back - โรงเรียนเบญจมราชานุสรณ์

Download Report

Transcript back - โรงเรียนเบญจมราชานุสรณ์ 

วิชา ค 42101 คณิตศาสตร์พ้ ืนฐาน 3
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 5
เรื่อง
อัตราส่วนตรีโกณมิติ 2
จัดทาโดย
นางปรีชาวรรณ เฟื่ องสวัสดิ์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนเบญจมราชานุสรณ์
มุม
MENU
ค่า
sin
cos
tan
back
การหาค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิตขิ องมุมอืน่ ๆทีม่ คี ่ าตั้งแต่ 0๐
ถึง 90๐ และ ไม่ ใช่ 30๐ , 45๐ , 60๐ เราจะใช้ การเปิ ดตาราง
ดังนี้
การอ่านค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติของมุมทัว่ ๆไป
ให้อ่านค่าทั้งแนวตั้ง และ แนวนอน
ขั้นที่ 1 ดูขนาดของมุมที่ช่องซ้ายสุ ด (แนวตั้ง)
ขั้นที่ 2 อ่านค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติตามโจทย์กาหนด
จากหัวข้อแถวบนสุ ด (แนวนอน)
*หมายเหตุ* อาจใช้ไม้บรรทัดช่วยในการอ่านได้ค่ะ
MENU
back
ดูตวั อย่างการอ่านค่าจากตาราง ดังนี้
มุม/ค่า
sin
cos
tan
มุม/ค่า
sin
cos
tan
21o
0.358
0.934
0.384
65o
0.906
0.423
2.145
22o
0.375
0.927
0.404
66o
0.914
0.407
2.246
23o
0.391
0.921
0.424
67o
0.921
0.391
2.356
24o
0.407
0.914
0.445
68o
0.927
0.375
2.475
25o
0.423
0.906
0.466
69o
0.934
0.358
2.605
จากตาราง จะได้วา่
sin 21o
MENU
= 0.358
cos 67o = 0.391
tan 25o = 0.466
back
จาก
ค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติที่
ไม่มีในตาราง เราสามารถ
หาโดยอาศัยบทนิยาม ดังนี้
จาก
MENU
1
tan A
1
o
cot 25 =
tan 25o
cot A =
1
cos A
1
o
sec 67 =
cos 67o
= 2.146
sec A =
จาก
1
sin A
1
csc 21o =
sin 21o
1
= 0.466
1
= 0.391
= 2.558
csc A =
=
1
0.358
= 2.793
back
ลองมาดูตวั อย่างในการหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติใหม่นะคะ
กาหนดตาราง
sin 48o
= 0.743
csc 48o = 1
sin 48o
1
= 0.743
= 1.346
MENU
มุม/ค่า
sin
cos
tan
48o
0.743
0.669
1.111
49o
0.755
0.656
1.150
50o
0.766
0.643
1.192
cos 49o = 0.656
sec 49o = 1 o
cos 49
1
=
0.656
= 1.524
tan 50o = 1.192
1
cot 50o =
tan 50o
1
=
1.192
=
0.839
back
ไปทากิจกรรมที่ 13 , 14 ใบงานที่ 9
และ แบบฝึ กหัดที่ 10 , 11 ใน
เอกสารได้เลยค่ะ
MENU
back
การหาค่ามุมครึ่ งจากตาราง ให้ดาเนินการดังนี้
มุม/ค่า
sin
cos
tan
มุม/ค่า
sin
cos
tan
21o
0.358
0.934
0.384
65o
0.906
0.423
2.145
22o
0.375
0.927
0.404
66o
0.914
0.407
2.246
23o
0.391
0.921
0.424
67o
0.921
0.391
2.356
24o
0.407
0.914
0.445
68o
0.927
0.375
2.475
25o
0.423
0.906
0.466
69o
0.934
0.358
2.605
จากตาราง จะได้วา่
sin 23o = 0.391
sin 22o = 0.375
o + sin 23o
sin
22
o
sin 22.5 =
= 0.375 + 0.391 = 0.383
2
2
 sin 22.5o = 0.383
MENU
back
ลองมาดูตวั อย่างในการหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติของมุมครึ่ งอ่่นดูบา้ ง
กาหนดตาราง
sin 34.5o
=
=
=
MENU
sin 34o + sin 35o
2
0.559 + 0.574
2
0.567
มุม/ค่า
sin
cos
tan
33o
0.545
0.839
0.649
34o
0.559
0.829
0.675
35o
0.574
0.819
0.700
csc 34.5o
=
=
=
1
sin 34.5o
1
0.567
1.764
back
ลองมาดูตวั อย่างในการหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติของมุมครึ่ งอ่่นดูบา้ ง
กาหนดตาราง
cos 77.5o
=
=
=
MENU
มุม/ค่า
sin
cos
tan
77o
0.974
0.225
4.331
78o
0.978
0.208
4.705
79o
0.982
0.191
5.145
cos 77o + cos 78o
2
0.225 + 0.208
2
0.217
sec 34.5o
=
=
=
1
cos 77.5o
1
0.217
4.608
back
ลองมาดูตวั อย่างในการหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติของมุมครึ่ งอ่่นดูบา้ ง
กาหนดตาราง
tan 33.5o
=
=
=
MENU
tan 33o + tan 34o
2
0.649 + 0.675
2
0.662
มุม/ค่า
sin
cos
tan
33o
0.545
0.839
0.649
34o
0.559
0.829
0.675
35o
0.574
0.819
0.700
cot 33.5o
=
=
=
1
tan 33.5o
1
0.662
1.511
