Transcript การแจกแจงค่าความจริง

โครงงานสร้ างสรรค์คอมพิวเตอร์
เข้าสูเ่ มนูหลัก
การหาความจริงของประพจน์
รู ปแบบของประพจน์ ท่ สี มมูลกัน
สัจนิรันดร์
การอ้ างเหตุผล
รู ปแบบการเขียนอ้ างเหตุผล
ประโยคเปิ ด
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตรรกศาสตร์ หมายถึง
คาว่า “ตรรกศาสตร์ ” ได้ มาจากศัพท์ภาษาสัน
สฤตสอง
ศัพท์ คือ ตรรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึก
ตรอง ความคิด ความนึกคิด และคา
ว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตารา รวมกันเข้ าเป็ น
“ตรรกศาสตร์ ” หมายถึง วิชาว่าด้ วยความนึกคิดอย่าง
เป็ นระบบ ปราชญ์ทวั่ ไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า
ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้ วย การใช้ กฎเกณฑ์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
การใช้ เหตุผลนิยามตรรกศาสตร์
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทยนิยามว่า
“ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่วา่ ด้ วยการวิเคราะห์
และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้ างเหตุผล”
2.กีรติ บุญเจือ นิยามว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่วา่ ด้ วย
กฎเกณฑ์การใช้ เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามว่า “ตรรกศาสตร์
คือ การศึกษาระบบข้ อเท็จจริงให้ ตรงกับความเชื่อ”
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ข้ อความหรื อประโยคนันจะมี
้ กริยามากกว่าหนึง่ ตัว แสดงว่า
ได้ นาประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึง่ ประโยค ดังนันถ้
้ านา
ประพจน์มาเชื่อมประพจน์
กันก็จะได้ ประพจน์ใหม่ซงึ่ สามารถบอกได้ วา่ เป็ นจริงหรื อเป็ น
เท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้ กนั มากคือ
“และ” “หรื อ” “ไม่” ที่เหลืออีกสองตัวคือ “ถ้ า…แล้ ว…”
และ “…ก็ต่อเมื่อ…” เมื่อนาประพจน์เชื่อมด้ วยตัวเชื่อม และ ,
หรื อ, ถ้ า…แล้ ว, …ก็ต่อเมื่อ
โดยที่ถ้า p และ q แทนประพจน์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็ นจริ
F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็ นเท็จ
การแจกแจงค่ าความจริ
จริ ง ใช้ สงญ
ั ลักษณ์ T
เท็จ ใช้ สญ
ั ลักษณ์ F
เมนู
หน้ าหลัก
การแจกแจงค่ าความจริง
ถัดไป
ย้ อนกลับ
จริง ใช้ สัญลักษณ์ T
เท็จ ใช้ สัญลักษณ์ F
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
การเชื่อมประพจน์ และ นิเสธของประพจน์
และ (∧) p q p ∧ q
TFF
TTT
FTF
FFF
ข้ อสังเกต เชื่อมกันด้ วย และ (∧)เป็ นจริงได้ กรณีเดียว
คือ เป็ นจริงทังคู
้ (่ มีเท็จอยู่ เป็ นเท็จเลย)
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
pqp∨q
TFT
TTT
FTT
FFF
ข้ อสังเกต เชื่อมกันด้ วย หรื อ (∨)
เป็ นเท็จได้ กรณีเดียว คือ เป็ นเท็จทังคู
้ ่
(มีจริงอยู่ เป็ นจริงเลย)
หรือ (∨)
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ถ้ า...แล้ ว (→)
p q p→q
TFF
TTT
FTT
FFT
ข้ อสังเกต เชื่อมกันด้ วย ถ้ า...แล้ ว (→)
เป็ นเท็จได้ กรณีเดียว คือ ข้ างหน้ าเป็ นจริง ข้ างหลังเป็ น
เท็จ
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ก็ต่อเมื่อ (↔)
p q p↔q
TFF
TTT
FTF
FFT
ข้ อสังเกต เชื่อมกันด้ วย ก็ตอ่ เมื่อ (↔)
เป็ นจริงได้ เมื่อ ทังคู
้ ม่ ีคา่ ความจริงเหมือนกัน
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
นิเสธ ( ∼ )
p∼p
TF
FT
ข้ อสังเกต ∼ (∼ p) ≡ p
ข้ อควรระวังในการหาค่าความจริงของประพจน์
ถ้ ามีวงเล็บให้ หาค่าความจริงภายในวงเล็บก่อน
แต่ถ้าไม่มีวงเล็บให้ หาค่า ความจริง ∼ ก่อน แล้ วจึง ∧,
∨ แล้ วจึง → แล้ วจึง ↔ ตามลาดับ
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ประพจน์ ท่ สี มมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทงั ้
สองมีคา่ ความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของ
ประพจน์ยอ่ ย
การทดสอบว่ าประพจน์ 2 ประพจน์ สมมูลกัน ทาได้ 2 วิธี
คือ
สร้ างตารางแจกแจงค่าความจริง ค่าความจริงต้ องตรงกันทุก
กรณี
โดยการใช้ หลักความจริงและประพจน์ที่สมมูลกันแบบง่ายๆที่
ควรจา เพื่อแปลงรูปประพจน์ไปเป็ นแบบเดียวกัน
