Transcript ความน่าจะเป็นสะสมของข้อมูล ที่มีลักษณะการกระจายแบบสม่ำเสมอ

2.6 การประมาณค่า
พารามิเตอร์เป็นองค์ประกอบทีส
่ าค ัญ
องค์ประกอบหนึง่ ของแบบจาลอง การ
กาหนดค่าของพารามิเตอร์สามารถทาได้ดว้ ย
การพิจารณาจากข้อมูลเดิมหรือทาการ
้ ับแบบจาลอง เทคนิคนี้
ประมาณค่าเพือ
่ ใชก
เป็นการหาค่าประมาณของต ัวประมาณค่า
หรือทีเ่ รียกว่า Estimator ของพารามิเตอร์
1
การประมาณค่าทาได้ 2 แบบคือ
- การประมาณค่าแบบจุด
ต ัวประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรมี
ค่าเพียงค่าเดียว
่ ง
- การประมาณค่าแบบชว
ต ัวประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรให้
ค่าเป็น 2 จานวนคือขอบล่างและขอบบน
2
คุณสมบ ัติสาหร ับการพิจารณาความเหมาะสม
ของต ัวประมาณค่า
1. ความไม่ลาเอียง (Unbiasness)
2. ความแปรปรวนน้อยทีส
่ ด
ุ
(Minimum Variance)
3. ความเสมอต้นเสมอปลาย
(Consistency)
ว ัดได้จาก
V (μˆ )  0 เมื่อ n  
3
4
2.7 การทดสอบความถูกต้อง
2.7.1 การทดสอบสมมติฐาน
เพือ
่ ทดสอบความมีน ัยสาค ัญของ
ค่าพารามิเตอร์ของข้อมูล และล ักษณะการ
กระจายของความน่าจะเป็นของประชากร
2.7.2 การทดสอบล ักษณะการกระจาย
เพือ
่ ตรวจสอบว่ารูปแบบการแจกแจงที่
ื่ ถือ
กาหนดให้นนมี
ั้ ความถูกต้องหรือน่าเชอ
มากน้อยเพียงใด เราจะต้องทาการทดสอบ
ล ักษณะการกระจาย
5
2.7.1 การทดสอบสมมติฐาน
่ นคือ
สมมติฐานทีจ
่ ะทดสอบนนจะแบ่
ั้
งเป็น 2 สว
H0 เป็นสมมติฐานหล ัก (Null hypothesis)
คือสมมติฐานทีม
่ ค
ี า่ ทีต
่ อ
้ งการพิจารณาเพียง
่
ค่าเดียว เชน
H0 :  = 0
0 คือค่าหรือผลของระบบงานจริง
Ha เป็นสมมติฐานรอง (Alternative hypothesis)
คือสมมติฐานทีม
่ ค
ี า่ ทีต
่ อ
้ งการพิจารณาหลายค่า
่
เชน
Ha :   0 หรือ Ha :  < 0
6
7
8
ขนตอนของการตรวจสอบสมมติ
ั้
ฐาน
1. ตงสมมติ
ั้
ฐาน H0 และ Ha
2. กาหนดระด ับน ัยสาค ัญ () โดยถ้าค่าระด ับ
น ัยสาค ัญสูง โอกาสทีจ
่ ะปฏิเสธ H0 ก็จะสูง
3. คานวณค่าสถิตท
ิ เี่ หมาะสมก ับข้อมูล (ค่า Z
หรือ t จากข้อมูล)
่ ง
4. เปรียบเทียบค่าสถิตจ
ิ ากข้อ 3. ว่าอยูใ่ นชว
วิกฤต (Critical region) หรือไม่
่ ง critical region จะปฏิเสธ
ถ้าอยูใ่ นชว
่ ะยอมร ับสมมติฐาน
สมมติฐาน H0 ถ้าไม่ใชจ
9
้ าหร ับทดสอบได้แก่ ค่า Zc หรือค่า tc
ค่าสถิตท
ิ ใี่ ชส
้ ังนี้
โดยมีหล ักการใชด
กรณีท ี่ n  30
จะใช ้ ค่า Zc ซงึ่ คานวณ จาก
x μ
ZC 
ผลล ัพธ์ ถ้า
s/
ZC  Zα
n
แสดงว่า
ยอมร ับ H0 (กรณีทเี่ ป็นด้านเดียว)
ถ้า  Z  Z  Z
แสดงว่า
α
c
α
2
2
ยอมร ับ H0 (กรณีทเี่ ป็นสองด้าน)
10
กรณีท ี่ n < 30
จะใช ้ ค่า tc ซงึ่ คานวณ จาก
tc 
ผลล ัพธ์ ถ้า
xμ
s/
n
t c  t α , n  1 แสดงว่า
ยอมร ับ H0 (กรณีทเี่ ป็นด้านเดียว)
ถ้า
 tα
2
,n  1
 tc  t α
2
แสดงว่า
,n  1
ยอมร ับ H0 (กรณีทเี่ ป็นสองด้าน)
11
ต ัวอย่าง 2.7 บริษ ัทผลิตตะปูคอนกรีต ได้ทาการผลิต
ตะปูตามแบบจาลองทีส
่ ร้างไว้ โดยแบบจาลองให้ผลว่า
ตะปูแต่ละต ัวทีผ
่ ลิตมานน
ั้ สามารถร ับนา้ หน ักได้ 14 กก.
และจากข้อมูลเดิมของบริษ ัททราบว่าความต้านทาน
้ มานนมี
นา้ หน ักของตะปูทผ
ี่ ลิตขึน
ั้ การแจกแจงแบบปกติ
ทีม
่ ค
ี า่ เบีย
่ งเบนมาตรฐานเป็น 1.2 กิโลกร ัม ผูบ
้ ริหาร
ต้องการให้ยน
ื ย ันผลการทดสอบจึงให้ทาการทดลอง
่ ต ัวอย่างตะปูมา 36 ต ัว และว ัดค่านา้ หน ักเฉลีย
สุม
่ ที่
สามารถร ับได้คอ
ื 13.7 กก. อยากทราบว่าภายใต้
ื่ มน
ความเชอ
่ ั 95% ตะปูจะสามารถร ับนา้ หน ักได้ 14 กก.
จริงหรือไม่
12
วิธท
ี า
สมมติฐาน H0 คือ  = 14
Ha คือ  < 14
จากโจทย์จะได้
n = 36,
x  13 . 7 , s  1 . 2
ื่ มน
จากตารางค่า Z 0 .05 ทีร่ ะด ับความเชอ
่ ั 95% = 1.65
คานวณหาค่า Z c 
x
s/ n
=
13 . 7  14
12 / 36
= -1.5
พบว่า  1 . 5 < 1.65
ด ังนน
ั้
ยอมร ับ สมมติฐาน H0
คือตะปูทผ
ี่ ลิตได้นนจะสามารถร
ั้
ับนา้ หน ักได้ 14 กก.
