Transcript ความรู้พนื้ ฐานทางวิศวกรรมไฟฟ้ า(252282) วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ(ตอน 2) กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ ห้องวิจยั การออกแบบวงจรด้วยระบบคอมพิวเตอร์ (CANDLE) ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่

ความรู้พนื้ ฐานทางวิศวกรรมไฟฟ้ า(252282)
วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ(ตอน 2)
กสิ ณ ประกอบไวทยกิจ
ห้องวิจยั การออกแบบวงจรด้วยระบบคอมพิวเตอร์ (CANDLE)
ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้ า คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่
วัตถุประสงค์
 ทบทวนความเข้าใจเรื่ องไฟฟ้ ากระแสสลับ
 เข้ า ใจการวิ เ คราะห์ ผ ลตอบสนองสถานะอยู่ ต ั ว แบบ
ไซนูซอยด์
 ทบทวนความเข้าใจเกี่ยวกับจานวนเชิงซ้อน
 เข้า ใจความสั ม พัน ธ์ ร ะหว่ า งแรงดัน และกระแสไฟฟ้ าใน
อุปกรณ์ต่าง ๆ
 เข้าใจการหาค่าอิมพีแดนซ์ในวงจรไฟฟ้ ากระแสสลับ
ทบทวนความเข้ าใจเรื่องไฟฟ้ ากระแสสลับ
- รู ปสั ญญาณไซนูซอยด์ นาหน้ า t = 0 หมายถึง รู ป
สั ญญาณไซนูซอยด์ เริ่ มต้ น ทางด้ านซ้ ายมือหรื อ เกิดก่ อน
เมื่อพิจารณา t = 0 เป็ น หลักดังรู ป
v(t)  Vm sin(ωt   )
i(t)  Im sin(ωt   )
ทบทวนความเข้ าใจเรื่องไฟฟ้ ากระแสสลับ
- รู ปสั ญญาณไซนูซอยด์ ล้าหนัง t = 0 หมายถึง รู ป
สั ญญาณไซนู ซอยด์ เริ่ ม ต้ น ทางด้ านขวามื อหรื อเกิดที่
หลัง เมื่อพิจารณา t = 0 เป็ น หลักดังรู ป
v(t)  Vm sin(ωt   )
i(t)  Im sin(ωt   )
ตัวอย่ าง
จากรู ป จงเขี ย นสมการชั่ ว ขณะของแรงดั น และกระแส
ไฟฟ้า เมื่อค่ าพีคเป็ น 10[V] และ 10[A]
v(t)  10sin(ωt  30) [V]
i(t )  10sin(t  30  75) [A]
 10sin(t  45) [A]
สั ญญาณแรงดันและกระแสแบบไซนูซอยด์
v(t)  Vm cos(t   )
i(t)  Im cos(t   )
สัญญาณแบบไซนูซอยด์เป็ นฟังก์ชนั รายคาบซึ่งมีคุณสมบัติ
x(t  T)  x(t)
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวต้ านทาน
รู ปคลื่น แรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่ อ มตัว ต้ านทานและกระแสที่
ไหลผ่ านตัวต้ านทานจะ inphase กัน
v (t)
i (t) 
R
ตัวอย่ าง
ถ้าแรงดันไฟฟ้ าตกคร่ อมตัวต้านทาน 2.2 k มีค่าเป็ น
v(t)  3.96cos(2000t  50) [V]
จงหาค่ า กระแสไฟฟ้ าที่ ไ หลผ่า นตัว ต้า นทานในรู ป ของสมการ
ชัว่ ขณะ
v (t)
i (t) 
R
3.96 cos(2000t  50)
i (t) 
 1.8cos(2000t  50) [ mA]
3
2.2 10
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
กระแสไฟฟ้ าที่ไ หลผ่ า นตัว เก็บ ประจุ ไม่ ไ ด้ ขึ้น กับ แรงดัน
ไฟฟ้าที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุเพียงอย่ างเดียวเท่ านั้น แต่ จะ
ขึน้ อยู่กบั ความถีข่ องแรงดันไฟฟ้าด้ วย
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
รู ปคลื่ นกระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุไฟฟ้ าจะนาหน้า
แรงดันไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุไฟฟ้ าอยู่ 90 องศา ซึ่ งใน
กรณี ที่ vC(t) และ iC(t) ไม่ได้เริ่ มต้นที่ t = 0 จะสามารถเขียน
สมการได้เป็ น
vC (t)  Vm cos(ωt   )
iC (t)  Im cos(ωt    90)
ตัวอย่ าง
ถ้าตัวเก็บประจุขนาด 0.25 F มีกระแสไฟฟ้ าไหลผ่าน
i(t)  40cos(2 10 t  20) [mA]
4
จงหาค่าแรงดันไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมในรู ปของสมการชัว่ ขณะ
dv(t)
1
i (t)  C
 v(t)   i(t) dt
dt
C
103
40 103
4
4
v(t) 
40cos(2

