Transcript ตรรกศาสตร์และการให้เหตุผล

ตรรกศาสตร์ และการให้ เหตุผล
ตรรกศาสตร์ จัดเป็ นวิชาที่วา่ ด้วยกฎเกณฑ์ของการใช้เหตุใช้ผลซึ่ งพัฒนามาตั้งแต่
สมัยกรี กโบราณ โดยที่ตรรกศาสตร์ น้ นั หมายถึง วิชาที่วา่ ด้วยความรู ้ที่เกี่ยวกับการตรึ ก
ตรองและการคิดซึ่ งตรงกับภาษาอังกฤษคาว่า logic จากรากศัพท์ภาษากรี กว่า logos
ที่แปลว่าคาพูด โดยที่ด้ งั เดิมนั้นการศึกษาเรื่ องความเป็ นเหตุเป็ นผลและการให้เหตุผลยัง
ไม่เป็ นระบบมากนัก จนกระทัง่ มาถึงสมัยของอริ สโตเติ้ลที่ได้ทาการศึกษา และพัฒนา
ตรรกศาสตร์ ให้มีความเป็ นระบบมากขึ้น จนตรรกศาสตร์ ได้ชื่อว่าเป็ นวิชาพื้นฐานที่
สาคัญในการศึกษาวิชาการในแขนงอื่น ๆ อีกเป็ นจานวนมาก ไม่วา่ จะเป็ น คณิ ตศาสตร์
วิทยาศาสตร์ กฎหมาย และปรัชญา เป็ นต้น นอกจากนั้นตรรกศาสตร์ ยงั เป็ นปั จจัย
สาคัญ ที่สามารถนาไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจาวันได้อย่างเหมาะสมอีกด้วย
จากการที่ตรรกศาสตร์ มีบทบาทที่สาคัญในการทาให้ เราหาข้ อสรุ ปต่ าง ๆ
ที่เกิดประโยชน์ เป็ นอย่ างมาก
และเพือ่ ให้ ผ้ ูศึกษาได้ มีความรู้ เบือ้ งต้ นสาหรับ
การศึกษาเรื่องของตรรกศาสตร์
ผู้ศึกษาจาเป็ นจะต้ องเข้ าใจถึงลักษณะของ
ประโยคของตรรกศาสตร์ เพื่อให้ สามารถจาแนก ค่ าความจริ งของประโยค
การสร้ างประโยค การวิเคราะห์ หาค่ าความจริงรวมทั้งหาความสมเหตุสมผลใน
รู ปแบบต่ าง ๆ ได้ จากประโยคทางตรรกศาสตร์ ที่จะกล่ าวถึงต่ อไปนี้ คือ ประพจน์
และประโยคเปิ ด
ประพจน์ และประโยคเปิ ด
นิยาม : ประพจน์ คือประโยคบอกเล่าหรื อประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริ ง
ที่เป็ นจริ งหรื อเป็ นเท็จได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ งเท่านั้น
ประโยคบอกเล่ า/ปฏิเสธ
1) 42 เท่ากับ 24
ค่ าความจริงของประพจน์
จริ ง
2) 23 เท่ากับ 32
เท็จ
3) 5 เป็ นจานวนนับ
จริ ง
4) เป็2นจานวนนับ
5) ประเทศไทยมี 70 จังหวัด
เท็จ
เท็จ
จริ ง
6) x x  I+ และ x2 = -4
เป็ นเซตว่าง
7) นกไม่ใช่สตั ว์เลี้ยงลูกด้วยนม
จริ ง
นิยาม : ประโยคเปิ ด คือประโยคบอกเล่าหรื อประโยคปฏิเสธทีม่ ี
ตัวแปรหรื อตัวไม่ร้ ูคา่ อยูใ่ นประโยค และยังไม่สามารถระบุคา่ ความจริงของ
ประโยคได้ วา่ เป็ นจริงหรื อเป็ นเท็จ
ประโยคบอกเล่ า/ปฏิเสธ
ตัวแปรหรือตัวไม่ รู้ค่า
1) เขาเป็ นนายกรัฐมนตรี คนปัจจุบนั ของประเทศไทย
2) เขาเป็ นคนไทย
3) x + 5 = 12
เขา
เขา
x
4) y  0
5) p + 2q = 10 เมื่อ p = 3
y
q
จากนิ ยามของคาว่า ประพจน์และประโยคเปิ ด จึงมีวิธีการพิจารณาว่า
ประโยคใดจะเป็ นประพจน์ ประโยคใดเป็ นประโยคเปิ ด หรื อประโยคใดไม่เป็ นทั้ง
ประพจน์และประโยคเปิ ด โดยอาศัยเกณฑ์จากนิยามนัน่ เอง
“ประโยคเปิ ดเป็ นประโยคบอกเล่ าหรือประโยคปฏิเสธ ที่ไม่ สามารถสรุปได้
ว่ าค่ าความจริงเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จ เนื่องจากมีตัวแปรหรือตัวที่ไม่ รู้ ค่าอยู่ในประโยค
นั้น แต่ สามารถเปลี่ยนประโยคเปิ ดให้ เป็ นประพจน์ ได้ ด้วยการบอกค่ าตั วแปรหรือ
ตัวที่เราไม่ รู้ ค่า ประโยคเปิ ดนั้นก็จะเป็ นประพจน์ ได้ เพราะสามารถบอกค่ าความจริง
ของประโยคนั้นได้ ว่าเป็ นจริงหรือเท็จ”
ข้ อสั งเกต ประโยคบอกเล่าหรื อประโยคปฏิเสธบางประโยค ที่แม้จะมี
ตัวแปรอยูใ่ นประโยคแต่ถา้ สามารถระบุค่าความจริ งได้วา่ จริ งหรื อเท็จ
ก็ถือว่าเป็ นประพจน์ เช่น “y = x2 เป็ นสมการของกราฟพาราโบลา”
จากตัวอย่ างประโยคที่เป็ นประโยคเปิ ดที่กล่ าวมาข้ างต้ นเปลีย่ นให้ เป็ นประพจน์ ได้ ดงั นี้
ข้ อ 1) และข้ อ 2) ทาให้เป็ นประพจน์ได้ดว้ ยการบอกชื่อว่า “เขา” เป็ นใคร
ซึ่ งเมื่ อบอกแล้ ว ก็ จ ะได้ ป ระโยคที่ เ ป็ นประพจน์ ที่ สามารถบอกได้ ว่ า
เป็ นจริ งหรื อเท็จ
ข้ อ 3) บอกค่า x เช่น ให้ค่า x = 4 จะได้ประพจน์ 4+5 = 12 ที่มีค่าความ
จริ งที่เป็ น เท็จ
ข้ อ 4) บอกค่า y เช่น ให้ค่า y คือ จานวนนับจะได้ประพจน์ y  0 เมื่อ y เป็ นจานวน
นับ ที่มีค่าความจริ งที่เป็ นจริ ง