13
ต ัวอย่าง 2.8 ยางรถยนต์ทผ
ี่ ลิตโดยบริษ ัทแห่ง
หนึง่ โฆษณาว่าสามารถวิง่ ได้ระยะทางเฉลีย
่ ไม่
ตา
่ กว่า 22,000 กิโลเมตร โดยไม่ตอ
้ งเปลีย
่ น
่ นายางรถยนต์มา
้ งึ ทาการสุม
เพือ
่ ทดสอบข้อมูลนีจ
้ ใชท
้ ดลองวิง่ พบว่า ได้
ทดสอบจานวน100 เสน
ระยะทางเฉลีย
่ 21,431 กิโลเมตร และมีคา่
เบีย
่ งเบนมาตรฐาน 1,295 กิโลเมตร จงแสดงให้
ื่ มน
เห็นว่าภายใต้ความเชอ
่ ั 99 % ยางรถยนต์
ทีผ
่ ลิตได้นส
ี้ ามารถวิง่ ได้ระยะทางเฉลีย
่ ตามที่
บริษ ัทโฆษณาหรือไม่
14
วิธท
ี า
สมมติฐาน H0 คือ  = 22,000
Ha คือ  < 22,000
จากโจทย์จะได้
n = 100, x  21, 431 , s  1295
ื่ มน
จากตารางค่า Z 0 .01 ทีร่ ะด ับความเชอ
่ ั 99% = 2.33
คานวณหาค่า Z c 
x
s/ n
=
21431  22000
1295 / 100
= -4.39
พบว่า  4 . 39 < 2.33
ด ังนน
ั้
ปฏิเสธ สมมติฐาน H0
คือยางรถยนต์ทผ
ี่ ลิตได้จะวิง่ ได้ระยะทางเฉลีย
่ น้อย
กว่า 22,000 กิโลเมตร
15
ต ัวอย่าง 2.9 บริษ ัทเครือ
่ งด ับเพลิงกล่าวว่า
เครือ
่ งจะฉีดนา้ ยาในระด ับอุณหภูม ิ 130 องศา
ี ส เพือ
่ เครือ
้ งึ สุม
เซลเซย
่ พิสจ
ู น์ขอ
้ ความนีจ
่ งมา
้ อ
49 เครือ
่ ง และทดลองใชท
ี่ ณ
ุ หภูมเิ ฉลีย
่
้ ม
ี ส ถ้าอุณหภูมท
131.08 องศาเซลเซย
ิ ใี่ ชส
ุ่ มีคา่
ี ส อยาก
เบีย
่ งเบนมาตรฐาน 1.5 องศาเซลเซย
้ ามารถยอมร ับได้
ทราบว่าข้อความข้างต้นนีส
ื่ มน
ภายใต้ความเชอ
่ ั ทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05
หรือไม่
16
วิธท
ี า
สมมติฐาน H0 คือ  = 130
Ha คือ   130
จากโจทย์จะได้
n = 49,
x  131 . 08 , s  1 . 5
จากตารางค่า Z 0 .025 คือ Z  -1.96 และ Z  1.96
คานวณหาค่า Z c 
x
s/ n
=
131 . 08  130
1 . 5 / 49
= 5.05
ด ังนน
ั้
ปฏิเสธ สมมติฐาน H0
้ ะฉีดนา้ ยาออกมาทีร่ ะด ับ
คือคือเครือ
่ งด ับเพลิงนีจ
อุณหภูมไิ ม่เท่าก ับ 130 องศา
17
2.7.2 การทดสอบล ักษณะการกระจาย
้ ันอยูม
วิธก
ี ารทดสอบทีน
่ ย
ิ มใชก
่ ี 2 วิธค
ี อ
ื
- การทดสอบแบบไคร์สแควร์ (2 - test)
- การทดสอบแบบโครโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
(Komogorov-Smirnov test)
18
การทดสอบแบบไคร์แสควร์ ( 2 -test)
เป็นการทดสอบสาหร ับกรณีทข
ี่ อ
้ มูลหรือ
ค่านนมี
ั้ การประมาณค่าพารามิเตอร์หรือไม่ม ี
การประมาณค่าพารามิเตอร์ก็ได้
χ 
2
k
 (O
i 1
 Ei) / Ei
2
i
ดีกรีของความอิสระคือ k-r-1
โดย k = จานวนกลุม
่ ของข้อมูล
r = จานวนพารามิเตอร์ทม
ี่ ก
ี ารประมาณค่า
Oi = ค่าความถีข
่ องข้อมูล (Observed Frequency)
Ei = ค่าความถีค
่ าดหมายของจากการกระจายของ
ความน่าจะเป็นของข้อมูลทีต
่ อ
้ งการทดสอบ
(Expected Frequency)
19
สาหร ับสูตรนี้ ค่าความถีค
่ าดหมายใน
แต่ละกลุม
่ นนต้
ั้ องเท่าก ับหรือมากกว่า 5
ถ้ากลุม
่ ใดมีนอ
้ ยกว่า 5 ให้รวมก ับกลุม
่ ทีต
่ ด
ิ ก ัน
จนกว่าจะได้ความถีม
่ ากกว่าหรือเท่าก ับ 5
้
ซงึ่ มี2หล ักการพิ
จ
ารณาด
ังนี
2
χ

χ
ถ้า
α , k  r  1 ยอมร ับล ักษณะการกระจายของ
ข้อมูลทีท
่ ดสอบ
ถ้าไม่ใช่ จะปฏิเสธรูปแบบของการกระจาย
20
ต ัวอย่าง 2.10 จากการโยนลูกเต๋า 120 ครงั้ ได้
ั
ค่าความถีจ
่ ากการสงเกตด
ังตารางต่อไปนี้
แต้มทีโ่ ยนได้
ความถีท
่ ไี่ ด้จาก
ั
การสงเกต
1
2
3
4
5
6
18
19
18
23
26
16
จงทดสอบว่าการโยนลูกเต๋ามีล ักษณะกระจาย
แบบสมา
่ เสมอ โดยใชร้ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05
21
วิธท
ี า จากตารางพิจารณาค่า Oi และ Ei ด ังนี้
แต้มทีโ่ ยนได้
1
2
3
4
5
6
ั
ความถีท
่ ไี่ ด้จากการสงเกต
(Oi)
18
19
18
23
26
16
ความถีท
่ ค
ี่ าดหว ัง (Ei)
20
20
20
20
20
20
χ 
2
k
 (O
i 1
 Ei) / Ei
2
i
 (18  20 ) / 20  (19  20 ) / 20  (18  20 ) / 20  ( 23  20 ) / 20
2
2
2
2
 ( 26  20 ) / 20  (16  20 ) / 20
2
2
 3 .5
22
จากค่าทีค
่ านวณได้
χ 0 .05 , 6  0  1  χ 0 .05 , 5  11 . 070
2
เปิ ดตารางค่า
พบว่า
2
χ  χ 0 .05 , 5
2
2
้ ี
ด ังนน
ั้ ยอมร ับว่าข้อมูลการโยนลูกเต๋านีม
ล ักษณะการกระจายแบบสมา
่ เสมอ
23
การทดสอบแบบโครโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
(Komogorov-Smirnov test)
เป็นการทดสอบทีใ่ ชเ้ ฉพาะกรณีทไี่ ม่ตอ
้ งมี
้ า่ D เป็นค่า
การประมาณค่าพารามิเตอร์ โดยใชค
สถิตส
ิ าหร ับทดสอบซงึ่ จะคานวณได้จากสูตรด ังนี้
D
max
S (x )  F (x )
x
โดยที่ S (x) = ค่าความน่าจะเป็นสะสมของข้อมูล
(Observed Cumulative Probability)
F (x) = ค่าความน่าจะเป็นสะสมคาดหมาย
(Expected Cumulative Probability)
จากนนเปรี
ั้
ยบเทียบค่า D ทีค
่ านวณได้ก ับค่า D α , n จากตาราง
โดยที่ n คือจานวนข้อมูล ถ้า D  D α , n ยอมร ับล ักษณะ
การกระจายของความน่าจะเป็นแบบทีท
่ ดสอบ
24
ต ัวอย่าง 2.11 จากข้อมูลในต ัวอย่าง 2.10 จง
ทดสอบว่าการโยนลูกเต๋ามีล ักษณะกระจายแบบ
สมา
่ เสมอ ด้วยวิธโี ครโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
