Transcript หน่วยที่ 3 - stouonline

หน่วยที่ 3
อินทิกรัลและการประยุกต์
ผูเ้ ขียน อ.ปิ ยพร นุรารักษ์
ตอนที่ 3.1
อินทิกรัลเบือ้ งต้ น
F(x)
derivative หรื อ
 d 
 
 dx 
f(x)
การหาอนุพนั ธ์ ของฟังก์ ชัน
f(x)
antiderivative หรื อ
  dx 
การหาปฏิยานุพนั ธ์ ของฟังก์ ชัน
F(x)
บทนิยาม
ถ้า F(x) = f(x) สาหรับทุกๆ ค่า x ในโดเมนของฟั งก์ชนั
f(x) แล้ว จะได้วา่ ปฏิยานุพนั ธ์ทั ่วไปหรือ ฟั งก์ชนั ดั้งเดิม
ทั ่วไป ของ f(x) คือ F(x) + c
และจะเขียนแทน F(x) + c ด้วย
 f (x)dx
ซึ่งเรียกว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขต (indefinite integrals)
ของ f(x) เทียบกับ x
ตัวอย่าง
จงหาอินทิกรัลไม่จากัดเขตของ f(x) เมื่อกาหนดให้
1) f (x)  4x
2) f (x)  4x
3
วิธีทา
1) เนื่ องจากอนุ พนั ธ์ของ
จะได้วา่
F(x)  2x 2
d
(2x 2 )  4x
dx
คือ ปฏิยานุ พนั ธ์ของ 4x
ดังนั้น
 f (x)dx   4x dx
 2x  c
 F(x)  c
2
คือ อินทิกรัลไม่จากัดเขตของ
ดังนั้น
f (x)  4x
2
4xdx

2x
c

2) เนื่ องจากอนุ พนั ธ์ของ
จะได้วา่
ดังนั้น
F(x)  x
4
dx 4
 4x 3
dx
คือ ปฏิยานุ พนั ธ์ของ
4x 3
3
f
(x)dx

4x

 dx
 x4  c
 F(x)  c
คือ อินทิกรัลไม่จากัดเขตของ
ดังนั้น
 4x
3
f (x)  4x 3
x  c
4
ตัวอย่าง
1)
จงอินทิเกรต
 x dx
2
1
2)  ( 5  3x 2  4)dx
x
x
x
3)  (e  4 )dx
วิธีทา
1)
2
x
 dx
โดยการประยุกต์สตู ร
n 1
x
n
x
 dx  n  1  c, n  1
จากโจทย์จะได้วา่ n=2 เมื่อแทนค่าในสูตรจะได้
2 1
x
2
x
 dx  2  1  c
x3

 c เมื่อ
3
c คือ ค่าคงตัวใดๆ
1
2)  ( 5  3x 2  4)dx   (x 5  3x 2  4) dx
x
5
2
5
(x

3x

4)
dx

x

 dx 

เมื่อ
 
1
5

x
x5
   4dx 
2
3x
 dx 
  x 5 dx  3 x 2 dx   4dx
n 1
x
n
x
 dx  n  1  c, n  1
จากสูตร  dx  x  c และ
จะได้วา่
 x
  x 21 


 x dx  3 x dx   4dx   5  1   c1  3   2  1   c2   4  x  c3 
5
5 1
2
 x3 
x 4

 3    4  x   c1  3c 2  4c3
4
 3 
1
  4  x 3  4x  c
4x
เมื่อ
c  c1  3c2  4c3
3)
x
x
(e

4
)dx

x
a
x
a
 dx  ln a  c
จากสูตร  ex dx  ex  c และ
จะได้วา่
(e x  4x )  e x dx 


x
4
 dx
x
4
 ex 
c
ln 4
อินทิกรัลจากัดเขต
ให้ f(x) เป็ นฟั งก์ชนั ที่หาค่าได้บน [a,b] อินทิกรัลจากัดเขต
(definite integral) ของ f บน [a,b] เขียนแทนด้วย
b
 f (x)dx
a
เรียก a และ b ว่า ลิมิตล่าง (lower limit) และ ลิมิตบน
(upper limit) ของการอินทิเกรตตาม ลาดับ
ตัวอย่าง
จงหาอินทิกรัลจากัดเขตของ f(x) เมื่อกาหนดให้
1)  (x  x )dx
2
3
0
9
2) 
1
วิธีทา
2
x
dx
2
x
x 
1)  (x  x )dx    
4 0
 2
0
2
2
4
3
 22 24   02 04 
    