back
ไปทากิจกรรมที่ 15 , 16 ใบงานที่ 10
และ แบบฝึ กหัดที่ 12 , 13 ใน
เอกสารได้เลยค่ะ
MENU
back
โคฟั งก์ชนั
sin A = cos ( 90o – A )
?
cos A = sin ( 90o – A )
?
tan A = cot ( 90o – A )
?
MENU
?
?
?
back
จากตารางค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ
มุม/ค่า
sin
cos
tan
มุม/ค่า
sin
cos
tan
21o
0.358
0.934
0.384
65o
0.906
0.423
2.145
22o
0.375
0.927
0.404
66o
0.914
0.407
2.246
23o
0.391
0.921
0.424
67o
0.921
0.391
2.356
24o
0.407
0.914
0.445
68o
0.927
0.375
2.475
25o
0.423
0.906
0.466
69o
0.934
0.358
2.605
sin 21o = 0.358
cos 69o = 0.358
จะได้
sin 21o = cos 69o
sin 65o = 0.906
cos 25o = 0.906
จะได้
sin 65o = cos 25o
จากตาราง จะได้วา่
MENU
back
จาก
sin 21o = 0.358
cos 69o = 0.358
จะได้
sin 21o = cos 69o
sin 65o = 0.906
cos 25o = 0.906
จะได้
sin 65o = cos 25o
ข้อสังเกต
21o + 69o = 90o
หร่ อ
25o + 65o = 90o
จะได้วา่ sin A = cos B หร่ อ sin B = cos A
ข้อสังเกต A + B = 90o จะได้ B = 90o – A
*บทสรุ ป* หาก A + B = 90o
ดังนั้นจะได้วา่ sin A = cos (90o – A)
cos A = sin (90o – A)
MENU
back
เราสามารถใช้เร่่ องโคฟั งก์ชนั หาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติได้ดงั นี้
ตัวอย่าง
วิธีทา
กาหนด sin 53o = 0.799 , cos 53o = 0.602
จงหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติทุกค่าของมุม 37o
จาก sin A = cos (90o – A)
sin 37o = cos (90o – 37o ) = cos 53o = 0.602
 sin 37o = 0.602
จาก cos A = sin (90o – A)
cos 37o = sin (90o – 37o ) = sin 53o = 0.799
 cos 37o = 0.799
MENU
back
จาก
จาก
tan A = sin A
cos A
o
sin
37
0.602
o
= 0.799
tan 37 =
o
cos 37
 tan 37o = 0.753
= 0.753
cot A = cos A
cot 37o
sin A
cos 37o
= sin 37o
0.799
= 0.602
= 1.327
 cot 37o = 1.327
MENU
back
จาก
จาก
1
cos A
1
1
o
= 0.799
sec 37 =
o
cos 37
 sec 37o = 1.252
sec A =
csc A =
csc 37o
1
sin A
1
= sin 37o
1
= 0.602
= 1.252
= 1.661
 csc 37o = 1.661
MENU
back
ลองอีกตัวอย่างหนึ่งนะคะ
ตัวอย่าง
วิธีทา
กาหนด sin 73o = 0.956 , cos 73o = 0.292
จงหาค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติทุกค่าของมุม 37o
จาก sin A = cos (90o – A)
sin 17o = cos (90o – 17o ) = cos 73o = 0.292
 sin 17o = 0.292
จาก cos A = sin (90o – A)
cos 17o = sin (90o – 17o ) = sin 73o = 0.956
 cos 17o = 0.956
MENU
back
จาก
จาก
tan A = sin A
cos A
o
sin
17
0.292
o
= 0.956
tan 17 =
o
cos 17
 tan 17o = 0.305
= 0.305
cot A = cos A
cot 17o
sin A
cos 17o
= sin 17o
0.956
= 0.292
= 3.274
 cot 17o = 3.274
MENU
back
จาก
จาก
1
cos A
1
1
o
= 0.956
sec 17 =
o
cos 17
 sec 17o = 1.252
sec A =
csc A =
csc 17o
1
sin A
1
= sin 17o
1
= 0.292
= 1.046
= 3.425
 csc 17o = 3.425
MENU
back
ไปทากิจกรรมที่ 17 ใบงานที่ 11
และ แบบฝึ กหัดที่ 14 , 15 ใน
เอกสารได้เลยค่ะ
MENU
back
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
MENU
back
เราสามารถนาค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิติ
มาหาความยาวด้ านของสามเหลีย่ มมุม
ฉากได้ โดยดาเนินตามขั้นตอนดังนี้
1. เขียนสิ่ งที่โจทย์กาหนดให้ และ สิ่ งที่ตอ้ งการหา
2. นาสิ่ งที่กาหนดและต้องการมาสร้างสมการ
โดยใช้บทนิยามค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ
3. ดาเนินการแก้สมการ
หมายเหตุ อย่าล่มว่าต้องทบทวนการแก้สมการด้วย
MENU
back
ดูตวั อย่าง
กาหนด  ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก
และความยาวด้านดังรู ป
B
12
a
C
30o
A
จงหาค่า a
MENU
back
B
12
โจทย์กาหนด
BC เป็ นด้านตรงข้ามมุม A = a
AB เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก = 12
a
C
30o
A
A
โจทย์ตอ้ งการ
จากบทนิยาม
BC
แทนค่า จะได้
นา 12 คูณทั้ง 2 ข้าง