10
t

20

)
d
t

sin(2

10
t  20)
6 
6
4
0.25 10
0.25 10  2 10
v(t)  0.8sin(2 104 t  20) [mV]
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเหนี่ยวนา
กระแสไฟฟ้ าที่ ไหลผ่านตัวเหนี่ ยวนา ไม่ได้ข้ ึ น กับแรงดัน
ไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมตัวเหนี่ ยวนาเพียงอย่างเดี ยวเท่านั้น แต่จะ
ขึ้นอยูก่ บั ความถี่ของแรงดันไฟฟ้ าด้วย
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
รู ปคลื่ น แรงดั น ไฟฟ้ าที่ ต กคร่ อมตั ว เหนี่ ย วน าจะน าหน้ า
กระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาอยู่ 90 องศา ซึ่ งในกรณี ที่
vC(t) และ iC(t) ไม่ได้เริ่ มต้นที่ t = 0 จะสามารถเขียนสมการ
ได้เป็ น
iL (t)  Im cos(ωt   )
vL (t)  Vm cos(ωt    90)
ตัวอย่ าง
ถ้าตัวเหนี่ยวนาขนาด 8 mH มีแรงดันไฟฟ้ าตกคร่ อม
i(t)  40sin(2 10 t  20) [mA]
4
จงหาค่าแรงดันที่ตกคร่ อมตัวเหนี่ยวนาในรู ปของสมการชัว่ ขณะ
di (t)
v(t)  L
dt
d 40 103 sin(2 104 t  20)
v(t)  8 10
 8 103  40 103  2 104 cos(2 104 t  20)
dt
3
v(t)  6.4cos(2 104 t  20) [V]
เฟสเซอร์ แรงดันและกระแสไฟฟ้ า
การแปลงเฟสเซอร์ (Phasor Transformation) เป็ นการแปลง
ฟังก์ชนั ไซนูซอยด์ในอาณาจักรเวลา (Time Domain) ให้เป็ น
จานวนเชิงซ้อนในอาณาจักรความถี่ (Frequency Domain)
จากเอกลักษณ์ของออยเลอร์
e
 j
 cos  j sin 
เฟสเซอร์ แรงดันและกระแสไฟฟ้ า
การแปลงเฟสเซอร์จากอาณาจักรเวลา -> อาณาจักรความถี่
Re{Vm cos(t   )}  Vme
j
ในทางกลับกันเราสามารถแปลงกลับเฟสเซอร์จากอาณาจักร
ความถี่ -> อาณาจักรเวลา
Re1{Vme j }  Vm cos(t   )
เฟสเซอร์ แรงดันและกระแสไฟฟ้ า
ซึ่งสัญลักษณ์เฟสเซอร์จะเขียนอยูใ่ นรู ปอักษรอังกฤษตัวพิมพ์
ใหญ่แบบหนา
V  Vme
j
และเราสามารถเขียนเฟสเซอร์ในรู ปเชิงขั้ว (Polar Form)
หรื อพิกดั ฉาก (Rectangular Form)ได้ตามลาดับดังนี้
V  Vm หรื อ V  Vm cos   jVm sin 
เฟสเซอร์ แรงดันและกระแสไฟฟ้ า
สรุ ปเราสามารถแปลงเขียนแรงดัน(v(t))หรื อกระแส(i(t))ในอาณาจักร
เวลาให้เป็ นแรงดันเฟสเซอร์และกระแสเฟสเซอร์ได้ดงั ต่อไปนี้
v(t)  Vm cos(ωt   )
i(t)  Im cos(ωt   )
v(t)  Re{Vme j (t+ ) }
i(t)  Re{Ime j (ωt+ ) }
V  Vme j
I  Ime j
V  Vm
I  Im
เฟสเซอร์ แรงดันและกระแสไฟฟ้ า
v(t)  170cos(377t  40)
i(t)  0.05cos(ωt)
v(t)  10 cos(10 t  130)
3
6
V  17040
I  0.050
V  10   130
3
จานวนเชิงซ้ อน
จานวนเชิงซ้อนสามารถเขียน
แทนด้วย a+jb โดยที่
a, b แทนจานวนจริ งใด ๆ
Rectangular Form <-> Polar Form
- Rectangular Form
- Polar Form
a  jb
c 
Rectangular Form <-> Polar Form
a  jb
c 
C  a 2  b2
1 b
  tan
a
Rectangular Form <-> Polar Form
c 
a  jb
a  C cos 
b  C sin 
จานวนเชิงซ้ อน
- การบวกการลบจานวนเชิงซ้อน
(a  jb)  (c  jd )  (a  c)  j (b  d )
- การคูณจานวนเชิงซ้อน
(a  jb)  (c  jd )  ac  jad  jbc  j bd
2
 (ac  bd )  j (ad  dc)
a1b2  ab1  2
จานวนเชิงซ้ อน
- การคอนจูเกตจานวนเชิงซ้อน
A  a  jb
A  c
A  a  jb
*
A  c  
*
- การหารจานวนเชิงซ้อน
a  jb a  jb c  jd


