Transcript บทนิยาม

หน่วยที่ 1
ฟั งก์ชนั ลิมิต ความต่อเนื่อง
และจานวนเชิงซ้อน
อ.ปิ ยพร นุรารักษ์
ตอนที่ 1.1
ฟังก์ ชัน
นิยาม
ความสัมพันธ์ f เป็ นฟั งก์ชนั ก็ตอ่ เมื่อ
ถ้า (x, y ) และ (x,z) เป็ นสมาชิกของ f แล้ว
จะได้ว่า y = z
ให้ f เป็ นฟั งก์ชนั ใดๆ และ (x,y) เป็ นสมาชิกของ f
จะเรียก y ว่าเป็ นค่าของฟั งก์ชนั f ที่ x และเขียน
y  f (x)
โดยที่ x
y
คือ ตัวแปรอิสระ (independent variable)
คือ ตัวแปรตาม (dependent variable)
การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็ นฟั งก์ชันหรือไม่
สามารถพิจารณาได้โดย
วิธีท่ี 1 การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม
วิธีท่ี 2 การพิจารณาจากกราฟ
วิธีที่ 1 การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม
•ความสัมพันธ์ r จะเป็ นฟั งก์ชนั ก็ตอ่ เมื่อ
สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อนั ดับใน r ไม่ซ้ ากัน
หรือ
•ความสัมพันธ์ r จะไม่เป็ นฟั งก์ชนั ก็ตอ่ เมื่อ
สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อนั ดับใน r ซ้ ากัน ขณะที่
สมาชิกตัวหลังต่างกัน
วิธีที่ 2 การพิจารณาจากกราฟ
•ถ้ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
ตัดกราฟของความสัมพันธ์ มากกว่า 1 จุด แล้ว
ความสัมพันธ์น้ ี ไม่เป็ นฟั งก์ชนั
หรือ
•ถ้าไม่มีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แล้ว
ความสัมพันธ์น้ ี เป็ นฟั งก์ชนั
ตัวอย่าง
กาหนดให้ความสัมพันธ์ r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}
และ r2 = {(3,4),(3,5),(7,8)}
จงพิจารณาว่า r1, r2 เป็ นฟั งก์ชนั หรือไม่ โดย
1)
พิจารณาโดยอาศัยบทนิ ยาม
2)
พิจารณาจากกราฟ
วิธีทา 1)
พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม
r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}
เป็ นฟั งก์ชนั เพราะทุกๆ คู่อนั ดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ ากัน
r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}
ไม่เป็ นฟั งก์ชนั เพราะตัวหน้าของคู่อนั ดับใน r2 ซ้ ากัน
ขณะที่ตวั หลังต่างกัน
2)
พิจารณาจากกราฟ
r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}
เป็ นฟั งก์ชนั เพราะทุกๆ คู่อนั ดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ ากัน
r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}
ไม่เป็ นฟั งก์ชนั เพราะตัวหน้าของคู่อนั ดับใน r2 ซ้ ากัน
ขณะที่ตวั หลังต่างกัน
โดเมนและเรนจ์ของฟั งก์ชนั
ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็ นฟั งก์ชนั แล้ว
โดเมนของ f คือ
Df  x (x, y)  f 
เรนจ์ของ f คือ
Rf  y (x, y)  f 
บทนิยาม f จะเป็ นฟั งก์ชนั จากเซต X ไปเซต Y ก็ต่อเมื่อโดเมน
ของ f เท่ากับ X และ เรนจ์ของ f เป็ นสับเซตของ Y
เราจะเขียน
f : XY
แทนฟั งก์ชนั f จากเซต X ไปยังเซต Y
ฟังก์ชนั ไปทัว่ ถึง
บทนิยาม f เป็ นฟังก์ชนั จากเซต X ไปทัว่ ถึงเซต Y (onto function)
ก็ต่อเมือ่
Df  X
Rf  Y
Y
X
f
4
6
8


