Transcript ดาวน์โหลดไฟล์

สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
จุดประสงคการ
์
เรียนรู้
1. นักเรียนสามารถสรางตารางค
าความจริ
ง
้
่
ไดถู
้
้ กตอง
2. นักเรียนสามารถหาคาความจริ
งของ
่
ประพจนได
้ กตอง
้
์ ถู
3. นักเรียนสามารถบอกรูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกันได้
4. นักเรียนสามารถนาความรูเกี
่ วกับ
้ ย
รูปแบบของประพจนที
่ มมูล
์ ส
กันไดถู
้ กตอง
้
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
กาหนดประพจน์ p  q และ
q  p ขอให้พิจารณาคาความจริ
งของ
่
p q
p  qาความจริ
ประพจนp ทั
้
่ q  p งตอไปนี
่
์ ง้ qสองจากตารางค
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
T
T
จากตารางคาความจริ
ง จะ
่
พบวา่ คาความจริ
งของประพจน์
pq
่
และ q  p ตรงกันหรือเหมือนกันในทุก
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
รูปแบบของประพจนสองรู
ปแบบ
์
ใดทีม
่ ค
ี าความจริ
งตรงกันในทุกกรณี กรณีตอ
่
่
กรณี จะเรียกรูปแบบของประพจนทั
์ ง้ สองวา่
เป็ นรูปแบบประพจนที
่ มมูลกัน ถ้ามีบางกรณี
์ ส
ทีค
่ าความจริ
งของประพจนทั
นจะ
่
่
์ ง้ สองไมตรงกั
กล
า่ รู์ ปแบบของประพจนทั
สั ญาวว
่ ลักษณ
์ ง้ สองเป็ น
รูปแบบประพจน
ที
กันปแบบของประพจน์
ถ้า p และ
่ เป็ลนรู
์ ไ่ มqสมมู
ซึง่ เป็ นรูปแบบประพจนที
่ มมูลกัน แลวจะ
้
์ ส
เขียนแทนดวยสั
ญลักษณ์ p  q(อานว
า่ พี
้
่
สมมูลกับคิว) และถา้ p และ q เป็ นรูปแบบ
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
ในเชิงตรรกศาสตร ์ เราถือวา่ รูปแบบ
ของประพจนสองรู
ปแบบทีเ่ ป็ นรูปแบบประพจน์
์
ทีส
่ มมูลกันสองประพจน์ จะเกิดการจับคูกั
่ น
ระหวางค
าความจริ
งของ p และ q ดัง
่
่
แผนภาพตอไปจะสามารถน
ามาใช้แทนกันได้
่
จากตัวอยางที
ก
่ ลาวข
างต
น
่
่
้
้
ถ้า p แทนรูปแบบ p  q
ถ้า q แทนรูปแบบ q p
จะพบวา่ รูปแบบ p และ q เป็ นรูปแบบ
ประพจนที
่ มมูลกัน ซึง่ จะเขียนวา่ p  q
์ ส
ตัวอยางที
่ 1 จงตรวจสอบวา่ p  q สมมูล
่
กั
วิบ
ธ ี p  q หรือไม่
ทา
p q
p
pq
p  q
T T
T F
F T
F F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
จากตารางคาความจริ
งจะพบวา่ คาความ
่
่
จริงของประพจน์
p  q และ p  q จะตรงกันในทุกกรณี
กรณีตอกรณี
ดังนั้น
p  q และ p  q
่
ตัวอยางที
่ 2 จงตรวจสอบวา่ p  q สมมูล
่
กั
วิบ
ธ ี q  p หรือไม่
ทา
p q pq qp
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
จากตารางคาความจริ
งจะพบวา่ มีบาง
่
กรณีทค
ี่ าความจริ
งของประพจน์ p  q และ
่
q  p ไมตรงกั
น
่
ดังนั้น p  q และ q  p เป็ นรูปแบบ
ตัวอยางที
่ 3 จงตรวจสอบวา่ pq สมมูลกับ
่
(pq)(qp)
วิธ ี
ทา
p q p  q q  p p  (pq)(qp
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
q
T
F
F
T
)
T
F
F
T
จากตารางคาความจริ
งจะพบวา่ คาความ
่
่
จริงของ p  q และ (p  q)  (q  p)
ตรงกันในทุกกรณี กรณีตอกรณี
่
ดังนั้น p  q (p  q)  (q  p)
ตัวอยางที
่ 4 จงแสดงวา่ p  (q  r) สมมูล
่
กั
วิบ
ธ ี (p  q)  r
p q r q  p  p  (q  (p  q) 
ทา
r
q
r)
r
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ ารู
ลกัน
การทีจ
่ ะแสดงว
