Transcript ใบความรู้ที่2

จัดทำโดย
น.ส. ชัญญำนุช ชูตลำด ม.5/1 เขที่ 36
ความหมายของเซต
เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่ งของต่างๆ ไม่วา่ จะเป็ น คน สัตว์ สิ่ งของ หรื อนิพจน์ทางคณิ ตศาสตร์ ซึ่ งสามารถระบุ
สมาชิกในกลุ่มได้ และเรี ยก สมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"
การเขียนเซต
การเขียนเซตนิยมใช้อกั ษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ
1.แบบแจกแจงสมำชิกของเซต
ตัวอย่ างเช่ น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { a, e, i, o, u}
C = {...,-2,-1,0,1,2,...}
2.แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต
ตัวอย่ างเช่ น A = { x | x เป็ นจานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรื อเท่ากับ 5}
B = { x | x เป็ นสระในภาษาอังกฤษ}
C = {x | x เป็ นจานวนเต็ม}
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจานวนต่างๆมีดงั นี้
I- แทนเซตของจานวนเต็มลบ Q- แทนเซตของจานวนตรรกยะที่เป็ นลบ
I+ แทนเซตของจานวนเต็มบวก Q+ แทนเซตของจานวนตรรกยะที่เป็ นบวก
I แทนเซตของจานวนเต็ม
Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ
N แทนเซตของจานวนนับ
R แทนเซตของจานวนจริ ง
เซตจากัด
บทนิยาม เซตจากัด คือ เซตที่สามารถระบุจานวนสมาชิกในเซตได้
ตัวอย่ างเช่ น A = {1, 2, 3, 4, 5} มีสมำชิก 5 สมำชิก
B = { a, e, i, o, u} มีสมาชิก 5 สมาชิก
เซตทีเ่ ท่ ากัน
เซต A และเซต B จะเป็ น เซตที่เท่ ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และ
สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็ นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ A= B
ตัวอย่ างเช่ น A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = { x | x เป็ นจานวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรื อเท่ากับ 5}
∴ A=B
เซตว่ าง
เซตว่ าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรื อมีจานวนสมาชิกในเซตเป็ นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ {}
หรื อ Ø
ตัวอย่ างเช่ น A = {x | x เป็ นจานวนเต็ม และ 1 < x < 2}
∴A=Ø
B = { x | x เป็ นจานวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } ∴ B = Ø
เอกภพสั มพัทธ์
เอกภพสั มพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่ งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้
ด้วยสัญลักษณ์ u
ตัวอย่ างเช่ น ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจานวนเต็ม
U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
หรื อ U = {x | x เป็ นจานวนเต็ม.}
สั บเซต
บทนิยาม เซต A เป็ นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็ นสมาชิกของเซต B และ
สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ A ⊂ B
ตัวอย่ างที่ 1 A = {1, 2, 3}
B = { 1, 2, 3, 4, 5}
∴ A⊂B
ตัวอย่ างที่ 2 C = { x | x เป็ นจานวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}
D = { x | x เป็ นจานวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}
∴ C D
ตัวอย่ างที่ 3 E = { 0,1,2 }
F = { 2,1,0 }
∴ E ⊂ F และ F ⊂ E
สั บเซตแท้
เซต A จะเป็ นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B
จานวนสั บเซต ถ้า A เป็ นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จานวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจานวน
นี้เป็ นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต
เพาเวอร์ เซต
บทนิยาม เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่ งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสับเซตทั้งหมดของเซต A และ
สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ P(A)
ตัวอย่ างที่ 1 A = Ø
สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø
∴ P(A) = {Ø }
ตัวอย่ างที่ 2 B = {1}
สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}
∴ P(B) = {Ø, {1} }
ตัวอย่ างที่ 3 C = {1,2}
สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}
∴ P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }
การเขียนแผนภาพแทนเซต
ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรู ปปิ ดสี่ เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรู ปปิ ดวงกลม หรื อ
วงรี แทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้
เราเรี ยกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้วา่ "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)
ยูเนียน (Union)
บทนิยาม เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่ งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A หรื อ เซต B หรื อ
ทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ดว้ ย สัญลักษณ์ A ∪ B
ตัวอย่ างเช่ น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}
อินเตอร์ เซกชัน (Intersection)
บทนิยาม เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่ งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A และเซต B
สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ A ∩ B
ตัวอย่ างเช่ น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A ∩ B = {3}
คอมพลีเมนต์ (Complements)
บทนิยาม ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วย
สมาชิกที่เป็ นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็ นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลักษณ์ A‘
ตัวอย่ างเช่ น U = {1,2,3,4,5}
A ={1,2,3}
∴ A' = {4,5}
ผลต่ าง (Difference)
บทนิยาม ถ้าเซต A และ B เป็ นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซต
ซึ่ งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็ นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ดว้ ย
สัญลักษณ์ A – B
ตัวอย่ างเช่ น A ={1,2,3}
B= {3,4,5}
∴ A - B = {1,2}
จานวนสมาชิกของเซตจากัด
ถ้า A เป็ นเซตจากัดแล้ว สามารถเขียนแทนจานวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)
ถ้า A และ B เป็ นเซตจากัดที่อยูใ่ นเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)
n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B)
ถ้า A, B และ C เป็ นเซตจากัดที่อยูใ่ นเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว
n(A ∪ B ∪ C ) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)
ระบบจานวนจริง
จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจานวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจานวนจริ ง จะประกอบไปด้วย
1. จานวนอตรรกยะ หมายถึง จานวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรู ปเศษส่ วนของจานวนเต็ม หรื อทศนิยม
ซ้ าได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรื อ ¶ ซึ่ งมีค่า 3.14159265...
