Transcript P Q
บทที่ 2 ตรรกศาสตร์ และการให้ เหตุผล ตรรกศาสตร์ เป็ นวิชาที่ว่าด้วยหลักเกณฑ์ และวิธีการในการ อ้ างเหตุผล การให้ เหตุผล คือ การอ้ างหลักฐานเพือ่ ยืนยันว่ า “ ข้ อรรป ” ของเราเ ็ นความจริ ง มีส่วนประกอบของการให้ เหตุผล คือ 1. ส่ วนที่เป็ นข้ ออ้ าง ( เหตุ ) ซึ่งหมายถึงหลักฐาน 2. ส่ วนทีเ่ ป็ นข้ อสรุป ( ผล ) ซึ่งหมายถึงสิ่ งที่เรา ต้ องการบอกว่ าเป็ นจริง ตัวอย่ าง 1. นา้ ท่ วมเพราะฝนตก 2. นักธุรกิจไทยก่ อหนีเ้ กินความจาเป็ น เศรษฐกิจจึงพัง 3. เพราะคนไทยมีนา้ ใจและเมืองไทยมีวฒ ั นธรรมที่ดีงาม ดังนั้นคนต่ างชาติจงึ ชอบมาเที่ยวเมืองไทย 4.นายแดงเป็ นนักฟุตบอล ดังนั้นเขาจึงเป็ นคนแข็งแรง เพราะการเล่ นฟุตบอลต้ องอาศัยความแข็งแรง ประเภทของการให้ เหตุผล 1. การให้ เหตุผลแบบอุปนัย ( Inductive reasoning ) เป็ นการให้ เหตุผลโดยการอ้ างหลักฐานจากประสบการณ์ การสั งเกต และการทดลอง จึงสรุปเป็ นกฎ หรือความเป็ นจริงทัว่ ๆไป เกีย่ วกับ สิ่ งนั้น ตัวอย่ าง 1 เหตุ 1) การสอบย่ อยครั้งที่ 1 วีณาได้ คะแนนสู งทีส่ ุ ด 2) การสอบย่ อยครั้งที่ 2 วีณาได้ คะแนนสู งทีส่ ุ ด 3) การสอบกลางภาค วีณาได้ คะแนนสู งทีส่ ุ ด ผล ในการสอบปลายภาควีณาได้ คะแนนสู งทีส่ ุ ด 2. การให้ เหตุผลแบบนิรนัย ( Deductive reasoning ) การให้ เหตุผลแบบนิรนัย เป็ นการให้ เหตุผลทีอ่ ้ างว่ าสิ่ งที่ กาหนดให้ (เหตุ) ยืนยันผลสรุป โดยกาหนดให้ เหตุ (หรือข้ อ สมมติ) เป็ นจริง หรือยอมรับว่ าเป็ นจริง แล้วใช้กฏเกณฑ์ ต่างๆ สรุ ปผลจากเหตุที่กาหนดให้ ตัวอย่ าง 3 ตัวอย่ าง 4 เหตุ 1) ถ้ าไม่ สบายต้ องกินยา 2) อุ๊ไม่ สบาย ผล อุ๊ต้องกินยา เหตุ 1) คนทุกคนบินได้ 2) นายไมเคิล โอเว่ น เป็ นคน ผล นายไมเคิล โอเว่ นบินได้ แบบฝึ กหัด 4. ผลคูณของจานวนสองจานวนเป็ น 240 และมีจานวนหนึ่ง เป็ น 40 ดังนั้น จานวนอีกจานวนหนึ่งเป็ น 6 เป็ นการให้ เหตุผลแบบ นิรนัย 10. โจสั งเกตเห็นดอนนาเครื่องชั่งนา้ หนัก 3 เครื่อง มาชั่งนา้ หนัก โดยเครื่องชั่งนา้ หนักเครื่องที่ 1 และ 2 ชั่งนา้ หนักดอนได้ 63 กิโลกรัม พอดอนจะชั่งนา้ หนักทีเ่ ครื่องชั่งที่ 3 โจพูดว่ า "ชั่งไป ทาไมถึงอย่ างไรก็ชั่งนา้ หนักได้ 63 กิโลกรัมอยู่ด"ี เป็ นการให้ เหตุผลแบบ อุปนัย ความสมเหตุสมผล ( Validity ) ความสมเหตุสมผล คือ ลักษณะของให้ อ้าง เหตุผลทีข่ ้ ออ้ างทีร่ ะบุไว้ น้ัน ทาให้ เกิดข้ อสรุปอย่ างที่ ระบุไว้ อย่ างแน่ นอน และข้อสรุ ปที่สมเหตุผลจะต้อง เป็ นข้อสรุ ปที่ไม่อาจจะหาข้อโต้แย้งใด ๆ ได้แม้แต่ กรณี เดียว การพิสูจน์ ความสมเหตุสมผล (Valid proof) 