โดยใชร้ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05
วิธท
ี า จากข้อมูลนามาคานวณหาค่า
S (x) และ F (x) เพือ
่ คานวณหาค่า D ได้ด ัง
ตาราง
25
แต้มที่
โยนได้
จานวน
จานวนครงั้
ครงที
ั้ ่
ทีโ่ ยนได้จริง ประมาณ
p(x)
S(X)
F(X)
|S(X)-F(X)|
1
18
20
18/120
=0.15
0.15
0.166
0.016
2
19
20
0.16
0.31
0.332
0.022
3
18
20
0.15
0.46
0.498
0.038
4
23
20
0.191
0.651 0.664
0.013
5
26
20
0.216
0.867
0.83
0.037
6
16
20
0.133
1.00
1.00
0
120
120
1.00
26
ด ังนนค่
ั้ า D คือ 0.038
และจากตารางค่า D 0 .05 , 6
พบว่าค่าสถิต ิ
= 0.521
D  D 0 .05 , 6
้ ล
จึงยอมร ับว่าข้อมูลการโยนลูกเต๋านีม
ี ักษณะ
การกระจายแบบสมา
่ เสมอ
27
2.8 เทคนิคมอนติ คาร์โล
ต ัวแบบจาลองมอนติ คาร์โล (Monte
Carlo Model) เป็นต ัวแบบจาลองทีท
่ างาน
โดยการเปลีย
่ นแปลงเวลาของต ัวแบบจาลอง
ไม่เกีย
่ วข้องก ับการเปลีย
่ นแปลงของเวลาจริง
ั
โดยอาศยเทคนิ
คทีเ่ รียกว่า มอนติ คาร์โล
เทคนิคมอนติ คาร์โล เทคนิคนีเ้ ป็น
เทคนิคทีน
่ ย
ิ มใชใ้ นการแก้ปญ
ั หาทีม
่ ค
ี วามไม่
แน่นอนของข้อมูลในเชงิ ปริมาณ
28
ความหมายของเทคนิคมอนติ คาร์โล
เทคนิคในการสร้างข้อมูลจากต ัวเลข
่ และความน่าจะเป็นสะสม ซงึ่ โดย
แบบสุม
่ สามารถสร้างได้
ปกติแล้วต ัวเลขแบบสุม
่ นาค่ามาจากตารางต ัวเลขแบบ
หลายวิธ ี เชน
่ (Random Numbers Table) สร้างจาก
สุม
่ ด้วย
โปรแกรมคอมพิวเตอร์ หรือจากการสุม
่ ที่
วิธโี ยนลูกเต๋า เป็นต้น และต ัวเลขแบบสุม
้ นีจ
้ ะมีล ักษณะการกระจายของความ
สร้างขึน
น่าจะเป็นแบบสมา
่ เสมอ
29
ขนตอนการจ
ั้
าลองแบบปัญหาโดยใชเ้ ทคนิค
มอนติ คาร์โล
1) กาหนดปัญหาหรือสงิ่ ทีส
่ นใจ
2) ระบุองค์ประกอบทีเ่ กีย
่ วข้องและพิจารณาว่า
องค์ประกอบใดบ้างทีม
่ ค
ี วามไม่แน่นอน
3) พิจารณาหาการแจกแจงของความน่าจะเป็น
(Probability distribution) ของ
องค์ประกอบทีม
่ ค
ี วามไม่แน่นอนแต่ละต ัว แล้ว
คานวณเป็นค่าความน่าจะเป็นสะสม
่ (Random Number)
4) กาหนดค่าต ัวเลขแบบสุม
้ ทนค่าความน่าจะเป็นสะสม
เพือ
่ ใชแ
30
ขนตอนการจ
ั้
าลองแบบปัญหาโดยใชเ้ ทคนิค
มอนติ คาร์โล (ต่อ)
5) นาค่าทีไ่ ด้ในข้อ 4) ซงึ่ คือค่าข้อมูลที่
ต้องการนนไปใช
ั้
ใ้ นการทดสอบต ัว
แบบจาลอง
6) สร้างต ัวแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
7) ทาการทดสอบต ัวแบบจาลอง
8) เมือ
่ ต ัวแบบจาลองสามารถทางานได้ตาม
เป้าหมายแล้ว กาหนดจานวนครงในการ
ั้
จาลอง
9) ทาการจาลองเพือ
่ หาผลล ัพธ์ทต
ี่ อ
้ งการ
31
่ เป็นต ัวแปรทีส
้ เพือ
ต ัวเลขแบบสุม
่ ร้างขึน
่ ใช ้
ในแบบจาลองเมือ
่ ใชเ้ ทคนิคมอนติ คาร์โล
่
โดยการพิจารณาต ัวเลขแบบสุม
ประกอบด้วย
่
1. คุณสมบ ัติของต ัวเลขแบบสุม
่
2. วิธก
ี ารสร้างต ัวเลขแบบสุม
่
3. การทดสอบต ัวเลขแบบสุม
32
่
คุณสมบ ัติของต ัวเลขแบบสุม
่ ทีด
ต ัวเลขแบบสุม
่ น
ี นจะต้
ั้
องมีคณ
ุ สมบ ัติ
่ นีเ้ ป็น
้ งต้นเพือ
เบือ
่ พิจารณาว่าต ัวเลขแบบสุม
ต ัวเลขทีส
่ ามารถนาไปใชง้ านได้จริง
คุณสมบ ัติทส
ี่ าค ัญมี 2 ประการคือ
(1) มีความสมา
่ เสมอ (Uniformity)
(2) มีความเป็นอิสระ (Independence)
33
ั
ฟังก์ชนหนาแน่
นความน่าจะเป็นของต ัวเลข
่ นนจะมี
แบบสุม
ั้
รป
ู แบบด ังนี้
f ( ri )  1 เมื่อ 0  r  1
34
ค่าคาดหมาย คือ
E (R i )  1 / 2
ค่าความแปรปรวน คือ
V ( R i )  1 / 12
้ ะเป็นคุณสมบ ัติสาหร ับ
คุณสมบ ัติเหล่านีจ
่
้ มาให้เป็นต ัวเลขแบบสุม
ต ัวเลขทีถ
่ ก
ู สร้างขึน
่ (Pseudo Random
ซงึ่ เรียกว่าต ัวเลขคล้ายสุม
่ ทีส
้ โดย
Number) คือเป็นต ัวเลขแบบสุม
่ ร้างขึน
่
วิธก
ี ารต่าง ๆ เพือ
่ ใชเ้ สมือนเป็นต ัวเลขแบบสุม
สาหร ับต ัวแบบจาลอง
35
่
วิธก
ี ารสร้างต ัวเลขแบบสุม
่ โดย
ล ักษณะของสร้างต ัวเลขแบบสุม
ภาพรวมนนจะเป
ั้
็ นวิธก
ี ารเลียนแบบล ักษณะ
้ ล ักทาง
่ โดยใชห
ของการเกิดต ัวเลขแบบสุม
่ ยสร้างชุดต ัวเลขแทน
คณิตศาสตร์เข้ามาชว
ต ัวเลขจริง
่ ทีร่ จ
วิธก
ี ารสร้างต ัวเลขแบบสุม
ู ้ ักและใช ้
ก ันนนมี
ั้ อยูห
่ ลากหลาย โดยจะยกต ัวอย่างมา
5 วิธ ี ได้แก่
36
วิธต
ี ัดกลางกาล ังสอง (Midsquare Method)
เริม
่ ด้วยการกาหนดค่าเริม
่ ต้น (seed)
้ ายกกาล ังสองแล้วต ัด
แล้วนาค่าเริม
่ ต้นนีม
่ นห ัวและท้ายออกไปโดยมีจานวน
ต ัวเลขสว
หล ักทีต
่ ัดออกไปเท่า ๆ ก ัน แล้วนาต ัวเลขทีอ
่ ยู่
่ โดยปร ับเปลีย
ตรงกลางมาใชเ้ ป็นต ัวเลขสุม
่ น
ต ัวเลขนนให้
ั้
เป็นค่าทศนิยม
37
่ ทศนิยม 4
ต ัวอย่าง 2.12 จงสร้างชุดต ัวเลขสุม
ตาแหน่ง ด้วยวิธต
ี ัดกลางกาล ังสอง โดยให้คา่ เริม
่ ต้น
X0 = 3175
วิธท
ี า X0 = 3175
= (3175)2 = 10080625  X1 = 0806
R1 = 0.0806
= (0806)2 = 649636  X2 = 4936
R2 = 0.4936
= (4936)2 = 24364096  X3 = 3640
R3 = 0.3640
= (3640)2 = 13249600  X4 = 2496
R4 = 0.2496
……….