2. จานวนตรรกยะ หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรู ปเศษส่ วนของจานวนเต็มหรื อทศนิยมซ้ าได้
ตัวอย่างเช่น
เขียนแทนด้วย 0.5000...
เขียนแทนด้วย 0.2000...
ระบบจานวนตรรกยะ
จานวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็ น 2 ประเภท คือ
1. จานวนตรรกยะที่ไม่ ใช่ จานวนเต็ม หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนให้อยูใ่ นรู ปเศษส่ วนหรื อทศนิยมซ้ า
ได้ แต่ไม่เป็ นจานวนเต็ม
2. จานวนเต็ม หมายถึง จานวนที่เป็ นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกาหนดให้
I เป็ นเซตของจานวนเต็ม
ระบบจานวนเต็ม
จานวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็ น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จานวนเต็มลบ หมายถึง จานวนที่เป็ นสมาชิกของเซต I - โดยที่
I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I - เป็ นเซตของจานวนเต็มลบ
2. จานวนเต็มศูนย์์ (0)
3. จานวนเต็มบวก หมายถึง จานวนที่เป็ นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I+ เป็ นเซตของจานวนเต็มบวก
จานวนเต็มบวก เรี ยกได้อีกอย่างว่า "จานวนนับ" ซึ่ งเขียนแทนเซตของจานวนนับได้ดว้ ยสัญลักษณ์ N โดย
ที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
ระบบจานวนเชิงซ้ อน
นอกจากระบบจานวนจริ งที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจานวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่ งได้จากการแก้สมการ
ต่อไปนี้
x2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x2 = -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้วา่ “ไม่สามารถจะหาจานวนจริ งใดที่ยกกาลังสองแล้วมีค่าเป็ นลบ” เราเรี ยก √-1 หรื อจานวน
อื่นๆ ในลักษณะนี้วา่ “จานวนจินตภาพ”และเรี ยก i ว่า "หนึ่งหน่ วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจานวนจริ งกับเซตจานวนจินตภาพ คือ " เซตจานวนเชิงซ้ อน " (Complex numbers)
สมบัติการเท่ ากันของจานวนจริง
กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
สมบัติการบวกในระบบจานวนจริง
กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็ นจานวนจริ ง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นัน่ คือ ในระบบจานวนจริ งจะมี 0 เป็ นเอกลักษณ์การบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นัน่ คือ ในระบบจานวนจริ ง จานวน a จะมี -a เป็ นอินเวอร์สของการบวก
สมบัติการคูณในระบบจานวนจริง
กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็ นจานวนจริ ง
2. สมบัติกำรสลับที่ของกำรคูณ ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์กำรคูณ 1 · a = a = a · 1
นัน่ คือในระบบจานวนจริ ง มี 1 เป็ นเอกลักษณ์การคูณ
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นัน่ คือ ในระบบจานวนจริ ง จานวนจริ ง a จะมี a-1 เป็ นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจานวนจริ งที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนามาพิสูจน์เป็ นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดงั นี้
ทฤษฎีบทที่ 1
ทฤษฎีบทที่ 2
ทฤษฎีบทที่ 3
ทฤษฎีบทที่ 4
ทฤษฎีบทที่ 5
กฎการตัดออกสาหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
กฎการตัดออกสาหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใดๆ
a·0=0
0·a=0
เมื่อ a เป็ นจานวนจริงใดๆ
(-1)a = -a
a(-1) = -a
เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรื อ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6
เมื่อ a เป็ นจานวนจริ งใดๆ
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจานวนจริ งได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณในระบบ
จานวนจริ งที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
การลบจานวนจริง
บทนิยาม
เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริ งใดๆ
a- b = a + (-b)
นัน่ คือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
การหารจานวนจริง
บทนิยาม
เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริ งใดๆ เมื่อ b ≠ 0
= a(b-1)
นันคื
่ อ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b
การแก้ สมการตัวแปรเดียว
บทนิยาม
ตัวอย่ างเช่ น
สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยูใ่ นรู ป