c  jd c  jd c  jd
c1
c
 1   2
d  2 d
จานวนเชิงซ้ อน
- การยกกาลังจานวนเชิงซ้อน
A  c m
m
m
- การถอดรากจานวนเชิงซ้อน
k
A  k c / k
การบวกและลบรูปคลืน่ ด้ วยสมการเฟสเซอร์
เปลี่ยนรู ปคลื่นในรู ปของ Polar Form ให้อยูใ่ นรู ปของ Rectangular
Form แล้วจึงนามาบวกกัน จากนั้นแปลงกลับให้อยูใ่ นรู ปเดิม
ตัวอย่ าง
v1 (t )  10sin(t )  100 [V]
v2 (t )  20sin(t  60)  2060 [V]
ตัวอย่ าง
เปลี่ยนรู ปคลื่นในรู ปของ Polar Form ให้อยูใ่ นรู ปของ Rectangular
Form จะได้
v1  10(cos 0  j sin 0)  10  j 0
v2  20(cos 60  j sin 60)  10  j17.32
เพราะฉะนั้นเราจะได้วา่
v1  v2  10  j 0  10  j17.32  20  j17.32
ตัวอย่ าง
เปลี่ยนรู ปคลื่นกลับทาให้เราได้
17.32
 26.4640.9
20
 26.46sin(t  40.9) [V]
v1  v2  202  17.322  tan 1
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
เราสามารถกฎของโอห์มได้กบั อิมพีแดนซ์(Impedance) และแอด
มิตแทนซ์(Admittance) สาหรับวงจรในอาณาจักรความถี่
V Vm v Vm
Z 