38
่ ทีส
้ มา
จุดด้อยของวิธน
ี ค
ี้ อ
ื จานวนต ัวเลขแบบสุม
่ ร้างขึน
ั้
้ อยูก
นนอาจจะมี
ั้
ว ัฎจ ักรสนหรื
อยาวขึน
่ ับการกาหนดค่า
่ ถ้า X0 มีคา่ เป็น 4500
เริม
่ ต้นของ X0 เชน
X0 = 4500
= (4500)2 = 20250000  X1 = 2500
R1 = 0.25
= (2500)2 = 06250000  X2 = 2500
R2 = 0.25
= (2500)2 = 06250000  X3 = 2500
R3 = 0.25
= (2500)2 = 06250000  X4 = 2500
R4 = 0.25
39
……….
วิธต
ี ัดกลางของผลคูณ (Midproduct Method)
กาหนดค่าเริม
่ ต้น 2 จานวน คือ เป็นต ัวเลข
เริม
่ ต้นต ัวแรก และ X0 เป็นต ัวเลขเริม
่ ต้นต ัวที่ 2
โดยต ัวเลขทงสองเป
ั้
็ นเลขขนาด d หล ัก ขนตอน
ั้
่ คือ นาต ัวเลขทงสองนี
้
ของการสร้างต ัวเลขแบบสุม
ั้
มาคูณก ันแล้วต ัดเลขตรงกลางของผลคูณมา d
หล ัก เพือ
่ เป็น X1 แล้วนาเลขนนมาท
ั้
าเป็นจุด
ทศนิยมจะได้ R1 จากนนน
ั้ า X1 ไปคูณก ับ X0
แล้วต ัดเลขตรงกลาง d หล ักอีกครงน
ั้ ามาเป็น X2
่ นี้
้ าไปทาเป็นจุดทศนิยมจะได้ R2 ทาเชน
ซงึ่ ค่านีน
่ ครบ
ต่อไปเรือ
่ ย ๆ จนกว่าจะได้จานวนต ัวเลขแบบสุม
ตามต้องการ
40
่ ทศนิยม 4
ต ัวอย่าง 2.13 จงสร้างต ัวเลขแบบสุม
ตาแหน่งด้วยวิธต
ี ัดกลางของผลคูณ โดยให้คา่
เริม
่ ต้น X0 = 3175 และ X 0 = 5137
วิธท
ี า X 0 X 0 = 3175(5137)
= 16309975  X1 = 3099
R1 = 0.3099
X0X1 = (3175)(3099)
= 09839325  X2 = 8393
R2 = 0.8393
X1X2 = (3099)(8393)
= 26009907  X3 = 0099
R3 = 0.0099
…………………
41
วิธต
ี ัวคูณคงที่ (Constant Multiplier
Technique)
เริม
่ จากการกาหนดค่าคงที่ 1 ต ัวคือ k แล้ว
นามาคูณก ับค่าต ัวเลขเริม
่ ต้น X0 ซงึ่ มีขนาด d
หล ัก แล้วนาเอาต ัวเลขตรงกลางขนาด d หล ัก
มาเป็น X1 แล้วนามาทาเป็นจุดทศนิยมกาหนด
เป็นค่า R1 จากนนน
ั้ าค่า k มาคูณก ับ X1 แล้วต ัด
เอาต ัวเลขตรงกลางขนาด d หล ักมาเป็นค่า X2
้ าทาเป็นจุดทศนิยมให้เป็นค่า R2
และนาค่านีม
้ า้ ไปเรือ
และดาเนินการอย่างนีซ
่ ย ๆ เพือ
่ สร้างค่า
่ ต่อไป
ต ัวเลขแบบสุม
42
่ ด้วยวิธต
ต ัวอย่าง 2.14 จงสร้างต ัวเลขแบบสุม
ี ัว
คูณคงที่ โดยมี k = 3157, X0 = 2468
วิธท
ี า kX0 = (3157)(2468)
= 07791476  X1 = 7914
R1 = 0.7914
kX1 = (3157)(7914)
= 24984498  X2 = 9844
R2 = 0.7914
kX2 = (3157)(9844)
= 31077508  X3 = 0775
R3 = 0.0775
……………….
43
วิธ ี Additive Congruential
้ าหนดต ัวเลขจานวนเต็ม X 1 , X 2 ,..., X n
วิธก
ี ารนีก
้ าสร้าง
ตามลาด ับ จากนนน
ั้ าต ัวเลขเหล่านีม
เป็น X n  1 , X n  2 ,...