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
เมื่อ n เป็ นจานวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็ นจานวนจริ ง ที่เป็ น
สัมประสิ ทธิ์ ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรี ยกสมการนี้วา่ "สมการพหุนามกาลัง n"
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
4x2 + 4x +1 = 0
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
การแก้ สมการพหุนามเมือ่ n > 2
สมการพหุนามกาลัง n ซึ่ งอยูใ่ นรู ป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2
,..., a1, a0 เป็ นจานวนจริ ง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคาตอบของสมการพหุนามกาลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎี
บทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็ นจานวนจริ ง และ an ≠ 0
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็ นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
นัน่ คือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็ นจานวนจริ ง และ an ≠ 0
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็ นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
นัน่ คือ x - c เป็ นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็ นจานวนจริ ง และ an ≠ 0
ถ้า x - เป็ นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็ นจานวนเต็ม
ซึ่ ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
(1) m จะเป็ นตัวประกอบของ an
(2) k จะเป็ นตัวประกอบของ a0
ขั้นตอนการหาคาตอบของสมการโดยใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดงั นี้
1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทาให้ f( ) = 0 ตามทฤษฎีบทตัว
ประกอบจานวนตรรกยะ
2. นา x - c หรือ x - ทีห่ าได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร จะเป็ นพหุนามที่มีดีกรี ต่ากว่าดีกรี ของ
f(x) อยู่ 1
3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรี สูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
ตัวอย่ างที่ 1
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
∴ x - 1 เป็ นตัวประกอบของ f(x)
∴
= x2 - x – 2
x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
= (x-1)(x-2)(x+1)
x3 - 2x2 - x + 2 = 0
(x-1)(x-2)(x+1) = 0
x = 1, 2, -1
∴เซตคาตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
ตัวอย่ างที่ 2
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
∴ x - 1 เป็ นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
= (x-1)(x-3)(x-6)
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
x = 1, 3, 6
∴เซตคาตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
ตัวอย่ างที่ 3
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
= 27 - 9 - 15 - 3
=0
∴ x - 3 เป็ นตัวประกอบของ f(x)
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
= (x-3)(x+1)(x+1)
x3 - x2 - 5x - 3 = 0
(x-3)(x+1)(x+1) = 0
x = 3, -1
∴เซตคาตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
ตัวอย่ างที่ 4
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = 0
ให้ f(x) = 2x3 - 3x2 - 17x +30
∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
= 16 - 12 - 34 +30
=0
∴ x - 2 เป็ นตัวประกอบของ f(x)
∴ 2x3 - 3x2 - 17x +30 = (x-2)(2x2 + x - 15)
= (x-2)(2x - 5)(x+3)
2x3 - 3x2 - 17x + 30 = 0
(x - 2)(2x - 5)(x + 3) = 0
x =2, , -3
∴เซตคาตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
ตัวอย่ างที่ 5
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของสมการ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = 0
ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 - 4x – 4
∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) - 4= 0
= -48 + 44 + 8 - 4
=0
∴ x + 2 เป็ นตัวประกอบของ f(x)
∴ 6x3 + 11x2 - 4x - 4 = (x+2)(6x2 - x - 2)
= (x+2)(3x-2)(2x+1)
6x3 + 11x2 - 4x - 4= 0
(x +- 2)(3x - 2)(2x + 1) = 0
x = -2, ,
∴เซตคาตอบของสมการนี้คือ {-2, , }
สมบัติของการไม่ เท่ ากัน
บทนิยาม
a < b หมายถึง a น้อยกว่า b
a > b หมายถึง a มากกว่า b
สมบัติของการไม่ เท่ ากัน
กาหนดให้ a, b, c เป็ นจานวนจริ งใดๆ