ข้ อ 5) บอกค่า q เช่น ให้ค่า q = 4 จะได้ประพจน์ p + 2q = 10 เมื่อ p = 3 , q = 4
ที่มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ
ประพจน์ คือ
ประโยคบอกเล่าหรื อปฏิเสธที่บอกค่าความจริ งได้วา่ จริ งหรื อเท็จ
เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ฉะนั้นประโยคใดที่ไม่ใช่ประโยคบอกเล่าหรื อปฏิเสธ จึงไม่ใช่
ประพจน์ เช่น ประโยคที่อยูใ่ นรู ปของประโยคคาถาม คาสั่ง คาขอร้อง คาอ้อนวอน
คาอุทาน ข้อห้าม ข้อปฏิบตั ิ ข้อความที่แสดงความต้องการ อยากได้หรื อปรารถนา สุ ภาษิต
คาพังเพย
จะไม่ใช่ประพจน์ท้ งั สิ้ นเพราะไม่สามารถบอกได้วา่ เป็ นจริ งหรื อเท็จดังประโยค
ต่อไปนี้
1) ขอจงทรงพระเจริญ
2) โปรดใช้ สะพานลอย
3) อย่ าเดินลัดสนาม
4) โปรดรักษาความสะอาด
5) อย่ ามาสาย
6) จงคิดดี ปฏิบตั ิดี
7) คุณพระช่ วย ! จริงหรือ
8) ฉันอยากถูกสลากออมสิ นรางวัลที่ 1
9) ตั้งใจเรียนนะ
10) นา้ มันขึน้ ราคาเป็ นเท่ าไรแล้ ว
11) นา้ นิ่งไหลลึก
ประเภทของประพจน์
ประพจน์แบ่งได้เป็ น 2 ประเภท คือ ประพจน์เชิงเดี่ยว และประพจน์
เชิงประกอบ
ประพจน์ เชิงเดี่ยว (simple proposition) เป็ นประพจน์ที่มีประธาน
และกริ ยาอย่างละเพียง ตัวเดียว เช่น
1) นกมีปีก
2) ดวงอาทิตย์ขึน้ ทางทิศตะวันออก
3) Z เป็ นพยัญชนะตัวสุ ดท้ ายในภาษาอังกฤษ
4) นายก้ องเกียรติเรียนอยู่ทมี่ หาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี
ประพจน์ เชิงประกอบ (compound proposition)
เป็ นประพจน์ที่เกิ ดจากการนาประพจน์เชิ งเดี่ยวมาเชื่ อมกันด้วยตัวเชื่อม
ต่าง ๆ เพื่ อ ให้เกิ ดประพจน์ ใหม่ ที่ มี ค วามหมายต่ อเนื่ อ งกันหรื อ มี ความหมาย
แตกต่างกันไปเช่น
1) ดวงอาทิตย์ขนึ้ ทางทิศตะวันออกและตกทางทิศตะวันตก
2) สมชายจะไปดูภาพยนตร์ หรือไปเล่ นกีฬา
การเชื่อมประพจน์
การเชื่อมประพจน์ เป็ นการนาเอาตัวเชื่อม (conncetive) ทางตรรกศาสตร์มา
เชื่อมกับประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่ 2 ประพจน์ข้ ึนไปด้วยตัวเชื่อมต่อไปนี้
ตัวเชื่อม
1) และ (and)
2) หรื อ (or)
3) ถ้ า….แล้ ว… (if….then…)
4) …ก็ต่อเมื่อ… (…if and only if…)
5) นิเสธ (negation)
สัญลักษณ์ ท่ ใี ช้ แทนตัวเชื่อม





ค่าความจริ งของประพจน์ใด ๆ จะเป็ นจริ ง หรื อ เท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ ง
เท่านั้น โดยต่อไปนี้จะใช้อกั ษร T แทนค่าที่เป็ นจริ ง อักษร F แทนค่าที่เป็ นเท็จ
และอักษร p , q , r , … แทนประพจน์
ประพจน์ ที่เชื่ อมด้ วยตัวเชื่ อม “และ” (conjunction statement) เป็ นประพจน์เชิ ง
ประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยวด้วยตัวเชื่อม “และ” ใช้สญ
ั ลักษณ์ p  q
(อ่านว่า p และ q หรื อ p and q)
ตัวอย่ าง ให้ p แทน ธงชาติไทยมี 3 สี
q แทน สี แดงของธงชาติ หมายถึงชาติ
ดังนั้น p  q แทน ธงชาติไทยมี 3 สี และสี แดงของธงชาติหมายถึง ชาติ
ค่ าความจริงของประพจน์ p  q เป็ นจริงเพียงกรณีเดียวเท่ านั้น คือ เมื่อประพจน์ p
และประพจน์ q เป็ นจริ งทั้งคู่ นอกนั้นค่าความจริ งของ p  q จะเป็ นเท็จหมด หรื อกล่าวได้วา่
ค่าความจริ งของประพจน์ p  q จะเป็ นเท็จ เมื่อค่าความจริ งของประพจน์ p หรื อ ประพจน์ q
ตัวใด ตัวหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็ นเท็จ ผลลัพธ์ของการเชื่อม p  q ก็จะเป็ นเท็จ ดังตาราง
ต่อไปนี้
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
เช่ น 3  2 และ 32 = 9 ..........…......เป็ น
7 เป็ นเลขคี่ และ  1 ...…...……..เป็ น
32 = 6 และ 1 + 1 = 2 ...................เป็ น
23 = 6 และ 3  2 ...........…......เป็ น
T
F
F
F
ประพจน์ ที่เชื่อมด้ วยตัวเชื่อม “หรือ” (disjunction statement) เป็ นประพจน์
เชิงประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยว “หรื อ” ใช้สัญลักษณ์ p  q
(อ่านว่า p หรื อ q หรื อ p or q )
ให้ p แทน 23 = 6
q แทน 32 = 9
ดังนั้น p  q แทน 23 = 6 หรื อ 32 = 9