(v  i )
I
Im i
Im
อย่างไรก็ตามอิมพีแดนซ์
ไม่ใช่เฟสเซอร์ แต่เป็ น
เลขเชิงซ้อนที่เป็ นผลหาร
ระหว่างแรงดันเฟสเซอร์
และกระแสเฟสเซอร์
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
ดังนั้นเราสามารถเขียนอิมพีแดนซ์ในรู ปแบบเชิงขั้วได้เป็ น
Z  Z 
และในพิกดั ฉากได้เป็ น
Z  R  jX
โดย
R
X
คือความต้านทาน (Resistance)
คือรี แอกแทนซ์ (Reactance)
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
ส่ วนกลับของอิมพีแดนซ์คือแอดมิตแทนซ์ (S) โดยมีสญ
ั ลักษณ์
เป็ น
1
Y
Z
และสามารถเขียนในรู ปพิกดั เชิงมุม และพิกดั ฉาก ได้ตามสมการ
โดย
Y  Y 
G
B
Y  G  jB
คือความนา (Conductance)
คือซัสเซปแทนซ์ (Susceptance)
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวต้ านทาน
รู ปคลื่น แรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่ อ มตัว ต้ านทานและกระแสที่
ไหลผ่ านตัวต้ านทานจะ inphase กัน
v(t)
i (t) 
R
V  RI
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
สาหรับอิมพีแดนซ์ของตัวต้านทานเราสามารถสรุ ปได้วา่
R  R0  R  j 0
ตัวอย่ าง
ถ้าแรงดันไฟฟ้ าตกคร่ อมตัวต้านทาน 2.2 k มีค่าเป็ น
v(t)  3.96cos(2000t  50) [V]
(ก) จงหาค่ากระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านตัวต้านทานในรู ปของ
สมการชัว่ ขณะโดยใช้สมการเฟสเซอร์ของ V และ R
(ข) จงเขียนเฟสเซอร์ไดอะแกรมของกระแสและแรงดันไฟฟ้ า
V  3.9650 [V]
R=2.2 10 0 []
3
ตัวอย่ าง
V
3.9650 [V]
-3
I 

1.8

10
50 [A]
3
R 2.2 10 0 []
เพราะฉะนั้นสมการชัว่ ขณะคือ
i(t)  1.8cos(2000t  50) [mA]
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
กระแสไฟฟ้ าที่ ไหลผ่านตัวเก็บประจุ ไม่ ได้ข้ ึ นกับแรงดัน
ไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุเพียงอย่างเดียวเท่านั้น แต่จะ
ขึ้นอยูก่ บั ความถี่ของแรงดันไฟฟ้ าด้วย
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
ดังนั้นเราจะได้ ว่า
1
V
I
jωC
รู ปคลื่นกระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุไฟฟ้ าจะนาหน้า
แรงดันไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุไฟฟ้ าอยู่ 90 องศา
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
ซึ่งในกรณี ที่ vC(t) และ iC(t) ไม่ได้เริ่ มต้นที่ t = 0 จะสามารถ
เขียนสมการได้เป็ น
vC (t)  Vm cos(ωt   )
iC (t)  Im cos(ωt    90)
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
สาหรับอิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุเราสามารถสรุ ปได้วา่
V
1
ZC  
I
jωC
ถ้า
1
XC 
ωC
1
1
ZC  0  j

  90
ωC ωC
ตัวอย่ าง
ถ้าตัวเก็บประจุขนาด 0.25 F มีกระแสไฟฟ้ าไหลผ่าน
i(t)  40cos(2 10 t  20) [mA]
4
(ก) จงหาค่าแรงดันไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมในรู ปของสมการชัว่ ขณะ
(ข) จงเขียนเฟสเซอร์ไดอะแกรมของกระแสและแรงดันไฟฟ้ า
1
1