้ าสร้างเป็น
แล้วจึงนาค่าทีส
่ ร้างใหม่เหล่านีม
R 1 , R 2 ,... ต่อไป โดยใชส
้ ต
ู รการสร้างด ัง
ต่อไปนี้ X i  ( X i  1  X i  n ) mod m
R in  X i / m
่ ผลให้คา่ ทีไ่ ด้
โดยค่า m ทีก
่ าหนดให้นจ
ี้ ะสง
เป็นเลขเศษทีม
่ ค
ี า่ น้อยกว่า m
44
่ จานวน 5 ต ัว
ต ัวอย่าง 2.15 จงสร้างชุดต ัวเลขสุม
้ า่ ที่
โดยวิธ ี Additive Congruential และใชค
กาหนดให้ด ังนี้ X1 = 34, X2 = 27, X3 = 87,
X4 = 45, X5 =18, n = 5 และ m =100
วิธท
ี า
X6
= (X5 + X1 ) mod 100
= ( 18+34 ) mod 100 = 52
R6-5 = R1 = X6 /100 = 0.52
X7 = (X6 + X2 ) mod 100
= ( 52+27 ) mod 100 = 79
R7-5 = R2 = X7 /100 = 0.79
45
X8
R8-5
= (X7 + X3 ) mod 100
= ( 79+87 ) mod 100 = 66
= R3 = X8 /100 = 0.66
X9
= (X8 + X4 ) mod 100
= ( 66+45 ) mod 100 = 11
R9-5 = R2 = X9 /100 = 0.11
X10 = (X9 + X5 ) mod 100
= ( 11+18 ) mod 100 = 29
R10-5 = R5 = X10 /100 = 0.29
46
วิธ ี Linear Congruential
วิธน
ี เี้ ป็นวิธท
ี น
ี่ ย
ิ มใชใ้ นปัจจุบ ัน โดยมีสต
ู รการ
คานวณด ังนี้
X i  1  ( aX i  c ) mod
m ; i = 0,1,2,…
โดยที่ X0 เป็นต ัวเลขเริม
่ ต้น
a เป็นค่าคงทีท
่ ใี่ ชใ้ นการคูณ
้
c เป็นค่าทีเ่ พิม
่ ขึน
m เป็นต ัวโมดูล ัส
และ Xi เป็นต ัวเลขจานวนเต็มทีอ
่ ยูร่ ะหว่าง 0 ก ับ m-1
จะได้
R i1  X i1 / m
47
่ จานวน 5 ต ัว
ต ัวอย่าง 2.16 จงสร้างชุดต ัวเลขสุม
้ า่ ที่
โดยวิธ ี Linear Congruential และใชค
กาหนดให้ด ังนี้
X0 = 2468 a = 35862 c = 253 m = 10000
วิธท
ี า X1 = (35862)(2468)+253 mod 10000
= 88507669 = 7669
R1 = X1/10000 = 0.7669
X2 = (35862)(7669)+253 mod 10000
= 275025931 = 5931
R2 = X2/10000 = 0.5931
X3 = (35862)(5931)+253 mod 10000
= 212697775 = 7775
48
R3 = X3/10000 = 0.7775
X4 = (35862)(7775)+253 mod 10000
= 278827303 = 7303
R4 = X4/10000 = 0.7303
X5 = (35862)(7303)+253 mod 10000
= 261900439 = 0439
R5 = X5/10000 = 0.0439
49
่
การทดสอบต ัวเลขแบบสุม
่ เหล่านีจ
้ ะถูกสร้าง
เนือ
่ งจากต ัวเลขแบบสุม
้ ด้วยโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ด ังนนจึ
ขึน
ั้ งต้องมี
้ มานนมี
การทดสอบว่าต ัวเลขทีส
่ ร้างขึน
ั้
่ คือ
คุณสมบ ัติของต ัวเลขแบบสุม
ความสมา
่ เสมอและความเป็นอิสระ
้ ะใชว้ ธ
การทดสอบนีจ
ิ ท
ี ดสอบความถี่
(Frequency Test) มาทดสอบความสมา
่ เสมอ
ของต ัวเลข
50
การทดสอบความถี่
เป็นการทดสอบว่าต ัวเลขทีไ่ ด้นนมี
ั้ ล ักษณะ
การกระจายเป็นแบบสมา
่ เสมอหรือไม่ อาจใช ้
การทดสอบแบบไคร์สแควร์หรือการทดสอบ
แบบโคโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
วิธท
ี ดสอบแบบไคร์สแควร์
้ ดสอบคือ 2 โดยสูตร
ค่าสถิตท
ิ ใี่ ชท
การคานวณด ังนี้
χ 
2
k
 (O
i 1
 Ei) / Ei
2
i
51
ดีกรีของความอิสระคือ k-1
โดย k = จานวนกลุม
่ ของข้อมูล
Oi = ค่าความถีข
่ องข้อมูล (Observed
Frequency)
Ei = ค่าความถีค
่ าดหมาย (Expected
Frequency) ของข้อมูลทีม
่ ก
ี าร
กระจายแบบสมา
่ เสมอ
= N/k
N = จานวนข้อมูลทงหมด
ั้
ถ้า χ  χ α , k  1 ยอมร ับว่าข้อมูลมีล ักษณะการ
กระจายแบบสมา
่ เสมอ ทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 
2
2
52
่ จานวน 50 ค่า
ต ัวอย่าง 2.17 จากต ัวเลขแบบสุม
้ ารทดสอบแบบไคร์สแควร์แสดง
ต่อไปนี้ จงใชก
่ ด ังกล่าว มีล ักษณะ
ให้เห็นว่าชุดต ัวเลขแบบสุม
การกระจายแบบสมา
่ เสมอ ทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.01
0.41 0.83 0.10 0.25 0.36 0.55
0.79 0.16 0.23 0.12 0.01 0.90
0.75 0.01 0.18 0.85 0.25 0.46
0.73 0.95 0.24 0.13 0.04 0.39
0.58 0.27 0.35 0.68 0.75 0.48
0.01 0.19 0.18 0.35 0.37 0.24
0.85 0.43
0.71
0.92
0.28
0.38
0.98
0.86
0.94
0.42
0.51
0.49
0.64
0.74
53
วิธท
ี า
่ งของ
ชว
จานวน
่
ค่าต ัวเลข ต ัวเลขสุม
่
้
สุม
ทีเ่ กิดขึน
จานวนที่
ประมาณ
ค่า
Oi - Ei
(Oi – Ei)2
(Oi – Ei)2/ Ei
0.0-0.09
4
5
-1
1
0.2
0.1-0.19
7
5
2
4
0.8
0.2-0.29
7
5
2
4
0.8
0.3-0.39
6
5
1
1
0.2
0.4-0.49
6
5
1
1
0.2
0.5-0.59
3
5
-2
4
0.8
0.6-0.69
2
5
-3
9
1.8
0.7-0.79
6
5
1
1
0.2
0.8-0.89
4
5
-1
1
0.2
0.9-0.99
5
5
0
0
0
50
50
รวม