ตัวอย่าง
ค่ าความจริงของประพจน์ p  q เป็ นเท็จเพียงกรณี เดียวเท่านั้น คือ
เมื่อประพจน์ p เป็ นเท็จ และประพจน์ q เป็ นเท็จ หรื อกล่าวได้วา่ ค่าความจริ งของประพจน์
เชิงเดี่ยว ที่เชื่อมด้วย หรื อ เป็ นเท็จหมดทุกประพจน์ จะได้ผลของการเชื่อมเป็ นเท็จ แต่ถา้ ค่า
ความจริ งของประพจน์ p หรื อ q ตัวใด ตัวหนึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็ นจริ ง ผลลัพธ์ของ p  q
ก็จะเป็ นจริ ง ดังตารางต่อไปนี้
p
q
pq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
เช่ น
2  3 หรื อ 32 = 9……….……………....เป็ น
3  5 หรื อ 3 เป็ นเลขคู…
่ …..………........เป็ น
23 = 6 หรื อ 3 เป็ นเลขคี…
่ …………..……เป็ น
33 = 6 หรื อ 3 เป็ นเลขคู…
่ ….………........ เป็ น
T
T
T
F
ค่ าความจริงของประพจน์ p  q เป็ นเท็จเพียงกรณี เดียวเท่านั้น คือ เมื่อประพจน์ p (ตัวหน้าหรื อตัวเหตุ ) เป็ นจริ ง ประพจน์ q (ตัวหลังหรื อตัวผล) เป็ นเท็จ
นอกจากกรณี p  q ที่ p เป็ นจริ ง q เป็ นเท็จที่ให้ผลเป็ นเท็จแล้ว
นอกนั้นจะให้ผล
p  q ที่เป็ นจริ งทั้งหมด คือ p และ q เป็ นจริ งทั้งคู่ p และ q เป็ นเท็จทั้งคู่
และ p เป็ นเท็จ q เป็ นจริ ง ดังตารางต่อไปนี้
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
เช่ น
ถ้ า 42 = 16 2แล้ ว 4 เป็ นเลขคู…
่ ……..…....เป็ น
ถ้ า  1 แล้ ว 1+2 = 4 …………….… ..เป็ น
ถ้ า 23 = 9 แล้ ว 9 เป็ นเลขคี่ ………..….....เป็ น
ถ้ า 33 = 9 แล้ ว 3 เป็ นเลขคู่ …...……..….เป็ น
T
F
T
T
ประโยคในรู ปเงื่ อนไขนี้ จะพบมากในเรื่ องของความเป็ นเหตุเป็ นผลซึ่ ง
สามารถเขียนเป็ นข้อความในรู ปแบบต่าง ๆ กันได้ดงั ตัวอย่างต่อไปนี้
1. ถ้ าฝนตกหนักแล้วนา้ จะท่ วม
2. ฝนตกหนักนา้ จึงท่ วม
3. นา้ จะท่ วมถ้ าฝนตกหนัก
4. นา้ ท่ วมเพราะฝนตกหนัก
ถ้าให้ p แทน ฝนตกหนัก
q แทน น้ าจะท่วม
ข้อความทั้ง 4 ข้อข้างต้นนั้น มีความหมายเหมือนกันและทุกข้อนั้นเขียนในรู ป
สัญลักษณ์ได้เป็ น p  q (p เป็ นเหตุ และ q เป็ นผล)
ประพจน์ ทเี่ ชื่อมด้ วยตัวเชื่อม “…ก็ต่อเมือ่ …” (biconditional statement)
เป็ นประพจน์เชิงประกอบที่ได้มาจากการเชื่อมประพจน์เชิงเดี่ยวด้วยตัวเชื่อม
“…ก็ต่อเมื่อ…” ใช้สัญลักษณ์ p  q (อ่านว่า p ก็ต่อเมื่อ q หรื อ p if and only
if q)
ตัวอย่าง ถ้า p แทน 23 = 8
q แทน 32 = 9
ดังนั้น p  q แทน 23 = 8 ก็ต่อเมื่อ 32 = 9
ค่ าความจริงของประพจน์ p  q เป็ นจริ งเมื่อทั้ง p และ q มีค่าความจริ งที่
เหมือนกัน คือ p , q เป็ นจริ งทั้งคู่เหมือนกัน หรื อ p , q เป็ นเท็จทั้งคู่เหมือนกันจะได้ผลลัพธ์
ของ p  q เป็ นจริ ง แต่ถา้ p , q มีค่าความจริ งต่างกันหรื อตรงกันข้ามกันจะได้ ผลลัพธ์ของ
p  q เป็ นเท็จ ดังตารางต่อไปนี้
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
เช่ น
23
32
32
23
= 8 ก็ต่อเมื่อ 2 + 2 = 4 ……….เป็ น
= 9 ก็ต่อเมื่อ 3 เป็ นเลขคู่ ….…..เป็ น
= 6 ก็ต่อเมื่อ 1 + 1 = 2 ………...เป็ น
= 6 ก็ต่อเมื่อ 2  3 ………........เป็ น
T
F
F
T
ประพจน์ ท่ เี ชื่อมด้ วยตัวเชื่อม นิเสธ (ไม่ , ไม่ใช่, not ,negation) คือ ประพจน์รูปนิเสธหรื อรูป
ปฏิเสธ (denial) ของประโยคเดิม ดังนันถ้
้ า p เป็ นประพจน์จะได้ สญ
ั ลักษณ์  p แทนนิเสธของ
ประพจน์ p ( p อ่านว่า นิเสธของ p หรื อไม่ใช่ p หรื อ not p) ซึง่ ค่าของ  p จะมีค่าตรงข้ าม
กับ p นัน่ เอง
ตัวอย่ าง
ถ้า p แทน 32 = 9
เป็ น T
ดังนั้น  p แทน 32  9
เป็ น F
ถ้า p แทน
ดังนั้น  p แทน
2
2
เป็ นจานวนเต็ม เป็ น F
ไม่เป็ นจานวนเต็ม เป็ น T
ค่าความจริ งของประพจน์  p เป็ นดังตารางต่อไปนี้
p
p
T
F
F
T
สรุ ปค่ าความจริงของประพจน์ ท่ ีเชื่อมด้ วยตัวเชื่อม  ,  ,  ,  , 
p q p  q p q
p
q
T
F
F
F
F
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
p
q
p q
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
การวิเคราะห์ หาค่ าความจริงของประพจน์
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาค่าความจริ งของประพจน์ “ถ้า