1. การพิสูจน์ ความสมเหตุสมผลโดยระเบียบวิธีของการนิรนัย ( the method of deduction ) ในประพจน์ เงื่อนไข โดยมี p เป็ นข้ ออ้ าง และ q เป็ น ข้ อสรุ ป ( p q ) สามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้ ตาม กฏการอนุมาน (rules of inference) พืน้ ฐาน ดังนี้ 1. กฎยืนยันข้ อนา (modus ponens : m.p.) เหตุ 1) PQ 2) P ผล Q ตัวอย่ าง 5 เหตุ 1) ถ้ าวันนีเ้ ป็ นวันอาทิตย์ ฉันจะนอน ตื่นสาย 2) วันนีเ้ ป็ นวันอาทิตย์ ผล ฉันนอนตื่นสาย สมเหตุสมผล 2. กฎยืนยันปฏิเสธข้ อตาม (modus tollens : m.t.) เหตุ 1)P Q 2)~ Q ผล ~P ตัวอย่ าง 6 เหตุ 1) ถ้ าวันนีฝ้ นไม่ ตกแล้ วฉันจะซัก ผ้ า ผล 2) ฉันไม่ ได้ ซักผ้ า วันนีฝ้ นตก สมเหตุสมผล 2. การพิสูจน์ ความสมเหตุสมผลโดยใช้ แผนภาพของ ออยเลอร์ (Euler’s diagram) การพิสูจน์ ความสมเหตุสมผลโดยใช้ แผนภาพนั้นจะใช้ กบั กรณีของการให้ เหตุผลทีเ่ กีย่ วกับตัวบ่ งปริมาณ(ทุก,บาง) โดยเขียนแผนภาพทีส่ อดคล้ องกับเหตุทุกข้ อ (เหตุกค็ อื ข้ ออ้ างหรือหลักฐาน) ให้ เป็ นไปตามแผนภาพต่ างๆ จนครบ ทุกแบบ ถ้ ามีข้อโต้ แย้ งแม้ แต่ กรณีเดียว ถือว่ าเป็ นข้ อสรุ ปที่ ไม่ สมเหตุสมผล การตรวจรอบความรมเหตปรมผลโดยใช้ แผนภาพ แผนภาพทีใ่ ช้ ในการตรวจรอบความรมเหตปรมผล มีรู แบบ มาตรฐาน 4 รู แบบ ดังนี้ 1. A ทปกตัวเ ็ น B เขียนวง A อย่ ใู นวง B แล้ วแรเงา A ทัง้ หมด B A 2.. A บางตัวเ ็ น B เขียนวง A และ B ตัดกัน แรเงาบริ เวณที่ เ ็ นรอยตัด A B 3. ไม่ มี A ตัวใดเ ็ น B เขียนวงกลม A และ B แยกกัน A B 4. A บางตัวไม่ เ ็ น B เขียนวงกลม A และ B ตัดกัน แรเงา บริ เวณในวง A ทีไ่ ม่ อย่ ใู นวง B A B ตัวอย่ าง 7 1. จงตรวจสอบว่ าข้ อสรุปทีก่ าหนดให้ ต่อไปนีเ้ ป็ นข้ อสรุ ปทีส่ มเหตุ สมผลหรือไม่ เหตุ 1. รูปสี่ เหลีย่ มทุกรูปเป็ นรูปหลายเหลีย่ ม 2. รูปหลายเหลีย่ มทุกรูปเป็ นรูปวงกลม ผล รูปสี่ เหลีย่ มทุกรูปเป็ นรูปวงกลม ให้ A แทนวงของรู ปสี่ เหลีย่ ม B แทนวงของรู ปหลายเหลีย่ ม C แทนวงของรู ปวงกลม จากแผนภาพแรดงว่ า รู รี่เหลีย่ มทปกรู เ ็ นรู วงกลม จึงรมเหตปรมผล (Valid) 2. จงตรวจสอบว่ าข้ อสรุปทีก่ าหนดให้ ต่อไปนีเ้ ป็ น ข้ อสรุปทีส่ มเหตุสมผลหรือไม่ A B เหตุ 1. นักกรีฑาทุกคนเป็ นคนแข็งแรง C 2. คนแข็งแรงทุกคนเป็ นคนขยัน 3. สุ ชาติเป็ นคนขยัน ผล สุ ชาติเป็ นนักกรีฑา จากเหตปข้อที่ 3 ได้ รู ทีเ่ ็ นไ ได้ ต่ อไ นี้ จากแผนภาพ มีอย่ างน้ อยหนึ่งภาพทีไ่ ม่ รอดคล้ อง กับผลรรป จึง ไม่ รมเหตปรมผล (Invalid) 3. จงตรวจสอบว่ าข้ อสรุปต่ อไปนีเ้ ป็ นข้ อสรุปทีส่ มเหตุสมผล A B หรือไม่ เหตุ 1. สั ตว์Bป่าทุกตัวเป็ นสัCตว์ ดุร้าย 2. สั ตว์ ดุร้ายบางตัวเป็ นเสื อ ผล สั ตว์ ป่าบางตัวเป็ นเสื อ จากแผนภาพ มีอย่ างน้ อย 1 ภาพไม่ รอดคล้ องกับผลรรป จึง ไม่ รมเหตปรมผล 4. จงตรวจสอบว่าข้อสรุ ปต่อไปนี้เป็ นข้อสรุ ปที่สมเหตุสมผล A B หรื อไม่ เหตุ 1. จังหวัCดลพบุรีอยูใ่ นเขตภาคกลาง ผล 2. อาเภอโคกสาโรงอยูใ่ นเขตภาคกลาง อาเภอโคกสาโรงอยูใ่ นจังหวัดลพบุรี จากเหตปข้อที่ 1,2 รวมกัน มีอย่ างน้ อย 1 แผนภาพที่ไม่ รอดคล้ อง กับผลรรป ดังนี้ จากแผนภาพมีภาพทีไ่ ม่ รอดคล้ องกับผลรรป จึงไม่ รมเหตปรมผล ตรรกศาสตร์ ของประพจน์ ( Logic Of Propositions ) นิยาม ประพจน์ ( Propositions ) คือข้อความทีเ่ ป็ นจริง (True) หรือ เท็จ ( False ) อย่ างใดอย่ างหนึ่งเพียง อย่ าง เดียวเท่ านั้น ข้ อความดังกล่ าวอาจอยู่ในรู ปประโยคบอกเล่ า หรือประโยคปฏิเสธก็ได้ ตัวอย่ างข้ อความทีเ่ ป็ นประพจน์ - แมวทุกตัวมีขนสี ดา ( เท็จ ) - ดอกกุหลาบบางชนิดมีสีขาว ( จริง ) ตัวอย่ างข้ อความที่ไม่ ใช่ ประพจน์ - เขาเป็ นนักมวย - X+1=3 - จงช่วยกันรักษาความสะอาด - อย่าส่ งเสี ยงดัง แบบฝึ กหัด ข้ อความต่ อไปนีข้ ้ อความใดเป็ นประพจน์ 1. เธอสวยมาก ไม่ เป็เป็ นน 2. 7 เป็ นเลขคู่ ไม่ เป็ น ไม่ 3. 10 หารด้ วย 2 เท่ ากับ เป็5 นใช่ หรือไม่ 4. โธ่ เอ๋ ย เวรกรรมอะไรเช่ นนี้ ประพจน์ ( Propositions ) ประพจน์ สามารถแบ่ งออกได้ เป็ น 2 ลักษณะ 1. ประพจน์ เชิงเดีย่ ว (simple propositions) ประพจน์ เชิงเดีย่ ว เป็ นข้ อความเอกพจน์ เช่ น - ประเทศไทยมี 76 จังหวัด แทนด้ วย p - พระอาทิตย์ ขนึ้ ทางทิศตะวันตก แทนด้ วย q ถ้ า P เป็ นประพจน์ เชิงเดีย่ วประพจน์ ที่เป็ นปฏิเสธของ ประพจน์ P จะเขียนแทนด้ วย P ซึ่ง P จะมี ความหมายเหมือนกับประพจน์ ทเี่ ติมคาว่ า “ไม่ ” หรือ “ไม่ ใช่ ” (not) เช่ น ประพจน์ นิเสธของประพจน์ 1) 6 มากกว่ า 3 (T) 1) 6 ไม่ มากกว่ า 3 (F) 2) ประเทศไทยไม่ อยู่ในทวีปเอเชีย (F) 2) ประเทศไทยอยู่ใน ทวีปเอเชีย (T) 3) นกบางตัวบินได้ (T) 3) นกทุกตัวบินไม่ ได้ (F) 4) ปลาทุกชนิดไม่ อาศัยอยู่ในนา้ (F) 4) ปลาบางชนิด 2. ประพจน์ เชิงซ้ อน คือข้ อความรวม เกิดจากการ รวมกันของประพจน์ เชิงเดีย่ ว ด้ วยตัวเชื่อมเชิงตรรก (Logical connecting) ต่ าง ๆดังนี้ …และ… ( and ) ใช้ สัญลักษณ์ …หรือ… ( or ) ใช้ สัญลักษณ์ ถ้ า … แล้ ว … (If …then…) ใช้ สัญลักษณ์ …ก็ต่อเมือ่ … (if and only if) ใช้ สัญลักษณ์ ถ้ าให้ p , q เป็ นประพจน์ ใด ๆ 1. ประพจน์ รวม เกิดจากประพจน์ ต้งั แต่ 2 ประพจน์ ขึน้ ไป เชื่อมด้ วย และ() เช่ น pq 2. ประพจน์ เลือก เกิดจากประพจน์ ต้งั แต่ 2 ประพจน์ ขนึ้ ไป เชื่อมด้ วย หรือ() เช่ น pq 3. ประพจน์ เงื่อนไข เกิดจากประพจน์ ต้งั แต่ 2 ประพจน์ ขนึ้ ไปเชื่อมด้ วย ถ้ า...