Transcript การทดสอบความสมเหตุสมผล

ตรรกศาสตร์
ตอนที่ 3
ตารางค่าความจริงของประโยค P Q
P
Q
P Q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
ตารางค่าความจริงของประโยค ~Q
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
~Q
F
T
F
T
~P
F
F
T
T
~P
~Q
T
F
T
T
~P
จะเห็นว่า P Q กับ ~Q ~P มีคา่ ความจริงเหมือนกันทุกกรณี
เราจะกล่าวได้ วา่ P Q สมมูล(equivalent) กับ ~Q ~P
เพราะฉะนันเราสรุ
้
ปได้ วา่
ประโยคสมมูล (Equivalent Sentences)
คือ การที่ประโยค สองประโยคมีคา่ ความจริงเหมือนกันทุกกรณี ถือว่า
ประโยคทังสองมี
้
ความหมายเหมือนกัน เช่น
เช่น
~ (~P) สมมูลกับ P
P Q สมมูลกับ ~PvQ
P Q สมมูลกับ (P Q)^(Q
P)
ตารางค่าความจริ งของ ~(~P) และ P
P
T
F
~P
F
T
~(~P)
T
F
ตารางค่าความจริงของ P
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
~P
F
F
T
T
Q และ ~PvQ
P
T
F
T
T
Q ~PvQ
T
F
T
T
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
ตารางค่าความจริ งของ P Q และ (P Q)^(Q P)
P Q Q P (P Q)^(Q P)
P
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
T
T
Q
สัจนิรันดร์ (Tautology)
และ ประโยคขัดแย้ง(Contradiction)
ประโยคเชิงประกอบที่มีค่าความจริ งเป็ น T เสมอ ไม่วา่ ค่าความจริ ง
ของประโยคย่อยแต่ละประโยคจะเป็ น T หรื อ F ก็ตามเรี ยกว่า สัจนิ
รันดร์ (Tautology)
และประโยคเชิงประกอบที่มีค่าความจริ งเป็ น F เสมอไม่วา่ ค่าความ
จริ งของประโยคย่อยแต่ละประโยคจะเป็ น T หรื อ F ก็ตามเรี ยกว่า
ประโยคขัดแย้ง (Contradiction)
P
T
F
ตารางค่าความจริ งของ Pv~P
~P
Pv~P
F
T
T
T
เรี ยกว่า ประโยค Pv~P เป็ นสัจนิรันดร์ (Tautology)
ตารางค่าความจริ งของ P^~P
P
~P
T
F
F
T
P^~P
F
F
เรี ยกว่า ประโยค P^~P เป็ น ประโยคขัดแย้ง (Contradiction)
การทดสอบความสมเหตุผล(Testing Validity)
การอ้ างเหตุผลใดๆ เริ่มจาก เหตุหรื อข้ อกาหนด(Primise) ซึง่
อาจจะมีหลายๆ ข้ อได้
ดังนันการให้
้
เหตุผลจึงเขียนเป็ นประโยคเงื่อนไขของประโยคเชิง
ประกอบได้ เป็ น
P1^P2^…. Q
โดยที่ P1^P2… คือเหตุหรื อข้ อกาหนด และ
Q คือผล หรื อ ข้ อสรุป
รูปแบบทัว่ ไปของการอ้ างเหตุผล คือ
เหตุ: P1
P2
.
.
ผล: Q
การทดสอบโดยการพิจารณาค่าความจริ ง
การที่ประโยค P1^P2… Q เป็ น สัจนิรันดร์ (เป็ นจริงทุกกรณี) จะถือว่า
การอ้ างเหตุผลนันสมเหตุ
้
สมผล (Valid)
แต่ถ้าประโยค P1^P2… Q ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ (มีบ้างกรณีเป็ นเท็จ) ก็จะถือ
ว่าการอ้ างเหตุผลนัน้ ไม่สมเหตุสมผล(Invalid)
เช่น ตัวอย่างเช่น ประโยค P Q และ P เป็ นเงื่อนไขของ Q
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
ตารางค่าความจริ งของ ((P Q)^P)
P
Q
(P Q)^P ((P
T
T
T
F
F
T
T
F
T
T
F
T
Q
Q)^P)
Q
เราสามารถเขียนอยูใ่ นรูปแบบทัว่ ไปได้ คือ
P Q
P
Q
ตัวอย่าง
เพราะฉะนั้น
ถ้าเด็กหญิงปรางดื่มน้ าแล้ว เด็กชายขงเบ้งจะดื่มนม
เด็กหญิงปรางดื่มน้ า