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดงั นี ้
p q สมมูลกับ q p
p q สมมูลกับ q p
(p q) r สมมูลกับ p (q r)
(p q) r สมมูลกับ p (q r)
p (q r) สมมูลกับ (p q) ( p r)
p (q r) สมมูลกับ (p q) ( p r)
p q สมมูลกับ ~p q
p q สมมูลกับ ~q ~p
p q สมมูลกับ (p q) (q p)
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ประพจน์ที่เป็ นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็ นนิเสธกัน ก็ตอ่ เมื่อ ประพจน์ทงั ้
สองมีคา่ ความจริงตรงข้ ามกันทุกกรณีของค่าความจริง
ของประพจน์ยอ่ ย
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็ นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดงั นี ้
~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
~(p q) สมมูลกับ p ~q
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
สัจนิรันดร์ และข้ อขัดแย้ ง
สัจนิรันดร์ หมายถึง ประพจน์ที่มีคา่ ความจริงเป็ น
จริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็ นเท็จแม้ แต่กรณีเดียว)ซึง่ เรา
มีวิธีการตรวจสอบความเป็ นสัจนิรันดร์ ของประพจน์ด้วย
วิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้ แก่
1. การตรวจสอบโดยใช้ ตารางค่าความจริง
2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้ อขัดแย้ ง
3. การตรวจสอบโดยใช้ ความสมเหตุสมผล
4. การตราจสอบโดยใช้ หลักของความสมมูล
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
แต่ก่อนที่เราจะมาดูหลักการของแต่ละวิธีนะครับ เรามาดูกนั ว่า
กฎสาคัญที่เราต้ องทราบกันก่อนนะครับ
1. p -> p ^ q
Law of addition
2. p ^ q -> p
Law of simplification
3. p ^ ( p -> q ) -> q
Modus ponens
4. ~ q ^ ( p -> q ) -> ~p Modus tollens
5. p -> q <-> ~ q -> ~p
Law of
contraposition
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
6. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r) Law of
syllogism
7. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q หรื อ ~ ( p v q ) <> ~ p ^ ~ q De Morgan’s laws
8. ( p -> r ) ^ ( q -> r ) <-> ( p v q ) >r Inference by cases
9. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r หรื อp ^ ( q ^ r
) <-> ( p ^ q ) ^ r Associative laws
10 .p v q <-> q v p หรื อ
p ^ q <-> q ^p Commutative laws
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
11. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )
หรื อ p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r )
Distributive laws
12. ~(~p) <-> p Double negation
13. ~p ^ ( p v q ) -> q Disjunction
syllogism
14. (( p -> q ) ^ ~q ) -> ~p Law of
absurdity
15. ( p -> q ) -> (( p v r ) -> ( q v r ))
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
16. ( p -> q ) -> (( p ^ r ) -> ( q ^ r ))
17. ( p -> q ) ^ ( p -> r ) <-> ( p -> ( q ^ r ))
18. p -> q <-> ~p v q Equivalence form
for implication
19. ~( p -> q ) <-> p ^ ~q Negation for
implication
20. p v ~p Law of excluded middle
21. [( p ^ q ) -> r } <-> { p -> ( q ^ r )]
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
22. ~ ( p ^ ~p ) law of contradiction
23. p v p <-> p
24. p ^ p <-> p
นอกจากนัน้ ยังมีสจั นิรันดร์ บางรูปแบบที่สอดคล้ องกับสมบัติ
ของอินเตอร์ เซกชันและยูเนียนของเซต ได้ แก่
1. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q
หรื อ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ qDe Morgan’s
laws
2. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r หรื อ p ^ ( q ^ r
) <-> ( p ^ q ) ^ r Associative laws
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
3. p v q <-> q v p
หรื อ p ^ q <-> q ^ p Commutative
laws
4. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )
หรื อ p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r )
Distributive laws
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ส่วนกฎที่ใช้ บอ่ ย ได้ แก่
1. p ^ ( p -> q ) -> q
2. p -> q <-> ~q -> ~p
3. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r )
