Transcript ครั้งที่ 2

ตรรกศาสตร ์ 2
ภาพรวมของเนื ้ อหา
การสมมูล
สัจนิ ร ันดร ์
การขัดแย ้ง
ตรรกศาสตร์
2
ประโยคเปิ ด
(Open
Sentence)
การให ้เหตุผล
(Argument)
การสมมู ล
(E QUIVALENCE ),
สัจ นิ ร น
ั ดร ์
(TAUTOLOGIES ),
การขัด แย้ง
(C ONTRADICTIONS )
การสมมู ล
(E QUIVALENCE )

ประพจน์ทเขี
ี่ ยนต่างก ัน แต่มค
ี า
่ ความจริงเหมือนก ันทุก
้ั
กรณี เราจะถือว่า ประพจน์ทงสอง
“สมมู ล” ก ัน

ประพจน์ทสมมู
ี่
ลก ันสามารถนาไปใช้แทนก ันได้

พิจารณาตารางค่าความจริงของ 2 ประพจน์นี้ p -> q ก ับ
~p v q


p
q
~p
p -> q
~p v q
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
้ ประพจน์ p->q สมมู ลกับ ~p v q
ดังนัน
รู ปแบบการสมมู ลเขียนเป็ นสัญลักษณ์ได้ดงั นี ้ p  q หรือ
pq
กฎการสมมู ล
(E QUIVALENCE L AWS )
่
ชือ
รู ปแบบประพจน์
เอกลักษณ์
T^pp
,
Fvp  p
ครอบคลุม (Domination)
pvTT
,
p^F  F
สะท้อน (Idempotent)
pvpp
,
p^p p
สัจนิ ร ันดร ์/ขัดแย้ง
p v ~p  T
,
p ^ ~p  F
นิ เสธซ ้อน
สลับที่
~~p  p
่
เปลียนกลุ
่ม
(p v q) v r  p v (q v r)
กระจาย
p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) , p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r)
ซึมซ ับ
p v (p ^ q)  p
เดอมอร ์แกน (De Morgan’s)
~(p ^ q)  ~p v ~q
Implies
p -> q  ~p v q
pvqqvp
,
p^q q^p
, (p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r)
, p ^ (p v q)  p
, ~(p v q)  ~p ^ ~q
กฎการสมมู ล
(E QUIVALENCE L AWS )
่
ชือ
Exclusive or
รู ปแบบประพจน์
p ⊕ q  (p v q) ^ ~(p ^ q)
p ⊕ q  (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Implies
p -> q  ~p v q
Bicondition
p <-> q  (p->q) ^ (q -> p)
p <-> q  ~(p⊕q)
การพิสู จ น์ก ารสมมู ล

การพิสจ
ู น์การสมมูลสามารถทาได ้ 2 วิธ ี
1.
2.
่
การสร ้างตารางค่าความจริง เพือตรวจสอบว่
าค่า
ความจริงของประพจน์ทพิ
ี่ จารณาเหมือนกันใน
ทุกๆกรณี หรือไม่
ใช ้กฎในการพิสจ
ู น์
ต วั อย่ า งการพิสู จ น์ก าร
สมมู ล
โดยใช้ต ารางค่ า ความจริง



จงพิสจ
ู น์วา่ P -> ~Q  Q->~P หรือไม่
P
Q
~P
~Q
~P ^ ~Q
~(~P ^ ~Q)
T
T
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
T
ค่าความจริงของประพจน์ P-> ~Q กับ ประพจน์ Q
-> ~P มีคา่ เหมือนกันในทุกๆแถว
ดังนั้น P -> ~Q สมมูลกับ Q->~P
ต วั อย่ า งการพิสู จ น์ก าร
สมมู ล
โดยใช้ก ฎการสมมู ล

จงพิสจ
ู น์วา่ P -> ~Q  Q->~P หรือไม่
P -> ~Q
Implies
 ~P v ~Q
กฎ
 ~Q v ~P
สลับที่
Q -> ~P
กฎ Implies
ดังนั้น P -> ~Q  Q->~P
กิจ กรรมที่ 1