ปแบบของประพจน
สอง
่ มมู
์
ประพจนเป็
่ มมูลกัน เรา
์ นรูปแบบประพจนที
์ ส
จาเป็ นตองใช
ง เพือ
่ ทีจ
่ ะแสดง
้
้ตารางคาความจริ
่
ให้เห็ นวาประพจน
ทั
ง
่
์ ง้ สองรูปแบบมีคาความจริ
่
ตรงกันทุกกรณี กรณีตอกรณี
่
แตการที
จ
่ ะแสดงวารู
่
่ ปแบบของประพจน์
สองประพจน์ เป็ นรูปแบบประพจนที
ลกัน
์ ไ่ มสมมู
่
อาจจะไมจ
ง
่ าเป็ นตองใช
้
้ตารางคาความจริ
่
เพราะเราเพียงตองการแสดงให
้
้เห็ นวา่ มีอยาง
่
น้อยหนึ่งกรณี ทีป
่ ระพจนทั
ง
์ ง้ สองมีคาความจริ
่
ไมตรงกั
น ดังนั้น อาจจะใช้วิธก
ี ารหาคาความ
่
่
ตัวอยางที
่ 5 จงแสดงวา่ p  q ไมสมมู
ลกับ
่
่
p
วิธ ี  q
ทา
ในกรณีท ี่ p เป็ นจริง และ
q เป็ นเท็จ จะไดว
า่
้
p  q ;
p  q
T
F
F
T
F
F
T
T
จะพบวาในกรณี
นี้ คาความ
่
่
จริงของ p  q และ p  q
ไมตรงกั
น
่
ตัวอยางที
่ 6 จงแสดงวา่ (p  q)  r สมมูล
่
กับ p  (q  r)
หรือไม่
วิธ ี
ในกรณีท ี่ p เป็ นเท็จ q
ทเป็า นจริงและ r เป็ นเท็จ จะไดวา
่ (q  r)
(p  q)  r
;
p ้
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
ดังนั้น (p  q)  r p  (q
 r)
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ ที
ลกัลนกัน มีประโยชนต
รูปแบบประพจน
ส
่ มมู
์ มมู
์ อ
่
การศึ กษาวิชาคณิตศาสตรเป็
โดยที่
์ นอยางมาก
่
เป็ นเครือ
่ งมือในการพิสจ
ู นทฤษฎี
บท หรือ
์
ปัญหาทางคณิตศาสตรในเรื
อ
่ งของากรให้เหตุผล
์
ดังนั้น จึงควรรูจั
กรูปแบบประพจนที
ส
่ มมูลกัน
้
์
รหัส
รูปแบบประพจนที
่ มมูลกัน
ชือ
่ เรียก
์ ส
บางรูปแบบทีส
่ าคัญ เพือ
่ ใช้ในการอางอิ
งตอไป
้
่
นิเสธสองครัง้
(p)  p
ดังตอไปนี
่ E1 ้
E2
pqqp
การสลับทีส
่ าหรับ 
E3
pqqp
การสลับทีส
่ าหรับ 
E4
pqqp
การสลับทีส
่ าหรับ 
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมู
รหัส
รูปแบบประพจน
ที
่ มมูล
ลกักั
น น
ชือ
่ เรียก
์ ส
E5
pqr  (pq)r  p(qr)
การเปลีย
่ นกลุม
่ 
E6
pqr  (pq) r  p(qr)
การเปลีย
่ นกลุม
่ 
E7
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
การแจกแจง
E8
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
การแจกแจง
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
E9
E10
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
E11
(p  q)  p  q
เดอ มอรกอง
์
เดอ มอรกอง
์
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ที
ส
่
มมู
ล
กั
น
รหัส
รูปแบบประพจนทีส
่ มมูลกัน
ชือ
่ เรียก
์
E12
p  q  p  q
E13
p q  q  p
E14
p  q  p  q
E15
p  q  (p  q)  (q  p)
E16
ppp
E17
ppp
การแยงสลั
บที่
้
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ส
่ มมู
กอนที
จ
่ ะยกตัที
วอย
างการแสดงว
ารู
่
่ ลกัน
่ ปแบบของ
ประพจนสองรู
ปแบบเป็ นรูปแบบประพจนที
่ มมูล
์
์ ส
กัน โดยใช้รูปแบบ E1 ถึง E16 ในการ
อางอิ
ง เราจาเป็ นตองทราบสมบั
ตข
ิ องการสมมูล
้
้
ทีเ่ รียกกว
า่ ความสั
ม
พั
น
ธ
สมมู
ล
(Equivalence
าหนดให
P,
Q
และ
R
เป็ นรูปแบบของ
์
้
relation)
ดังนี้ ว
ประพจน์ จะได
้ า่
1. สมบัตก
ิ ารสะทอน
้ PQ
2. สมบัตก
ิ ารสมมาตร
ถ้า P  Q แลว
้
QP
ตอไปนี
้เป็ นตัวอยางการแสดงรู
ปแบบ
่
่
3. สมบั
ต
ก
ิ
ารถ
ายทอด
ถ
า
P