เด็กชายขงเบ้งจะดื่มนม
ในการทดสอบว่าประโยค P1^P2… Q เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่นนั ้
ปกติเราจะใช้ วิธีวิธีทาตาราง ตรวจสอบทุกกรณี ความจริงเราเลือก
พิจารณาเฉพาะกรณีที่ เหตุ เป็ น T ก็เพียงพอแล้ ว โดยยึดหลักว่า
หาก ผล เป็ น T เท่านัน้ แสดงว่า เป็ นสัจนิรันดร์ สมเหตุสมผล
หาก ผล เป็ น F
แสดงว่า ไม่เป็ นสัจนิรันดร์ ไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้ เหตุผลต่อไปนี ้
สมบูรณ์ไปว่ายน ้าเฉพาะหน้ าร้ อนเท่านัน้ และเมื่อไรก็ตามที่พิสมัยพักใน
เมืองสมบูรณ์จะไปว่ายน ้า แต่ขณะนี ้ไม่ใช่หน้ าร้ อน ดังนันขณะนี
้
้พิสมัย
ไม่ได้ พกั ในเมือง
ถ้า
A แทน สมบูรณ์ไปว่ายน้ า
B แทน ขณะนี้เป็ นหน้าร้อน
C แทน พิศมัยอยูใ่ นเมือง
สามารถเขียนรู ปแบบสัญลักษณ์ได้เป็ น
((AB)^(CA)^~B)~C
เราสามารถเขียน รูปแบบทัว่ ไป
ของการอ้ างเหตุผลคือ
AB
เพราะฉะนัน้
CA
~B
~C
FF (จริ ง)
FF (จริ ง)
T
T
(จริ ง)
(จริ ง)
ซึ่ งจะพบว่า ผล ~C เป็ น T เท่านั้น แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง จงเขียนการให้ เหตุผลในรูปประโยคสัญลักษณ์ และทดสอบความ
สมเหตุสมผล
ถ้ าสมบัติเรี ยนหนักแสดงว่าจะมีการสอบ และถ้ าสมบัติเรี ยนหนัก
เขาจะไม่นอน ตอนนี ้กาลังจะมีการสอบ ดังนัน้ สมบัตจิ ะไม่นอน
ถ้า
A แทน สมบัติเรี ยนหนัก
B แทน จะมีการสอบ
C แทน สมบัติไม่นอน
สามารถเขียนรู ปแบบสัญลักษณ์ได้เป็ น
((AB)^(AC)^B)C
เราสามารถเขียน รูปแบบทัว่ ไป
ของการอ้ างเหตุผลคือ
AB
เพราะฉะนัน้
AC
B
C
FT (จริ ง)
FF (จริ ง)
T
F
(จริ ง)
(เท็จ)
ซึ่ งจะพบว่า ผล C เป็ น F ได้ แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้ไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง จงพิสจู น์ข้อโต้ งแย้ งต่อไปนี ้
A~(BC)
เพราะฉะนัน้
(D^B)C
D
~A
F~(TT) (จริ ง)
(T^T)T (จริ ง)
T
~F
(จริ ง)
(จริ ง)
ซึ่ งจะพบว่า ผล ~A เป็ น T เท่านั้น แสดงว่าการอ้างเหตุผลข้างต้นนี้สมเหตุสมผล
การทดสอบโดย กฎการอ้างอิง
(Rule of Inference)
โดยเราอ้ างอิงจากประโยคที่เป็ นสัจนิรันดร์ อยูแ่ ล้ ว โดยเมือ่ เขียนอยูใ่ น
รูปแบบการอ้ างเหตุผล ก็จะเป็ นรูปแบบของการอ้ างเหตุผลที่
สมเหตุสมผล ดังนันอาจกล่
้
าวได้ วา่ สัจนิรันดร์ เป็ นกฎการอ้ างอิง
สาหรับการอ้ างเหตุผลนัน่ เอง เช่น
1. กฎ Simplification
(P^Q)
เพราะฉะนัน้
P
P^Q
P
2. กฎ Addition
P
P^Q
P
เพราะฉะนัน้
P^Q
3. กฎ Modus Ponens
(PQ)^P
Q
PQ
P
เพราะฉะนัน้
Q
4. กฎ Modus Tollens
(PQ)^~Q
PQ
~Q
เพราะฉะนัน้
~P
~P
ตัวอย่าง จงพิสูจน์การอ้างเหตุผลต่อไปนี้
aq
เพราะฉะนั้น
bq
(avb)q
พิสูจน์ 1. aq
2. bq
3. ~avq
เหตุ
เหตุ
1,Switcheroo
4. ~bvq
5. (~avq)^(~bvq)
6. (~a^~b)vq
2,Switcheroo
3,4, ประโยครวม
5,Distributive Law
7. ~(avb)vq
8. (avb)q
6,De morgan
7,Switcheroo
~(~PvQ) ( Pv~Q)
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
~P
~Q
~PVQ
~(~PVQ)
PV~Q
~(~PvQ) ( Pv~Q)