวนตรรกยะ
แทนเซตของจานวนจริง
7
แบบฝึ กหัดที่ 2
• จงเขียนแทนเซตตอไปนี
้แบบบอกเงือ
่ นไขของ
่
สมาชิก
1. N = {1, 3, 5}
N = {x | x เป็ นจานวนคีบ
่ วกตัง้ แต่ 1 ถึง 5}
2. P = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
P = {x | x เป็ นจานวนเต็ม}
3. K = {10, 20, 30, …}
K = {x | x = 10n และ n เป็ นจานวนเต็มบวก}
8
รูปแบบของเซต
• เซตวาง
่
(Empty Set)
– คือ เซตทีไ่ มมี
่ สมาชิกเลย
– เขียนแทนดวย
{ } หรือ 
้
– เช่น เซตของจานวนเต็มทีอ
่ ยูระหว
าง
4 กับ 5
่
่
• เซตจากัด (Finite Set)
– คือ เซตทีส
่ ามารถระบุไดว
่ วั เช่น
้ ามี
่ สมาชิกกีต
• {} มีจานวนสมาชิกเป็ น 0
• {1,2,3,…,100) มีจานวนสมาชิกเทากั
่ บ 100
• เซตอนันต ์ (Infinite Set)
– คือ เซตทีไ่ มใช
่ ่ เซตจากัด มีสมาชิกมากมายนับไม่
ถวน
้
– เช่น เซตของจานวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}
9
แบบฝึ กหัดที่ 3
• เซตตอไปนี
้ เซตใดเป็ นเซตจากัด เซตใดเป็ น
่
เซตอนันต ์
1. {x | x เป็ นจานวนเต็มคู}่
เซตอนันต ์
2. {1, 2, 3, …, 100}
เซตจากัด
3. {x | x เป็ นจานวนเต็มทีห
่ ารดวย
2 ลงตัว}
้
เซตอนันต ์
4. {x | x เป็ นจานวนเต็มทีห
่ ารดวย
2 ลงตัว และ
้
น้อยกวา่ 100}
10
ความสั มพันธของเซต
์
1. เซตทีเ่ ทากั
่ น (Equal Sets)
-
เซตสองเซตจะเทากั
่ เซตทัง้ สองมีสมาชิก
่ นก็ตอเมื
่ อ
เหมือนกัน
- เซต A เทากั
่ บ เซต B เขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณเป็
A=B
์ น
- เซต A ไมเท
่ ากั
่ บ เซต B เขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณเป็
์ น AB
- ตัวอยาง
่
- A = {1,2,3,4,5} , B = {5,4,3,2,1} จะไดว
้ า่ A
=B
11
- C = {สี แดง, สี น้าเงิน, สี ขาว} , D = {สี แดง, สี น
้า
ความสั มพันธของเซต
(ตอ)
่
์
2. เซตทีเ่ ทียบเทากั
่ น (Equivalent Sets)
-
เซตสองเซตจะเทียบเทากั
่ เซตทัง้ สองมี
่ นก็ตอเมื
่ อ
จานวนสมาชิกเทากั
่ น และ สมาชิกของเซตจับคู่
กันไดพอดี
แบบหนึ่งตอหนึ
่ง
้
่
- เซต A เทียบเทากั
่ บ เซต B เขียนแทนดวย
้
สั ญลักษณเป็
AB
์ น
- ตัวอยาง
่
A = {1,2,3,4,5} , B = {a, b, c, d, e} จะไดว
้ า่ A 
B แต่ เซตทัง้ สองมีจานวนสมาชิกเทากั
่ น และ
จับคูแบบ
1:1 ไดพอดี
ดังนั้น A  B
่
้
12
- หมายเหตุ
แบบฝึ กหัดที่ 4
• เซตแตละข
อต
้เซตใดบางที
เ่ ทากั
่
้ อไปนี
่
้
่ น
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {5, 4, 3, 2, 1} A = B
2. C = {x | x เป็ นจานวนเต็มคูที
่ ้ อยกวา่ 10 }
่ น
C≠D
D = {2, 4, 6, 8}
3. E = {x | x เป็ นจานวนเต็ม และ x2 = 49 }
F = {7}
E≠F
13
สั บเซต (Subset)
ข้อกาหนด
• เซต A เป็ นสั บเซตของเซต B ก็ตอเมื
่ สมาชิกทุก
่ อ
ตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B เขียนแทนดวย
้
AB
• เซต A ไมเป็
่ มีสมาชิก
่ นสั บเซตของเซต B ก็ตอเมื
