Transcript 3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ
Slide 1
Slide 2
3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences)
เมื่อกล่าวถึงลาดับ โดยทัว่ ไปจะนึกถึงจานวนที่เขียนเรี ยงกกันมี ััวที่ 1
ััวที่ 2 ััวที่ 3 และั่อกไป ััวอย่างเช่น
1, 21 , 41 , 31 , . . . , n1 , . . .
–1, 1, –1 , 1, … , (–1)n, ...
2, 4, 6, 8, …, 2n, ...
Slide 3
บทนิยำม 3.1.1 ลาดับจานวนจริ ง เป็ นฟังก์ชนั จากเซัของ
จานวนนับ ไปยังเซัของจานวนจริ ง
ััวอย่างลาดับ และรู ปแบบลาดับที่กาหนดโดยพจน์ที่ n
ลาดับ {
sn } n 1 =
1 , 21 , 31 , 41 , . . . , n1 , . . .
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป {
ลาดับ
{ tn }n1
1
sn } n 1 = { n } n 1
= 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ...
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป
{ tn }n1
= { 1
n
( 1) } n 1
Slide 4
ััวอย่างลาดับ และรู ปแบบลาดับที่กาหนดโดยพจน์ที่ n
ลาดับ
{
vn } n 1
= 1, 4, 9, 16, …, n2, ...
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป
{
vn } n 1
=
{
2
n }n1
ลาดับฟี โบนัคซี (Fibonacci sequence) ซึ่งนิยามดังนี้
f={
fn } n 1
เมื่อ f1 = 1, f2 = 1, fn+1 = fn–1 + fn ( n 2 )
ลาดับนี้ คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Slide 5
กาหนด {
s n } n 1=
1 , 21 , 31 , 41 , . . . , n1 , . . .
พิจารณาลาดับั่อไปนี้
(1) 1 , 31 , 51 , 71 , …, 2 n 1 1 , ...
(2) 21 , 41 , 61 , 81 , …, 21n , ...
(3) 1 , 41 , 91 ,161 , …, 12 , ...
n
Slide 6
sn }n 1
บทนิยำม 3.1.2 ถ้า s = {
เป็ นลาดับของจานวนจริ ง
และ a = { a i } i 1 เป็ นลาดับของจานวนเั็มบวก ที่
a( i ) < a( j ) เมื่อ i < j ( i, j ) แล้วจะเรี ยกฟังก์ชนั
ประกอบ sa ว่าเป็ น ลำดับย่ อย (subsequence)
ถ้า a : โดยที่ a( i ) = ai และ ai < aj เมื่อ i < j สาหรับ
i, j และ s : โดยที่ s( n ) = sn
Slide 7
s
a
i
ai
sa
i
sa
sa( i ) = s( a( i ) ) = s( ai ) = s a สาหรับ i
i
sa( i ) = { s a i } i 1 = s a 1, s a 2 , s a 3 , ...
Slide 8
ลิมิตของลำดับ (Limit of Sequences)
ลาดับบางลาดับมีลิมิั บางลาดับไม่มีลิมิั เช่น
1, 0, 1, 0, 1,
1 ( 1)
…, 2
n1
, . . . กล่าวว่าเป็ นลาดับที่ไม่มีลิมิั
1, 21 , 31 , 41 , 51 , . . . , n1 , . . . กล่าวว่าเป็ นลาดับที่มีลิมิัเท่ากับ 0
2, 2, 2, 2, 2, …, 2, ...
กล่าวว่าเป็ นลาดับที่มีลิมิัเท่ากับ 2
Slide 9
sn }n 1
บทนิยำม 3.1.2 ให้ {
เป็ นลาดับของจานวนจริ ง จะกล่าวว่า
ลาดับ { s n } n 1 มีลิมิัเท่ากับจานวนจริ ง L ก็ั่อเมื่อ แั่ละจานวน
จริ งบวก จะมี จานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้ | sn – L | < สาหรับ
nk
ลำดับ{ s n } n 1 มีลิมิัเท่ากับ L เราจะเขียนแทนด้วย
lim s n = L หรื อ s L เมื่อ n
n
n
Slide 10
sn }n 1
ตัวอย่ ำง 2 กาหนด {
จงพิสูจน์วา่ lim
n
sn
= 1, 21 , 31 , 41 , 51 , ... ,
=0
1
n
,...