Q
ประพจน
ที
ส
่
มมู
ล
กั
น
โดยใช
ความสั
ม
พั
น
ธ
สมมู
ล
่
้
์
้
์
และ
 R แล
R
และรูปQแบบ
E1ว
ซึง่ ไมตองใช
้ ถึPง E17
ตัวอยางที
่ 7 จงแสดงวา่ (p  q) สมมูลกับ
่
pวิธี q
ทา
(p  q)
 (p)  q : E9
 p  q
: E1
ดังนั้น
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
วา่
(p  q) p  q
ตัวอยางที
่ 8 จงแสดงวา่ (p  q) r สมมูล
่
กั
บ
p

(q

r)
วิธ ี
ทา
(p  q) r  (p  q)  r
: E12
 (p  q)  r
: E9
 p  (q  r)
: E6
ดังนั้น
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
วา่
(p  q) r p  (q  r)
ตัวอยางที
่ 9 จงแสดงวา่ (p  q)r สมมูล
่
กั
วิบ
ธ ี (p  r)(q  r)
ทา (p  q) r  (p  q)  r
:
E12
 (p  q)  r
: E9
E17
E12
ดังนั้น
วา่
 (p  q)  (r  r)
:
 (p  r)  (q  r)
: E6
 (p  r)  (q  r)
:
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ที
ส
่
มมู
ล
กั
น
จากตัวอยางที
่
9
จะได
รู้ ปแบบของ
่
ประพจนที
่ มมูลกันทีพ
่ บเห็ นอยูเสมอ
จึง
่
์ ส
รวบรวมเป็ นสมบัตข
ิ องการสมมูลอีกสองรูปแบบ
E18 : (p  q) r (p  r)(q  r)
ดังนี้
E19 : (p  q) r (p  r)(q  r)
ตัวอยางที
่ 10 จงแสดงวา่ p  [q  (r 
่
p)] สมมูลกับ
วิธ ี
(p  q)  r
ทp
า  [q  (r  p)]  (p)  [q  (r  p)]
: E12
 p  [q  (r  p)]
:
E1
E12
ดังนั้น
วา่
 p  [q  (r  p)] :
 p  [(q  r)  p] : E6
 p  [ p  (q  r)] : E3
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
ตัวอยางที
่ 10 จงแสดงวา่ p  [q  (r 
่
p)] สมมูลกับ
วิธ ี
(p  q)  r
ทา
 (p  p)  (q  r) : E6
 p  (q  r)
: E17
 (p  q)  r
: E6
ดังนั้น
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
วา่
p  [q  (r  p)] (p  q)  r
ตัวอยางที
่ 11 จงแสดงวา่ p  (q  r) สมมูล
่
กับ
วิธ ี
(p  q)  (p  r)
ทา p  (q  r)  p  (q  r)
:
E12
 (p  q)  (p  r)
:
E8
 (p  q)  (p  r) : E12
ดังนั้น
จากสมบัตก
ิ ารถายทอด
จะได้
่
วา่
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ที
ส
่
มมู
ล
กั
น
จากตัวอยางที
่
11
จะพบรู
ปแบบของ
่
ประพจนที
่ มมูลกันอีกสองรูปแบบทีค