่ อ
บางตัวของเซต A ไมเป็
่ นสมาชิกของเซต B เขียนแทน
ดวย
AB
้
ข้อควรจา
•  เป็ นสั บเซตของทุกเซต นั่นคือ ถา้ A เป็ นเซตใดๆ
แลว
นสั บเซตของทุกเซตเสมอ)
้   A (เซตวางเป็
่
14
ตัวอยางสั
บเซต
่
• ตัวอยางที
่ 1
่
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
ดังนั้น A  B
• ตัวอยางที
่ 2
่
C = {x | x เป็ นจานวนเต็มบวก } = { 1, 2, 3, …}
D = {x | x เป็ นจานวนคี}่ = {…, -3, -1, 0, 1, 3,
…}
ดังนั้น
C  D ( อานว
า่ C ไมเป็
่
่ นสั บเซตของ
D)
15
สั บเซต (ตอ)
่
• นิยามสั บเซตแท้ เซต A จะเป็ นสั บเซตแทของ
้
เซต B ก็ตอเมื
่ A  B และ A  B
่ อ
• ตัวอยาง
่
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
ดังนั้น A  B
• จานวนสั บเซต
ถา้ A เป็ นเซตทีม
่ ส
ี มาชิก n
ตัว จานวนสั บเซตของเซต A จะมี 2n เซต
และในจานวนนี้จะเป็ นสั บเซตแท้ 2n – 1 เซต
16
แบบฝึ กหัดที่ 5
• จงหาสั บเซตทัง้ หมดของเซตตอไปนี
้
่
1. {1}
 , {1}
2. {1, 2}
 , {1}, {2} , {1,2}
3. {-1, 0, 1}
, {-1}, {0}, {1}, {-1,0}, {-1,1}, {0,1}, {-1,0,1}
17
เพาเวอรเซต
(Power Set)
์
• เพาเวอรเซตของเซต
A หมายถึง เซตใหมที
่ ี
์
่ ม
สมาชิกเป็ นสั บเซตทัง้ หมดของเซต A เขียน
แทนดวยสั
ญลักษณ ์ P(A)
้
• ตัวอยางที
่ 1
่
A = {1}
สั บเซตทัง้ หมดของ A คือ {} , {1} ดังนั้น P(A) = {
 , {1} }
• ตัวอยางที
่ 2
่
B=
สั บเซตทัง้ หมดของ B คือ  ดังนั้น P(B) = {} 18
เพาเวอรเซต
(Power Set)
์
• จานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของเซตจ
ากัด
์
n เมือ
จะเทากั
บ
2
่ n เป็ นจานวนสมาชิกของ
่
เซตนั้น
• เช่น ถาก
้ าหนดให้ A = {1, 2, 3}
พบวา่ เซต A มีสมาชิก 3 ตัว
3 หรือ 8
ดังนั้น P(A) จะตองมี
เ
ท
ากั
บ
2
้
่
ตัว
เขียนแจกแจงสมาชิก ไดดั
้ งนี้
P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c},
19
แบบฝึ กหัดที่ 6
• จงหาเพาเวอรเซตของแต
ละเซตต
อไปนี
้
์
่
่
1. {5}
{, {5} }
2. {0, 1}
{, {0} , {1} , {0,1}}
3. {2, 3, 4}
{, {2}, {3}, {4}, {2,3} , {2,4} , {3,4} , {2,3,4}}
20
การเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร ์
(Venn – Euler Diagrams)
• เป็ นการเขียนแผนภาพแทนเซต เพือ
่ ทาให้เรา
สามารถศึ กษาเรือ
่ งเกีย
่ วกับเซตไดง้ ายและ
่
เขาใจได
ดี
้
้
้ ยง่ิ ขึน
• การเขียนแผนภาพเวนนนั
์ ้น จะใช้รูปปิ ด
สี่ เหลีย
่ มมุมฉากแทน
เอกภพสั มพัทธ ์ (U)
วงกลม หรือ
A และรูป
B ปิ ดU
วงรีแทนสั บเซตของ
เอกภพ
สั มพัทธ ์
21
แผนภาพความสั มพันธระหว
างเซต
่
์
1
• แผนภาพแสดงความสั มพันธระหว
างเซต
A กับ
์
่
เซต B แบงเป็
ได้ 5 กรณี
่ นกรณีตางๆ
่
ดังนี้
• กรณีท ี่ 1 (disjoint set) : เซต A และ เซต
U
A
B
B ไมมี
่ สมาชิกซา้ กันเลย
22
แผนภาพความสั มพันธระหว
างเซต
่
์
2
• แผนภาพแสดงความสั มพันธระหว