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้
| n1 – 0 | < , n k
พิจารณา | n1 – 0 |
=
1
n
เลือก k
1
ซึ่ง
Slide 11
ทาให้
| n1
–0| =
1
n
k1 < , n k
นั้นคือ n
lim
1
n
=0
Slide 12
จากบทนิยามจะเห็นว่าสาหรับแั่ละ > 0 สามารถเลือก
k ที่ใหญ่เพียงพอซึ่งจะทาให้พจน์ที่มากกว่าหรื อเท่ากับ k ทา
ให้อสมการเป็ นจริ ง การเลือก k ในััวอย่าง 2 ขึ้นอยูก่ บั
เช่น ถ้า = 0.25 เลือก k = 5 ทาให้ | n1 | < 0.25, n 5
= 0.025 เลือก k = 41 ทาให้ | n1 | < 0.025, n 41
เป็ นั้น
= 0.0025 เลือก k = 401 ทาให้ | n1 | < 0.0025, n 401
มีลาดับบางลาดับที่การเลือก k ไม่ได้ข้ ึนกับค่า ดังััวอย่าง 3
Slide 13
sn }n 1
ตัวอย่ ำง 3 กาหนด {
เมื่อ sn = 2 ( n = 1, 2, 3, … )
จงแสดงว่า lim s n = 2
n
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่ง
| sn – 2 | < , n k
เนื่องจาก | sn – 2 | = | 2 – 2 | = 0 < , n
สามารถเลือก k = 1 ( ไม่ได้ข้ ึนกับ )
ทาให้ | sn – 2 | < , n 1
lim s n = 2
นัน่ คือ n
Slide 14
ตัวอย่ ำง 4 กาหนด {
จงแสดงว่า ลาดับ {
sn }n 1
sn }n 1
โดยที่ sn = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, …
ไม่มีลิมิั
กำรพิสูจน์ จะแสดงโดยการขัดแย้ง
สมมัิให้ lim s n = L
n
เลือก = 1 จะมีจานวนเั็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < 1 , n k
ดังนั้น | 2n – L | < 1 , n k
L1
2
< n < L 2 1 , n k
Slide 15
เกิดการขัดแย้ง เพราะ L 2 1
นั้นคือ {
sn }n 1
, n L 2 1 < n
= { 2n }n1
ไม่มีลิมิั
Slide 16
ตัวอย่ ำง 5 ลาดับ {
sn }n 1
จงแสดงว่าลาดับ {
= {1
sn }n 1
n
( 1) } n 1
คือลาดับ 0, 2, 0, 2, …
ไม่มีลิมิั
lim s n = L
กำรพิสูจน์ สมมัิให้ n
ถ้า = 21 จะมีจานวนเั็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < 21 , n k
พจน์ที่ n ของลาดับคือ sn = 1 + (–1)n
จึงแยกพิจารณา | 1 + (–1)n – L | ได้ 2 กรณี
ถ้า n เป็ นจานวนเั็มคี่ จะได้ | –L | = | L | < 21
Slide 17
ถ้า n เป็ นจานวนเั็มคู่ จะได้ | 2 –L | < 21
เนื่องจาก 2 = | 2 – L + L |
| 2 – L | + | L | < 21 + 21 = 1 ซึง่ เป็ นไปไม่ได้
นัน่ คือ ลาดับ {
s n } n 1 ไม่มีลิมิั
Slide 18
ตัวอย่ ำง 6 กาหนด {
จงพิสูจน์วา่
sn }n 1
lim s n
n
=
2
2
n
{ 2
}n 1
n 4
=2
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้
|
2n 2
n2 4
– 2 | < , n k
พิจารณา |
2n 2
n2 4
–2| =|
2n 2 2n2 8
n2 4
|=|
8
n2 4
|
Slide 19
8
ั้องการ n 2 4 <
8
8
เนื่องจาก 2
< n, n
n 4
8
เพียงพอที่จะพิจารณา n < , n k
2
8
8 8
2
n
เลือก k > ทาให้ | n 2 4 – 2 | < n k < , n k
lim s n = 2
นั้นคือ n
Slide 20
sn }n 1
ทฤษฎีบท 3.1.3 ถ้า {
เป็ นลาดับของจานวนจริ งที่ sn 0
lim s n = L แล้ว L 0
ทุก n และn
กำรพิสูจน์ จะแสดงโดยใช้การขัดแย้ง
สมมัิ L < 0 เนื่องจากลาดับ { s n } n 1 มีลิมิั
เลือก = – L2 > 0
L
จะมีจานวนเั็มบวก k ที่ทาให้ | sn – L | < – 2 , n k
พิจารณาเฉพาะกรณี | sk – L | < – L2
Slide 21
sk – L < – L2
sk < L2 < 0
ทาให้ลาดับมีพจน์ที่ k ที่นอ้ ยกว่าศูนย์
เกิดการขัดแย้งที่ sn 0 ทุก n
นัน่ คือ L 0
Slide 2
3.1 ลำดับและลิมิตของลำดับ (Sequences and Limit of Sequences)
เมื่อกล่าวถึงลาดับ โดยทัว่ ไปจะนึกถึงจานวนที่เขียนเรี ยงกกันมี ััวที่ 1
ััวที่ 2 ััวที่ 3 และั่อกไป ััวอย่างเช่น
1, 21 , 41 , 31 , . . . , n1 , . . .