่ ลายคลึ
ง
้
์ ส
กับรูปแบบ E18 และ E19 ทีก
่ ลาวไปแล
วนั
่
้ ้น
จึงรวบรวมเป็
ิ r)
องรู(p
ปแบบของประพจน
E20 : pนสมบั
 (qตข
 q)  (p  r)ที
์ ่
สมมูลกัE21
นเพิ:ม
่ p
เติ
มดั(q
งนี้  r) (p  q)  (p 
r)
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ส
่ มมูลกัญ
นหาไมได
ปัญทีหาบางปั
่ เขี
้ ยนใน
รูปสั ญลักษณทางตรรกศาสตร
่ ยนในรูป
์
์ แตเขี
ประโยค ถ้าตองการตรวจสอบว
า่ ประโยค
้
สองประโยคทีก
่ าหนดให้เป็ นประโยคทีส
่ มมูลกัน
หรือไม่ ให้เปลีย
่ นประโยคนั้นเป็ นสั ญลักษณ์
ทางตรรกศาสตร ์ แลวตรวจสอบการเป็
น
้
รูปแบบประพจนที
่ มมูลกันหรือไมจาก
่
์ ส
นั
สั ญลักษณทางตรรกศาสตร
่
์ ้น ดังตัวอยาง
์
ตอไปนี
้
่
ตัวอยางที
่ 12 กาหนดประโยคสองประโยค
่
ดังนี้
A : ถ้า c เป็ นจานวนเฉพาะ แลว
้
c เป็ นจานวนคี่
วิธ ี
B : c เป็ นจานวนคี่ หรือ c ไมเป็
่ น
า เปลีย
่ นประโยค A และ B ให้เป็ น
จทานวนเฉพาะ
สั ญลักษณ
ทางตรรกศาสตร
ห้ ่
ประโยค
์
A สมมูโดยการสมมติ
์ ลกัน B หรือใไม
p แทน c เป็ นจานวนเฉพาะ
q แทน c เป็ นจานวนคี่
ดังนั้น ประโยค A และ B ในรูป
สั ญลักษณจะเป็
นดังนี้
์
A:pq
ตัวอยางที
่ 12 กาหนดประโยคสองประโยค
่
ดังนี้
A : ถ้า c เป็ นจานวนเฉพาะ แลว
้
c เป็ นจานวนคี่
น
B : cจะได
เป็ นจ
านวนคี่ หรือ c ไมเป็
่
ว
า
้ ่
จานวนเฉพาะ
pq 
p  q
: E12
ประโยค Aq สมมู
หรือไม่
p ลกัน B: E3
แสดงวา่
p  q  q  p
นั่นคือ
ประโยค A สมมูลกับประโยค
B
ตัวอยางที
่ 13 กาหนดประโยคสองประโยค
่
ดังนี้
A : ถ้า a เป็ นจานวนนับแลว
้ a
เป็ นจานวนคูหรื
่ อ a เป็ น
จานวนเฉพาะ
B : (ถ้า a เป็ นจานวนนับแลว
a
้
วิธ ี
เป็ นจานวนคู)่ หรือ
ทา
ห้ นจpานวนนั
แทน บแล
a ว
เป็
น
(ถสมมติ
า้ a ใเป็
้ a
านวนนั
บ
เป็จนจ
านวนเฉพาะ)
q แทน a า่ เป็ประโยค
นจานวนคูA่ สมมูล
จงตรวจสอบว
แทน
a
เป็
นจ
านวนเฉพาะ
กับ B หรืrอไม
่
ดังนั้น ประโยค A และ B ในรูป
ตัวอยางที
่ 13 กาหนดประโยคสองประโยค
่
ดังนี้
A : ถ้า a เป็ นจานวนนับแลว
้ a
เป็ นจานวนคูหรื
่ อ a เป็ น
จานวนเฉพาะ