างเซต
A กับ
์
่
เซต B แบงเป็
ได้ 5 กรณี
่ นกรณีตางๆ
่
ดังนี้
• กรณีท ี่ 2 (joint set) : เซต A และ เซต B
มีสมาชิกซา้ กันบางส
A่ วน
B U
23
แผนภาพความสั มพันธระหว
างเซต
่
์
3
• แผนภาพแสดงความสั มพันธระหว
างเซต
A กับ
์
่
เซต B แบงเป็
ได้ 5 กรณี
่ นกรณีตางๆ
่
ดังนี้
• กรณีท ี่ 3 (A = B) : เซต A เทากั
่ บ เซต B
A
B
U
24
แผนภาพความสั มพันธระหว
างเซต
่
์
4
• แผนภาพแสดงความสั มพันธระหว
างเซต
A กับ
์
่
เซต B แบงเป็
ได้ 5 กรณี
่ นกรณีตางๆ
่
ดังนี้
• กรณีท ี่ 4 (A  B) : เซต A เป็ นสั บเซตแท้
U
B
ของเซต B
A
25
แผนภาพความสั มพันธระหว
างเซต
่
์
5
• แผนภาพแสดงความสั มพันธระหว
างเซต
A กับ
์
่
เซต B แบงเป็
ได้ 5 กรณี
่ นกรณีตางๆ
่
ดังนี้
• กรณีท ี่ 5 (B  A) : เซต B เป็ นสั บเซตแท้
A U
ของเซต A
B
26
แบบฝึ กหัด
• จงเขียนแผนภาพแทนเซตตอไปนี
้เมือ
่ กาหนดให้
่
เอกภพสั มพัทธเป็
์ น N
1. A = {1,2,3,…,10}
B = {1,3,5,7,9}
2. A = {1,2,3,…,10}
B = {1,3,5,7,9}
C = {1, 3, 5}
3. A = {1,2,3,…,10}
B = {1,3,5,}
C = {2, 4, 6}
27
การกระทากันระหว่ างเซต (Operation of set)
• หมายถึง การกระทาระหวางเซตใดๆด
วยตั
ว
่
้
กระทา (Operation code)เกิดเป็ นเซตใหมขึ
้
่ น
• ตัวกระทาของเซต (Operation code)
– ยูเนียน (Union)
– อินเตอรเซคชั
น (Intersection)
์
– คอมพลีเมนต ์ (Complement)
– ผลตาง
(difference)
่
28
ยูเนียน (Union)
• การยูเนียนระหวางเซต
A กับเซต B จะได้
่
เซตใหมที
่ ส
ี มาชิกประกอบไปดวย
สมาชิก
่ ม
้
ทัง้ หมดทีไ่ ดจากเซต
A หรือ สมาชิกทัง้ หมดที่
้
ไดจากเซต
B
้
• สามารถเขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
์ ดั
้ งนี้
A  B = { x | x  A v x  B}
29
แผนภาพเวนนแสดงการ
Union
์
• ความสั มพันธระหว
างเซต
A กับเซต B แสดง
์
่
โดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพืน
้ ทีแ
่ รเงา
เป็ นผลลัพธของ
A  B ดังนี้
์U
U
U
A
B
A
B
U
A
B
A
A
U
B
B
30
ตัวอยาง
1
่
• ตัวอยางที
่ 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3}
่
และ B = {1,3,5,7} จงหา A  B
วิธท
ี า
A  B = {1,1,2,3,3,5,7} เหมือนเอา
สมาชิกมาเทรวมกัน
ยุบสมาชิกทีซ
่ า้ กัน จะได้ A  B =
{1,2,3,5,7}
• ตัวอยางที
่ 2 กาหนดให้ A = {1, 3}
่
และ B = {1,2,3,4} จงหา A  B
วิธท
ี า
จะเห็ นวา่ A  B
ดังนั้น A  B = {1,2,3,4}
31
อินเตอรเซคชั
น (Intersection)
์
• การอินเตอรเซคชั
นระหวางเซต
A กับเซต B
์
่
จะไดเซตใหม
ที
่ ส
ี มาชิกประกอบไปดวย
้
่ ม
้
สมาชิกทีซ
่ า้ ซ้อนกันของเซต A และ เซต B
• สามารถเขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
์ ้ ดังนี้
A  B = { x | x  A ^ x  B}
32
แผนภาพเวนนแสดงการ
์
Intersection
• ความสั มพันธระหว
างเซต
A กับเซต B แสดง
์
่
โดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพืน
้ ทีแ
่ รเงา
เป็ นผลลัพธของ
A  B ดังนี้
์U
U
A
A
B
B
U
A
B
U
A
B
33
ตัวอยาง
1
่
• ตัวอยางที
่ 1 กาหนดให้ A = {1, 2, 3}
่
และ B = {0, 2, 4} จงหา A  B และ
BA
วิธท
ี า
A  B = {2} เลือกเฉพาะสมาชิกที่
ซา้ ซ้อนกัน
และ B  A = {2} จะเห็ นวา่ A  B =
B  A (สลับทีไ่ ด)้
• ตัวอยางที
่ 2 กาหนดให้ A = {1, 3, 5}
่
และ B = {2,4,6} จงหา A  B
วิธท
ี า
จะเห็ นวา่ A กับ B ไมมี
่ สมาชิกซา้ กัน
เลย
ดังนั้น A  B = {}
34
คอมพลีเมนต ์ (Complements)
• ถา้ A เป็ นเซตใดๆในเอกภพสั มพัทธ ์ U คอม
พลีเมนตของเซต
A จะไดเซตใหม
ที
์
้
่ ่
ประกอบดวยสมาชิ
กในเอกภพสั มพัทธที
้
์ ไ่ มเป็
่ น
สมาชิกของเซต A
• สามารถเขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
์ ้ ดังนี้
A’ = {x | x  U ^ x  A}
35
ตัวอยาง
่
• ตัวอยางที
่ 1 กาหนดให้ U = {1,2,3,4,5}
่
และ A = {1, 2, 3} จงหา A’
วิธท
ี า
A’ ไดมาจากสมาชิ
กทีอ
่ ยูใน
U แต่
้
่
ไมได
A
่ อยู
้ ใน
่
ดังนั้น A’ = {4, 5}
36
ผลตาง
(difference)
่
• ผลตางระหว
างเซต
A กับเซต B จะไดเซต
่
่
้
ใหมที
่ ส
ี มาชิกประกอบไปดวย
สมาชิกทุกตัวที่
่ ม
้
อยูในเซต
A แตต
อยู
B
่
่ องไม
้
่ ในเซต
่
• สามารถเขียนเป็ นภาษาคณิตศาสตรได
์ ้ ดังนี้
A - B = { x | x  A ^ x  B}
37
แผนภาพเวนนแสดง
Difference
์
• ความสั มพันธระหว
างเซต
A กับเซต B แสดง
์
่
โดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพืน
้ ทีแ
่ รเงา
เป็ นผลลัพธของ
A - B ดังนี้
์U
U
A
A
B
B
U
A
B
U
A
B
38
ตัวอยาง
1
่
• ตัวอยางที
่ 1 กาหนดให้ A = {1, 3, 5}
่
และ B = {1, 2, 3} จงหา A - B
วิธท
ี า
A - B จะไดเซตใหม
ที
่ ส
ี มาชิกไดจาก
้
่ ม
้
เซต A แตไม
B
่ อยู
่ ในเซต
่
ดังนั้น A – B = {5}
• ตัวอยางที
่ 2 กาหนดให้ A = {-3,-1,0, 1, 2,
่
3, 8}
และ B = {x | x  I+ } จงหา (A –
B)
39
แบบฝึ กหัด
• กาหนดให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {0, 2, 4, 6, 8} , B = {1, 3, 5, 7} และ C =
{3, 4, 5, 6}
จงเขียนเซตตอไปนี
้แบบแจกแจงสมาชิก
่
1. B ∪ C
B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
2. A ∩ C
A ∩ C = {4, 6}
3. C’
C’= {0, 1, 2, 7, 8}
40
แบบฝึ กหัด
• จากแผนภาพทีก
่ าหนด จงแรเงาส่วนของพืน
้ ที่
เพือ
่ แทนเซตตอไปนี
้
่
1. A∩ B’
2. A’
3. A’ ∪ B
41
จานวนสมาชิกของเซตจากัด
• ถา้ A เป็ นเซตจากัด สามารถหาจานวน
สมาชิกของเซต A ได้ เขียนแทนดวย
n(A)
้
• ถา้ A และ B เป็ นเซตจากัดทีอ
่ ยูในเอกภพ
่
สั มพัทธ ์ U แลว
้
– n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A B)
– n(A – B) = n(A) – n(A  B)
– n(B – A) = n(B) – n(A  B)
• ถา้ A, B และ C เป็ นเซตจากัดทีอ
่ ยูในเอกภพ
่
สั มพัทธ ์ U แลว
้
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) –