4. ~p ^ ( p v q ) -> q
5. P -> q <-> ~p v q
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
การตรวจสอบโดยใข้ ตารางค่ าความจริง
ตัวอย่ างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p}
เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
วิธีทา เริ่มด้ วยการสร้ างตารางค่าความจริงนะครับ
p
q
~q
p ->
q
~{( p ->
q ) ^ p}
~q -> ~{( p ->
q ) ^ p}
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้ อขัดแย้ ง ในกรณีนี ้ เราจะ
ตรวจสอบว่า “ประพจน์นนๆ
ั ้ มีโอกาสเป็ นเท็จหรื อไม่” โดยการ
สมมติให้ ประพจน์นนๆ
ั ้ เป็ นเท็จ แล้ วแสดงให้ เห็นว่าข้ อสมมตินนั ้
เป็ นไปไม่ได้ ซึง่ มี 2 รูปแบบ คือ
1. p v q
จะมีคา่ ความจริงเป็ นเท็จ เมื่อ p และ q มีคา่ ความจริ งเป็ นเท็จ
ทังคู
้ ่
2. p -> q
จะมีคา่ ความจริงเป็ นเท็จ เมื่อ p มีคา่ ความจริงเป็ นจริง และ q
มีคา่ ความจริงเป็ นเท็จ เท่านัน้
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวอย่ างที่ 2 จงตรวจสอบว่า ( ~p -> ~q ) ->
( p -> q ) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
วิธีทา สมมติให้ ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) มีคา่ ความ
จริงเป็ นเท็จ
เนื่องจาก ~p -> ~q ≡ T
และ p ≡ T
แสดงว่า q มีคา่ ความจริงเป็ นจริงหรื อเท็จก็ได้ จะ
พบว่า ไม่มีประพจน์ใดขัดแย้ งกัน
ดังนัน้ ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) ไม่เป็ นสัจนิรันดร์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
3. การตรวจสอบโดยใช้ ความสมเหตุสมผล การตรวจสอบ
โดยวิธีนี ้ ใช้ กบั ประพจน์ที่อยูใ่ นรูปแบบ [ (p -> q) ^ p ] ->
q หรื อรูปแบบอื่นที่แบ่งประพจน์ออกเป็ น 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็ น
เหตุ กับ ส่วนที่เป็ นผล (ข้ อสรุป) ซึง่ ประพจน์เขียนอยูใ่ นรูป เหตุ > ผล (ข้ อสรุป) เหตุอาจจะมี 2-3 ข้ อ หรื อมากกว่าก็ได้ แต่ทกุ
ข้ อต้ องเชื่อมกันด้ วยตัวเชื่อม ^ ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ ให้
ตรวจสอบว่าการให้ เหตุผลนัน้
สมเหตุสมผลหรื อไม่
ถ้ า
สมเหตุสมผล ประพจน์นนก็
ั ้ เป็ นสัจนิรันดร์ ถ้ าไม่สมเหตุสมผล
จะไม่เป็ นสัจนิรันดร์ ละในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนัน้
จะต้ องแยกออกเป็ นข้ อๆ
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบว่า [((p -> q) ^ (p v r))
^ ~r] -> q
วิธีทา แยกประพจน์ออกเป็ น เหตุ และ ผล แต่ละข้ อ ดังนี ้
เหตุ ได้ แก่
1. p -> q
2. p v r
3. ~r
ผล คือ q จากเหตุข้อที่ 3 เราจะรู้วา่ r มีคา่ ความจริ งเป็ นเท็จ
ความจริงของ r ลงในเหตุข้อที่ 2 จะทาให้ ได้ คา่ p ที่มีคา่ ความ
จริงเป็ นจริง แล้ วจึงแทนค่า p ลงในเหตุข้อ 1 จะได้ คา่ q ที่เป็ น
จริง
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
4.การตรวจสอบโดยใช้ หลักของความสมมูล
ซึง่ ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนามาเชื่อมกันด้ วย <-> จะได้
ประพจน์ที่เป็ นสัจนิรันดร์ เช่น
p -> q ≡ ~p v q
p -> q ≡ ~q -> ~p
~( p ^ q) ≡ ~p v ~q
P ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวอย่ างที่ 4 จงตรวจสอบว่า (p -> ~q) v (q > ~p) เป็ นสัจนิรันดร์ หรื อไม่
วิธีทา(p -> ~q) v (q -> ~p)
≡ (~p v ~q) v (~q v ~p)
≡ (~p v ~p) v (~q v ~q)
≡ ~p v ~q
ดังนัน้ (p -> ~q) v (q -> ~p) ไม่เป็ นสัจนิรันดร์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
การอ้ างเหตุผลอย่ างสมเหตุสมผล
บทนิยาม 2.1 การอ้ างว่าจากประพจน์
สามารถสรุปเป็ น
ประพจน์ q ได้ นนั ้ เป็ นการอ้ างเหตุผลอย่างสมเหตุสมผล ก็
ต่อเมื่อ ถ้ าแต่ละ
มีคา่ ความจริงเป็ นจริงแล้ ว จะต้ องทา
ให้ q มีคา่ ความจริงเป็ นจริงด้ วย
ทฤษฎีบท 2.1 การอ้ างว่าจากประพจน์
สามารถสรุปเป็ น
ประพจน์ q เป็ นการอ้ างเหตุผลอย่างสมเหตุสมผล ก็
ต่อเมื่อ เป็ นสัจนิรันดร์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
การเขียนรู ปแบบการอ้ างเหตุผลอย่ างสมเหตุสมผล
การอ้ างว่าจากประพจน์
สามารถสรุปเป็ น
ประพจน์ q ได้ นนั ้ จะเขียนรูปแบบการอ้ างเหตุผลอย่าง
สมเหตุสมผล ได้ ดงั นี ้
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
วิธีที่ 1
วิธีที่ 2
.