แล้ ว...() เช่ น p q 4. ประพจน์ เงือ่ นไขสองทาง เกิดจากประพจน์ ต้งั แต่ 2 ประพจน์ ขนึ้ ไปเชื่อมด้ วย ...ก็ต่อเมือ่ ...() เช่ น pq 5. ประพจน์ ปฏิเสธ หรือ นิเสธของประพจน์ เกิดจาก การเติม ตัวนิเสธ เช่ น p ตัวอย่ างที่ 8 1. จงเขียนประพจน์ ต่อไปนีเ้ ป็ นสั ญลักษณ์ 1.1 ถ้ านายแดงเล่นฟุตบอลและไม่ ได้ พกั ผ่ อน แล้วเขาจะอ่อนเพลีย กาหนดให้ P แทน นายแดงเล่นฟุตบอล Q แทน นายแดงไม่ ได้ พกั ผ่อน R แทน นายแดงจะอ่อนเพลีย ดังนั้นสามารถเขียนในรูปประโยคสั ญลักษณ์ ได้ เป็ น (PQ) R 1.2. ถ้ าฝนตกแล้ วนายแดงจะเป็ นหวัด แต่ นายแดงไม่ เป็ น หวัด ดังนั้นฝนไม่ ตก กาหนดให้ P แทน ฝนตก Q แทน นายแดงเป็ นหวัด ดังนั้นสามารถเขียนในรู ปประโยคสั ญลักษณ์ ได้ เป็ น [(P Q )~Q] ~P ค่ าความจริ งของ ระพจน์ (truth – values of the propositions) ค่ าความจริงมี 2 ประเภท 1. ค่ าความจริงเป็ นจริง (True) แทนด้ วย T 2. ค่ าความจริงเป็ นเท็จ (False) แทนด้ วย F ตารางค่ าความจริง(Truth value Table) P T T F F Q T F T F PQ T F F F PQ T T T F PQ PQ T T F F T F T T ~P F F T T สรุปข้ อสั งเกต ตัวเชื่อม จุดสั งเกต คือ ตัวเชื่อม จุดสั งเกต คือ ตัวเชื่อม จุดสั งเกต คือ เท็จ ตัวเชื่อม จุดสั งเกต คือ เท็จ ตัวเชื่อม ~ จุดสั งเกต คือ จริงทั้งคู่เป็ นจริง เท็จทั้งคู่เป็ นเท็จ หน้ าจริงหลังเท็จเป็ น เหมือนกันจริงต่ างกัน ค่ าความจริงตรงข้ าม การหาค่าความจริ งของประพจน์เชิงซ้อน 1. กรณีที่เราทราบค่ าความจริงของประพจน์ เชิงเดี่ยวทุก ตัว ตัวอย่ างที่ 9 1. ให้ P มีค่าความจริงเป็ น F , Q มีค่าความจริงเป็ น T , R มีค่าความจริงเป็ น F จงหาค่ าความจริงของ ( P Q ) R (P Q ) R F T F F T 2. ให้ P มีค่าความจริงเป็ น F , Q มีค่าความจริงเป็ น T , R มี ค่ าความจริงเป็ น T จงหาค่ าความจริงของ 2.1. ( P Q ) ( P R ) T T F F F T F 2.2. [ P ( Q R ) ] ( Q R ) F T T T F T T T T 2. กรณีทเี่ ราทราบค่ าความจริงของประพจน์ เชิงเดี่ยว บางตัว ตัวอย่ างที่ 10 เมื่อกาหนด A , B และ C เป็ น T , T และ F จงหาค่ าความ จริงของประพจน์ 1) ( A B ) [ ( A S ) ( R B ) ] 2) [ ( S P ) ( A C ) ] ( B B ) 1) ( A B ) [ ( A S ) ( R B ) ] F F ? F F ? T F T T F 2) [(SP)(AC)](B T B )? ? ? F T F F T T T T ตัวอย่ างที่ 9 ถ้ า P Q มีค่าความจริงเป็ น เท็จ จงหาค่ าความ จริงของประพจน์ [(PQ)R][(PQ)R] T