–1, 1, –1 , 1, … , (–1)n, ...
2, 4, 6, 8, …, 2n, ...
Slide 3
บทนิยำม 3.1.1 ลาดับจานวนจริ ง เป็ นฟังก์ชนั จากเซัของ
จานวนนับ ไปยังเซัของจานวนจริ ง
ััวอย่างลาดับ และรู ปแบบลาดับที่กาหนดโดยพจน์ที่ n
ลาดับ {
sn } n 1 =
1 , 21 , 31 , 41 , . . . , n1 , . . .
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป {
ลาดับ
{ tn }n1
1
sn } n 1 = { n } n 1
= 0, 2, 0, 2, …, 1 + (–1)n, ...
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป
{ tn }n1
= { 1
n
( 1) } n 1
Slide 4
ััวอย่างลาดับ และรู ปแบบลาดับที่กาหนดโดยพจน์ที่ n
ลาดับ
{
vn } n 1
= 1, 4, 9, 16, …, n2, ...
เขียนเป็ นรู ปแบบทัว่ ไป
{
vn } n 1
=
{
2
n }n1
ลาดับฟี โบนัคซี (Fibonacci sequence) ซึ่งนิยามดังนี้
f={
fn } n 1
เมื่อ f1 = 1, f2 = 1, fn+1 = fn–1 + fn ( n 2 )
ลาดับนี้ คือ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Slide 5
กาหนด {
s n } n 1=
1 , 21 , 31 , 41 , . . . , n1 , . . .
พิจารณาลาดับั่อไปนี้
(1) 1 , 31 , 51 , 71 , …, 2 n 1 1 , ...
(2) 21 , 41 , 61 , 81 , …, 21n , ...
(3) 1 , 41 , 91 ,161 , …, 12 , ...
n
Slide 6
sn }n 1
บทนิยำม 3.1.2 ถ้า s = {
เป็ นลาดับของจานวนจริ ง
และ a = { a i } i 1 เป็ นลาดับของจานวนเั็มบวก ที่
a( i ) < a( j ) เมื่อ i < j ( i, j ) แล้วจะเรี ยกฟังก์ชนั
ประกอบ sa ว่าเป็ น ลำดับย่ อย (subsequence)
ถ้า a : โดยที่ a( i ) = ai และ ai < aj เมื่อ i < j สาหรับ
i, j และ s : โดยที่ s( n ) = sn
Slide 7
s
a
i
ai
sa
i
sa
sa( i ) = s( a( i ) ) = s( ai ) = s a สาหรับ i
i
sa( i ) = { s a i } i 1 = s a 1, s a 2 , s a 3 , ...
Slide 8
ลิมิตของลำดับ (Limit of Sequences)
ลาดับบางลาดับมีลิมิั บางลาดับไม่มีลิมิั เช่น
1, 0, 1, 0, 1,
1 ( 1)
…, 2
n1
, . . . กล่าวว่าเป็ นลาดับที่ไม่มีลิมิั
1, 21 , 31 , 41 , 51 , . . . , n1 , . . . กล่าวว่าเป็ นลาดับที่มีลิมิัเท่ากับ 0
2, 2, 2, 2, 2, …, 2, ...
กล่าวว่าเป็ นลาดับที่มีลิมิัเท่ากับ 2
Slide 9
sn }n 1
บทนิยำม 3.1.2 ให้ {
เป็ นลาดับของจานวนจริ ง จะกล่าวว่า
ลาดับ { s n } n 1 มีลิมิัเท่ากับจานวนจริ ง L ก็ั่อเมื่อ แั่ละจานวน
จริ งบวก จะมี จานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้ | sn – L | < สาหรับ
nk
ลำดับ{ s n } n 1 มีลิมิัเท่ากับ L เราจะเขียนแทนด้วย
lim s n = L หรื อ s L เมื่อ n
n
n
Slide 10
sn }n 1
ตัวอย่ ำง 2 กาหนด {
จงพิสูจน์วา่ lim
n
sn
= 1, 21 , 31 , 41 , 51 , ... ,
=0
1
n
,...