B : (ถ้า a เป็ นจานวนนับแลว
้ a
เป็ นจานวนคู)่ หรื
อ ว
จะได
้ า่
a เป็
นจ
านวนนั
ว
p  (q(ถ
 ้าr) B
: (p
q)  บ(pแล
้ r)a
เป็ นจานวนเฉพาะ)
:E21
จงตรวจสอบว
สมมูล
แสดงว
า่ ประโยคา่ Aประโยค
สมมูลกัA
บประโยค
กัBบ B หรือไม่
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ที
ส
่
มมู
ล
กั
น
รูปแบบประพจนที
เ
่
ป็
นนิ
เ
สธกั
น
์
ถ้ากาหนดประพจน์ p เราทราบแลวว
้ า่
นิเสธของ p ซึง่ เขียนแทนดวยสั
ญลักษณ ์ p
้
เป็ นประพจนที
่ ค
ี าความจริ
งตรงขามกั
บ p
่
้
์ ม
เมือ
่ กาหนดรูปแบบของประพจน์ A และ
B ซึง่ เป็ นรูปแบบของประพจน
ที
ป
่
ระกอบด
วย
์
รูปแบบของประพจน์ A เป็้ น
ประพจน
ย
อยจ
านวนหนึ
่
ง
จะกล
าวว
า
่
่
่ อ
์
นิเสธของรูปแบบของประพจน์ B เมื
่ คา่
ความจริงของประพจน์ A ตางกั
บคาความ
่
่
จริงของรูปแบบของประพจน์ B ทุกกรณี
กรณีตอกรณี
่
ตัวอยางที
่ 14
จงหาคาความจริ
งของรูปแบบ
่
่
ของประพจน์ A และ B
ตอไปนี
้ แลวตรวจสอบว
า่ รูปแบบของ
่
้
ประพจน์ A เป็ น
วิธ ี
นิเสธของรูปแบบของประพจน์ B
ทาอไม
สรางตารางค
าความจริ
งของ p
หรื
้
่
่
 q และA :ppp
qqqจะไดและ
ตารางดั
qp้ 
p q
q
้ q pBง: นี
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
F
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
การตรวจสอบการเป็
นนิเสธของ
รูปแบบของประพจน์ โดยใช้ตารางคาความ
่
จริงคอนข
างเสี
ยเวลา โดยเฉพาะอยางยิ
ง่
่
้
่
เมือ
่ รูปแบบของประพจนมี
่
์ ประพจนย
์ อยหลาย
ประพจน์ เราสามารถใช้ความรูเรื
่ งการสมมูล
้ อ
ของรู(1).
ปแบบของประพจน
ช
รูปแบบของประพจน
์ ่ วยในการตรวจสอบ
์ A เป็ นนิเสธ
การเป็
เสธของรูปแบบของประพจน
ได
ของรูปนนิ
แบบของประพจน
B
เมื
อ
่
ค
าความจริ
ง
่ ์ ้
์
กล
าวคื
อ
ของประพจน
บคาความจริ
งของ
่
่
่
์ A ตางกั
รูปแบบของประพจน์ B ทุกกรณี กรณีตอ
่
กรณี
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน A เป็ นนิเสธ
(2) รูปแบบของประพจน
์
ของรูปแบบของประพจน์ B เมือ
่ คาความจริ
ง
่
ของรูปแบบของประพจนการตรวจสอบการเป็
น
์
