Transcript ตรรกศาสตร์ (Logics)

ตรรกศาสตร์ (Logics)
Chanon Chuntra
ประพจน์
ประโยคบอกเล่ าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความ
จริงเป็ นจริงหรือเป็ นเท็จอย่ างใดอย่ างหนึ่ง
หมายเหตุ
1. ใช้ สัญลักษณ์ p, q, r, m, … แทน ประพจน์
2. จริงและเท็จ เรียกว่ า ค่ าความจริง (Truth value) ของ
ประพจน์ โดย T แทนคาว่ า “ จริง ” และ F แทนคาว่ า
“ เท็จ ”
ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่ าความจริ ง
การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม “ และ ” (Conjunction)
ประพจน์ p และ q จะมีค่าความจริงเป็ นจริงได้ เพียงกรณี
เดียวเท่ านัน้ คือ เมื่อทัง้ p และ q เป็ นจริง เราอาจใช้ คาว่ า
“ แต่ ” “ แม้ ” “ เมื่อ ” แทนคาว่ า “ และ ”
ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่ าความจริ ง
การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม“ หรือ ” (Disjunction)
คาว่ า “ หรือ ” ในทางตรรกศาสตร์ จะตรงกับคาว่ า “ และ/หรือ ”
นั่นคือ หมายถึง อย่ างใดอย่ างหนึ่งหรือทัง้ 2 อย่ าง ก็ได้ เราจะใช้
สัญลักษณ์ “ v ” แทนคาว่ า “ หรือ ” ประพจน์ p v q จะเรียกว่ า
ประพจน์ เลือก (Disjunction) ของ p และ q ประพจน์ นีจ้ ะมีค่า
ความจริงเป็ นจริง เมื่อ p หรือ q เป็ นจริงอย่ างน้ อย 1 ประพจน์
ดังนัน้ ประพจน์ p v q จะมีค่าความจริงเป็ นเท็จเพียงกรณีเดียว
เท่ านัน้ คือ เมื่อทัง้ p และ q เป็ น เท็จ
ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่ าความจริ ง
การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม “ ถ้ า ... แล้ ว ... ”
(Conditional, Implication)
ประพจน์ ซ่ งึ เกิดจากการเชื่อมประพจน์ เดี่ยวด้ วยตัวเชื่อม
“ ถ้ า ... แล้ ว ... ” เรียกว่ า ประพจน์ เงื่อนไข หรือ ประพจน์
แจงเหตุส่ ูผล โดยใช้ สัญลักษณ์ “ --> ” แทน คาว่ า “ ถ้ า ...
แล้ ว ... ” เช่ น ถ้ าฝนตก แล้ ว ถนนจะเปี ยก
ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่ าความจริ ง
การเชื่อมประพจน์ ด้วยตัวเชื่อม “ ก็ต่อเมื่อ ”
(Bicondition, Equivalence proposition)
ประพจน์ ท่ เี กิดจากการเชื่อมประพจน์ เดี่ยวด้ วยตัวเชื่อม
“ ... ก็ต่อเมื่อ ... ”
เรียกว่ า ประพจน์ ผันกลับได้
(Bicondition, Equivalence proposition) โดยใช้ สัญลักษณ์ “
<--> ” แทนคาว่ า “ ก็ต่อเมื่อ ” ประพจน์ p <--> q จะมีค่า
ความจริงเป็ นจริง เมื่อ p และ q เป็ นจริงหรือเป็ นเท็จทัง้ คู่
และจะมีค่าความจริงเป็ นเท็จเมื่อ p และ q มีค่าความจริง
ต่ างกัน
ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่ าความจริ ง
นิเสธ (Negation, Not) คือ การปฏิเสธประพจน์ ใดประพจน์
หนึ่ง โดยใช้ สัญลักษณ์ “ ~p ” แทน “ นิเสธของ p ”
การสร้ างตารางค่ าความจริง
ในการพิจารณาค่ าความจริงของประพจน์ ท่ มี ีตัวเชื่อมหรือ
ประพจน์ เชิงประกอบนัน้ จะพิจารณาค่ าความจริงของประพจน์ ย่อย
ๆ ก่ อน
ถ้ ามี 1 ประพจน์ ย่อย ค่ าความจริงมี
2 กรณี
ถ้ ามี 2 ประพจน์ ย่อย ค่ าความจริงมี 22 = 4 กรณี
ถ้ ามี 3 ประพจน์ ย่อย ค่ าความจริงมี 23 = 8 กรณี
:
ถ้ ามี n ประพจน์ ย่อย ค่ าความจริงมี
2n กรณี
สั จนิรันดร์ และข้ อขัดแย้ ง
สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ ท่ มี ีค่าความจริงเป็ นจริงทุกกรณี
ไม่ ว่าค่ าความจริงของประพจน์ เดี่ยวที่ประกอบกันเป็ น
ประพจน์ นัน้ จะมีค่าความจริงเป็ นเช่ นไร
ข้ อขัดแย้ ง คือ ประพจน์ ท่ มี ีค่าความจริงเป็ นเท็จทุกกรณี
ไม่ ว่าค่ าความจริงของประพจน์ เดี่ยวที่ประกอบกันเป็ น
ประพจน์ นัน้ จะมีค่าความจริงเป็ นเช่ นไร
ประโยคเปิ ด
ประโยคเปิ ด คือ ประโยคบอกเล่ าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัว
แปรและไม่ เป็ นประพจน์ แต่ เมื่อแทนค่ าตัวแปรด้ วยสมาชิกใน
เอกภพสัมพัทธ์ หรือเติมตัวบ่ งปริมาณให้ ครบทุกตัวแปรแล้ วจะ
เป็ นประพจน์ เช่ น
1) เขาเคยเป็ นนายกรัฐมนตรี มี คาว่ า ” เขา ” เป็ นตัว
แปร
2) x + 1 = 7
มี x เป็ นตัวแปร
3) x2 + y2 = 4
มี x และ y เป็ นตัวแปร
การอ้างเหตุผล
การอ้ างเหตุผล คือ การยืนยัน (Assertion) ว่ า ชุดของประพจน์
p1, p2,..., pn ชุดหนึ่งที่กาหนดให้ ซึ่งเรียกว่ า เหตุหรือข้ อตัง้ (Premise)
จะทาให้ ได้ ประพจน์ q ขึน้ มาประพจน์ หนึ่ง เรียกว่ า ข้ อสรุ ปหรือข้ อยุติ
หรือผล (Conclusion)
การอ้างเหตุผล
บทนิยาม เราจะเรียกการอ้ างเหตุผลว่ า สมเหตุสมผล (Valid) ถ้ า
เหตุ (แต่ ละ p1, p2,… ,pn) เป็ นจริง และข้ อสรุ ป (q) เป็ นจริงด้ วย
นอกนัน้ เรียกว่ า ไม่ สมเหตุสมผล (Invalid)
ทฤษฎีบท การอ้ างเหตุผล p1, p2, ... , pn |- q สมเหตุสมผล ก็
ต่ อเมื่อ (p1 ^ p2 ^ … ^ pn) --> q เป็ นสัจนิรันดร์