จากรู ปแบบประพจน์ทก
ี่ าหนดให้ จงพิศูจน์โดยใช้กฎ
สมมู ลว่าสมมู ลก ันหรือไม่
1.
p-> (q -> r)  (p ^ q) -> r
การพิจ ารณาสัจ นิ ร น
ั ดร ์
(TAUTOLOGY )


เป็ นรูปแบบของประพจน์ทมี
ี่ คา่ ความจริงเป็ นจริงทุก
กรณี
เทคนิ คการตรวจสอบการเป็ นสัจนิ ร ันดร ์ของ
ประพจน์ ทาได ้โดย
1.
ใช ้ตาราง
2.
ใช ้กฎการสมมูล
3.
การสมมุตค
ิ า่ ความจริงแล ้วดูการขัดแย ้ง
เทคนิ ค ที่ 1 การใช้
ตาราง



้ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่ (Pจงตรวจสอบว่าประพจน์นีเป็
>Q)p <->
(~P
v pQ)
q
~p
-> q ~p v q
(p -> q) <-> (~p v q)
T
T
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
รูปแบบประพจน์ (p -> q) <-> (~p v q) มีคา่
ความจริงทุกกรณี
ดังนั้น รูปแบบประพจน์นี ้ เป็ นสัจนิ ร ันดร ์
เทคนิ ค ที่ 2 การใช้ก ฎการ
สมมู ล มาช่ ว ยพิจ ารณา

้ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่ P ->
จงตรวจสอบว่าประพจน์นีเป็
(P v Q)
P -> (P v Q)  ~P v (P v Q) กฎ Implies
 (~P v P) v Q จัดกลุม
่ ใหม่
P)  T
T v Q
สัจนิ ร ันดร ์ (~P v
T
ดังนั้น P -> (P v Q) เป็ นสัจนิ ร ันดร ์
กิจ กรรมที่ 2

้ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่
จงพิจารณาว่า ประพจน์ตอ
่ ไปนี เป็
โดยใช ้กฎ
[(~P v P) ^ Q] -> [(~S ^ S) v Q]
เทคนิ ค ที่ 3 การสมมุ ต ิค่ า
ความจริง แล้ว ดู ก ารขัด แย้ง


หลักการ
ตรวจสอบว่าประพจน์มโี อกาสเป็ น
เท็จ ได ้หรือไม่ ถ ้าเป็ นได ้ แสดงว่าประพจน์น้ันไม่
เป็ นสัจนิ ร ันดร ์
วิธก
ี าร สมมุตใิ ห ้ประพจน์ผสมเป็ น เท็จ จากนั้นดู
ค่าความจริงของประพจน์ย่อย ดังนี ้

ถ ้าประพจน์ย่อยมีคา่ ความจริง ขัดกัน แสดงว่า
ไม่มท
ี างเป็ นเท็จได ้ จะสรุปว่าประพจน์น้ัน เป็ น
สัจนิ ร ันดร ์

ถ ้าประพจน์ย่อยมีคา่ ความจริง สอดคล้องกัน
เทคนิ ค ที่ 3 การสมมุ ต ิค่ า
ความจริง แล้ว ดู ก ารขัด แย้ง

้ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่ (P ^ Q)
ตัวอย่าง ประพจน์ตอ
่ ไปนี เป็
-> P
2 การหาค่1าความจริ
3 ง
พิจารณาลาดับ
(P
^
Q)
P
F
เท็จ
ของ
ย่อย
->
T
T
สมมุตใิ ห ้ประพจน์เป็ น
F พิจารณาค่าความจริง
T
ประพจน์
กิจ กรรมที่ 3

้ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่
จงพิจารณาว่าประพจน์ตอ
่ ไปนี เป็
โดยการสมมุตค
ิ า่ ความจริงแล ้วดูการขัดแย ้ง
1.
2.
(P ^ Q) -> (P ->Q)
(P v Q) -> P
ประโยคเปิ ด
(O PEN S ENTENCE )
ประโยคเปิ ด
(O PEN S ENTENCE )

