Transcript ครั้งที่ 1
ตรรกศาสตร ์ 1 ประพจน์ และ คาความจริ งของประพจน์ ่ ตัวดาเนินการตรรกะ ◦ ◦ ◦ ◦ NOT AND , OR , XOR ถา...แล ว ้ ้ ก็ตอเมื ่ ่ อ การสมมูลกันของประพจน์ 2 เป็ นศาสตรที กษาวิธก ี ารให้เหตุผลที่ ์ ว่ าด ่ วยการศึ ้ สมเหตุสมผลอยางมี ระบบ ่ กปรัชญาชาวกรีก ชือ ถูกคิดคนโดยนั ่ ้ Aristotle ตรรกศาสตรสามารถน าไปประยุกตใช ์ ์ ้ไดอย ้ าง ่ เช่น กวางขวาง ้ ◦ ออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์แบบดิจต ิ อล ◦ แสดงเงือ ่ นไขในโปรแกรม ◦ สอบถามขอมู ้ ลในฐานขอมู ้ ล และ โปรแกรมค้นหา (search engines) 3 ในการให้เหตุผลจะตองใช ่ ื่ อความหมายได้ ้ ้ภาษาทีส ไ ชัดเจน ไมคลุ ่ มเครือ ม่ ผลได้ ประโยคทุกประเภทสามารถใช้ในการให้เหตุ ทีส ่ ามารถใช เหตุผลได้ จะเป็ นประโยคทีส ่ ามารถตัดสิ นไ ้ในการให ้ หรือไม ??? ่ ประโยคนั้นเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จอยางใดอย างหนึ ่ง ่ ่ เราเรียกประโยคทีม ่ ล ี ก ั ษณะนี้วา่ “ประพจน”์ เรียกคาความเป็ นจริงหรือเท็จของประพจนว ่ ่ ์ า่ “คาความ จริงของประพจน”์ 4 ประพจน์ บุรรี ม ั ยอยู ่ ์ ในประเทศ ไทย ไกทุ ่ กตัวไมมี ่ ขา คาความจริ งของ ่ ประพจน์ จริง เท็จ 3+4=2 เท็จ วันนี้เป็ นวันที่ 29 เท็จ มภาพันธ ์ เ่ ป็ นประพจนจะอยูในรูปประโยคบอก สั งเกตวกุาประโยคที ่ ่ ์ า จริง เลา แมวมี หรือ สี่ขประโยคปฏิ เสธ ่ 5 ประโยค ชนิดของประโยค เธอหิวไหม อยาเดิ ่ นลัดสนาม กรุณางดใช้เสี ยง คาถาม ห้าม ขอร้อง โอ้ย..ปวดหัว จงลุกขึน ้ อยากไปเทีย ่ วจัง อุทาน คาสั่ ง ปรารถนา 6 จากตัวอยางประโยคที ก ่ าหนดให้ เป็ นประพจนหรื ่ ์ อไม่ และถาเป็ งของประพจนดั อ ้ นประพจนค ่ ่ ์ าความจริ ์ งกลาวคื T อะไร 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. แมวเป็ นสัตว์เลี ้ยงลูกด้ วยนม เดือนมกราคมมี 29 วัน 3 เป็ นจานวนเฉพาะ ช่วยกันรักษาความสะอาด แมงมุมมีกี่ขา อุ๊ย.. ว๊ าย ต๊ าย ตาย!!! 4+8>6 อย่าบอกลากันอีกเลย ฉันอยากไปดูหนัง F T ไม่เป็ น ไม่เป็ น ไม่เป็ น T ไม่เป็ น ไม่เป็ น 7 โดยปกติ คาความจริ งทีเ่ ป็ นไปไดของ 1 ประพจน์ ่ ้ เป็ นไปได้ 2 คา่ คือ จริง กับ เท็จ หากมีการเชือ ่ มประพจนย หลายๆประพจนเข ่ ์ อย ์ า้ ดวยกั น การพิจารณาคาความจริ งของประพจนจะต อง ้ ่ ้ ์ พิจารณาคาที กกรณีของแตละประพจน ่ เ่ ป็ นไปไดในทุ ้ ่ ์ ยอย ่ การคานวณกรณีทเี่ ป็ นไปไดของประพจน ้ ้ งนี้ ์ ทาไดดั ◦ ถามี 1 ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 2 กรณี ้ (2^1 = 2) ◦ ถามี 2 ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 4 กรณี ้ (2^2 = 4) ◦ ถามี n ประพจน์ จะมีกรณีทเี่ ป็ นไปได้ 2^n กรณี ้ 8 ในชีวต ิ จริง เราไมได ่ วๆ เรามักจะใชค ่ ใช ้ ้ประพจนเดี ้ า ์ ย เหลานี ่ ” เพือ ่ ช่วย ่ ้ “และ” “หรือ” “ซึง่ ” “ถา” ้ “แต”่ “ที”่ “เมือ เชือ ่ มประพจนให ้ ้ บซ้อนมากขึน ์ ้สื่ อความหมายไดซั คาเหลานี ่ ้เราเรียกวา่ “ตัวดาเนินการทางตรรกะ” โดยแต่ ละตัวมีความหมายทีแ ่ ตกตางกั น ่ ประเภทของตัวดาเนินการ (operators) ◦ Unary operators ใช้กับตัวถูกดาเนินการเพียงตัวเดียว หรือ ประพจนเพี ์ ยงประพจนเดี ์ ยว Not ◦ Binary operators ใช้กับตัวถูกดาเนินการสองตัว หรือ ใช้ เชือ ่ มสองประพจนเข ้ นประโยคเดียว ์ าเป็ AND OR 9 ตัวดาเนินการทางตรรกะทีจ ่ ะศึ กษาในบทนี้ มีดงั นี้ Formal Name Nickname Symbol Negation Conjunction operator Disjunction operator Exclusive-OR operator Implication operator Biconditional NOT (ไม)่ AND (และ) ¬, ~ OR (หรือ) XOR (เอ็กซ-์ ออร)์ IMPLIES (ถา้ .... แลว) ้ IFF (ก็ตอเมือ ่ ) ↔ 10 ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ถูกใช้สาหรับสรางประโยคที เ่ ป็ น ้ ปฏิเสธ สมมุตใิ ห้ P คือประพจน์ โครงสรางของตั วดาเนินการ “นิเสธ” คือ Not P ้ สั งเกตวา่ ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ใช้เชือ ่ มประพจนย ่ ์ อย เพียง 1 ประพจน์ เราเรียกตัวดาเนินการรูปแบบนี้วา่ Unary operators 11 ตารางคาความจริ งของประพจน์ P สามารถเขียนได้ ่ ดังนี้ P Not P T F F T ตัวดาเนินการ “นิเสธ” ทาหน้าทีเ่ ปลี่ยนค่าความจริง ให้เป็ นในทางตรงกันข้าม เช่น ◦ ถาประพจน งเป็ น จริง ้ ์ P มีคาความจริ ่ ◦ “นิเสธ” ของ P มีคาความจริ งเป็ น เท็จ ่ 12 ให้ R แทนประพจน์ “17 ไมเป็ ่ นจานวนเฉพาะ” ◦ P แทน ประพจนย “17 เป็ นจานวนเฉพาะ” ์ อย ่ ดังนั้น R แทน Not P การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R จะพิจารณาคา่ ่ ความจริงของประพจน์ P จริง ◦ ประพจน์ P มีคาความจริ งเป็ น ่ ◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ งเป็ น ่ เท็จ 13 ตัวดาเนินการ “นิเสธ” สามารถเขียนแทนดวย ้ สั ญลักษณ ์ ~ ตัวอยางเช ่ ่น นิเสธ p สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ้ น ์ เป็ ~p 14 ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ ่ มประพจนย วยตั วเชือ ่ ม ่ ้ ์ อยด “และ” จะมีคาความจริ งเป็ น ◦ จริง ่ เท็จ ◦ จริง เมือ ่ ประพจนย กประพจนมี งเป็ น ์ อยทุ ่ ์ คาความจริ ่ ◦ เท็จ Pเมือ ่ T Q P และ Q ประพจนย มี งเป็ น ์ อยบางประพจน ่ ์ คาความจริ ่ T T T F F F F F ◦ ตารางคาความจริ งของประพจน์ P และ Q สามารถเขียนได้ ่ F T F ดังนี้ 15 ให้ R แทนประพจน์ “กรุงเทพและลอนดอนเป็ นเมือง หลวง” ◦ P แทน ประพจนย “กรุงเทพเป็ นเมืองหลวง” ์ อย ่ ◦ Q แทน ประพจนย “ลอนดอนเป็ นเมืองหลวง” ์ อย ่ การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R ตองพิ จารณาคา่ ่ ้ ความจริงของประพจนย