MENU
ความยาว a
=
sin A
a
12
=
sin 30o
a
=
1
12 ×
2
a
=
6
AB
= 30o
back
B
โจทย์กาหนด
16
C
a
37o
A
A
โจทย์ตอ้ งการ
จากบทนิยาม
BC
แทนค่า จะได้
a
16
AB
= 37o
ความยาว a
=
cos A
=
cos 37o
นา 16 คูณทั้ง 2 ข้าง
a
=
16 cos 37o
แทนค่า cos 37o
a
=
16 ( 0.799 )
a
=
12.784

MENU
AC เป็ นด้านประชิดมุม A = a
AB เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก = 16
back
เราสามารถนาค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิติ
มาหาขนาดมุมของสามเหลีย่ มมุมฉากได้
อีกด้ วย
การดาเนินการหาขนาดของมุมให้ใช้วธิ ี การเดียวกันกับ
การหาความยาวด้านค่ะ แต่อย่าล่มว่าถ้าไม่ตรงกับค่าของ
มุม 30o , 45o , 60o ต้องใช้การเปิ ดตารางด้วย
MENU
back
ดูตวั อย่าง
กาหนด  ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก
และความยาวด้านดังรู ป
B
12
6
C
?
A
จงหาขนาดของมุม A
MENU
back
B
6
C
12
?
A
โจทย์กาหนด
BC เป็ นด้านตรงข้ามมุม A = a
AB เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก = 12
โจทย์ตอ้ งการ
ขนาดของมุม A
จากบทนิยาม
BC
แทนค่า จะได้
6
12
sin A
AB
จากค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ

MENU
=
sin A
=
sin A
1
2
1
2
=
sin 30o =
A
= 30o
back
B
5
?
13
A
C
โจทย์กาหนด
BC เป็ นด้านประชิดมุม A = a
AB เป็ นด้านตรงข้ามมุมฉาก = 13
โจทย์ตอ้ งการ
ขนาดของมุม B
จากบทนิยาม
BC
แทนค่า จะได้
5
13
cos B
AB
=
cos B
=
cos B
=
0.385
จากตารางค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ cos 67.5o = 0.383