่ ดค่าตัวแปรทียั
่ งไม่รู ้ว่าเป็ น จริง หรือ เท็จ
คือ ข ้อความทีติ
่ าหนด
โดยตัวแปรนั้นเป็ นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ ์ทีก

ยังไม่ใช่ประพจน์จนกว่าจะมีการระบุคา่ ของตัวแปร

เช่น ประโยคเปิ ด P(x) นิ ยามโดย x – 3 > 5

ค่าความจริงของ P(2)
เป็ นเท็จ

ค่าความจริงของ P(8)
เป็ นเท็จ

่ x ถูกระบุคา่ P(x) จะกลายเป็ นประพจน์ทมี
สังเกตว่าเมือ
ี่
ค่าความจริงชัดเจน
การทาให้ป ระโยคเปิ ด
เป็ นประพจน์

สามารถดาเนิ นการได ้ 2 วิธ ี ดังนี ้
1.
นาสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ์ไปแทนค่าในตัวแปร
ตัวอย่าง ถ ้ากาหนดเอกภพสัมพัทธ ์เป็ น R และประโยค
้ นจริง
เปิ ด x > 3 เราจะยังไม่สามารถบอกได ้ว่าข ้อความนี เป็
หรือเท็จ จนกว่าจะลองแทนค่า x ดังนี ้
่
้ คา่ ความจริง
เมือแทน
x เป็ น 2 จะได ้ 2 > 3 ประพจน์นีมี
เป็ น F
้ คา่ ความจริงเป็ น T
5 จะได ้ 5 > 3 ประพจน์นีมี
การทาให้ป ระโยคเปิ ดเป็ น
ประพจน์ (ต่ อ )
2.
เติมวลีบ่งปริมาณ (Quantifier) มี 2 ชนิ ด คือ

x  U หมายถึง สาหร ับ x ทุกตัวใน U

x  U หมายถึง มี x บางตัวใน U
ตัวอย่าง กาหนด U = R และประโยคเปิ ด x < 2
x  R [x < 2] หมายถึง สาหร ับ x ทุกตัวใน R
่ าความจริงของประพจน์นีจะเป็
้
ทาให ้ x < 2 เป็ นจริง ซึงค่
นF
เพราะ มี x บางตัว เช่น x = 3 ทาให ้เป็ นเท็จ
x  R [x <2] หมายถึง x บางตัวใน R ทาให ้ x <
่ าความจริงของประพจน์นีเป็
้ น T เพราะมี x บาง
2 เป็ นจริง ซึงค่
ค่ า ความจริง ของ
 X [P( X )] กับ  X [P( X )]
ประพจน์
มีคา
่ ความจริงเป็ น
่
ก็ตอ
่ เมือ
x [P(x)]
T
X ทุกตัวใน U ทาให ้ P(x) เป็ น จริง
x [P(x)]
F
มี x อย่างน ้อย 1 ตัวใน U ทาให ้ P(x) เป็ น เท็จ
x[P(x)]
T
มี x อย่างน ้อย 1 ตัวใน U ทาให ้ P(x) เป็ น จริง
x[P(x)]
F
X ทุกตัวใน U ทาให ้ P(x) เป็ น เท็จ
กิจ กรรมที่ 4

จงหาค่าความจริงของข ้อความต่อไปนี ้ ถ ้ากาหนด U
เป็ น R
1.
x [x + x = x2]
2.
x [x + x = x2 ]
3.
x [x2 > x]
4.
x [x2 > x]
5.
x [|x| ≥ x]
กิจ กรรมที่ 5