F T T ? ? F T T T T ตัวอย่ างที่ 10 ถ้ า P Q และ P R มีค่าความ จริงเป็ น จริง จงหาค่ าความจริงของประพจน์ Note ( TP F R ) (TR F Q ) P Q และ P R T T T T F T F F 3. กรณีที่เราไม่ ทราบค่ าความจริงของประพจน์ เชิงเดี่ยวเลย ถ้ าประพจน์ เชิงเดี่ยวมีท้งั หมด n ประพจน์ จะต้ องวิเคราะห์ ท้งั หมด 2n กรณี ตัวอย่ างที่ 11 จงวิเคราะห์ หา Truth – value ของ 1. P P P ~P T ~ PF F T T P T 2. ~ P ~ Q P Q ~P ~Q T T F F T F T F F F T T F T F T ~P~Q F F F T 3. ( P Q ) P P T T F F (P Q) ~ Q PQ ~P P F T T F F F F T T T T T F F T T 4. ( P Q ) R P Q (PQ) T T T T F F F F T T F F T T F F T T F F F F F F R (PQ)R T F T F T F T F T F T T T T T T สั จนิรันดร์ และประพจน์ ขดั แย้ ง 1) ค่ าความจริงของประพจน์ เชิงซ้ อน เป็ นจริงทุกกรณี จะเรียกประพจน์ น้ันว่ า “สั จนิรันดร์ ” (tautology) 2) ค่ าความจริงของประพจน์ เชิงซ้ อน เป็ นเท็จทุกกรณี จะเรียกประพจน์ น้ันว่ า “ประพจน์ ขดั แย้ ง” (contradictory propositions) 3 ค่ าความจริงของประพจน์ เชิงซ้ อน เป็ นจริงบ้ าง เท็จบ้ าง จะเรียกประพจน์ น้ันว่ า “contingent” ตัวอย่ างที่ 14 จงวิเคราะห์ ค่าความจริงของประพจน์ (P Q) ~P P Q ~P P Q (P Q) ~P T T F T F T F F F F F T T T T F F T T T เพราะฉะนั้นประพจน์ (P Q) ~P เป็ น Contingent ตัวอย่ างที่ 15 จงวิเคราะห์ ค่าความจริงของประพจน์ (P Q) P P Q P Q (P Q) P T T T T T F F T F T F T F F F T เพราะฉะนั้นประพจน์ (P Q) P เป็ น สั จ นิรันดร์ ตัวอย่ างที่ 16 จงวิเคราะห์ ค่าความจริงของประพจน์ (P ~Q) (P Q) P Q ~Q P ~Q P Q (P ~Q) (P Q) T T F F T F T F T T F F F T F T F F F เพราะฉะนั F T ้ นประพจน์ T (P FQ) P เป็ น F ประพจน์ ขดั แย้ ง ประพจน์ ทสี่ มมูลกัน หรือประพจน์ ทเี่ ทียบเท่ ากัน (logical equivalent propositions) การวิเคราะห์ ค่าความจริงของประพจน์ เชิงซ้ อน 2 ประพจน์ ถ้ าค่ าความจริงของประพจน์ เชิงซ้ อนทั้ง 2 มีค่า ความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี จะเรียกว่ า ประพจน์ ท้งั สองสมมูลกัน หรือเป็ นประพจน์ ทเี่ ทียบเท่ ากัน ถ้ าประพจน์ A สมมูลกันประพจน์ B เขียนแทนด้ วยสั ญลักษณ์ AB ถ้ าประพจน์ A ไม่ สมมูลกับประพจน์ B เขียนแทนด้ วย สั ญลักษณ์ A B ตัวอย่ างที่ 17 จงวิเคราะห์ ค่าความจริงของประพจน์ A B และ ~B ~A A T T F F B T F T F AB T F T T ~A F F T T ~B F T F T ~B ~A T F T T จากตารางวิเคราะห์ค่าความจริ งจะพบว่า A B และ ~B ~A มีค่าความจริ งเหมือนกันทุกประการ เพราะฉะนั้น A B ~B ~A