5.2
54
จากตาราง
χ 0.01 , 9  21 . 666
2
χ ทีค่ ำนวณได ้  21 . 666
2
่ นีม
้ ล
ด ังนน
ั้ ยอมร ับว่าชุดต ัวเลขแบบสุม
ี ักษณะ
การกระจายแบบสมา
่ เสมอ
55
วิธท
ี ดสอบแบบโครโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
ค่าสถิตส
ิ าหร ับทดสอบคือ D ทีส
่ ามารถ
คานวณได้ด ังนี้
D
max
S (x )  F (x )
x
โดยที่ S(x) = ความน่าจะเป็นสะสมของ
ข้อมูล (Observed Cumulative
Probability)
F(x) = ความน่าจะเป็นสะสมของข้อมูล
ทีม
่ ล
ี ักษณะการกระจายแบบสมา
่ เสมอ
56
การเปรียบเทียบ
เปรียบเทียบค่า D ทีค
่ านวณได้ก ับค่า D α , n
จากตาราง โดยที่ n คือจานวนข้อมูล
ถ้า D  D α , n
ยอมร ับว่าข้อมูลทีท
่ ดสอบมี
ล ักษณะการกระจายแบบสมา
่ เสมอ
57
้ ับการทดสอบล ักษณะการกระจาย
กรณีทน
ี่ ามาใชก
้ นตอนการ
่ นน
ของต ัวเลขแบบสุม
ั้ สามารถใชข
ั้
ทดสอบและการคานวณด ังนี้
่ ทงหมดมาเรี
ขนที
ั้ ่ 1 นาต ัวเลขแบบสุม
ั้
ยงลาด ับ
จากน้อยไปหามาก ให้ R( i ) หมายถึงต ัวเลข
ลาด ับที่ i คือ
R (1)  R ( 2 )  .......... .  R ( i )  ..........  R ( n )

ขนที
ั้ ่ 2
ด ังนี้
คานวณหาค่า D , D

D 

D 

max  ( i / n )  R ( i )
1 i  n
max  R ( i )  ( i  1) / n
1 i  n
58
ขนที
ั้ ่ 3


คานวณค่า D  max( D , D )
ขนที
ั้ ่ 4
อ่านค่า D α , n จากตาราง
ตามค่าระด ับน ัยสาค ัญทีก
่ าหนด
ขนที
ั้ ่ 5
ถ้า D  D α , n
ยอมร ับว่าต ัวเลขทีน
่ ามาทดสอบนนมี
ั้ ล ักษณะ
การกระจายแบบสมา
่ เสมอ
59
่ จานวน 10 ต ัว
ต ัวอย่าง 2.18 จากชุดต ัวเลขแบบสุม
ต่อไปนี้ 0.15 0.82 0.47 0.36 0.25 0.97
0.58 0.36 0.13 0.04 จงทดสอบว่าข้อมูลมีล ักษณะ
การกระจายแบบสมา
่ เสมอ ทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05
ด้วยวิธโี คโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟ
วิธท
ี า
จากต ัวเลขทีก
่ าหนดให้ นามาคานวณหาค่าต่าง ๆ สาหร ับหาค่าสถิต ิ D
เพือ
่ ทาการทดสอบด ังนี้
R(i)
0.04 0.13 0.15 0.25 0.36 0.36 0.47 0.58 0.82 0.97
i/N
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
(i/N)-R(i)
0.06 0.07 0.15 0.15 0.14 0.24 0.23 0.22 0.08 0.03
R(i)-(i-1)/N 0.04 0.03
-
-
-
-
-
-
0.02 0.07
60
D

 0 . 24

D  0 . 07
D = 0.24
จากตาราง ค่า
D 0.05 ,10  0 . 410
่ นีว้ า
ด ังนนสรุ
ั้
ปว่า ยอมร ับชุดต ัวเลขแบบสุม
่ มี
ล ักษณะการกระจายแบบสมา
่ เสมอ ภายใต้
ระด ับน ัยสาค ัญ 0.05
61
วิธท
ี ดสอบความเป็นอิสระนนมี
ั้
4 แบบคือ
• การทดสอบการเรียงลาด ับของต ัวเลข
(Runs Test)
ั ันธ์
• การทดสอบอ ัตตสหสมพ
(Autocorrelation Test)
่ งห่าง (Gap Test)
• การทดสอบชว
• การทดสอบแบบโปกเกอร์ (Poker Test)
62
วิธท
ี ดสอบการเรียงลาด ับของต ัวเลข
เป็นการพิจารณาจากการเรียงลาด ับ
่ ทีต
ของต ัวเลขสุม
่ อ
้ งการตรวจสอบ ถ้าต ัวเลข
่ เป็นอิสระต่อก ัน จะได้ล ักษณะการ
แบบสุม
เรียงลาด ับของต ัวเลขนนมี
ั้ ความไม่แน่นอน
คือไม่มล
ี ักษณะของการเป็นว ัฏจ ักร (cycle)
หรือมีแนวโน้มเอียงไปทางด้านใดด้านหนึง่
63
ขนตอนการทดสอบ
ั้
ขนที
ั้ ่ 1 กาหนดค่าระด ับน ัยสาค ัญ
ขนที
ั้ ่ 2 กาหนดเครือ
่ งหมาย + และ – ให้ก ับ
่ ด ังนี้
ข้อมูลต ัวเลขแบบสุม
(ก) กรณีทไี่ ม่อา้ งอิงค่าเฉลีย
่ ของข้อมูล
พิจารณาจากค่าของต ัวเลขต ัวถ ัดไป ถ้าต ัวเลขต ัวถ ัดไปมีคา
่
มากกว่าต ัวเลขต ัวนน
ั้ จะกาหนดเครือ
่ งหมายเป็น + ถ้า
ต ัวเลขต ัวถ ัดไปมีคา
่ น้อยกว่าต ัวเลขต ัวนน
ั้ กาหนด
เครือ
่ งหมายเป็น – สาหร ับต ัวเลขต ัวสุดท้ายจะไม่ม ี
่
เครือ
่ งหมาย เชน
ค่าของต ัวเลข 0.05 0.23 0.14 0.52 0.87 0.14 0.02 0.75
เครือ
่ งหมาย
+
+
+ +
64
(ข) กรณีอา้ งอิงค่าเฉลีย
่ ของข้อมูล
ถ้าต ัวเลขมีคา
่ มากกว่าค่าเฉลีย
่ จะกาหนดเครือ
่ งหมายเป็น +
ถ้าต ัวเลขมีคา
่ น้อยกว่าค่าเฉลีย
่ จะกาหนดเครือ
่ งหมายเป็น
่ กาหนดค่าเฉลีย
– เชน
่ เป็น 0.495
ค่าของต ัวเลข 0.05 0.23 0.14 0.52 0.87 0.14 0.02 0.75
เครือ
่ งหมาย
+ +
+
ขนที
ั้ ่ 3 จากข้อมูลเครือ
่ งหมายทีไ่ ด้ในขนที
ั้ ่ 2 ให้น ับ
่
จานวนร ัน (ลาด ับเครือ
่ งหมายทีต
่ อ
่ เนือ
่ งก ัน) เชน
+++-----++++---+++----++---++++--++
จะมี 11 ร ัน
65
ขนที
ั้ ่ 4 จากนนท
ั้ าการน ับเครือ
่ งหมายทีไ่ ด้ในขนที