และ 6 เป็ นเลขคี่”
2
เป็ นจานวนนับแล้ว 62 = 36
ให้ p คือ เป็2 นจานวนนับ
.………เป็ น F
q คือ 62 = 36
…….…เป็ น T
r คือ 6 เป็ นเลขคี่
.........เป็ น F
เปลี่ยนข้อความของประพจน์ให้อยูใ่ นรู ปของสัญลักษณ์ p  (q  r) แล้วหาค่า
ความจริ งของประพจน์ได้ค่าความจริ งเป็ นจริ งดังนี้
วิธีทา
p
F

( q  r )
T
F
F
T
แสดงว่าค่าความจริ งของประพจน์ “ถ้า
มีค่าความจริ งเป็ นจริ ง
2
เป็ นจานวนนับแล้ว 62 = 36 และ 6 เป็ นเลขคี่ ”
ตัวอย่ างที่ 2 กาหนด p , q , r , s เป็ นประพจน์โดยที่ q และ r ต่างมีค่าความจริ งที่เป็ นเท็จ
จงหาค่าความจริ งของประพจน์ต่อไปนี้
1)  (p  s)  q    r
2 ) (q  p)  (r  s)
วิธีทา
1)  ( p  s)   q    r

T
T
T
T
2 ) (q  p)  (r  s)

F

F
T
F
F
ตัวอย่ างที่ 3 ถ้าประพจน์  p  q มีค่าความจริ งเป็ นเท็จ และ q  r มีค่าความจริ ง
เป็ นจริ ง จงหาค่าความจริ งของประพจน์   p  ( q  r )    r
วิธีทา
จาก 1.  p  q มีค่าความจริ งเป็ น F แสดงว่า  p เป็ น T และ q เป็ น F
2. q  r เป็ น T เมื่อ q เป็ น F จาก 1. จะได้ r เป็ น T
จากโจทย์จะได้ p เป็ น F
ประพจน์ได้ดงั นี้
q เป็ น F
r เป็ น T นาค่าความจริ งที่ได้ไปแทนค่าใน
[ p  ( q  r ) ]   r
T
T
T
F
F
ข้ อสั งเกต เกี่ยวกับค่าความจริ งของตัวเชื่อม  ,  ,  , 
1. p  q จะเป็ นเท็จ ถ้าประพจน์ตวั ใดตัวหนึ่งเป็ นเท็จ
เช่น p  q
p  q
F F
F F
2. p  q จะเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ตวั ใดตัวหนึ่งเป็ นจริ ง
เช่น p  q
p  q
T T
T T
3. p  q จะเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ตวั หน้า (p) เป็ นเท็จ
p  q จะเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ตวั หลัง (q) เป็ นจริ ง
เช่น p  q
p  q
F T
T T
4. p  q จะเป็ นจริ ง ถ้าประพจน์ท้งั คู่มีค่าความจริ งเหมือนกัน
เช่น p  q
p  q
T T T
F T F
กรณี ที่เราไม่ทราบค่าความจริ งที่แน่นอนของประพจน์เชิงเดี่ยวเลย เราจะพิจารณาหาค่า
ความจริ งของทุกกรณี ที่เป็ นไปได้ โดยการวิเคราะห์ดว้ ยตารางค่าความจริ ง (truth table
analysis ) ในแต่ละกรณี เพื่อใช้ศึกษาและตรวจสอบในโอกาสต่าง ๆ ดังตัวอย่าง
ตัวอย่ างที่ 4 จงวิเคราะห์หาค่าความจริ งของประพจน์ ( p  q )  p
วิธีทา เนื่องจากประพจน์ ( p  q )  p ประกอบด้ วยประพจน์เชิงเดี่ยวที่แตกต่างกันอยู่
2 ประพจน์ คือ p กับ q แต่ละประพจน์มีค่าความจริ งเป็ นไปได้ 2 กรณี ( คือ T หรื อ F )
ดังนันเมื
้ ่อพิจารณาพร้ อมกันทัง้ 2 ประพจน์ จะเกิดกรณีที่เป็ นไปได้ 2 x 2 = 4 กรณีคือ
TT , TF , FT , FF เมื่อนาทัง้ 4 กรณีมาพิจารณาหาค่าความจริ งจะได้ ดงั ตารางต่อไปนี ้
p
q
pq
(pq) p
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T
(p  q)
T T T
หรื อแสดงได้ ดังนี ้ T T F
F T T
F F F
 p
T T
T T
F F
T F
ประโยคสั จนิรันดร์ และประโยคขัดแย้ง
ประโยคสั จนิรันดร์ ( tautology ) คือ ประโยคที่มีค่าความจริ งจากตารางค่าความจริ งเป็ นจริ งทุก
กรณี ไม่วา่ ประโยคที่เป็ นประพจน์เชิงเดี่ยวจะมีค่าความจริ งเป็ น T หรื อ F ก็ตาม
เช่น ( p  q )  p
แสดงได้ ดงั นี ้
(p  q)  p
T T T T T
T F F T T
F F T T F
F F F T F
ค่าความจริ งของประพจน์ ( p  q )  p เป็ นจริ ง ( T ) ทุกกรณี ดังนั้นประพจน์
( p  q )  p จึงเรี ยกว่าเป็ นสัจนิรันดร์
ประโยคขัดแย้ ง ( contradiction ) คือ ประโยคที่มีค่าความจริ งจากตารางค่าความ
จริ งเป็ นเท็จทุกกรณี ไม่วา่ ประโยคที่เป็ นประพจน์เชิงเดี่ยวจะมีค่าความจริ งเป็ น T หรื อ F
ก็ตาม เช่น ( p  q )   p
แสดงได้ดงั นี้
(p
T
T
F
F

T
F
F
F
q)
T
F
T
F

F
F
F
F
p
F
F
T
T
ค่าความจริ งของประพจน์ ( p  q )   p เป็ นเท็จ (F) ทุกกรณี
ดังนั้นประพจน์ ( p  q)   p จึงเรี ยกว่าเป็ นประโยคขัดแย้ง
ประโยคทีส่ มมูลกัน ( equivalent sentences ) คือ การที่ประโยค 2 ประโยคที่เป็ น
ประพจน์ มีค่าความจริ งจากตารางค่าความจริ งที่เหมือนกันทุกกรณี กรณี ต่อกรณี ดังนั้นเมื่อ
เชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ดว้ ย  แล้วได้ผลลัพธ์ของ  จากตารางเป็ นสัจนิรันดร์กแ็ สดง
ว่าประพจน์หรื อประโยคทั้ง 2 นั้นสมมูลกัน (ใช้สญ
ั ลักษณ์  ) โดยที่ประพจน์ท้ งั สองนั้น
จะมีความหมายเหมือนกัน และประโยคที่สมมูลกัน สามารถใช้แทนที่กนั ได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่ างประโยคทีส่ มมูลกันเป็ นดังนี้

p
q
p

q
pq
q

p
q
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
p
จากตารางข้ างต้ นพบว่า p  q และ  p  q และ  q   p
ต่างก็มีค่าความจริ งเหมือนกันทุกกรณี
แสดงว่า p  q   p  q   q   p
การให้ เหตุผล
การให้ เหตุผลแบบนิรนัยและแบบอุปนัย
การให้ เหตุผลแบบนิรนัย ( deductive ) เป็ นการให้เหตุผลทางคณิ ตศาสตร์โดยนาข้อความ
ที่กาหนดให้ซ่ ึ งต้องยอมรับว่าเป็ นจริ งทั้งหมดหรื อยอมรับว่าเป็ นจริ งโดยไม่ตอ้ งพิสูจน์มาเป็ นข้ออ้าง และ
สนับสนุน เพื่อสรุ ปเป็ นผล ข้อความที่เป็ นข้ออ้างนี้ เรี ยกว่าเหตุ ( premise ) และข้อความที่สรุ ป
เรี ยกว่า ผลหรื อผลลัพธ์ ( conclusion ) ซึ่ งถ้าพบว่าเหตุที่กาหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุ ปได้ตามหลัก
ตรรกศาสตร์ ก็แสดงว่าการให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล ( valid ) แต่ถา้ พบว่าเหตุที่กาหนดนั้นบังคับ
ให้เกิดผลสรุ ปไม่ได้ตามหลักตรรกศาสตร์แสดงว่าการให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล ( invalid )
ดังตัวอย่าง
เหตุ
ผล
: 1. สุ นขั ทุกตัวต้องหายใจ
2. ดุก๊ เป็ นสุ นขั
:
ดุ๊กต้องหายใจ
จะเห็นว่า จากเหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับให้เกิดผลได้จริ ง ดังนั้นการให้เหตุผลหรื อการอ้างเหตุผล
ของตัวอย่างนี้จึงสมเหตุสมผล ( valid )
เหตุ
:
ผล
:
1. แมวทุกตัวต้องหายใจ
2. สาลีหายใจได้
สาลีเป็ นแมว
จะเห็นว่าจากเหตุ 2 สาลีหายใจได้ แต่จากเหตุ 1 ระบุวา่ แมวทุกตัวต้องหายใจ
หมายความว่า แมวทุกตัวเป็ นสิ่ งที่หายใจได้ หรื อสิ่ งที่เป็ นแมวต้องหายใจได้ แต่สิ่งที่หายใจได้
อาจมีหลายสิ่ ง ไม่จาเป็ นต้องเป็ นแมว การที่สาลีหายใจได้ ก็ไม่สามารถระบุได้วา่ สาลีตอ้ งเป็ น
แมวเสมอไป อาจเป็ นสิ่ งอื่นที่ไม่ใช่แมวแต่หายใจได้กอ็ าจเป็ นได้ ดังนั้นเหตุ 1 และเหตุ 2 บังคับ
ให้เกิดผลสรุ ปไม่ได้เสมอไป แสดงว่าการให้เหตุผลของตัวอย่างนี้ไม่สมเหตุสมผล ( invalid )
การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็ นการให้เหตุผลที่คานึงถึงความสมเหตุสมผลของผลสรุ ปที่
เกิดจากเหตุที่กาหนดให้เป็ นสาคัญ โดยไม่ได้คานึ งว่า ผลสรุ ปนั้นจะเป็ นจริ งในโลกปั จจุบนั
หรื อไม่
การให้ เหตุผลแบบอุปนัย (inductive ) เป็ นการให้เหตุผลทางวิทยาศาสตร์
โดยอาศัยข้อสังเกต หรื อผลการทดลองจากหลาย ๆ ตัวอย่างมาสรุ ปเป็ นข้อตกลง หรื อสรุ ป ซึ่ งจะ
เห็นว่าการนาเอาข้อสังเกต หรื อผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ขอ้ ตกลงหรื อสรุ ป
ซึ่ งสรุ ปความถึงทุกหน่ วย ในบางกรณี อาจไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจเป็ นการสรุ ปเกิ นสิ่ งที่
กาหนดให้ ซึ่ งหมายความว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเป็ น
การเฉพาะของตนเอง นัน่ คือจะต้องมีขอ้ สังเกต หรื อผลการทดลองหรื อมีประสบการณ์ที่มาก
พอที่จะทาให้เชื่อได้ แต่อย่างไรก็ตามในบางกรณี ก็ยงั ไม่สามารถแน่ใจในผลสรุ ปได้เต็มที่ ดังนั้น
จึงกล่าวได้วา่ การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็ นเพียงการคาดการณ์หรื อเป็ นความน่าจะเป็ น ด้วยเหตุ
นี้ผลสรุ ปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยจึงอาจไม่ถูกต้องทุกครั้งก็ได้
ตัวอย่าง การให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราพบว่ามีปลาจานวนมากที่ออกลูกเป็ นไข่
เราจึงสรุ ปว่า
“ ปลาทุกชนิดต้องออกลูกเป็ นไข่ ” ซึ่ งกรณี น้ ี ถือว่าไม่สมเหตุสมผล เพราะ