P และ Q จริง ่ ์ อย จริง ◦ ประพจนย (P) “กรุงเทพเป็ นเมืองหลวง” มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ จริง ◦ ประพจนย (Q) “ลอนดอนเป็ นเมืองหลวง” มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ดังนั้น ประพจน์ (R) “กรุงเทพและลอนดอนเป็ นเมืองหลวง” มี คาความจริ งเป็ น ่ 16 ตัวดาเนินการ “และ” สามารถเขียนแทนดวย ้ สั ญลักษณ ์ ^ ตัวอยางเช ่ ่น p และ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ้ น ์ เป็ p^q 17 ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ ่ มประพจนย วยตั ว ่ ้ ์ อยด ดาเนินการ “หรือ” มีคาความจริ งเป็ น เท็จ ่ จริง ◦ เท็จ เมือ ่ ประพจนย กประพจนมี งเป็ น ์ อยทุ ่ ์ คาความจริ ่ ◦ จริง Pเมือ ่ มีอยางน ่ ้ อย Q1 T T ประพจนที ่ Pค ี หรืาความจริ งเป็ น ์ ม ่ อQ T T F T ◦ ตารางคาความจริ งของประพจน ่ ์ P หรือ Q สามารถเขียนได้ F T T ดังนี้ F F F 18 ให้ R แทนประพจน์ “4 เป็ นจานวนเต็ม หรือ เป็ น จานวนเฉพาะ” ◦ P แทน ประพจนย “4 เป็ นจานวนเต็ม” ์ อย ่ ◦ Q แทน ประพจนย “4 เป็ นจานวนเฉพาะ” ์ อย ่ การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R ตองพิ จารณาคา่ ่ ้ ความจริงของประพจนย จร ่ ิ ง P และ Q ์ อย เท็จ จริง ◦ ประพจนย P มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ประพจนย Q มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ งเป็ น ่ 19 ตัวดาเนินการ “หรือ” สามารถเขียนแทนดวย ้ สั ญลักษณ ์ v ตัวอยางเช ่ ่น p หรือ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ้ น ์ เป็ pvq 20 ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ ่ มประพจนย วยตั ว ่ ้ ์ อยด ดาเนินการ “XOR” มีคาความจริ งเป็ น ่ ◦ ◦ เท็จ เมือ ่ เหมือนกัน P จริง เมือ ่ T ต่างกันT ประพจนย กประพจนมี ง ์ อยทุ ่ ์ คาความจริ ่ Q P ⊕Q T F F T ประพจนย กประพจนมี ง ์ อยทุ ่ ์ คาความจริ ่ T ตารางคาความจริ งของประพจน ่ F ์ P หรือT Q สามารถ F F เขียนได้ Fดังนี้ 21 ให้ R แทนประพจน์ “ฉันไดเกรด A วิชานี้ หรือ ้ ฉันไดเกรด B วิชานี”้ ้ ◦ P แทน ประพจนย “ฉันไดเกรด A วิชานี้ ” ์ อย ่ ้ ◦ Q แทน ประพจนย “ฉันไดเกรด B วิชานี้” ์ อย ่ ้ การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R ตองพิ จารณาคา่ ่ ้ ความจริงของประพจนย P และ Q ่ ์ อย ◦ ประพจนย P มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ จริ งน ◦ ประพจนย Q มีคาความจริ งเป็ ์ อย ่ ่ จริง เท็จ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ งเป็ น ่ 22 ตัวดาเนินการ “XOR” สามารถเขียนแทนดวย ้ สั ญลักษณ ์ ⊕ ตัวอยางเช ่ ่น p XOR q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ้ น ์ เป็ p⊕q 23 ตัวดาเนินการชนิดนี้ มักใช้สาหรับการสรางประโยคที ่ ้ เป็ นเงือ ่ นไข ประโยคทีเ่ ป็ นเงือ ่ นไขจะมีโครงสรางดั งนี้ ้ ถ้า .........