MENU
B
 67.5o
back
ไปทากิจกรรมที่ 18 - 20 ใบงานที่ 12
และ แบบฝึ กหัดที่ 16 - 18 ใน
เอกสารได้เลยค่ะ
MENU
back
?
?
?
MENU
?
?
?
back
เราสามารถนาค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิติ
มาหาระยะทางกับความสู งได้ อีกด้ วย
การดาเนินการหาระยะทางกับความสู งให้ใช้วธิ ี การเดียวกันกับ
การหาความยาวด้านหร่ อมุมค่ะ ทั้งนี้ควรมีความรู ้เพิ่มเติม
เกี่ยวกับ มุมก้ม และ มุมเงย กันก่อน
MENU
back
มุมก้ ม ค่อ มุมที่เกิดจากแนวเส้นจากสายตาไปยังวัตถุที่อยูต่ ่า
กว่าแนวเส้นระดับสายตา
ระดับสายตา
MENU
back
มุมเงย ค่อ มุมที่เกิดจากแนวเส้นจากสายตาไปยังวัตถุที่อยูส่ ู ง
กว่าแนวเส้นระดับสายตา
ระดับสายตา
MENU
back
ในการแก้โจทย์ปัญหาเราอาศัยเร่่ องของสามเหลี่ยม
คล้ายเข้ามาประยุกต์ใช้ เพราะการวัดมุมก้มหร่ อมุมเงย
ต้องอาศัยอุปกรณ์ ค่อ สามเหลี่ยมมุมฉากเล็ก และ อย่าล่ม
ว่าสามเหลี่ยม 2 รู ปที่คล้ายกัน จะมีอตั ราส่ วนของด้านที่
สมนัยกันเท่ากัน ซึ่ งก็เป็ นอัตราส่ วนตรี โกณมิตินนั่ เอง
ลองดูรูปประกอบ
ของที่ใช้วดั
MENU
ของจริ ง
back
ดูตวั อย่างกันดีกว่า
เกษมย่นห่างจากตึกแห่ งหนึ่งเป็ นระยะทาง 150 เมตร มองขึ้นไป
บนยอดตึกเป็ นมุมเงยเท่ากับ 360 จงคานวณหาความสู งของตึก
B
?
A
MENU
36o
150
C
back
B
BC เป็ นตึกแห่งหนึ่ง
AC เป็ นระยะที่เกษมย่นห่างจากตึก
มุมเงย 36o
ความสูงของตึก
โจทย์ตอ้ งการ
36o
A
โจทย์กาหนด
150
วิธีทา
C
จากบทนิยาม
แทนค่า จะได้
BC
AC
BC
150
นา 150 คูณทั้ง 2 ข้าง
BC
จากค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ
=
tan A
=
tan 36o
o
150
tan
36
=
tan 36o = 0.727
BC
= 150 ( 0.727 )
 ตึกสูง 109.05 เมตร
MENU
back
อีกตัวอย่างดีกว่านะ
โอปอย่นอยูบ่ นตึกแห่งหนึ่งซึ่ งสู ง 120 เมตร มองลงไปจากยอดตึก
สังเกตเห็นรถเข็นเป็ นมุมก้มเท่ากับ 560 จงคานวณหาว่ารถเข็นนั้น
อยูห่ ่างจากตึกกี่เมตร
B
56o
120
A
?
MENU
C
back
B
ระดับสายตา
56o
โจทย์กาหนด
BC เป็ นตึกแห่งหนึ่ง
AC เป็ นระยะที่รถเข็นอยูห่ ่างจากตึก
มุมก้ม 56o
โจทย์ตอ้ งการ
ระยะที่รถเข็นอยูห่ ่างจากตึก
120
A
?
C
จากบทนิยาม
BC
=
tan A
AC
=
tan 56o
นา AC คูณทั้ง 2 ข้าง
120
= AC tan 56o
จากค่าอัตราส่ วนตรี โกณมิติ
tan 56o = 1.483
120
AC =
1.483
วิธีทา
แทนค่า จะได้
AC
120
 รถเข็นอยูห่ ่างจากตึกประมาณ 80.92 เมตร
MENU
back
ไปทากิจกรรมที่ 21 ใบงานที่ 13 ,14
และ แบบฝึ กหัดที่ 19 ในเอกสาร
ได้เลยค่ะ
MENU
back