ข้อสังเกตหรื อตัวอย่างที่พบ ยังไม่มากพอที่จะสรุ ป เพราะโดยข้อเท็จจริ งแล้วยังมีปลาบางชนิดที่
ออกลูกเป็ นตัว
การให้ เ หตุ ผ ลแบบอุ ป นั ย นิ ย มใช้ในการศึ ก ษาค้น คว้าคุ ณ สมบัติ ต่า ง ๆ ทางด้า น
วิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุ ปที่วา่ สารสกัดจากขมิ้นเป็ นสมุนไพรที่สามารถใช้เป็ นส่ วนประกอบ
ของเครื่ องสาอางค์ที่ทาให้ผิวพรรณดี ซึ่ งข้อสรุ ปดังกล่าวได้มาจากการทาการทดลองซ้ า ๆ กัน
หลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกัน หรื อถ้าเป็ นในทางคณิ ตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผล
แบบอุปนัยในการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงให้ตดั กัน เราก็พบว่าเส้นตรง
สองเส้นจะตัดกันเพียงจุด ๆ เดียวเท่านั้นไม่วา่ จะลากกี่ครั้งก็ตาม
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบนิรนัย
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบนิรนัย มีหลายวิธีซ่ ึงในที่น้ ีจะกล่าวถึง 3 วิธี ดังนี้
- การตรวจสอบโดยใช้ ตารางค่ าความจริง
- การตรวจสอบโดยใช้ แผนภาพ
- การตรวจสอบโดยใช้ กฎการอ้ างอิงหรือพิสูจน์
การตรวจสอบทั้ง 3 วิธี มีวธิ ีการต่ าง ๆ ดังนี้
1. การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้ ตารางค่ าความจริง
การตรวจสอบการสมเหตุสมผลโดยใช้ตารางค่าความจริ ง เป็ นการตรวจสอบการให้เหตุผล
โดยนาเอาเหตุและผลมาจัดให้อยูใ่ นรู ปของประพจน์ ( p1  p2  p3  _ _ _  pn )  q
เมื่อ p1 , p2 , _ _ _ , pn เป็ นเหตุและ q เป็ นผล ถ้าได้ผลลัพธ์ของ  จากตารางค่าความจริ ง
เป็ นสัจนิ รันดร์ หรื อผลของ  เป็ นจริ งทุกกรณี ก็แสดงว่าสมเหตุสมผล แต่ถา้ ผลลัพธ์จากตารางไม่
เป็ นสัจนิรันดร์ ก็แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล ดังตัวอย่าง
จากโจทย์
เหตุ
ผล
: 1. ถ้าสมสุ ขไปเที่ยวต่างจังหวัดแล้วสมสุ ขไม่สบาย
2. สมสุ ขไม่สบาย
: สมสุ ขไปเที่ยวต่างจังหวัด
วิธีทา
1. เปลี่ยนเหตุและผลให้อยูใ่ นรู ปของสัญลักษณ์ ดังนี้
ให้ p แทน สมสุขไปเที่ยวต่างจังหวัด
q แทน สมสุขไม่สบาย
เหตุ
: 1. p  q
2. q
ผล
:
p
2. นาเหตุและผลในรู ปของสัญลักษณ์มาตรวจสอบว่าเป็ นสัจนิ รันดร์หรื อไม่ โดยนาเหตุทุกข้อมาเชื่อมกันด้วย
 ( และ ) แล้วใส่วงเล็บใหญ่ท้งั หมดแล้ว implies ผล ได้ ประพจน์สาหรับตรวจสอบเป็ น
[ ( p  q )  q ]  p นาไปสร้างตารางค่าความจริ ง
3. หาค่าความจริ งของประพจน์ [ ( p  q )  q ]  p ดังนี้
[ (p  q)  q ]  p
T T T T T T T
T F F F F T T
F T T T T F F
F T F F F T F
4. การพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้จากตารางค่าความจริ ง ถ้าได้ผลเป็ นสัจนิรันดร์ แสดงว่าเหตุผลที่โจทย์ให้มานั้น
สมเหตุสมผล แต่ถา้ ไม่ เป็ นสัจนิรันดร์ กไ็ ม่สมเหตุสมผล
ดังนั้นเหตุผลจากโจทย์ ข้อนีจ้ งึ ไม่ สมเหตุสมผลเพราะค่าความจริงที่ได้ จากตารางไม่ เป็ นสัจนิรันดร์
ตัวอย่ างที่ 5 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลด้วยการใช้ตารางค่าความจริ ง
เหตุ : 1. p  q
2.  p
ผล :
q
วิธีทา
[ ( p  q)   p]  q
T
T
F
F
T
T
T
F
T F
F F
T T
F F
F
F
T
T
T T
T F
T T
T F
ประพจน์ [ ( p  q )   p ]  q เป็ นสั จนิรันดร์ แสดงว่ า สมเหตุสมผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้ แผนภาพ
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพใช้รูปปิ ด เช่น รู ปวงกลม วงรี หรื อ
รู ปเหลี่ยมต่าง ๆ แทนข้อความหรื อประโยคหรื อสัญลักษณ์ที่ทาหน้าที่เป็ นประธานและภาคแสดงใน
แต่ละประโยคที่เป็ นเหตุและผล จากนั้นจึงเขียนรู ปปิ ดเหล่านั้นตามความสัมพันธ์ของเหตุที่กาหนดให้
แล้วจึงพิจารณาความสมเหตุสมผลจากแผนภาพที่เขียนนั้น
การใช้แผนภาพสาหรับการตรวจสอบความสมเหตุสมผลมีวธิ ีการดังนี้
1. เปลี่ยนประพจน์ส่วนที่เป็ นเหตุน้ นั ให้อยูใ่ นรู ปของแผนภาพ
2. แสดงความสัมพันธ์ของเหตุแต่ละข้อซึ่งอาจเกิดได้รูปแบบเดียว หรื อหลายรู ปแบบก็ได้
3. นาส่ วนที่เป็ นผล มาวิเคราะห์หาความสมเหตุสมผล โดยพิจารณาจากความสอดคล้อง