นิเสธของรูปแบบของประพจน์ A ตรงกับ
คาความจริ
งของรูปแบบของประพจน์ B ทุก
่
กรณี(3).
กรณี
อกรณี
รูปต
แบบของประพจน
่
์ A เป็ นนิเสธ
(2) อาจกล
าวใหม
ได
ว
า
ของรูขปอความ
B
เมื
อ
่
รู
ป
แบบของ
้ แบบของประพจน
่
่
้
่
์
ประพจน์ A เราจะใช
สมมูลกับ
รูอ
ปนไข
แบบของประพจน
เงื
่
(3) ในการ์
้
B
ตรวจสอบการเป็ นนิเสธของรูปแบบของ
ประพจน์ โดยใช้ความรูเรื
่ งการสมมูลของ
้ อ
ตัวอยางที
่ 15 จงแสดงวา่ p  q เป็ นนิเสธ
่
ของ
วิธ ี p  q
ทา ในทีน
่ ี้จะแสดงวา่ (p  q)  p  q
E11
(p  q)  p  q
แสดงวา่ p  q เป็ นนิเสธของ p  q
:
ตัวอยางที
่ 16 จงแสดงวา่ p(q r) เป็ น
่
นิ
เสธของ
(pq)r
วิธ
ี
ทา
E11
E11
p(q r) p  (q  r)
p  (q  r)
(p  q)  r
: E5
ดังนั้น
p(q r) p 
:
:
(q  r)
แสดงวา่ แสดงวา่ p(q r) เป็ นนิเสธ
ของ (pq)r
ตัวอยางที
่ 17 กาหนดประโยคสองประโยค
่
ดังนี้
A : a เป็ นจานวนเต็ม ก็ตอเมื
่ a
่ อ
เป็ นจานวนตรรกยะ
B : (a เป็ นจานวนเต็มและ a ไม่
วิธนจ
ี านวนตรรกยะ)หรือ
เป็
ทา
(aสมมติ
เป็ นจ
านวนตรรกยะ
และ
a
ให
p
แทน
a
เป็
น
้
ไม
เป็
ม)
่ นจานวนเต็
จานวนเต็
ม
จงตรวจสอบว
A เป็ น
q แทน a า่ เป็ประโยค
นจานวนตรรกยะ
นิเสธของประโยค
B
ดังนั้น ประโยค A และ B
ในรูปสั ญลักษณจะเป็
นดังนี้
์
:E15
:E9
(p  q)  [(p  q)  (q  p)]
 (p  q)  (q  p)
ดังนั้น (p (p
q) 
(p
q)
 (q
p) q)
 (q  p)
:E11
แสดงวา่ (p  q) เป็ นนิเสธของ (p 
q)  (q  p)
นั่นคือ ประโยค A เป็ นนิเสธ
ของประโยค B
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ มมูลกัน
รูปแบบของประพจน
ทีม
่ ต
ี วั เชือ
่ ม
์
หลักเป็ น , , , ถ้าทราบคาความจริ
ง
่
ของประพจนด
่ง อาจจะทาให้รูปแบบ
้
์ านหนึ
ของประพจนนั
กดาน
้
์ ้นสมมูลกับประพจนของอี
์
หนึ่งได้ ทัง้ นี้ขน
ึ้ อยูกั
งของ
่ บคาความจริ
่
ประพจนที
่ ราบนั
้นเป็่ นจริ
หรื
แบบที
1 : ง(ตั
วอ
เชืเท็
อ
่ จ
ม ซึ
)ง่ จะแยก
์ ท
ออกเป็
นแบบต
าง
ๆ
ดั
ง
นี
้
กาหนดให
p,
q
เป็
นประพจน
่
้
์
(1) ถ้า p เป็ นจริง แลว
้ pq
q
การสมมูลกันของรูปแบบของ
(2)
ถ
า
q
เป็
นจริ
ง
แล
ว
p