.
.
ผลสรุป
q
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวอย่ าง
วิธีท่ ี 1
กฎแจงผลตามเหตุ
กฎของประพจน์ แย้ งสลับที่
กฎตรรกบท
วิธีท่ ี 2
q
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ประโยคเปิ ด
ประโยคเปิ ด คือ ประโยคบอกเล่าหรื อปฏิเสธที่มีตวั
แปร โดยเมื่อแทนค่าตัวแปรด้ วยสมาชิกใน
เอกภพสัมพัทธ์ ประโยคเปิ ดจะกลายเป็ นประพจน์
สัญลักษณ์
ประโยคเปิ ดที่มี x เป็ นตัวแปร ใช้ สญ
ั ลักษณ์ P(x),
Q(x),...ประโยคเปิ ด ใช้ ตวเชื
ั ้ ่อมต่างๆ (∧,∨,→,↔) และ
นิเสธ (∼) ได้ เหมือนกับที่ใช้ กบั ประพจน์
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
ตัวบ่งปริมาณ 1 ตัว
กาหนดให้ U คือ เอกภพสัมพัทธ์
∀x[P(x)] หมายถึง สมาชิกทุกตัว (แต่ละตัว) ในเอก
ภพสัมพัทธ์
แทนค่าใน x ของประโยคเปดิ P(x)
∃x[P(x)] หมายถึง สมาชิกอย่างน้ อย 1 ตัว ในเอก
ภพสัมพัทธ์
แทนค่าใน x ของประโยคเปดิ P(x)
∀x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็ นจริง
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
เมื่อ สมาชิกทุกตัว(แต่ละตัว)ในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน P(x)
แล้ วเป็ นจริง
∀x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็ นเท็จ
เมื่อ มีสมาชิกอย่างน้ อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน
P(x) แล้ วเป็ นเท็จ
∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็ นจริง
เมื่อ มีสมาชิกอย่างน้ อย 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์แทนค่าใน
P(x) แล้ วเป็ นจริง
∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเป็ นเท็จเมื่อ ไม่มีสมาชิกตัวใดเลยใน
เอกภพสัมพัทธ์ที่แทนค่าใน P(x) แล้ วเป็ นจริง
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
เอกภพสัมพัทธ์
มีทงหมด
ั้
8 แบบ
1) ∀x∀y[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้ วสามารถนาทุกตัวใน U แทนใน y
แล้ วเป็ นจริ ง
2)∀x∃y[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาแต่ละตัวใน U แทนใน x แล้ วสามารถนาอย่างน้ อย 1 ตัวใน U
แทนใน y แล้ วเป็ นจริ ง
3)∃ x∀y[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาอย่างน้ อย 1 ตัวใน U แทนใน x แล้ วสามารถนาทุกตัวใน U แทน
ใน y แล้ วเป็ นจริ ง
4)∃ x∃y[P(x, y)] เป็ น จริ ง
เมนู
หน้ าหลัก
ถัดไป
ย้ อนกลับ
5) ∀y∀x[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้ วสามารถนาทุกตัวใน U แทนใน x
แล้ วเป็ นจริ ง
6)∀ y∃x[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาแต่ละตัวใน U แทนใน y แล้ วสามารถนาอย่างน้ อย 1 ตัวใน U
แทนใน x แล้ วเป็ นจริ ง
7) ∃y∀x[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาอย่างน้ อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้ วสามารถนาทุกตัวใน U แทน
ใน x แล้ วเป็ นจริ ง
8)∃y∃x[P(x, y)]เป็ น จริ ง
เมื่อ นาอย่างน้ อย 1 ตัวใน U แทนใน y แล้ วสามารถนาอย่างน้ อย 1 ตัว
ใน U แทนใน x แล้ วเป็ นจริ ง
เมนู
หน้ าหลัก
ย้ อนกลับ