กันระหว่างเหตุกบั ผลของแผนภาพ
3.1 ถ้า ผล ไม่สอดคล้องกับแผนภาพรวมอย่างน้อย 1 รู ปแบบ สรุ ปได้วา่ การให้
เหตุผลนั้น ไม่ สมเหตุสมผล
3.2 ถ้า ผล สอดคล้องกับแผนภาพรวมทุกรู ปแบบ ก็สรุ ปได้วา่ การให้เหตุผลนั้น
สมเหตุสมผล
ตัวอย่ างที่ 6 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้ เหตุผลโดยใช้ แผนภาพ
เหตุ : 1. นกทุกตัวเป็ นสัตว์ปีก
2. สัตว์ปีกทุกตัวหายใจได้
ผล :
นกทุกตัวหายใจได้
วิธีทา
จากเหตุ 1 เขียนแผนภาพได้ ดงั นี ้
นก
สัตว์ปีก
จากเหตุ 1 และ 2 เขียนแผนภาพได้ แบบเดียวดังนี ้
นก
สัตว์ปีก
หายใจได้
จากแผนภาพพบว่าวงของนกทุกตัวอยู่ในวงของการหายใจได้ แสดงให้ เห็นว่านกทุกตัวหายใจได้
ซึง่ สอดคล้ องกับผล ดังนั ้นการให้ เหตุผลกรณีนีจ้ งึ สมเหตุสมผล
ตัวอย่ างที่ 7
เหตุ
ผล
จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ
: 1. ครู ทุกคนได้รับเงินเดือนน้อย
2. มนัสได้รับเงินเดือนน้อย
:
มนัสเป็ นครู
วิธีทา
จากเหตุ 1 เขียนแผนภาพได้ดงั นี้
เงินเดือนน้อย
ครู
จากเหตุ 1 และ 2 เขียนแผนภาพได้หลายแบบดังนี้ ให้
แบบ 1
แทน มนัส
แบบ 2
ครู
ครู
เงินเดือนน้ อย
เงินเดือนน้อย
แบบ 3
แบบ 4
ครู
เงินเดือนน้ อย
ครู
เงินเดือนน้ อย
จากแผนภาพจะเห็นว่า แบบที่ 1 แบบที่ 3 และ แบบที่ 4 ไม่สอดคล้องกับผลที่วา่ มนัสเป็ นครู
ดังนั้นการให้เหตุผลข้อนี้จึงไม่ สมเหตุสมผล
ตัวอย่ างที่ 8
เหตุ
ผล
วิธีทา จากเหตุ 1
จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ
: 1. นักกีฬาบางคนเป็ นนักศึกษาเรี ยนดี
2. นักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชีทุกคนเรี ยนดี
:
นักกีฬาบางคนเป็ นนักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชี
เรี ยนดี
นักกีฬา
นาเหตุข้อ 1 และ 2 มาเขียนแผนภาพโดยให้
นักกีฬา
เรี ยนดี
แบบ 1
นักกีฬา
แทนนักศึกษาโปรแกรมวิชาบัญชี
เรี ยนดี
แบบ 2
นักกีฬา
เรี ยนดี
แบบ 3
จะเห็นได้วา่ แผนภาพแบบ 1 ไม่สอดคล้องกับผลที่วา่ นักกีฬาบางคนเป็ นนักศึกษา
โปรแกรมวิชาบัญชี ดังนั้นการให้เหตุผลนี้จงึ ไม่ สมเหตุสมผล
ตัวอย่ างที่ 9 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ
เหตุ : 1. สัตว์ปีกมี 2 ขา
2. แมลงมี 6 ขา
3. ไมค์ไม่เป็ นทั้งสัตว์ปีกและแมลง
ผล :
ไมค์ไม่มีขา
จากเหตุ 1
สัตว์
ปี ก
2 ขา
จากเหตุ 1 และ 2
แมล
ง
6 ขา
สัตว์
ปี ก
2 ขา
จากเหตุ 1 , 2 และ 3
ให้
แทน ไมค์
แบบ 1
แบบ 2
สัตว์ปีก
แมลง
สัตว์ปีก
แมลง
2 ขา
6 ขา
2 ขา
6 ขา
แบบ 3
แบบที่ 4
สัตว์ปีก
แมลง
สัตว์ปีก
แมลง
2 ขา
6 ขา
2 ขา
6 ขา
จากแผนภาพแบบ 1 , 2 , 3 และ 4 แสดงว่าไมค์สามารถอยูไ่ ด้ทุกที่ยกเว้นในวงสัตว์ปีกและ
แมลงเท่านั้นที่ไมค์อยูไ่ ม่ได้ ไมค์จึงอาจมี 2 ขา หรื อ 4 ขา หรื อกี่ขาก็ได้ จึงไม่สอดคล้อง
กับผลที่วา่ ไมค์ไม่มีขา ดังนั้นการให้เหตุผลนี้ จึงไม่ สมเหตุสมผล
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้ กฎการอ้ างอิง
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้กฎการอ้างอิง เป็ นการตรวจสอบโดยใช้
การอ้างจากประโยคที่เป็ นเหตุ โดยที่เหตุทุกข้ อ คือ สิ่ งที่กาหนดให้ซ่ ึ งต้องเป็ นจริ งเสมอ
และจะต้องพิสูจน์ให้เห็นจริ งว่า ผล เป็ นจริ งด้วยหรื อไม่โดยใช้กฎพื้นฐานสาหรับอ้างอิงมา
ประกอบการพิสูจน์ ถ้าพิสูจน์แล้วพบว่า ผลเป็ นจริ งเพียงอย่างเดียวก็แสดงว่า สมเหตุสมผล
แต่ถา้ พบว่าผลเป็ นเท็จ หรื อ เป็ นได้ท้งั จริ งและเท็จ ก็แสดงว่า ไม่สมเหตุสมผล
กฎพืน้ ฐานสาหรับการอ้ างอิงความสมเหตุสมผลทีส่ าคัญ (ปิ ยรัตน์ จาตุรันตบุตร , 2547)
1)
Simplification
เหตุ : p  q
ผล : p
3) Modus Ponens : Direct Reasoning
เหตุ : 1. p  q
2. p
ผล : q
5) Hypothetical Syllogism
เหตุ : 1. p  q
2. q  r
ผล : p  r
7) Conjunction
เหตุ : 1. p
2. q
ผล : p  q
2) Addition
เหตุ : p
ผล : p  q
4) Modus Tollens:Indirect Reasoning
เหตุ : 1. p  q
2.  q
ผล :  p
6 ) Disjunctive Syllogism
เหตุ : 1. p  q
2.  p
ผล : q