ั้ ่
3 โดยน ับจานวนเครือ
่ งหมาย + และ - ซงึ่
n1 = จานวนเครือ
่ งหมาย –
n2 = จานวนเครือ
่ งหมาย +
r = จานวนร ัน
ขนที
ั้ ่ 5 กรณีท ี่ n1 และ n2 มีคา่ น้อยกว่าหรือ
เท่าก ับ 15 จะใช ้ r เป็นค่าสถิตส
ิ าหร ับการ
ทดสอบ แต่ในกรณีท ี่ n1 และ n2 มีคา่
มากกว่าหรือเท่าก ับ 10 อาจประมาณ
ล ักษณะการกระจายของความน่าจะเป็น
้ า่ Z เป็นค่าสถิต ิ
แบบสมา
่ เสมอ และใชค
สาหร ับการทดสอบ โดยคานวณด ังนี้
66
Z  ( r  E ( r )) /
var( r )
E ( r )  ( 2 n1n 2 /( n1  n 2 ))  1
2
var( r )  ( 2 n 1n 2 ( 2 n 1n 2  n 1  n 2 )) /( n 1  n 2 ) ( n 1  n 2  1)
แล้วเปรียบเทียบก ับค่า (  Z  , Z  )
2
2
ในตาราง
67
ต ัวอย่าง 2.19 จากชุดต ัวเลขในต ัวอย่าง 2.17
จงทดสอบว่าต ัวเลขเป็นอิสระก ันหรือไม่ ทีร่ ะด ับ
น ัยสาค ัญ 0.05 โดยใชว้ ธ
ิ ท
ี ดสอบ การเรียง
ลาด ับของต ัวเลข
วิธท
ี า
จากชุดต ัวเลขสามารถกาหนด
เครือ
่ งหมายได้ด ังนี้
+-+++++--+--++-+-++-+-+++---+
-++-+++-+--+-++-+-+-
จากเครือ
่ งหมาย ค่า
n1 = 21
r = 32
n2 = 28
68
var(r) = 2(21)(28)[2(21)(28)-21-28]/
(21+28)2 (21+28-1)
= 1176[1176-21-28]/(59)(59)(58)
= 1325352/201898 = 6.564
E(r)
Z
= (1176/59)+1 = 20.932
= (32-20.932)/2.562 = 4.32
จากตาราง ค่า
Z 0 .025 คือ Z  -1.96 และ Z  1.96
พบว่าค่า Z ทีไ่ ด้ไม่อยูใ่ นขอบเขตทีย
่ อมร ับ
่ นีไ้ ม่มค
ด ังนนสรุ
ั้
ปได้วา
่ ชุดต ัวเลขแบบสุม
ี วามเป็นอิสระต่อก ัน
69
ั ันธ์
วิธท
ี ดสอบอ ัตตสหสมพ
ั ันธ์ก ันเองของ
เป็นการทดสอบความสมพ
่ ต ัวเลขสุม
่ ทีด
ชุดต ัวเลขสุม
่ จ
ี ะต้องมีความเป็น
ั ันธ์เป็น 0
อิสระแก่ก ัน นน
่ ั คือมีคา่ อ ัตตสหสมพ
้ ะเป็นการทดสอบหรือพิจารณา
การทดสอบค่านีจ
่ ทุก ๆ ต ัวเลขต ัวที่ 5 เริม
ต ัวเลขเชน
่ จากต ัวที่ 5
ต่อไปต ัวที่ 10 ต ัวที่ 15 และต่อ ๆ ไปนนมี
ั้
แนวโน้มไปในทิศทางเดียวก ันหรือไม่
70
ั ันธ์จะเป็นการทดสอบ
การทดสอบอ ัตตสหสมพ
สมมติฐาน
H0 :  im  0
Ha :  im  0
โดยคานวณค่าสถิตส
ิ าหร ับทดสอบด ังนี้
Z  ˆ im  ˆ
im
ˆ im คือค่าอ ัตตสหสมพ
ั ันธ์ของเลขต ัวที่ i ก ับ
ต ัวเลขต ัวถ ัดไปลาด ับที่ m


ˆ im

1
M 1
m
(  R i  km R i  ( k  1) m )  0 . 25
k0
13 M  7
12 ( M  1)
71
M = เลขจานวนเต็มทีม
่ ากทีส
่ ด
ุ ทีท
่ าให้
i+(M+1)m  N
N = จานวนต ัวเลขทงหมด
ั้
Ri = ค่าของต ัวเลขต ัวที่ i
เปรียบเทียบค่า Z ทีค
่ านวณได้ก ับค่า (  Z  , Z  )
2
2
่ งทีก
ในตาราง และถ้าค่า Z อยูใ่ นชว
่ าหนด
จะยอมร ับความเป็นอิสระของต ัวเลขทีร่ ะด ับ
น ัยสาค ัญ 
72
ความหมายของค่า ρˆ im
ั ันธ์ระหว่าง
ถ้าค่า ρˆ im> 0 แสดงว่าเกิดความสมพ
่ เริม
่ ต ัว
กลุม
่ เชงิ บวก คือต ัวเลขสุม
่ ต้นและต ัวเลขสุม
ที่ m ถ ัดไปจะมีแนวโน้มของค่าต ัวเลขไปในทิศทาง
เดียวก ัน
ั ันธ์ระหว่าง
ในทางตรงข้าม แสดงว่าเกิดความสมพ
่ เริม
่ ต ัว
กลุม
่ เชงิ ลบ คือต ัวเลขสุม
่ ต้นและต ัวเลขสุม
ที่ m ถ ัดไปมีแนวโน้มของค่าต ัวเลขไปในทิศทาง
ั ันธ์
ตรงก ันข้าม ถ้าต ัวเลขในกลุม
่ ไม่มค
ี วามสมพ
่ ต ัวที่ m ถ ัดไป จะได้
ก ันเองระหว่างต ัวเลขสุม
ค่า ρˆ im = 0
73
ต ัวอย่าง 2.20 จากชุดต ัวเลขต่อไปนี้ จง
ทดสอบว่าต ัวเลขต ัวที่ 3, 8, 13,…. มี
ั ันธ์ทรี่ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05 หรือไม่
อ ัตตสหสมพ
0.40
0.77
0.52
0.64
0.54
0.84
0.30
0.68
0.82
0.17
0.75
0.71
0.03
0.32
0.18
0.49
0.18
0.04
0.13
0.05
0.51
0.25
0.92
0.78
0.72
0.69
0.57
0.74
0.14
0.87
74
วิธท
ี า ตาแหน่งเริม
่ ต้น i=3 น ับไปทุก ๆ 5 ต ัว
m=5 และ n=30
คานวณหาค่า M จาก
3+(M+1)5  30
5M  30-3-5
M  4.4 ด ังนน
ั้ M = 4
ρˆ 35 
1
(( 0 . 75 )( 0 . 77 )  ( 0 . 77 )( 0 . 78 )  ( 0 . 78 )( 0 . 18 ) 
41
( 0 . 18 )( 0 . 82 )  ( 0 . 82 )( 0 . 87 ))  0 . 25
 2 . 1795 / 5  0 . 25  0 . 1895
75
σ ρˆ 
35
13 ( 4 )  7
12 ( 4  1)
 0 . 1280
ด ังนนค่
ั้ าสถิต ิ
Z = 0.1859/0.1280 = 1.452
ค่า Z 0 . 025
ในตาราง คือ Z  -1.96 และ Z  1.96
พบว่าค่าทีค
่ านวณได้อยูใ่ นขอบเขตทีก
่ าหนด
่ นีม
้ ค
จึงยอมร ับว่าชุดต ัวเลขแบบสุม
ี วามเป็นอิสระ
ั ันธ์เป็น 0
ต่อก ัน คือมีคา่ อ ัตตสหสมพ
76
่ งห่าง
วิธท
ี ดสอบชว