เหตุ............. แล้ว .............ผล............ คาความจริ งของประพจนที ่ มดวย ถา...แล ว ่ ้ ้ ้ ์ เ่ ชือ คาเป็ ่ ่ นจริง เมือ ◦ เหตุมค ี าเป็ ่ น ◦ เหตุมค ี าเป็ ่ น เท็จ ก็ได้ จริง เท็จ ◦ เหตุมค ี าเป็ ่ น จริง แลวผลมี คาเป็ ้ ่ น ผล อาจจะมีคาเป็ ่ น จะมี จริง จริง ดวย ้ หรือ คาความจริ งของประพจนที ่ มดวย ถา...แล ว ่ ้ ้ ้ ์ เ่ ชือ คาเป็ ่ ่ นเท็จ เมือ จะมี และ ผลมีคาเป็ ่ น เท็จ 24 ตารางค่าความจริ งของประพจน์ ถ้ า P แล้ ว Q สามารถเขียนได้ ดงั นี ้ P Q ถ้ า P แล้ ว Q T T T T F F F T T F F T 25 ให้ R แทนประพจน์ “ถา้ -5 เป็ นจานวนนับ แลว ้ 5 เป็ นจานวนเต็มบวก” ◦ P แทน ประพจนย “-5 เป็ นจานวนนับ” ์ อย ่ ◦ Q แทน ประพจนย “-5 เป็ นจานวนเต็มบวก” ์ อย ่ การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R จะตองพิ จารณา ่ ้ คาความจริ งของประพจนย เท็P จและ Q ่ ่ ์ อย เท็จ ◦ ประพจนย P มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ประพจนย Q มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ งเป็ น ่ จริง 26 ตัวดาเนินการ “ถ้า...แลว” ้ สามารถเขียนแทน ดวยสั ญลักษณ ์ => ้ ตัวอยางเช ่ ่น ถ้า p แลว ้ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ้ น ์ เป็ p => q 27 ประโยคทีเ่ กิดจากการเชือ ่ มประพจนย วยตั ว ่ ้ ์ อยด ดาเนินการ “ก็ตอเมื ่ ” มีคาความจริ งเป็ น ่ อ ่ ◦ ◦ จริง เมือ ่ เหมือนกัน เท็จ เมืP อ ่ T ต่างกัน T ประพจนย กประพจนมี ง ์ อยทุ ่ ์ คาความจริ ่ Q P ก็ต่อเมื่อ Q ประพจนย อยทุ ก ประพจน มี ค ง ์ ่ ์ าความจริ ่ T T F F T ตารางคาความจริ งของประพจน ่ Q ่ F ่ Fอ ์ P ก็ตอเมื F T สามารถเขียFนไดดั ง นี ้ ้ 28 ให้ R แทนประพจน์ “11 เป็ นจานวนคู่ ก็ตอเมื ่ 11 ่ อ หารดวย 2 ลงตัว” ้ ◦ P แทน ประพจนย “11 เป็ นจานวนคู่ ” ์ อย ่ ◦ Q แทน ประพจนย “11 หารดวย 2 ลงตัว” ์ อย ่ ้ การตัดสิ นคาความจริ งของประพจน์ R จะตองพิ จารณา ่ ้ คาความจริ งของประพจนย Pจและ Q ่ ่ เท็ ์ อย เท็จ ◦ ประพจนย P มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ประพจนย Q มีคาความจริ งเป็ น ์ อย ่ ่ ◦ ดังนั้น ประพจน์ R มีคาความจริ งเป็ น ่ จริง 29 ตัวดาเนินการ “ก็ตอเมื ่ ” สามารถเขียนแทน ่ อ ดวยสั ญลักษณ ์ <=> ้ ตัวอยางเช ่ ่น p ก็ตอเมื ่ q สามารถเขียนในรูปสั ญลักษณได ่ อ ้ น ์ เป็ p <=> q 30 ตัวดาเนินการ ◦ “และ” เป็ น เท็จ เมือ ่ มีประพจนย างน ่ ่ ้ อย ์ อยอย 1 ทีเ่ ป็ น เท็จ ◦ “หรือ” เป็ น จริง เมือ ่ มีประพจนย างน ่ ่ ้ อย ์ อยอย 1 ทีเ่ ป็ น จริง ◦ “XOR เป็ น จริง เมือ ่ ประพจนย คาความ ่ ่ ์ อยมี จริงตางกั น ่ ◦ “ถา...