q

ประพจนในแบบที
่
1
สรุ
ป
ได
ว
า
้
้
้ ่
์
ตัวอยางที
่ 18 กาหนดให้ p และ q เป็ น
่
ประพจน์ จงแสดงวา่
[(p  q)]  (p  q)  p
วิธ ี
ทา
[(pq)](p  q) [(p  q)](p 
q) : E12
(p  q)](p  q)
: E1
: E7
E22
q)  p
p  (q  q)
p
ดังนั้น
:
[(p  q)]  (p 
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ ่มมู2ล:กั(ตั
นวเชือ่ ม )
แบบที
กาหนดให้ p, q เป็ นประพจน์
(1) ถ้า p เป็ นเท็จ แลว
้ pq
q
การสมมูลกันของรูปแบบของ
(2)
ถ
า
q
เป็
นเท็
จ
แล
ว
p

q

้
้
ประพจนในแบบที
่ 2 สรุปไดว
า่
้
์
p
E23 :
Fqq
pFp
ตัวอยางที
่ 19 กาหนดให้ p และ q เป็ น
่
ประพจน์ จงแสดงวา่
(p  q)  (q  p)  p
วิธ ี
ทา
(p  q)  (q  p) [(p)  q)]  (q 
p) : E12
(p  q) (p  q)
:
E1, E3
E8
E23
p
p  (q  q)
p
ดังนั้น
:
:
(p  q)  (q  p)
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ ่มมู3ล:กั(ตั
นวเชือ่ ม )
แบบที
กาหนดให้ p, q เป็ นประพจน์
(1) ถ้า p เป็ นจริง แลว
้ pq
q
การสมมูลกันของรูปแบบของ
(2)
ถ
า
q
เป็
นเท็
จ
แล
ว
p

q

้
้
ประพจนในแบบที
่ 2 สรุปไดว
า่
้
์
p
E24 :
Tqq
pF
 p
ตัวอยางที
่ 20 กาหนดให้ p และ q เป็ น
่
ประพจน์ จงแสดงวา่
(r  r)  (p  q)  q  p
วิธ ี
ทา
(r  r)  (p  q) p  q
: E12
p  q
:
E12
: E13
 q  p
q  p
ดังนั้น
(r  r)  (p  q)
สาระการเรียนรูที
้ ่ ๖ รูปแบบของประพจน์
ทีส
่ ่มมู4ล:กั(ตั
นวเชือ่ ม )
แบบที
กาหนดให้ p, q เป็ นประพจน์
(1) ถ้า p เป็ นจริง แลว
้ pq
q
(2) ถ้า q เป็ นจริง แลว
้ pq
p
การสมมูลกันของรูปแบบของ
(3) ถ้า p เป็ นเท็จ แลว
pq
้
ประพจนในแบบที
่ 2 สรุปไดว
า่
้
์
q
E25 :
Tqq
pT
(4) ถ้า q เป็ นเท็จ แลว
pq
้
p
p
F  q  q p  F  p
ตัวอยางที
่ 21 จงแสดงวา่ [p  (q  r)] 
่
(s  s) สมมูลกับ
(p  q) r
วิธ ี
ทา
[p  (q  r)]  (s  s)  [p  (q  r)]
: E12
p  (q  r)
:
E11
E11
ดังนั้น
 s)  (p  q)  r
p  (q  r)
(p  q)  r
:
: E5
[p  (q  r)]  (s
แบบฝึ กทักษะ
1. จงใช้ตารางคาความจริ
ง ตรวจสอบวา่
่
รูปแบบของประพจน์ A และ
A : pอต

q
B
:
p

q
B1. ในข
อไปนี
้
สมมู
ล
กั
น
หรื
อ
ไม
้ ่
่
2. A: (p  q)
B:
p

q
3. A : [(p  (q  p)]
B : p

4. qA : p q
5. A : [p  (q  p]
q
6. A : p  (q  r)
r)
7. A : (p  q)
B : p  q
B : p 
B : q  (p 
B:p
แบบฝึ กทักษะ
2. จงแสดงวา่ รูปแบบของประพจนที
่ าหนดให้
์ ก
ตอไปนี
้สมมูลกัน
่
1. (p q) ;
q p
2. (p  q) ;
(q  p)
3. p (q r)
(p
r)q)
4. (p
;
(p q) 
;
q  p
5. (p  q)  r;
p  (q  r)
6. (p  q)  (r  r) ;
(p  q)
7. [p  (q  r)]  (r  r) ; (p  q) 
แบบฝึ กทักษะ
3. จงตรวจสอบวา่ รูปแบบของประพจนที
์ ่
กาหนดให้ตอไปนี
้สมมูลกัน
่
1. pหรื
[q
p  r  q
อไม่ (r p)] ;
2. [(p  q)  (q  r)];
p  (q  r)
3. p  (q  r);
(p  q)  (p  r)
4. p  (q  r);
(p  q)  (p  r)
แบบฝึ กทักษะ
4. จงตรวจสอบวารู
่ ปแบบของประพจน์ A เป็ น
นิเสธของ B หรือไม่
1. A : p  q
B : p  q
2. A: p  q
q

p
3. A : p  q
B : q  p
4. A : p q
B : q  p
5. A : p  q
B : p  q
6. A : p  q
B : (p  q)
7. A : p  q
B : (p  q)  (q 
B:
กลับสู่หน้าเมนู
หลัก