กาหนด U = {-1,0 } จงหาค่าความจริงของ
1.
x [x2 – 2x = 3]
2.
x [x2 – 2x = 3]
3.
x [2 - x > x + 2]
4.
x [ 2 – x > x + 2]
ค่ า ความจริง ของประพจน์
ที่มี 2 ต วั แปร 2 วลีบ่ ง
ปริม าณ
ประพจน์
xy[P(x,y)]
่
เมือ
เป็ น
T
F
(x,y) ทุกคูใ่ น U ทาให ้ P(x,y) เป็ น จริง
มี (x,y) อย่างน ้อย 1 คู่ ใน U ทีท
่ าให ้ P(x,y) เป็ น เท็จ
xy[P(x,y)]
T
F
มี (x,y) อย่างน ้อย 1 คู่ ใน U ทีท
่ าให ้ P(x,y) เป็ น จริง
สาหรับ (x,y) ทุกคู่ ใน U ทีท
่ าให ้ P(x,y) เป็ น เท็จ
xy[P(x,y]
T
F
แทนทุก x ใน U แล ้วทาให ้ y[P(x,y)] เป็ น จริง
แทน x บางตัวใน U แล ้วทาให ้ y[P(x,y)] เป็ น เท็จ
xy[P(x,y]
T
F
แทน x บางตัวใน U แล ้วทาให ้ y[P(x,y] เป็ น จริง
แทนทุก x ใน U แล ้วทาให ้ y[P(x,y)] เป็ น เท็จ
การสลับ ลาดับ ของวลีบ่ ง
ปริม าณ


xy[P(x,y)]  yx[P(x,y]
่ x อย่างน้อย 1
xy[P(x,y)] เป็ น จริง เมือมี
่
ต ัว ทีจับคู
ก
่ ับ y ทุกตัว แล้วทาให้ P(x,y) เป็ น
จริง

่ ก y มี x รองร ับ
yx[P(x,y] เป็ นจริง เมือทุ
่ าให้ P(x,y) เป็ นจริง
เพือท

xy[P(x,y)]  yx[P(x,y)]

xy[P(x,y)]  yx[P(x,y)]
กิจ กรรมที่ 6

กาหนด U = {1,2,3} จงหาค่าความจริงของ
1.
xy[x2 < y + 2]
2.
xy[x2 + y2 < 12]
3.
xy[x2 + y2 < 12]
่ ว ลี
นิ เ สธของประพจน์ท ีมี
บ่ ง ปริม าณ

เนื่ องจาก x [P(x)] กับ x [P(x)] เป็ นประพจน์
ดังนั้น จึงมีนิเสธ ดังนี ้

นิ เสธของ x [P(x)] เขียนแทนด ้วย ~ [x
[P(x)]]  x [~P(x)]

นิ เสธของ x [P(x)] เขียนแทนด ้วย ~[x
[P(x)]]  x [~P(x)]
นิ เ สธของประพจน์ท ี่มีว ลี
บ่ ง ปริม าณ (ต่ อ )

นอกจากนี ้

~[xy[P(x,y]]

~[xy[P(x,y]]  xy[~P(x,y]]

~[xy[P(x,y)]]  xy[~P(x,y)]]

~[xy[P(x,y)]]  xy[~P(x,y)]]
 xy[~P(x,y]]
กิจ กรรมที่ 7
1.
จงหานิ เสธของ x[x2 = x]
2.
จงหานิ เสธของประพจน์ตอ
่ ไปนี ้
ประพจน์
x [x2 = x]
x [x + 3 > x]
xy [P(x) v Q(y)]
xy [P(x,y)]
xy [P(x) ^ Q(y)]
xy [P(x,y)]
นิ เสธของประพจน์
เพิ่มเติม : ประพจน์ท ี่มีว ลี
บอกปริม าณ
ประพจน์
กับ
หมายเหตุ
x[P(x) ^
Q(x)] 
x[P(x) v
Q(x)] 
x[P(x)] ^
x[Q(x) ]
x[P(x)] v
x[Q(x) ]
x ลุยเข้าไปใน
“^” ได้
x ลุยเข้าไปใน
“v” ไม่ได้
x[P(x) v
Q(x)] 
x[P(x) ^
Q(x)] 
x[P(x)] v
x[Q(x)]
x[P(x)] ^
x[Q(x)]
x ลุยเข้าไปใน
“v” ได้
x ลุยเข้าไปใน
“^” ไม่ได้
การให้เ หตุ ผ ล
(A RGUMENT )