n(AB) – n(AC) –
n(BC)42
การหาจานวนสมาชิกของเซต 2
เซต
การหาจานวนสมาชิกของเซต 2 เซต สามารถทา
ไดโดยการใช
านี
้
้เทคนิคตางๆเหล
่
่ ้
เทคนิคที่ 1 ใช้สูตร n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A
B)
ข้อแนะนา เหมาะกับการแกปั
านวน
้ ญหาทีโ่ จทยบอกจ
์
สมาชิกในแตละเซตมาให
่
้แลว
้
•
•
เทคนิคที่ 2 ใช้การแทนที่ ทีละส่วนลงไปใน
แผนภาพเวนน์
•
เทคนิคที่ 3 การแทนตัวแปรลงไปทีละส่วนใน
43
แผนภาพเวนน
ตัวอยางการหาจ
านวนสมาชิกของ
่
2 เซต
ตัวอยาง
จากการสอบถามนักเรียน 100 คน พบวา่
่
นักเรียน 60 คนชอบเรียนวิชาฟิ สิกส์, 30 คนชอบเรียน
วิชาคณิตศาสตร ์ และชอบเรียนทัง้ ฟิ สิกส์และ
คณิตศาสตรจ์ านวน 20 คน จงหา จานวนนักเรียนที่
ไมชอบทั
ง้ สองวิชา
่
วิธท
ี า
ให้ U แทนเซตของกลุมนั
่ ก
ู สอบถาม
่ กเรียนทีถ
n(U) = 100 คน
A แทนเซตของนักเรียนทีช
่ อบวิชาฟิ สิกส์
n(A) = 60 คน
B แทนเซตของนักเรียนทีช
่ อบวิชาคณิตฯ
n(B) = 30 คน
และ นักเรียนทีช
่ อบเรียนทัง้ ฟิ สิกส์และคณิตฯ44
แบบฝึ กหัด
• จากการสอบถามพอบ
พบวา่ มีผที
ู้ ด
่ ม
ื่ ชา
่ าน
้
หรือกาแฟเป็ นประจาจานวน 120 คน มีผที
ู้ ่
ชอบดืม
่ ชา 60 คน ชอบดืม
่ กาแฟ 70 คน
จงหาจานวนพอบ
ช
่ อบดืม
่ ทัง้ ชาและกาแฟ
่ านที
้
45
การหาจานวนสมาชิกของเซต 3
เซต
• สาหรับเทคนิคในการหาจานวนสมาชิกของเซต
3 เซตก็สามารถทาในลักษณะเดียวกันกับกรณี
ของเซต 2 เซตได้
• ในกรณีทต
ี่ องการแก
ปั
้
้ ญหาโดยการใช้สูตร
สูตรทีใ่ ช้แสดงได้ ดังนี้
n(A  B  C) =
n(A) + n(B) + n(C) –
n(AB) – n(AC) –
n(BC)
+ n(ABC)
ข้อแนะนาสาหรับเทคนิคนี้
จะใช้ไดเมื
่ โจทย ์
้ อ
กาหนดจานวนของตัวแปรตางๆในสมการมาให
่
้ครบ 46
ตัวอยาง
่
• ผลการสอบวิชาภาษาไทย สั งคม และ
คณิตศาสตรของนั
กเรียน 45 คนเป็ นดังนี้
์
–
–
–
–
–
–
–
สอบไดทั
18 คน
้ ง้ 3 วิชา
สอบภาษาไทยได้
15 คน
สอบคณิตศาสตรได
9 คน
์ ้
สอบสั งคมได้
13 คน
สอบตกวิชาคณิต กับ สั งคม
8 คน
สอบตกวิชาคณิต กับ ภาษาไทย
7 คน
สอบตกวิชาสั งคม กับ ภาษาไทย 5 คน
จงหาวาผู
ี่ น
่ ้สอบตกทัง้ 3 วิชามีกค
47
แบบฝึ กหัด
• จากการสารวจผูถื
้ อหุ้นในตลาดหลักทรัพย ์
จานวน 3000 คน พบวา่ มีผถื
ู้ อหุ้นบริษท
ั
ก, ข, และ ค ดังนี้
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ก จานวน 200 คน
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ข จานวน 250 คน
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ค จานวน 300 คน
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ก และ ข
จานวน 50 คน
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ข และ ค
จานวน 40 คน
– ผู้ถือหุ้นบริษท
ั ก และ ค
จานวน 30 คน
จากจานวนผู้ถือหุ้นทีส
่ ารวจ จงหาจานวนผู้ถือหุ้นที่
ไมใช
ั นี้
่ ่ ของสามบริษท
48
เฉลย แบบฝึ กหัด
49
มีคาถามไหมคะ่ ?
50