Transcript ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ
ตรีโกณ ความหมายตามพจนานุกรมแปลว่า
สามเหลีย่ ม
ตรีโกณมิติ คือ คณิตศาสตร์แขนงหนึ่งทีว่ า่
ด้วยการคานวณ มุมของสามเหลีย่ ม
ความเป็ นมา
เมือ่ 640-546 ปี ก่อนคริสต์ศกั ราช ทาเรส (thales)คานวณหาความสูง ของพี
รามิด ในประเทศอียปิ ต์โดยอาศัยเงา วิธหี นึ่งทีท่ าเรสใช้คือ คานวณความสู งของพีรามิดจาก
ความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะทีเ่ งาของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธี
หนึ่งทีท่ าเรสใช้คานวณ ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิด
กับความยาวของเงาของไม้(ไม้ทท่ี ราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนัน่ เอง) โดยอาศัยรูป
สามเหลีย่ มคล ้าย ซึง่ ก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิตทิ เ่ี รียกว่า แทนเจนต์ (tangent) นัน่ เอง
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของ
ด้านของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก การเรียนในเรื่องนี้ผูเ้ รียนจาเป็ นต้อง ใช้ความรูเ้ ดิม
เรื่องสามเหลีย่ มคล ้ายเพือ่ เป็ นพื้นฐานในการทาความเข้าใจ การเรียนวิชาตรีโกณมิตใิ ห้
ได้ดนี นั้ ต้องจานิยามของตรีโกณมิตใิ ห้ได้ ระดับมัธยมต้นใช้นิยามสามเหลีย่ มมุมฉาก
ซึง่ อัตราส่วนตรีโกณมิติ ก็คือ อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลีย่ มมุม
ฉากซึง่ จะมีช่อื เรียกดังนี้
B
c
a
C
b
A
จากรูป ABC เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
โดยมี AĈB = 90 องศา ถ้ าเราพิจารณาที่มมุ A
1. ด้ าน AB เรี ยกว่า ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
2. ด้ าน BC เรี ยกว่า ด้ านตรงข้ ามมุม A
3. ด้ าน AC เรี ยกว่า ด้ านประชิดมุม A
"Sine A" ไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sin A หาได้จากอัตราส่วนของความยาว
ด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
"Cos A" โคไซน์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cos A หาได้จากอัตราส่วนของความยาว
ด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
"Tangent A" แทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า tan A หาได้จากอัตราส่วนของ
ความยาวด้านตรงข้ามมุม A ต่อความยาวด้านประชิดมุม A
ส่วนฟังก์ชนั cosec, sec และ cot นัน้ ก็ใช้นิยามเข้าช่วย ซึง่ เป็ นส่วนกลับของ sin, cos
และ tan ตามลาดับ จึงต้องจาฟังก์ชนั sin, cos, tan ก็จะได้ในส่วนของ cosec, sec และ cot ขึ้นมาเองโดย
อัตโนมัติ
"Cotangent A" โคแทนเจนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cot A หาได้จากอัตราส่วนของ
ความยาวด้านด้านประชิดมุม A ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุม A
"Secant A" ซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า sec A หาได้จากอัตราส่วนของความยาว
ด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านประชิดมุม A
"Cosecant A" โคซีแคนต์ของมุม A หรือเขียนย่อว่า cosec A หาได้จากอัตราส่วนของ
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A
ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ
ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ
ฟังก์ชนั ของมุม ซึง่ มีความสาคัญในการศึกษารูปสามเหลีย่ มและปรากฏการณ์ใน
ลักษณะเป็ นคาบ ฟังก์ชนั อาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูป
สามเหลีย่ มมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกดั ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือ
นิยามในรูปทัว่ ไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพนั ธ์ รูปสามเหลีย่ มที่
นามาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนัน้ ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180°
เสมอ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
นิยาม
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วนตรีโกณมิตทิ ต่ี ่างกันและเป็ น
จริงสาหรับทุกๆค่าขององศา เมือ่ กาหนด A เป็ นมุมแหลม
1. sin A x cosec A = 1
2. cos A x sec A
=1
3. tan A x cot A
=1
4. cos A x tan A
= sin A
5. cot A x sin A
= cos A
6. sin2A + cos2A
=1
7. sec2A - tan2A
=1
8. cosec2A - cot2A = 1
ตัวอย่างที่ 1
จงหาค่า cos 75๐
ตัวอย่างที่ 2
จงหาค่า sin 67๐
sin 67๐ = sin (37๐ + 30๐)
= sin 37๐ . cos 30๐ + cos 37๐ . sin 30๐
=
=
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่า
=
=
=
=
=
2