1.สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c
3. จานวนจริ งบวกและจานวนจริ งลบ
a เป็ นจานวนจริ งบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
a เป็ นจานวนจริ งลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
4. สมบัติการคูณด้วยจานวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
5. สมบัติการตัดออกสาหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b
6. สมบัติการตัดออกสาหรับการคูณ
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
บทนิยาม
a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรื อเท่ากับ b
a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรื อเท่ากับ b
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c
ช่ วงของจานวนจริง
กาหนดให้ a, b เป็ นจานวนจริ ง และ a < b
1.ช่วงเปิ ด (a, b)
(a, b) = { x | a < x < b }
2. ช่วงปิ ด [a, b]
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
3. ช่วงครึ่ งเปิ ด (a, b]
(a, b] = { x | a < x ≤ b }
4. ช่วงครึ่ งเปิ ด [a, b)
[a, b) = { x | a ≤ x < b }
5. ช่วง (a, ∞)
(a, ∞) = { x | x > a}
6. ช่วง [a, ∞)
[a, ∞) = { x | x ≥ a}
7. ช่วง (-∞, a)
(-∞, a) = { x | x < a}
8. ช่วง (-∞, a]
(-∞, a] = { x | x ≤ a}
การแก้ อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจานวนใดๆ โดยใช้เครื่ องหมาย ≠
, ≤ ,≥ , < , > , เป็ นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจานวนดังกล่าว
คาตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทาให้อสมการเป็ นจริ ง
เซตคาตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทาให้อสมการเป็ นจริ ง
หลักในการแก้ อสมการเชิงเส้ นตัวแปรเดียว
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น
1.สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c
2. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
ตัวอย่ างที่ 1
จงหาเซตคาตอบของ x + 3 > 12
วิธีทา
x + 3 > 12
∴
x + 3 + (-3) > 12 + (-3)
x>9
∴ เซตคาตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)
ตัวอย่ างที่ 2
จงหาเซตคาตอบของ 2x + 1 < 9
วิธีทา
2x + 1 < 9
∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1)
2x < 8
(2x) < (8)
x<4
∴ เซตคาตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)
ตัวอย่ างที่ 3
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5
4x - 5 ≤ 2x + 5
4x - 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5
4x ≤ 2x + 10
4x - 2x ≤ 2x + 10 - 2x
2x ≤ 10
(2x) ≤ (10)
x≤5
∴ เซตคาตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]
หลักในการแก้ อสมการตัวแปรเดียวกาลังสอง
กาหนดให้ a และ b เป็ นจานวนจริ งใดๆ
1.ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรื อ b = 0
2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0
3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรื อ a < 0 และ b < 0
4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรื อ a < 0 และ b > 0
5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรื อ ab = 0
6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรื อ ab = 0
7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรื อ a < 0 และ b < 0
8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรื อ a < 0 และ b > 0
9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้ > 0 หรื อ = 0
10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้ < 0 หรื อ = 0
ตัวอย่ างที่ 4
วิธีทา
จงหาเซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0
ถ้า (x - 3)(x - 4) > 0 แล้วจะได้
x - 3 > 0 และ x - 4 > 0
x > 3 และ x > 4
∴ เมื่อ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4
หรื อ x - 3 < 0 และ x - 4 < 0
x < 3 และ x < 4
∴ x - 3 < 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3
นัน่ คือ เซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ
{ x | x < 3 หรื อ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
ตัวอย่ างที่ 5 จงหาเซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0
วิธีทา
ถ้า (x - 3)(x - 4) < 0 แล้วจะได้
x - 3 > 0 และ x - 4 < 0