 2 4  2 4
4 16
8
 

2
2 4
4
9
2) 
1
9
2
2
dx   1 dx
x
1
x2
9
 2 x
1
 
 2
dx
1
9
  1  
  12  1 
 x 2  
x   
 2  1    2

1


  2  1 

1
 2 1
9
9
 
 4 x   4
 1
1
2


9  1  4(3  1)  8
ตอนที่ 3.2
เทคนิคการอินทิเกรต
1.
2.
3.
4.
การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร
การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน
การอินทิเกรตโดยการแยกเป็ นเศษส่วนย่อย
การอินทิเกรตฟั งก์ชนั ตรีโกณมิติ
การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร
การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรเป็ นเทคนิ คการ
เปลี่ยนตัวแปรในโจทย์ที่เราไม่คุน้ เคยให้อยู่ในรูปที่เรา
รูจ้ กั หรือสามารถใช้สตู รช่วยในการคานวณได้
ตัวอย่าง จงหา
วิธีทา
x2
 (x 3  1)5 dx
กาหนดให้ u = x3-1
จะได้
du
 3x 2 dx
1
x dx  du
3
2
ดังนั้น
x2
x2
2
dx

x
 (x 3  1)5  (x 3  1)5 dx
1 1
  5  du
u 3
1 5
  u du
3
1
  u 4  c
12
1

c
3
4
12(x  1)
การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน
การอินทิเกรตโดยการแยกส่วนจะถูกนามาใช้ในกรณีที่
อินทิกรัลมีตวั ถูกอินทิเกรตอยูใ่ นรูปของ ฟั งก์ชนั เช่น
x
1
 ln x dx,  sin x dx,  x e dx และ  e tan xdx
x
จากสูตรการหาอนุ พนั ธ์ของผลคูณ ให้ u และ v เป็ นฟั งก์ชนั ของ x
d(uv)  udv  vdu
จึงได้สตู รสาหรับการอินทิเกรตโดยการแบ่งส่วนดังนี้
 u dv  uv   vdu
ตัวอย่าง
วิธีทา
3
x
จงหา  ln x dx
กาหนดให้ u = ln x, dv = x3 dx
1
x4
du  dx, v 
x
4
จะได้
จากสูตร  u dv  uv   vdu
 x   x  1 
เมื่อแทนค่าจะได้  x ln x dx   ln x   4     4   x dx 
4
4
3



x3
x4
 ln x   dx
4
4
1 3
x4
 ln x   x dx
4
4
x4
x4
c
 ln x 
16
4


การอินทิเกรตโดยการแยกเป็ นเศษส่วนย่อย
การอินทิเกรตโดยการแยกเป็ นเศษส่วนย่อยจะถูกนามาใช้ใน
P(x)
กรณีที่อินทิกรัลมีตวั ถูกอินทิเกรต Q(x) อยูใ่ นรูปของฟั งก์ชนั
ตรรกยะ โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็ นฟั งก์ชนั พหุนาม และ
กาลังสูงสุดของ P(x) น้อยกว่ากาลังสูงสุดของ Q(x)
ตัวอย่าง จงหา
วิธีทา
แล้ว
5x  3
 x2  2x  3 dx
5x  3
5x  3

x 2  2x  3 (x  1)(x  3)
3
2


x 1 x  3
5x  3
2
3
dx

dx

 x 2  2x  3  x  1  x  3 dx
 2 ln x  1  3 ln x  3  c
การอินทิเกรตฟั งก์ชนั ตรีโกณมิติ
การอินทิเกรตฟังก์ชนั ตรี โกณมิติที่ซบั ซ้อน สามารถหาได้โดย
การใช้การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร
นอกจากนั้นบางครั้งยังต้องอาศัยเอกลักษณ์ตรี โกณมิติช่วยใน
การเปลี่ยนรู ปอินทิกรัลให้อยูใ่ นรู ปที่สามารถใช้สูตรพื้นฐานได้
ตัวอย่าง จงหา 
วิธีทา
sin3x cos5x dx
ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
1
sin ax cos bx  [sin(a  b)x  sin  a  b x]
2
จะได้
1
[sin(3x  5x)  sin(3x  5x)] dx

2
1
  [sin(2x)  sin 8x] dx
2
 sin 3x cos5x dx 
จาก sin(-x)= -sin x จะได้วา่
1
  ( sin 2x  sin8x)dx
2
1  cos 2x cos8x 
 