การให ้เหตุผล ประกอบด ้วย


่ ก
่ าหนดให ้
เหตุ (premises) คือ สิงที
ประกอบด ้วยประพจน์ย่อยๆ s1,s2,…sn
ผลสรุป (conclusion) เป็ น ผลจากเหตุแทนด ้วย
Q
การให้เ หตุ ผ ล (ต่ อ )

การให ้เหตุผล สามารถเขียนได ้ 2 รูปแบบ


แบบที่ 1 เขียนได ้เป็ น s1,s2,…sn |-- Q
แบบที่ 2 เขียนได ้เป็ น
s1
s2
…
sn
Q
การต ด
ั สิน ว่ า การอ้า ง
เหตุ ผ ล
สมเหตุ ส มผลหรือไม่

ถ ้า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป็ น สัจนิ
ร ันดร ์ (Tautology) เราจะสรุปได ้เลยว่าการอ ้างนี ้
สมเหตุสมผล

ถ ้า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q ไม่เป็ น สัจนิ
ร ันดร ์ เราจะสรุปว่าการอ ้างนี ้ ไม่สมเหตุสมผล
กฎการให้เ หตุ ผ ล(R ULE OF
I NFERENCE )
่ ปแบบ
ชือรู
1. Modus Ponens
2. Modus Tollens
2. Law of Syllogism
4. Disjunctive Syllogism
รู ปแบบ
เหตุ 1. P -> Q
2.P
ผล Q
เหตุ 1. P -> Q
2.~Q
ผล
~P
เหตุ 1. P -> Q
2.Q -> R
ผล
P -> R
เหตุ 1. ~P v Q
2. P
ผล Q
กฎการให้เ หตุ ผ ล (ต่ อ )
่ ปแบบ
ชือรู
5. Law of
simplification
6. Law of addition
7. Law of
contraposition
8. Inference by cases
รู ปแบบ
เหตุ
ผล
เหตุ
ผล
เหตุ
ผล
เหตุ
P^Q
P
P
PvQ
P -> Q
~Q -> ~P
1. P -> R
2.Q -> R
ผล (P v Q) -> R
การพิสู จ น์ว่ า การอ้า ง
เหตุ ผ ลสมเหตุ ส มผล
หรือไม่
1.
้
่
เอาเหตุทก
ี่ าหนดให ้ทังหมดมาเชื
อมกั
นด ้วย “และ”
ดังนี ้
(S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn)
2.
้ั
่
จากนั้น นาเหตุทงหมดในข
้อ 1 มาเชือมด
้วย “->”
ดังนี ้
(S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q
3.
พิจารณาว่า (S1 ^ S2 ^ S3 ^ … ^ Sn) -> Q เป็ น
สัจนิ ร ันดร ์ หรือไม่
เทคนิ ค การพิจ ารณาว่ า
(S 1 ^ S 2 ^ … ^ S N ) -> Q เป็ นสัจ
นิ ร น
ั ดร
1.
การใช ้กฎการให ้เหตุผล (Rule of Inference)
2.
การใช ้กฎการสมมูลมาช่วยจัดรูปแบบ
3.
การสมมุตค
ิ า่ ความจริงแล ้วดูการขัดแย ้ง
เทคนิ ค ที่ 1 การใช้ก ฎ
การให้เ หตุ ผ ล

ต ัวอย่างที่ 1 การอ ้างเหตุผลนี ้ สมเหตุสมผล
หรือไม่
เหตุ
1. ถ ้าเรวดีเป็ นจารวจแล ้ว นุ ชจรีเป็ นผู ้
ตรวจสอบบัญชี
2. เรวดีเป็ นตารวจ
ผล
นุ ชจรีเป็ นผูต้ รวจสอบบัญชี
เหตุ
1. อารีร ัตน์ไม่เป็ นนักเขียน หรือ สุจต
ิ รา
ต ัวอย่างที่ 2 การอ ้างเหตุผลต่อไปนี ้ สมเหตุสมผล
หรือไม่