x > 3 และ x < 4
∴ เมื่อ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4
หรื อ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
x < 3 และ x > 4 ซึ่ งเป็ นไปไม่ได้
∴ ไม่มีจานวนจริ ง x ที่สอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
นัน่ คือ เซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ
{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4)
จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุ ปเป็ นหลักในการแก้อสมการได้ดงั นี้
กาหนดให้ x, a, b เป็ นจานวนจริ ง และ a < b แล้ว
1.ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรื อ x > b
2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรื อ x ≥ b
4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรื อ x > b
6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรื อ x > b
8. ถ้า
≤ 0 จะได้ a ≤ x < b
หรื อ สามารถสรุ ปได้ดงั ตารางต่อไปนี้
ค่ าสมบูรณ์
บทนิยาม กาหนดให้ a เป็ นจานวนจริ ง
นัน่ คือ ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริ งใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรื อเท่ากับศูนย์เสมอ
สมบัติของค่ าสั มบูรณ์
1.|x| = |-x|
2. |xy| = |x||y|
3. =
4. | x - y | = | y - x |
5. |x|2 = x2
6. | x + y | ≤ |x| +|y|
7. เมื่อ a เป็ นจานวนจริ งบวก
|x| < a หมายถึง -a < x < a
|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
8. เมื่อ a เป็ นจานวนจริ งบวก
|x| > a หมายถึง x < -a หรื อ x > a
|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรื อ x ≥ a
ความหมายของการให้ เหตุผล
การให้ เหตุผลทางคณิตศาสตร์ (หรื อการอ้างเหตุผล) คือ กระบวนการคิดของมนุษย์ และสื่ อความหมายกับ
ผูอ้ ื่นด้วยภาษา ซึ่ งประกอบด้วยข้อความ หรื อประโยคกลุ่มหนึ่งที่ยกขึ้นมาเพื่อสนับสนุนให้ได้ขอ้ ความ หรื อ
ประโยคตามมา มักจะแสดงในส่ วนของ เหตุ เราเรี ยกข้อความกลุ่มแรกนี้วา่ ข้ ออ้ าง (Premisses) และข้อความ
อีกชุดหนึ่งที่แสดงในส่ วนของ ผล จะถูกเรี ยกว่า ข้ อสรุป (Conclusion)
เช่น เหตุ ช้างเป็ นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมต้องกินอาหาร (เรี ยกว่า ข้ ออ้ าง)
ผล ช้างต้องกินอาหาร
(เรี ยกว่า ข้ อสรุป)
ข้อความแต่ละข้อความของการให้เหตุผล จะอยูใ่ นรุ ปข้อความที่แสดงความคิดเห็น เพื่อเป็ นการยืนยัน
หรื อปฎิเสธ ซึ่ งจะมีค่าความจริ งเป็ น จริ ง หรื อ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง
การให้ เหตุผลแบ่ งออกเป็ น 2 แบบคือ
1. การให้ เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
นิยาม: การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุ ปในการค้นคว้าความจริ งจากการสังเกตหรื อทดลอง
หลายครั้งจากกรณี ย่อยๆแล้วนามาสรุ ปเป็ นความรู ้แบบทัว่ ไป
เป็ นการให้เหตุผลโดยใช้ขอ้ สังเกตุ ผลการทดลองย่อย หรื อความจริ งส่ วนย่อยที่พบเห็น มาสรุ ป
เป็ นข้อตกลง หรื อข้อคาดเดาทัว่ ไป รวมไปถึงคาพยากรณ์ดว้ ย การหาข้อสรุ ปหรื อความจริ งโดยวิธีการให้
เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่ จาเป็ นจะต้ องถูกต้ องทุกครั้ง เนื่องจากเป็ นการสรุ ปผลจากข้อเท็จจริ งที่มีอยู่ โดย
ข้อสรุ ปที่ได้จะมีความถูกต้องมากเท่าใดนั้นก็จะขึ้นอยูก่ บั สามอย่างต่อไปนี้
จานวนข้ อมูล ที่มากเพียงพอต่อการสรุ ปความ
ข้ อมูลหลักฐาน ที่ได้นามาให้เหตุผลนั้น เป็ นตัวแทนที่ดีหรื อไม่
ความซับซ้ อนของข้ อสรุปที่ต้องการ
2. การให้ เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
เป็ นการนาความรู ้พ้นื ฐานที่อาจเป็ นความเชื่อ ข้อตกลง กฏ หรื อบทนิยาม ซึ่ งเป็ นสิ่ งที่รู้มาก่อนและยอมรับ
ว่าเป็ นจริ ง เพื่อหาเหตุผลนาไปสู่ ขอ้ สรุ ป
การให้ เหตุผลแบบอุปนัย ต่ างจาก การให้ เหตุผลแบบนิรนัย อย่ างไร
การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นัน่ คือ จะต้องมีขอ้ สังเกต
หรื อผลการทดลอง หรื อ มีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปั กใจเชื่อได้ แต่กย็ งั ไม่สามารถแน่ใจในผลสรุ ป
ได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย ดังนั้นจึงกล่าวได้วา่ การให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความ
แน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะให้ความน่าจะเป็ น