c
2 2
8 
ตอนที่ 3.3.1
พื้นที่ของอาณาบริเวณในระนาบ
ผูเ้ ขียน อ.ภิรมย์ คงเลิศ
1) พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
y
o
y = f(x)
x
a dx b
พื้นที่แรเงา มีค่าเท่ากับ
b
 f ( x )dx
a
1) พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
y
a dx b
o
x
y = f(x)
พื้นที่แรเงา
b
มีค่าเท่ากับ   f (x )dx
a
1) พื้นที่ใต้เส้นโค้ง
y
y = f(x)
o a dx
พื้นที่แรเงา
b
c
x
c
b
มีค่าเท่ากับ f ( x )dx+ (  f ( x )dx )
a
b
ตัวอย่าง
วิธีทา
จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = x2
และเหนือแกน x บนช่วง [0,2]
y
y = x2
4
x
o dx 2
จะได้
A =
b
 f ( x )dx
a
แทนค่า a=0, b=2 และ f(x) = x2
จะได้
A =
2 2
 x dx
0
2
x 
=  
 3 0
3
 (2)   (0) 
=   - 
 3   3 
3
=
3
8
ตารางหน่วย
3
ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปิดล้อม
ด้วยเส้นโค้ง y = x3 และแกน x บนช่วง [-1,2]
y
วิธีทา
3
y=x
-1
A1
o
A2
dx 2
x
พื้นที่ A1 เป็ นพื้นที่ที่อยูใ่ ต้แกน x และ
3
อยูเ่ หนือเส้นโค้ง y = x บนช่วง [-1,0]
จะได้
b
A1 = -  f ( x )dx
a
3
แทนค่า a = -1, b = 0 และ f(x) = x
จะได้
A1 =
0 3
-  (x )dx
1
x 
= - 
4
4
0
1
= -

  (0) 4   (1) 4 







 4   4 

= -
1

0  
4

=
1
4
ตารางหน่วย






พื้นที่ A2 เป็ นพื้นที่ที่อยูเ่ หนือแกน x และ
อยูใ่ ต้เส้นโค้ง y = x3 บนช่วง [0,2]
b
จะได้ A2 =  f ( x )dx
a
แทนค่า a = 0, b = 2 และ f(x) = x3
จะได้ A2 =
2 3
 ( x )dx
0
x 
4
 
4
=







2
0
 (2)   (0) 

= 



 4   4 
4
= 4  0
= 4 ตารางหน่วย
4







พื้นที่ของอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
y = x3 และแกน x บนช่วง [-1,2]
มีค่าเท่ากับ พื้นที่ A1 + พื้นที่ A2
เพราะฉะนั้น พื้นที่ท้งั หมดมีค่าเท่ากับ
1
+4
4
=
17
4
ตารางหน่วย
2) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
y
y = f(x)
y = g(x)
a
b
dx

x

b
พื้นที่แรเงา มีค่าเท่ากับ  f ( x )  g( x ) dx
a
2) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
y
y = f(x)
a
dx
y = g(x)
b c
x
 c

พื้นที่แรเงา b





มีค่าเท่ากับ  f (x)  g(x)dx +   f ( x )  g ( x ) dx 
a
 b

ตัวอย่าง
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
y = x2 -4 และ เส้นตรง y = 2x-1
ก) บนช่วง [-1,3]
ข) บนช่วง [-1,4]
วิธีทา
y
f(x) = 2x-1
A2
g(x) = x2- 4
5
-2 -1 o
dx
-4
A1
3 4
x
กาหนดให้ f(x) = 2x – 1 และ g(x) = x2 -4
หาจุดตัดของสมการทั้งสองจะได้ว่า
x2 -4 = 2x – 1
x 2 – 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x = 3, -1
เพราะฉะนั้นกราฟของสมการทั้งสองตัดกันที่
x = 3, -1
จะเห็นว่า f(x) > g(x) บนช่วง [-1,3] และ
f(x) < g(x) บนช่วง (-∞,-1] และ [3,∞)
ก) จากภาพจะเห็นว่า f(x) > g(x) บนช่วง [-1,3]
ซึ่งสมมุตใิ ห้มีพ้ นที
ื ่ A1


3
 f ( x )  g( x ) dx
พื้นที่ A1 =
1
=
=
3
2


 (2x 1)  ( x  4)dx


1
3
2


 (2x  x  3)dx


1
2 x
x  3

3
=

 3x


3
1
=
 2 (3) 3
  2 (1) 3

 3(3)  (1) 
 3(1)
(3) 
3
3

 

=

=

 
1
9  9  9  1  3
3
 
5
9 
3
=
32
3
ตารางหน่วย
ข) พื้นที่บนช่วง [-1,4] คือ พื้นที่ A1 + พื้นที่ A2
32
จาก ก) จะได้พ้ นที
ื ่ A1 = 3 ตารางหน่วย
พื้นที่ A2 เป็ นพื้นที่บนช่วง [3,4] ซึ่ง
จะเห็นว่า g(x) > f(x)
พื้นที่ A 2=


4
  f ( x )  g( x ) dx
3
พื้นที่ A 2=
=
4
2


  (2x 1)  ( x  4)dx


3
4
2


  (2x  x  3)dx


3
4
2 x
=  x 
3

3
=

 3x


3

3
3




(
4
)
(
3
)
2
2
  (4) 
 3(4)  (3) 
 3(3)

3
3











=
=
=




64
  16 12  9  9  9
3




 20 
   9
 3

7
3
ตารางหน่วย
+
เพราะฉะนั้น พื้นที่บนช่วง [-1,4]
มีค่าเท่ากับ
32 7
+ = 13 ตารางหน่วย
3 3