เทคนิ ค ที่ 1 การใช้ก ฎการ
ให้เ หตุ ผ ล (ต่ อ )

ข้อเสนอแนะของการใช้เทคนิ คนี ้

เราต ้องจากฎต่างๆของการให ้เหตุผลได ้

อาจต ้องใช ้ความจามากและสับสนได ้

กรณี ทมี
ี่ เหตุคอ
่ นข ้างเยอะ ใช ้กฎแล ้วอาจปวดหัว
ได ้
เทคนิ ค ที่ 2 การใช้ก ฎ
การสมมู ล
หลักการ
1.
่
รวมเหตุและผลทีโจทย
์ให ้ในรูปแบบนี ้ (S1 ^ S2 ^ … ^ Sn)
2.
่ ดสินว่าประพจน์ในข ้อ 1
ใช ้กฎการสมมูลต่างๆเพือตั
เป็ นสัจนิ ร ันดร ์หรือไม่
-> Q

ถ ้าประพจน์ในข ้อ 1 เป็ นสัจนิ ร ันดร ์ จะสรุปว่า
สมเหตุสมผล

ถ ้าประพจน์ในข ้อ 1 ไม่เป็ นสัจนิ ร ันดร ์ จะสรุปว่า
ไม่สมเหตสมผล
ต วั อย่ า งการใช้เ ทคนิ ค ที่ 2
ในการพิจ ารณาการให้
เหตุ ผ ล

ต ัวอย่างที่ 1 การอ ้างเหตุผลต่อไปนี ้ สมเหตุสมผล
หรือไม่
เหตุ
1. P -> Q
2. P
ผล

Q
ต ัวอย่างที่ 2 การอ ้างเหตุผลต่อไปนี ้ สมเหตุสมผล
หรือไม่
เหตุ
1. P ^ Q
2. P
ต วั อย่ า งการใช้เ ทคนิ ค ที่ 2
ในการพิจ ารณาการให้
เหตุ ผ ล (ต่ อ )

ต ัวอย่างที่ 3 การอ ้างเหตุผลต่อไปนี ้ สมเหตุสมผล
หรือไม่
เหตุ
P
ผล
PvQ
ข้อ เสนอแนะของการใช้
เทคนิ ค ที่ 2

้ ต ้องจามาก แต่ต ้องใช ้กฎการสมมูล
เทคนิ คนี ไม่
คล่องๆหน่ อย

ถ ้ามีเหตุคอ
่ นข ้างมาก การใช ้กฎอาจจะยากขึน้
เทคนิ ค ที่ 3 การสมมุ ต ิค่ า
ความจริง แล้ว ดู ก ารขัด แย้ง
หลักการ
1.
รวมเหตุกบั ผลเข ้าด ้วยกันแบบนี ้ (S1 ^ S2 ^ … ^
Sn) -> Q
2.
สมมุตใิ ห ้ประพจน์ในข ้อ1 มีคา่ ความจริงเป็ น เท็จ
3.
หาค่าความจริงของแต่ละประพจน์ย่อย

ถ ้าประพจน์ยอ
่ ยมีคา่ ความจริง ขัดก ัน แสดงว่ามันเป็ น
เท็จไม่ได ้ ให ้สรุปว่า สมเหตุสมผล

ถ ้าประพจน์ยอ
่ ยมีคา่ ความจริง สอดคล้องกัน แสดงว่า
ต วั อย่ า งการใช้เ ทคนิ ค ที่ 3
ในการตรวจสอบการให้
เหตุ ผ ล

ต ัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าจากเหตุและผลที่
กาหนดให ้ สมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ
1. P v Q
2. ~P
ผล
Q
ต วั อย่ า งการใช้เ ทคนิ ค ที่ 3
ในการตรวจสอบการให้
เหตุ ผ ล

่ าหนดให ้
ต ัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่าจากเหตุผลทีก
้
นี สมเหตุ
สมผลหรือไม่
เหตุ
1. P -> Q
2. Q
ผล
P
คาถาม ???