ตัวอย่ างที่ 10 ตรวจสอบการให้เหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยกฎการอ้างอิง
เหตุ : 1. (p  q)  (r   s)
2.  (r   s)
3. p  s
ผล :
s
พิสูจน์ : 1) (p  q)  (r  s) จากเหตุ 1
2) (r   s)
จากเหตุ 2
3) (p  q)
จากเหตุ 1, 2และ Modus Tollens
4)  p   q
จาก 3
5)  p
จาก 4 และ Simplification
6) p  s
จากเหตุ 3
7) s
จาก 6 และ Disjunctive Syllogism
พิสูจน์ได้วา่ ผล s เป็ นจริ ง ดังนั้นการให้เหตุผลนี้จึงสมเหตุสมผล
ตัวอย่ างที่ 11 จงตรวจสอบการให้เหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยกฎการอ้างอิง
เหตุ : 1. p  q
2.  p  r
3.  q
ผล :
r
พิสูจน์ : 1) p  q
จากเหตุ 1
2)  q
จากเหตุ 3
3)  p
จาก 1 , 2 และ Modus Tollens
4)  p  r
จากเหตุ 2
5) r
จาก 3 , 4 และ Modus Ponens
พิสูจน์ได้วา่ ผล r เป็ นจริ ง ดังนั้นการให้เหตุผลจึงสมเหตุสมผล
สรุป
ประพจน์ คือ ประโยคบอกเล่าหรื อปฏิเสธที่มีค่าความจริ งเป็ นจริ งหรื อ
เท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ส่ วนประโยคหรื อข้อความอื่น ๆ ที่เป็ นคาถาม คาสัง่
คาขอร้อง คาอ้อนวอน คาอุทาน จะไม่ใช่ประพจน์ ส่ วนประโยคเปิ ด คือ
ประโยคบอกเล่าหรื อปฏิเสธที่มีตวั แปรหรื อตัวไม่รู้ค่าอยูใ่ นประโยค ทาให้สรุ ป
ไม่ได้วา่ ประโยคนั้นเป็ นจริ งหรื อเท็จ แต่ถา้ ระบุตวั แปรหรื อตัวไม่รู้ค่าประโยคเปิ ด
นั้นก็จะเปลี่ยนเป็ นประพจน์
ประพจน์มี 2 ประเภท คือ ประพจน์เชิงเดี่ยวและประพจน์เชิงประกอบ
ประพจน์เชิงเดี่ยว เป็ นประพจน์ที่มีประธานและกริ ยาอย่างละตัวเดียว ส่ วน
ประพจน์เชิงประกอบ เป็ นประพจน์ที่เกิดจากการนาตัวเชื่อม และ  ,
หรื อ  , ถ้ า…แล้ ว…  , …ก็ต่อเมื่อ…  , นิเสธ  มาเชื่อมกับ
ประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่ 2 ประพจน์ข้ ึนไป
ประพจน์ 2 ประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “และ” จะเป็ นจริ งกรณี เดียวเมื่ อทั้ง 2
ประพจน์มีค่าความจริ งเป็ นจริ งทั้งคู่ ถ้าประพจน์ใดประพจน์หนึ่ งหรื อทั้ง 2 ประพจน์เป็ น
เท็จผลการเชื่อมได้เท็จ แต่ถา้ เชื่อมกันด้วย “หรื อ” จะเป็ นเท็จเพียงกรณี เดียว คือ เมื่อทั้ง
2 ประพจน์เป็ นเท็จทั้งคู่ การเชื่อมประพจน์ดว้ ย “หรื อ” จะเป็ นจริ งเมื่อประพจน์อย่างน้อย
1 ประพจน์เป็ นจริ ง ส่ วนการเชื่อมประพจน์ดว้ ย “ถ้า....แล้ว....” จะเป็ นเท็จกรณี เดียว คือ
เมื่อประพจน์ตวั หน้าหรื อประพจน์ที่เป็ นเหตุมีค่าความจริ งเป็ น จริ ง ประพจน์ตวั หลังหรื อ
ส่ วนที่เป็ นผล เป็ นเท็จ นอกนั้นการเชื่อมด้วย “ถ้า....แล้ว....” จะให้ผลที่เป็ นจริ งทั้งหมด
สาหรับการเชื่อมด้วย “….ก็ต่อเมื่อ....” ให้ผลที่เป็ นจริ งกรณี ที่ประพจน์ 2 ประพจน์ที่เชื่อม
กันนั้น จริ งทั้งคู่ หรื อ เท็จทั้งคู่
ประโยคที่มีค่าความจริ งจากตารางค่าความจริ งเป็ นจริ งทุกกรณี เรี ยกว่าประโยค
สัจนิ รันดร์ ประโยคที่ค่าความจริ งเป็ นเท็จทุกกรณี เป็ นประโยคขัดแย้ง ส่ วนประโยคที่
สมมูลกัน คือ ประโยค 2 ประโยคที่มีค่าความจริ งที่เหมือนกันทุกกรณี และประโยคที่
สมมูลกันจะแทนที่กนั ได้เพราะมีค่าความจริ งเหมือนกัน
การให้เหตุผลมี 2 ลักษณะ คือการให้เหตุผลแบบนิรนัยและแบบอุ ปนัย
โดยการให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็ นการให้เหตุผลโดยนาข้อความจากเหตุที่
กาหนดให้ซ่ ึ งยอมรับว่าจริ งมาสรุ ปเป็ นผลซึ่ งเป็ นความรู ้ใหม่
การให้เหตุผลแบบอุปนัย
เป็ นการให้เหตุผลโดยนาข้อสังเกตหรื อ
ข้อเท็จจริ งหรื อจากการทดลองหลาย ๆ ครั้ง มาสรุ ปเป็ นข้อตกลงหรื อความรู้ ที่จะ
นาไปใช้ต่อไป
การตรวจสอบความสมเหตุสมผลแบบนิ รนัย ทาได้โดยการใช้ตารางค่า
ความจริ ง ใช้แผนภาพ และใช้การอ้างอิงหรื อพิสูจน์ ถ้าผลการตรวจสอบพบว่าผลหรื อ
ข้อสรุ ปสอดคล้องกับแผนภาพหรื อ สอดคล้องกับส่ วนที่เป็ นเหตุ แสดงว่าสมเหตุสมผล
แต่ ถ้า ไม่ ส อดคล้อ งแสดงว่ า ไม่ ส มเหตุ ส มผล ส่ ว นการใช้ต ารางค่ า ความจริ ง จะ
สมเหตุสมผลเมื่อผลที่ได้จากตารางเป็ นสัจนิ รันดร์เท่านั้น