  j 200 []  200  90 []
4
6
jωC j (2 10 )(0.25 10 )
I  4020 [mA]
ตัวอย่ าง
1
V
I  (200  90 [])(4020 [mA])  8  70 [V]
jωC
เพราะฉะนั้นสมการชัว่ ขณะคือ
v(t)  8cos(2 10 t  70) [V]
4
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเหนี่ยวนา
กระแสไฟฟ้ าที่ ไหลผ่านตัวเหนี่ ยวนา ไม่ได้ข้ ึ น กับแรงดัน
ไฟฟ้ าที่ตกคร่ อมตัวเหนี่ ยวนาเพียงอย่างเดี ยวเท่านั้น แต่จะ
ขึ้นอยูก่ บั ความถี่ของแรงดันไฟฟ้ าด้วย
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
ดังนั้นเราจะได้วา่
V  jωLI
รู ป คลื่ น แรงดัน ไฟฟ้ าที่ ต กคร่ อ มตัว เหนี่ ย วน าจะน าหน้ า
กระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาอยู่ 90 องศา
ความสั มพันธ์ ระหว่ างค่ าต่ าง ๆ ในตัวเก็บประจุ
ซึ่งในกรณี ที่ vC(t) และ iC(t) ไม่ได้เริ่ มต้นที่ t = 0 จะสามารถ
เขียนสมการได้เป็ น
iL (t)  Im cos(ωt   )
vL (t)  Vm cos(ωt    90)
อิมพีแดนซ์ และแอดมิตแทนซ์
สาหรับอิมพีแดนซ์ของตัวเหนี่ยวนาเราสามารถสรุ ปได้วา่
V
ZL   jωL
I
ถ้า
XL  ωL
ZL  jωL  ωL 90
ตัวอย่ าง
ถ้าตัวเหนี่ยวนาขนาด 8 mH มีแรงดันไฟฟ้ าตกคร่ อม
v(t)  18cos(2 10 t  40) [V]
6
(ก) จงหาค่ากระแสไฟฟ้ าที่ไหลผ่านในรู ปของสมการชัว่ ขณะ
(ข) จงเขียนเฟสเซอร์ไดอะแกรมของกระแสและแรงดันไฟฟ้ า
jωL  j (2 106 )(8 103 )  j50.26 [k ]  50.2690 [k ]
V  1840 [V]
ตัวอย่ าง
V
1840 [V]
I

 0.358  50 [mA]
3
jωL 50.26 10 90 []
เพราะฉะนั้นสมการชัว่ ขณะคือ
i(t)  0.358cos(2 106 t  50) [mA]
การต่ ออิมพีแดนซ์ แบบอนุกรม
V
Zeq   Z1  Z2 
I
 ZN
อิมพีแดนซ์เป็ นเลขเชิงซ้อนเมื่อนามาบวกกัน จึง
ต้องทาในรู ป Rectangular Form
การต่ ออิมพีแดนซ์ แบบขนาน
1
I
1
1
  

Zeq V Z1 Z2
1

ZN
หรื อ
Yeq  Y1  Y2 
 YN
ตัวอย่ าง
ZT  (R  j0)  (0  jωL)  R  jXL
Polar Form
ZT  R  ( L)
2
  tan
1
L
R
2
ตัวอย่ าง
เมื่อนาเอา ZT มาเขียนในเฟสเซอร์ไดอะแกรมเราจะได้
ดังรู ป
ตัวอย่ าง
จากวงจรดังรู ป จงหา Zin ถ้าวงจรนี้ทางานที่   50 [rad/s]
1
1
Z1 

  j10 []
jωC j50  2 103
Z2  3 
1
1
 3
 3  j 2 []
3
jωC
j50 10 10
Z3  8  jωL  8  j50  0.2  8  j10 []
ตัวอย่ าง
เพราะฉะนั้นจะได้ Zin
(3  j 2)(8  j10)
Zin  Z1  (Z2 Z3 )   j10 
11  j8
(44  j14)(11  j8)
  j10 
  j10  3.22  j1.07 []
2
2
11  8
 3.22  j11.07 []
ตัวอย่ าง
VR
VL
จากรู ป
(ก) จงหาค่ากระแสไฟฟ้ าในวงจร I
(ข) จงหาค่าแรงดันไฟฟ้ า V และ V
(ค) จงใช้กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์ พิสูจน์วา่
T
R
L
Vs  VR  VL
ตัวอย่ าง
VR
VL
หาค่า ZT และ I
T
ZT  R  jX L  200  j100 []
100
 200  100  tan
 223.6126.56 []
200
2
2
1
ตัวอย่ าง
Vs
300
IT 

 0.134  26.56 [A]
ZT 223.6126.56
จากกฎของโอห์ม
VR  I T R  (0.134  26.56 [A])(2000 [])
 26.8  26.56 [V]
VL  I T jX L  (0.134  26.56 [A])(10090 [])
 13.463.44 [V]
ตัวอย่ าง
จาก
Vs  300 [V]  30  j0 [V]
VR  26.8 26.56 [V]  23.97  j11.98[V]
VL  13.463.44 [V]  5.99  j11.98[V]
เพราะฉะนั้นเราจะได้วา่
VR  VL  23.97  j11.98  5.99  j11.98  29.96  j0[V]  Vs