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้
| n1 – 0 | < , n k
พิจารณา | n1 – 0 |
=
1
n
เลือก k
1
ซึ่ง
Slide 11
ทาให้
| n1
–0| =
1
n
k1 < , n k
นั้นคือ n
lim
1
n
=0
Slide 12
จากบทนิยามจะเห็นว่าสาหรับแั่ละ > 0 สามารถเลือก
k ที่ใหญ่เพียงพอซึ่งจะทาให้พจน์ที่มากกว่าหรื อเท่ากับ k ทา
ให้อสมการเป็ นจริ ง การเลือก k ในััวอย่าง 2 ขึ้นอยูก่ บั
เช่น ถ้า = 0.25 เลือก k = 5 ทาให้ | n1 | < 0.25, n 5
= 0.025 เลือก k = 41 ทาให้ | n1 | < 0.025, n 41
เป็ นั้น
= 0.0025 เลือก k = 401 ทาให้ | n1 | < 0.0025, n 401
มีลาดับบางลาดับที่การเลือก k ไม่ได้ข้ ึนกับค่า ดังััวอย่าง 3
Slide 13
sn }n 1
ตัวอย่ ำง 3 กาหนด {
เมื่อ sn = 2 ( n = 1, 2, 3, … )
จงแสดงว่า lim s n = 2
n
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่ง
| sn – 2 | < , n k
เนื่องจาก | sn – 2 | = | 2 – 2 | = 0 < , n
สามารถเลือก k = 1 ( ไม่ได้ข้ ึนกับ )
ทาให้ | sn – 2 | < , n 1
lim s n = 2
นัน่ คือ n
Slide 14
ตัวอย่ ำง 4 กาหนด {
จงแสดงว่า ลาดับ {
sn }n 1
sn }n 1
โดยที่ sn = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, …
ไม่มีลิมิั
กำรพิสูจน์ จะแสดงโดยการขัดแย้ง
สมมัิให้ lim s n = L
n
เลือก = 1 จะมีจานวนเั็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < 1 , n k
ดังนั้น | 2n – L | < 1 , n k
L1
2
< n < L 2 1 , n k
Slide 15
เกิดการขัดแย้ง เพราะ L 2 1
นั้นคือ {
sn }n 1
, n L 2 1 < n
= { 2n }n1
ไม่มีลิมิั
Slide 16
ตัวอย่ ำง 5 ลาดับ {
sn }n 1
จงแสดงว่าลาดับ {
= {1
sn }n 1
n
( 1) } n 1
คือลาดับ 0, 2, 0, 2, …
ไม่มีลิมิั
lim s n = L
กำรพิสูจน์ สมมัิให้ n
ถ้า = 21 จะมีจานวนเั็มบวก k ซึ่ง | sn – L | < 21 , n k
พจน์ที่ n ของลาดับคือ sn = 1 + (–1)n
จึงแยกพิจารณา | 1 + (–1)n – L | ได้ 2 กรณี
ถ้า n เป็ นจานวนเั็มคี่ จะได้ | –L | = | L | < 21
Slide 17
ถ้า n เป็ นจานวนเั็มคู่ จะได้ | 2 –L | < 21
เนื่องจาก 2 = | 2 – L + L |
| 2 – L | + | L | < 21 + 21 = 1 ซึง่ เป็ นไปไม่ได้
นัน่ คือ ลาดับ {
s n } n 1 ไม่มีลิมิั
Slide 18
ตัวอย่ ำง 6 กาหนด {
จงพิสูจน์วา่
sn }n 1
lim s n
n
=
2
2
n
{ 2
}n 1
n 4
=2
กำรพิสูจน์ ให้ > 0 จะหาจานวนเั็มบวก k ซึ่งทาให้
|
2n 2
n2 4
– 2 | < , n k
พิจารณา |
2n 2
n2 4
–2| =|
2n 2 2n2 8
n2 4
|=|
8
n2 4
|
Slide 19
8
ั้องการ n 2 4 <
8
8
เนื่องจาก 2
< n, n
n 4
8
เพียงพอที่จะพิจารณา n < , n k
2
8
8 8
2
n
เลือก k > ทาให้ | n 2 4 – 2 | < n k < , n k
lim s n = 2
นั้นคือ n
Slide 20
sn }n 1
ทฤษฎีบท 3.1.3 ถ้า {
เป็ นลาดับของจานวนจริ งที่ sn 0
lim s n = L แล้ว L 0
ทุก n และn
กำรพิสูจน์ จะแสดงโดยใช้การขัดแย้ง
สมมัิ L < 0 เนื่องจากลาดับ { s n } n 1 มีลิมิั
เลือก = – L2 > 0
L
จะมีจานวนเั็มบวก k ที่ทาให้ | sn – L | < – 2 , n k
พิจารณาเฉพาะกรณี | sk – L | < – L2
Slide 21
sk – L < – L2
sk < L2 < 0
ทาให้ลาดับมีพจน์ที่ k ที่นอ้ ยกว่าศูนย์
เกิดการขัดแย้งที่ sn 0 ทุก n
นัน่ คือ L 0