a
b
ฟังก์ ชันหนึ่งต่ อหนึ่ง
บทนิยาม f เป็ นฟั งก์ชนั หนึ่ งต่อหนึ่ ง (one to one function)
ก็ต่อเมื่อ ถ้า x1, x2  X และ f(x1)= f(x2) แล้วจะได้
x1 = x2
Y
X
f
x1
f(x1)
x2 
f(x2)
x3
f(x3)
ฟังก์ ชันผกผัน
เนื่ องจากฟั งก์ชนั เป็ นความสัมพันธ์ ดังนั้นเราสามารถหา
ความสัมพันธ์ผกผันของฟั งก์ชนั ใดๆ ที่กาหนดให้ได้เสมอ
โดยที่ความสัมพันธ์ของฟั งก์ชนั อาจมีคุณสมบัติเป็ นฟั งก์ชนั
หรือไม่เป็ นฟั งก์ชนั ก็ได้
ข้อสังเกต เราพบว่าฟั งก์ชนั f จะมีฟังก์ชนั ผกผัน เมื่อ f
เป็ นฟั งก์ชนั แบบหนึ่ งต่อหนึ่ ง และจะได้วา่ ฟั งก์ชนั f-1 เป็ น
ฟั งก์ชนั หนึ่ งต่อหนึ่ งด้วย
ฟั งก์ชนั พีชคณิต
เป็ นฟั งก์ชนั ที่ค่าของฟั งก์ชนั เขียนในรูปสัญลักษณ์ทางพีชคณิต
ที่ประกอบด้วยค่าคงตัว ตัวแปร และเครื่องหมาย บวก ลบ
คูณ หาร กรณฑ์ หรือยกกาลัง เช่น
y  2x  1, f (x)  3,
2x  1
y
3
3x
y  5x  x , y  3x  x  1,
2
ฟั งก์ชนั พีชคณิตที่นามาใช้ในวิชาแคลคูลสั ได้แก่
1.ฟั งก์ชนั พหุนาม (polynomial functions)
2.ฟั งก์ชนั ตรรกยะ (rational functions)
ฟั งก์ชนั พีชคณิตที่นามาใช้ในวิชาแคลคูลสั ได้แก่
1.ฟั งก์ชนั พหุนาม (polynomial functions)
f (x)  a n x  a n 1x
n
n 1
 a n 2 x
n 2
 ...  a 2 x  a1x  a 0
โดยที่ a 0 ,a1 ,a 2 ,...,a n 1,a n เป็ นจานวนจริง และ
ซึ่งเรียกว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม
และ n เป็ นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์
เราจะเรียก f ว่าเป็ นฟั งก์ชนั พหุนามดีกรี n
g(x)  3x  2x  2
3
f (x)  2x  1
2
an  0
2.ฟั งก์ชนั ตรรกยะ (rational functions)
คือ ฟั งก์ชนั ที่เขียนอยูใ่ นรูปผลหารของฟั งก์ชนั พหุนาม
ถ้า f(x) เป็ นฟั งก์ชนั ตรรกยะ จะได้วา่
P(x)
f (x) 
Q(x)
โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็ นฟั งก์ชนั พหุนาม และ Q(x) ≠ 0
2x  2
f (x)  4
x 9
2x 2  3x  9
g(x)  3
x (x  3)
ฟั งก์ชนั อดิศยั (transcendental functions)
คือฟั งก์ชนั ที่ไม่ใช่ฟังก์ชนั พีชคณิต เช่น
1. ฟั งก์ชนั เอ็กซ์โปเนนเชียล
f  { x, y   R  R / x  a y ,a  0,a  1}
2. ฟั งก์ชนั ลอการิทึม
x
f  { x, y   R  R / y  a ,a  0,a  1}
f  { x, y   R  R / y  log x a ,a  0,a  1}
3. ฟั งก์ชนั ตรีโกณมิติ
ฟั งก์ชนั sin, cos, tan, sec, cosec หรือ cot
ตอนที่ 1.2
ลิมิตและความต่ อเนื่องของฟังก์ ชัน
ทฤษฎีบท ฟั งก์ชนั f(x)มีลิมิตที่ x=a เท่ากับ L ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้าย
และลิมิตขวาของ f ที่ a หาค่าและมีค่าเท่ากับ L นัน่ คือ
limf (x)  L
x a
ก็ต่อเมื่อ
lim f (x)  lim f (x)  L
x a 
x a 
ตัวอย่าง จงพิจารณาลิมิตที่ x= 0, 1, 2, 3, 4
x 0  0;
x 0  1;
lim f (x)  2
x 0
lim f (x)  0
x 1
lim f (x)  2
x 1
lim f (x)  lim f (x)
x 1
x 0  2;
x 1
lim f (x)  2
x 2
lim f (x)  2
x 2
lim f (x)  2  f (2)
x 2
(x)  4  f (3)
x 0  3; limf
x 3
x 0  4; lim f (x)  2