้ าหร ับการทดสอบต ัวเลขแบบสุม
่ ที่
ใชส
เป็นต ัวเลขโดด ๆ คือเป็นต ัวเลขตาแหน่งเดียว
่ งห่างหรือความถีข
โดยเป็นการทดสอบชว
่ อง
่ ที่
ต ัวเลขเดิมทีป
่ รากฏในชุดของต ัวเลขแบบสุม
นามาทดสอบ เปรียบเทียบก ับความถีท
่ ค
ี่ าดว่า
ต ัวเลขจะปรากฏ
77
ั
้ ะอาศยการทดสอบแบบ
การทดสอบนีจ
โคโมโกรอฟ-สเมอร์นอฟซงึ่ มีขนตอนการทดสอบ
ั้
ด ังนี้
่ งห่างของต ัวเลข
ขนที
ั้ ่ 1 หาความถีข
่ องชว
0, 1, 2,…,9 ทีป
่ รากฏอยูใ่ นชุด
่ แล้วคานวณหาความ
ต ัวเลขแบบสุม
่ งห่าง
น่าจะเป็นสะสม,S(x) ของชว
ขนที
ั้ ่ 2 คานวณค่าความน่าจะเป็นสะสม
่ งห่างของต ัวเลข
คาดหมายของชว
x
จากสูตร
F ( x )  0 . 1 ( 0 . 9 )  1  ( 0 . 9 )
i
x 1
i0
78
ขนที
ั้ ่ 3 หาค่าสถิต ิ D สาหร ับทดสอบจาก
D
max
S (x )  F (x )
x
ขนที
ั้ ่ 4 อ่านค่า
D α ,N
จากตาราง โดย N คือ
่ งห่างทงหมด
จานวนชว
ั้
ขนที
ั้ ่ 5 ถ้าค่า D  D α ,N ยอมร ับความเป็นอิสระ
ของต ัวเลขทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 
79
่ ต่อไปนี้
ต ัวอย่าง 2.21 จากชุดต ัวเลขแบบสุม
้ ค
จงทดสอบว่าต ัวเลขเหล่านีม
ี วามเป็นอิสระ
ต่อก ันทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 0.05 หรือไม่
้ ารทดสอบชว
่ งห่าง
โดยใชก
4
6
9
5
4
1
8
5
5
3
3
9
8
9
1
5
5
9
0
5
1
1
7
4
3
7
4
6
2
8
2
0
1
8
8
3
4
1
2
2
5
5
0
7
2
4
7
6
8
2
9
2
6
2
1
8
6
7
3
0
3
9
5
1
4
8
2
5
7
2
80
วิธท
ี า จากข้อมูลจานวนต ัวเลขมี 70 ต ัว ด ังนน
ั้
่ งห่างคือ 60 = N
จานวนชว
่ งห่าง
ชว
ความถี่ ความน่าจะเป็น
S(x)
F(x)
|S(x)-F(x)|
0-3
9
0.15
0.15
0.3439
0.1939
4-7
16
0.27
0.42
0.595
0.175
8-11
20
0.33
0.75
0.7176
0.0324
12-15
9
0.15
0.90
0.8147
0.0853
16-19
2
0.03
0.93
0.8784
0.0516
20-23
4
0.07
1.00
0.9202
0.0798
รวม
60
1.00
81
ด ังนน
ั้ D = 0.1939 จากตารางค่า
D 0.05 , 60 
เนือ
่ งจากค่า
1 . 36
60
D  D 0.05 , 60
 0 . 176
่
แสดงว่าต ัวเลขแบบสุม
ชุดนีไ้ ม่เป็นอิสระต่อก ัน
82
วิธท
ี ดสอบแบบโปกเกอร์
เป็นการทดสอบความเป็นอิสระของต ัวเลข
โดยพิจารณาความถี่ หรือจานวนครงของการเกิ
ั้
ด
ต ัวเลขซา้
่ 0.344
เชน
0.353
0.258
0.577
0.414
0.688
0.152 ………
่ เลขแต่ละต ัวจะประกอบ
จากชุดต ัวเลขแบบสุม
ด้วยต ัวเลข 3 ต ัว ด ังนนมี
ั้ ความเป็นไปได้ของการ
เกิดล ักษณะต ัวเลขซา้ ก ันในรูปต่อไปนี้
(1) เลขซา้ ก ันทงั้ 3 ต ัว
(2) ต ัวเลขไม่ซา้ ก ันเลย
(3) เลขซา้ ก ัน 2 ต ัว
83
ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดล ักษณะต ัวเลข
ข้างต้นนน
ั้ สามารถคานวณได้ด ังนี้
ความน่าจะเป็นของต ัวเลขซา้ ก ันทงั้ 3 ต ัว
= P(ต ัวเลขต ัวที่ 2 เหมือนต ัวที่ 1) x
P(ต ัวเลขต ัวที่ 3 เหมือนต ัวที่ 1)
= (0.1) (0.1) = 0.01
ความน่าจะเป็นของต ัวเลขไม่ซา้ ก ันเลย
= P(ต ัวเลขต ัวที่ 2 ต่างจากต ัวที่ 1) x
P(ต ัวเลขต ัวที่ 3 ต่างจากต ัวที่ 1 และ 2)
= (0.9) (0.8) = 0.72
ความน่าจะเป็นของต ัวเลขซา้ ก ัน 2 ต ัว
= 1-0.72-0.01 =0.27
84
จากการทดสอบแบบโปกเกอร์
้ า่ สถิตไคสแควร์ 2 โดยสูตร
จะใชค
χ 
2
k
 (O
i 1
 Ei) / Ei
2
i
k = จานวนกลุม
่ ของข้อมูล
โดย
Oi = ค่าความถีข
่ องข้อมูล
Ei = ค่าความถีค
่ าดหมายของข้อมูล
ทีม
่ ก
ี ารกระจายแบบสมา
่ เสมอ = N/k
N = จานวนข้อมูลทงหมด
ั้
ถ้า χ  χ α , k  1 ยอมร ับว่าชุดต ัวเลขทีน
่ ามาทดสอบ
2
2
นนเป
ั้ ็ นอิสระต่อก ัน ทีร่ ะด ับน ัยสาค ัญ 
85
่ 1000 ต ัว
ต ัวอย่าง 2.22 จากชุดต ัวเลขแบบสุม
ซงึ่ แต่ละต ัวประกอบด้วยต ัวเลข 3 ต ัว น ับได้วา
่
มีต ัวเลขซา้ ก ันทงหมด
ั้
42 ต ัว ต ัวเลขต่างก ันทงั้
3 ต ัว 694 ต ัว และเป็นคูก
่ ัน 264 ต ัว จงทดสอบ
่ ชุดนีเ้ ป็นอิสระก ันหรือไม่ ทีร่ ะด ับ
ว่าต ัวเลขแบบสุม
้ ารทดสอบแบบโปกเกอร์
น ัยสาค ัญ 0.05 โดยใชก
วิธท
ี า
สร้างตารางเพือ
่ คานวณค่าต่าง ๆ ด ังนี้
86
จานวนที่
น ับได้, Oi
จานวนทีค
่ าดหว ัง,
(Oi – Ei)2/ Ei
ต่างก ันทงั้ 3 ต ัว
694
1000x0.72=720
0.939
เหมือนก ัน 1 คู่
264
1000x0.27=270
0.133
42
1000x0.01=10
102.4
ความเป็นไปได้
เหมือนก ันทงั้ 3 ต ัว
จากตารางค่า
Ei
χ 0 .05 , 2  5 . 99
2
่
ด ังนน
ั้ 103.472 > 5.99 จึงแสดงว่าต ัวเลขแบบสุม
ชุดด ังกล่าวไม่เป็นอิสระต่อก ัน
87