แล ว” เป็ น เท็จ เมือ ่ เหตุเป็ น จริง ้ ้ แตผลเป็ น เท็จ ่ ◦ “ก็ตอเมื ่ ” เป็ น จริง เมือ ่ ประพจนย คา่ ่ อ ่ ์ อยมี ความจริงเหมือนกัน ◦ “นิเสธ” เป็ น ตรงขามกับคาความจริงของประพจน 31 1. ให้จบั คู่ความสัมพันธ์ของข้อความด้านซ้าย และ ด้านขวา และ ( ^ ) A. เปลีย ่ นคาความจริ งของประพจน์ ่ หรือ ( v ) B. เป็ นจริงกรณีเดียว เมือ ่ ประพจน์ เป็ นตรงขาม ้ 2. 3. ยอยเป็ นจริงทุกประพจน์ ่ XOR ( ⊕ ) ผลเป็ นเท็จ 4. ถา...แล ว... ้ ้ (=>) D. เป็ นจริงเมือ ่ ประพจนย คาความ ์ อยมี ่ ่ ก็ตอเมื ่ (<=>) ่ อ E. เป็ นจริงเมือ ่ มีประพจนย ์ อยใด ่ จริงเหมือนกัน 5. 6. ประพจนหนึ ์ ่งเป็ นจริง นิเสธ ( ~ ) C. เป็ นเท็จกรณีเดียว เมือ ่ เหตุเป็ นจริง และ G. เป็ นจริงเมือ ่ ประพจนย คาความจริ ง ์ อยมี ่ ่ 32 ประพจนที น แตมี งเหมือนกันทุก ่ ่ คาความจริ ่ ์ เ่ ขียนตางกั กรณี เราจะถือวา่ ประพจนทั ์ ง้ สอง “สมมูล” กัน ประพจน์ ที่สมมูลกันสามารถนาไปใช้แทนกันได้ พิจารณาตารางค 2qประพจน p qาความจริ ~p งของ p -> ~p v qนี ่ ์ ้ > q กับT ~p v Tq F T T T F F F F F T T T T F F T T T ดังนัน้ ประพจน์ p->q สมมูลกับ ~p v q p- ตัวดาเนินการ ตัวดาเนินการ ตัวดาเนินการ ตัวดาเนินการ “หรือ” “และ” “ถา...แล ว” ้ ้ “ก็ตอเมื ่ ” ่ อ P T T F F Q T F T F PvQ T T T F ลองสลับที่ P Q QvP T T T T F T F T T F F F สั งเกตวา่ การสลับทีย ่ งั คงให้คาความจริ งเหมือนเดิม ่ ดังนั้น P v Q Q v P นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอืน ่ ๆอีก ดังนี้ ประพจ สมมูล ?? หมายเหตุ น์ PvP P P v ~P T PvT T PvF P คาความจริ งตรงขามกั น ยังไงก็ ่ ้ เป็ นจริงเสมอ หรือ กับ “T” ยังไงก็จริงตลอด หรือ กับ “F” ขึน ้ กับวา่ P เป็ น อะไร ข้อควรระวัง ◦ ถาเจอ PvQPvR ้ ห้าม สรุปวา่ P v R เด็ดขาด การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม ◦ (P v Q) v R P v (Q v R) P v Q v R (เชือ ่ มดวย “v” ทัง้ หมด จัดกลุมใหม ได ้ ่ ่ ้ ถอดวงเล็บได)้ ◦ ~(P v Q) ~P ^ ~Q (ลุยนิเสธเขาไปในวงเล็ บ แลว ่ ม) ้ ้ เปลี่ยนตัวเชือ P Q T P^Q P Q T T T T F T F F T F T F F F F ลองสลับที่ Q^P สั งเกตวา่ การสลับทีย ่ งั คงให้คาความจริ งเหมือนเดิม ่ ดังนั้น P ^ Q Q ^ P นอกเหนือจากการสลับที่ ยังมีการสมมูลในรูปแบบอืน ่ ๆอีก ดังนี้ ประพจ สมมู ?? หมายเหตุ น์ ล P^P P P ^ ~P F P^T P P^F F คาความจริ งตรงขามกั น ยังไงก็ ่ ้ ตองเจอเท็ จ ้ ฝั่งหนึ่งเป็ น T แลว ้ กับวา่ P ้ ขึน จะเป็ นอะไร เชือ ่ มดวย ้ “และ” เจอ F เป็ นเท็จ แน่ๆ ข้อควรระวัง ◦ ถาเจอ P^QP^R ้ ห้าม สรุปวา่ P ^ R เด็ดขาด การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม ◦ (P ^ Q) ^ R P ^ (Q ^ R) P ^ Q ^ R (เชือ ่ มดวย “^” ทัง้ หมด จัดกลุมใหม ้ ่ ่ ถอดวงเล็บได)้ ◦ ~(P ^ Q) ~P v ~Q (ลุยนิเสธเขาไปในวงเล็ บ แลว ่ ม) ้ ้ เปลี่ยนตัวเชือ การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติม ◦ P v (Q ^ R) (P v Q) ^ (P v R) ◦ P ^ (Q v R) (P ^ Q) v (P ^ R) สาหรับตัวดาเนินการชนิดนี้ นั่นคือ ไม่มีสมบัตใิ นการสลับที่ ◦ P -> Q Q -> P เรียกวา่ บทกลับ (Converse) ◦ P -> Q ~P -> ~ Q เรียกวา่ ขอความผกผั น (Inverse) ้ ◦ P -> Q ~Q -> ~P เรียกวา่ ขอความแย งสลั บที่ ้ ้ (Contrapositive) การสมมู ล กัน ของตัว ดาเนิ นการ “ ถ้ า ... แล้ ว ” ประพจ สมมู น์ ล ?? P -> Q ~P v Q P -> P T P -> T T T -> P P หมายเหตุ P เป็ นตัวเดียวกัน ไมมี ่ ะ ่ โอกาสทีจ จะเป็ น T -> F ได้ ขางหลั งไมใช ้ ่ ่ F ยังไงก็จริงเสมอ ขางหน ้ อยูกั ้ ้ าเป็ น T แลวขึ ้ น ่ บวา่ P เป็ นอะไร การสมมู ล กัน ของตัว ดาเนิ นการ “ ถ้ า ... แล้ ว ” ประพจ สมมู น์ ล ?? P -> F ~P F -> P P -> ~P หมายเหตุ เรารูว ้ า่ x -> y ~x v y ดังนั้น P -> F ~P v F ~P างหลั ง T หน้าเป็ น F ไมต ่ องสนใจข ้ ้ ยังไงก็จริงเสมอ ดังนั้น P -> ~P ~P v ~P ~P ~P การสมมู ล กัน ของตัว ดาเนิ นการ “ ถ้ า ... แล้ ว ” ข้อควรระวัง ◦ ถาเจอ P -> Q P -> R ้ ห้าม สรุปวา่ P -> R เด็ดขาด การสมมูลรูปแบบอื่นๆ เพิ่มเติมถูกชี้เครื่ องหมายไม่เปลี่ยน ◦ P -> (Q v R) (P -> Q) v (P->R) P -> (Q ^ R) (P->Q) ^ (P -> R) ไปชี้เครื่ องหมายเปลี่ยน ◦ (P v Q) -> R (P -> R) ^ (Q -> R) (P ^ Q) -> R (P -> R) v (Q -> R) P Q P <-> Q P Q Q <-> P T T T T T T T F F T F F F T F F T F F F T F F T ลองสลับที่ สั งเกตวา่ การสลับทีย ่ งั คงให้คาความจริ งเหมือนเดิม ่ ดังนั้น P <-> Q Q <-> P ถาเติ ้ มนิเสธไปทัง้ 2 ขางให ้ ้กับประพจน์ P <-> Q จะ พบวา่ ◦ ~P <-> ~Q P <-> Q ถาใส <->Q) ้ ่ นิเสธให้กับประพจน์ ใส่(Pนิเสธแค่ ตวั เดียจะได วพอ ว้ า่ ◦ ~(P <->Q) ~P <-> Q P <-> ~Q นอกจากนี้ ยังมีสมบัตก ิ ารเปลีย ่ นกลุมด ่ วย ้ ◦ P <-> (Q <-> R) (P <-> Q) <-> R P <-> Q <-> R ชื่อ เอกลักษณ์ ครอบคลุม T^pp pvTT , p^F F สะท้อน pvpp , p^p p สัจนิรนั ดร์/ขัดแย้ง นิเสธซ้อน สลับที่ เปลี่ยนกลุ่ม p v ~p T , p ^ ~p F กระจาย p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) , p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) ซึมซับ p v (p ^ q) p (Domination) (Idempotent) รูปแบบประพจน์ , Fvp p ~~p p pvqqvp , p^q q^ (p v q) v r p v (q v r) (q ^ r) , (p ^ q) ^ r p , p ^ (p v q) p ชื่อ รูปแบบประพจน์ Exclusive or p ⊕ q (p v q) ^ ~(p ^ q) p ⊕ q (p ^ ~q) v (q ^ ~p) Implies Bicondition p -> q ~p v q p <-> q (p->q) ^ (q -> p) p <-> q ~(p⊕q) 50