x 4
ความต่อเนื่องของฟั งก์ชนั
บทนิยาม ฟั งก์ชนั f ต่อเนื่ องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ
เงื่อนไขต่อไปนี้ เป็ นจริงทุกข้อ
1. f(a)
หาค่าได้เป็ นจานวนจริง
(x)
หาค่าได้เป็ นจานวนจริง
2. limf
x a
(x)  f (a)
3. limf
x a
ตัวอย่าง จงทดสอบความต่อเนื่ องที่ x= 1, 2, 3
f ไม่ต่อเนื่ องที่ x = 1
เพราะว่า f(1) = 1 หาค่าได้ แต่
lim f (x)  0  f (1)
x 1
f ไม่ต่อเนื่ องที่ x = 2 เพราะว่า f(2) = 2 หาค่าได้
แต่ limf (x)  1  f (2)
f ต่อเนื่ องที่ x = 3
เพราะว่า f(3) = 2 หาค่าได้
(x)  2  f (3)
และ limf
x 3
x 2
ตอนที่ 1.3
จานวนเชิงซ้ อนเบือ้ งต้ น
ในระบบจานวนจริง ถ้า x  R แล้ว x  0 เสมอ
ดังนั้นสมการ เช่น x  1  0 หรือ x  1 จึงไม่สามารถหา
คาตอบได้ในระบบจานวนจริงจึงต้องสร้างจานวนที่ไม่ใช่
จานวนจริงขึ้ นมา ซึ่งเราเรียกว่า จานวนจินตภาพ
(imaginary number) โดยกาหนดให้ i  1 และ i  1
และเรียกจานวนที่อยูใ่ นรูป a+bi เมื่อ a, b  R
ว่า จานวนเชิงซ้อน
2
2
2
2
จานวนเชิงซ้อน (complex number) เขียนแทนด้วย z
และในบางครั้งสามารถเขียนแทนด้วยคู่ลาดับ (a,b)
โดยจะได้วา่ z = a + bi
เรียก a ว่า เป็ นส่วนจริงของจานวนเชิงซ้อน z
b ว่า เป็ นส่วนจินตภาพของจานวนเชิงซ้อน z
การดาเนินการของจานวนเชิงซ้อน
1. การเท่ากันของจานวนเชิงซ้อน
ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di
z1 = z2 ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวกจานวนเชิงซ้อน
ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di
z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i
3. การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจริง
ให้ z = a + bi และ k เป็ นจานวนจริงใดๆ
kz = ka + kbi
4. การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนเชิงซ้อน
ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di
z1 z2 = (a + bi)( c + di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
5. การหารจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนเชิงซ้อน
ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di และ z  0
z1 a  bi c  di

z 2 c  di c  di
a  bi  c  di 


c2  d 2
(ac  bd)  (bc  ad)i

c2  d 2
2
6. ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน a + bi
ให้ z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อนของ z คือ
z  a b
2
2
7. คอนจูเกต (conjugate) ของจานวนเชิงซ้อน z คือ z
ถ้า z  a  bi จะได้ z  a  bi
ตัวอย่าง
จงหา
กาหนดให้
z1  z 2
z1  3  2i
 (3  2i)  (2  i)
 (3  2)  (2i  (i))
 (2  3)  (2  1)i
5i
z2  z1
 (2  i)  (3  2i)
 (2  3)  ( i  2i)
 (2  3)  ( 1  2)i
 1  3i
z2  2  i
3z 2
 3(2  i)
 3(2)  3(1)i
 6  3i
z1 z 2
 (3  2i) (2  i)
 [(3)(2)  (2)(1)]  [(2)(2)  (3)( 1)]i
 [6  (2)]  [4  (3)]i
 [6  2]  [4  3]i
8i
z2
z1

Z2 Z1 [(2)(3)  (1)(2)]  [(1)(3)  (2)(2)]i

Z1 Z1
32  22
[(6)  (2)]  [(3)  (4)]i
94
4  7i 4 7

  i
13
13 13

z 2  22  (1) 2
 4 1  5
z2  2  i
2i